平抛运动的推论及应用.docx
第二讲：平抛运动
第二讲：平抛运动一、平抛运动1．定义：将物体以一定的初速度沿水平方向抛出，物体只在重力作用下的运动．2．性质：平抛运动是加速度为g 的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线．3．研究方法：运动的合成与分解 (1)水平方向：匀速直线运动； (2)竖直方向：自由落体运动． 4.基本规律如图，以抛出点O 为坐标原点，以初速度v 0方向(水平方向)为x 轴正方向，竖直向下为y 轴正方向．(1)位移关系(2)速度关系(3)轨迹方程：h =g2v 02x 25.基本应用例题、如图所示，x 轴在水平地面上，y 轴在竖直方向．图中画出了从y 轴上沿x 轴正方向水平抛出的三个小球a 、b 和c 的运动轨迹．不计空气阻力，下列说法正确的是( )A ．a 和b 的初速度大小之比为2∶1B ．a 和b 在空中运动的时间之比为(1)飞行时间由t ＝2hg知，时间取决于下落高度h ，与初速度v 0无关．(2)水平射程x ＝v 0t ＝v 02hg，即水平射程由初速度v 0和下落高度h 共同决定，与其他因素无关． (3)落地速度v ＝v x 2＋v y 2＝v 02＋2gh ，以θ表示落地速度与水平正方向的夹角，有tan θ＝v y v x＝2ghv 0，落地速度与初速度v 0和下落高度h 有关． (4)速度改变量因为平抛运动的加速度为恒定的重力加速度g ，所以做平抛运动的物体在任意相等时间间隔Δt 内的速度改变量Δv ＝g Δt 是相同的，方向恒为竖直向下，如图所示．(5)两个重要推论①做平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一例题、如图甲所示是网球发球机，某次室内训练时将发球机放在距地面一定的高度，然后向竖直墙面发射网球.假定网球均水平射出，某两次射出的网球碰到墙面时速度与水平方向夹角分别为30°和60°，若不考虑空气阻力，则( )A.两次发射的初速度大小之比为3∶1定通过此时水平位移的中点，如图所示，即x B ＝x A2.推导：⎭⎪⎬⎪⎫tan θ＝y Ax A －x Btan θ＝v yv 0＝2y Ax A→x B＝x A2①做平抛运动的物体在任意时刻任意位置处，有tan θ＝2tan α. 推导：⎭⎪⎬⎪⎫tan θ＝v y v 0＝gtv 0tan α＝y x ＝gt 2v 0→tan θ＝2tan α二、与斜面结合的平抛运动1．顺着斜面平抛(如图)方法：分解位移．x ＝v 0t ，y ＝12gt 2，tan θ＝y x，可求得t ＝2v 0tan θg.2．对着斜面平抛(垂直打到斜面，如图) 方法：分解速度．v x ＝v 0， v y ＝gt ，tan θ＝v x v y ＝v 0gt，可求得t ＝v 0g tan θ.三、斜抛运动1．定义：将物体以初速度v 0斜向上方或斜向下方抛出，物体只在重力作用下的运动．2．性质：斜抛运动是加速度为g 的匀变速曲线运动，运动轨迹是抛物线．3．研究方法：运动的合成与分解(1)水平方向：匀速直线运动；(2)竖直方向：匀变速直线运动．例题、某同学在练习投篮时将篮球从同一位置斜向上抛出，其中有两次篮球垂直撞在竖直放置的篮板上，运动轨迹如图所示，不计空气阻力，关于这两次篮球从抛出到撞击篮板的过程( )4.基本规律(以斜上抛运动为例，如图所示)(1)水平方向：v 0x ＝v 0cos θ，F 合x ＝0；做匀速直线运动，v 0x ＝v 0cos θ，x ＝v 0tcos θ. (2)竖直方向：v 0y ＝v 0sin θ，F 合y ＝mg .做竖直上抛运动，v 0y ＝v 0sin θ，y ＝v 0tsin θ－12gt2四、类平抛运动1．类平抛运动物体受到与初速度垂直的恒定的合外力作用时，其轨迹与平抛运动相似，称为类平抛运动．类平抛运动的受力特点是物体所受合力为恒力，且与初速度的方向垂直．2.类平抛运动问题的求解技巧(1)常规分解法：将类平抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向(即沿合力方向)的匀加速直线运动，两分运动彼此独立，互不影响，且与合运动具有等时性．(2)特殊分解法：对于有些问题，可以过抛出点建立适当的直角坐标系，将加速度a 分解为a x 、a y ，初速度v 0分解为v x 、v y ，然后分别在x 、y 方向上列方程求解．针对训练题型1：平抛运动性质例题、如图所示的光滑斜面ABCD 是边长为l 的正方形，倾角为30°，一物块（视为质点）沿斜面左上方顶点A 以平行于AB 边的初速度v 0水平射入，到达底边CD 中点E ，则（ ）A ．初速度2glB ．初速度4glC ．物块由A 点运动到E 点所用的时间2lt g= D ．物块由A 点运动到E 点所用的时间lt g=1．关于平抛运动的性质，以下说法中正确的是（）A．变加速运动B．匀变速运动C．匀速率曲线运动D．不可能是两个直线运动的合运动2．人站在平台上平抛一小球，球离手时的速度为v1，落地时速度为v2，不计空气阻力，下列图中能表示出速度矢量的演变过程的是（）A．B．C．D．题型2：平抛运动规律3．如图所示，从A、B、C三个不同的位置向右分别以v A、v B、v C的水平初速度抛出三个小球A、B、C，其中A、B在同一竖直线上，B、C在同一水平线上，三个小球均同时落在地面上的D点，不计空气阻力。
高中物理：平抛运动的推论及应用
高中物理：平抛运动的推论及应用一、平抛运动的概念将物体以一定初速度水平抛出，物体在只受重力的作用下所做的运动叫平抛运动。
二、平抛运动的性质平抛是加速度为重力加速度g的匀变速曲线运动，轨迹是抛物线。
值得注意的是：平抛运动的速率随时间变化并不均匀，但速度随时间的变化是均匀的。
平抛运动可看成是水平方向的匀速直线运动和竖直方向上的自由落体运动的合成。
三、平抛运动的规律以抛出点为原点，取水平方向为x轴，正方向与初速度v0的方向相同；竖直方向为y轴，正方向向下；物体在任一时刻t位置坐标P （x，y），位移s、速度v t（如图所示）的关系为：1、速度公式：水平分速度：，竖直分速度：。
t时刻平抛物体的速度大小和方向：。
2、位移公式（位置坐标）：水平分位移：，竖直分位移：。
t时间内合位移的大小和方向：3、运动时间，仅取决于竖直下落的高度。
4、射程，取决于竖直下落的高度和初速度。
5、平抛物体运动中的速度变化：水平方向分速度保持。
竖直方向，加速度恒为g，速度，从抛出点起，每隔时间的速度的矢量关系如图所示。
这一矢量关系有两个特点：①任意时刻的速度水平分量均等于初速度；②任意相等时间间隔内的速度改变量均竖直向下，且。
但要注意如下两点：①平抛运动虽然为曲线运动，但也是一种匀变速运动，所以平抛运动为匀变速曲线运动，所有抛体做的都是加速度为g的匀变速运动。
②平抛运动的速率随时间变化并不均匀，速度随时间是均匀变化的。
推论1：做平抛运动的物体在任意时刻任一位置处，设其末速度方向与水平方向的夹角为θ，位移与水平的夹角为，则tanθ=2tan．证明：如图1所示，由平抛运动规律得，所以。
例1、如图2所示，一物体自倾角为θ的固定斜面顶端沿水平方向抛出后落在斜面上．物体与斜面接触时速度与水平方向的夹角满足( )A、B、C、D、解析：直接根据推论1，可知正确选项为D．推论2：做平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点．证明：如图3所示，B为OA的中点，设平抛物体的初速度为，从原点O到A点的时间为t，A点坐标为，B点坐标为，则，。
平抛运动的三个推论及其应用
平抛运动是一种匀变速曲线运动，根据其运动性质，轨迹、特点等，归纳出以下三个简捷实用的推论。
一、推论一：速度偏向角的函数值规律：平抛运动任意时刻的速度偏向角的三种函数值分别为，如图所示：式中表示速度V的竖起分量，、表示速度V的水平分量，x、y分别表示水平和竖直位移。
例1在平面直角坐标系xOy中，第Ⅰ象限存在沿y轴负方向的匀强电场，第Ⅳ象限存在垂直于坐标平面向外的匀强磁场，磁感应强度为B。
一质量为m、电荷量为q的带正电的粒子从y轴正半轴上的M点以速度v垂直于Y轴射入电场，经x轴上的N点与x轴正方向成θ=60°角射入磁场，最后从y轴负半轴上的P点垂直于Y轴射出磁场，如图所示。
不计粒子重力，求：（1）M、N两点间的电势差U；MN（2）粒子在磁场中运动的轨道半径r；（3）粒子从M点运动到P点的总时间t。
解析：粒子在第Ⅰ象限内，只在电场力的作用下做类平抛运动，设粒子过N 点时的速度为v，则有推论一有①解得②粒子从M点运动到N点的过程中，有动能定理得③由（2）（3）两式得④（2）（3）两问的解答略，请读者分析。
例2 如图所示，在xOy平面的第一象限有一匀强电场，电场的方向平行于y轴向下；在x轴和第四象限的射线OC之间有一匀强磁场，磁感应强度的大小为B，方向垂直于纸面向外。
有一质量为m，带有电荷量+q的质点由电场左侧平行于x轴射入电场。
质点到达x轴上A点时，速度方向与x轴的夹角，A点与原点O的距离为d。
接着，质点进入磁场，并垂直于OC飞离磁场。
不计重力影响。
若OC与x轴的夹角为，求（1）粒子在磁场中运动速度的大小：（2）匀强电场的场强大小。
解析：（1）质点在磁场中的只要洛仑兹力作用下做匀速圆周运动，根据飞进和飞离磁场的方向，进而确定圆心，进而确定圆心O＇和半径R，如图所示则有R=dsin ①由洛化兹力公式和牛顿第二定律得②由①②式，得③（2）质点在电场中的运动为类平抛运动。
由推论一有t ④x=v＝vcos？⑤vvsin？＝at ⑥表示射入电场的速度，a表示在电场中的加速度，t为电场中运动时式中v间。
平抛运动的两个重要推论
平抛运动的两个重要推论
平抛运动可以分解成水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动。
根据匀速直线运动和自由落体运动规律，分析得到平抛运动的两个重要推论。
分别如下：
1、做平抛（或类平抛）运动的物体任一时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点。
2、做平抛（或类平抛）运动的物体在任意时刻任一位置处，设其速度方向与水平方向的夹角为α，位移与水平方向的夹角为θ，则α和θ的关系是tanα=2tanθ。
平抛运动的规律如下：
1、运动时间只由高度决定。
2、水平位移和落地速度由高度和初速度决定。
3、在任意相等的时间里，速度的变化量相等，方向也相同。
是加速度大小、方向不变的曲线运动。
4、任意时刻，速度偏向角的正切等于位移偏向角正切的两倍。
5、任意时刻，速度矢量的反向延长线必过水平位移的中点。
平抛运动的五个推论
平抛运动的五个推论平抛运动是物理学中最基本的运动之一，常见于我们日常生活中的许多场合。
它是指当物体在水平平面上沿着一定初速度的轨迹飞行时，只受重力的垂直作用而不受其它外力作用的运动。
下面我们就通过五个推论来进一步了解平抛运动。
第一个推论是，平抛运动中，垂直方向受到的加速度是一定的。
这是因为重力始终垂直于运动轨迹，而加速度是与受力有关的，因此在平抛运动中，受到重力作用的物体的垂直方向加速度是不变的。
第二个推论是，平抛运动中，水平方向受到的加速度为0。
这是因为，在平抛运动中，物体在水平方向没有受到任何外力的作用，因此水平方向的运动速度是恒定的，加速度为0。
第三个推论是，平抛运动中，物体的轨迹为一个抛物线。
这是因为，物体在垂直方向上受到的加速度是不变的，而在水平方向上没有加速度。
因此，物体在运动中的路径就是一个抛物线。
第四个推论是，平抛运动中，物体的水平速度不断减小。
这是因为，物体在水平方向上没有受到任何作用力，而由于重力作用，在垂直方向上速度不断增加，导致物体所处的位置越来越高，同时也越来越远离出发点。
第五个推论是，平抛运动中，当物体飞行到最高点时，其垂直方向的速度为0。
这是因为，在到达最高点时，物体所处的高度达到峰值，重力作用向下，垂直速度开始减小，直到为0，然后又开始增加，但方向朝相反方向，导致物体向下运动。
同时，物体的总能量也达到最大值。
通过以上五个推论，我们可以进一步理解平抛运动的特点和规律。
在实际应用中，我们可以通过这些推论来预测物体的运动轨迹和速度等参数，也可以更好地掌握运动的规律，帮助我们更好地应对各种场景。
平抛运动的推论、应用及拓展
平抛运动的推论、应用及拓展在高中物理教材中，对于平抛运动问题的处理一般是利用运动的合成和分解的方法，但有一些问题按此法处理显得繁琐复杂，若用平抛运动的推论来分析，则显得简单明了，拓展推论可以快速解决一系列运动问题。
推论1：任意时刻的两个分运动的速度与合运动的速度构成一个矢量直角三角形。
例1. 从空中同一点沿水平方向同时抛出两个小球，它们的初速度大小分别为v 1和v 2，初速度方向相反，求经过多长时间两小球速度之间的夹角为90︒？解析：设两小球抛出后经过时间t 它们速度之间的夹角为90︒，与竖直方向的夹角分别为α和β，对两小球分别构建速度矢量直角三角形如图1所示，依图可得c t g gt v tg v gt αβ==121，()又 αβαβ+=︒∴=902，ctg tg () 由()()12式得：gt v v gt t gv v 12121=∴=， 拓展：运用速度矢量直角三角形求最值。
例2. 如图2所示，河水流速v m s 12=/，一只小机动船在静水中运动的速度 v m s 23=/，现在它从A 点开始渡河，要使渡河位移最短，船头应指向何处行驶？解析：由于v v 12>，机动船头无论朝什么方向船都不可能垂直河岸过河，那么机动船头朝向何方，船渡河位移才能最小呢？如图2所示，船航行由船随水的直线运动和船在静水中的直线运动组成，故船的航速、水流速度和船在静水中的速度构成一个矢量三角形。
显然当船的实际速度方向与以v 1的末端为圆心、以v 2大小为半径的圆相切时，此时θ角最大，位移最短。
故有：s i n θθ==∴=︒v v 213260， 所以船头与河岸夹角为60︒时渡河位移最小。
例3. 在足够大的真空中，存在水平向右的匀强电场，若用绝缘细线将质量为m 的带电小球悬挂在电场中，静止时细线与竖直方向夹角θ=︒37。
现将该小球从电场中的某点竖直向上抛出，抛出时的初速度大小为v 0，如图3所示。
求小球在电场内运动过程中的最小速度为多少？解析：小球的运动由小球在初速度方向上做匀速直线运动和在合外力方向上做初速度为零的匀加速直线运动组成，依题设情景分析可知，小球的速度是先减小后增大，其速度矢量三角形如图4所示，其中θ=︒37，由图可知，当小球的速度方向垂直加速度方向时小球速度最小。
平抛运动的规律平抛运动的公式与实践
平抛运动的规律平抛运动的公式与实践平抛运动的规律：平抛运动公式与实践平抛运动是指在水平方向上具有初速度的物体在重力作用下进行的运动。
它是力学中最基本的运动之一，广泛应用于物理实验、项目设计以及日常生活中的各种情境中。
本文将探讨平抛运动的规律，并介绍平抛运动的公式和实践应用。
一、平抛运动的规律平抛运动是简单的一维运动问题，其规律可以用几个基本的物理概念进行描述和解释。
1. 初速度：平抛运动的物体具有一个初速度，表示物体在水平方向上的运动速度。
2. 重力加速度：由于存在重力作用，物体在竖直方向上受到重力的影响，产生匀加速度运动。
在忽略空气阻力的情况下，近似可认为地球表面上的重力加速度为9.8 m/s²。
3. 水平速度不变：在水平方向上，物体受到的是牛顿第一定律的影响，即匀速直线运动。
因此，物体的水平速度在整个运动过程中保持不变。
4. 垂直方向运动：物体在垂直方向上受到重力的影响，以匀加速度运动，运动轨迹为抛物线。
以上是平抛运动的基本规律，下面将介绍与之相关的公式和实践应用。
二、平抛运动的公式根据平抛运动的规律，我们可以推导出以下几个基本公式。
1. 水平方向上的位移公式：水平方向的速度始终保持不变，因此水平方向上的位移可通过速度与时间的乘积得到：位移 = 速度 ×时间2. 垂直方向上的位移公式：垂直方向的位移由于受到重力加速度的影响，需要使用动力学方程来计算：位移 = 初速度 ×时间 + 0.5 ×重力加速度 ×时间²3. 时间公式：平抛运动的时间由垂直方向上的位移决定，可以通过以下公式计算：时间= √（2 ×垂直方向上的位移 / 重力加速度）三、平抛运动的实践应用1. 投掷物体的水平距离计算：在平抛运动中，如果我们想要计算物体从投掷点到落地点的水平距离，可以利用水平方向上的速度与时间的乘积，即位移公式。
这在棒球投掷、射击比赛中有广泛应用。
(高中物理)平抛运动的一个重要的推论及其妙用
平抛运动的一个重要的推论及其妙用平抛运动是匀变速曲线运动中的常见运动，它可以看作由匀速直线运动和自由落体合成。
因此也是两个直线运动合成后为曲线运动的典型实例，其根本规律和处理方法一直是各类考试的热点。
下面介绍平抛运动中的一个重要结论及其妙用，供大家参考。
一、平抛运动的特点1．平抛运动可以分解为水平方向上的匀速直线运动和竖直方向上的自由落体运动两个分运动的合成。
在水平方向上的速度v x ＝v 0，位移x ＝v 0t 。
在竖直方向上的速度v y ＝gt ，位移y ＝21gt 2。
所以平抛运动的合速度v t ＝220y υυ+，合位移s ＝22y x +，速度与水平方向上的夹角＝arctanυυy ，位移与水平方向上的夹角＝arctanxy，两个夹角的关系tan ＝2tan 。
其规律可以表示为如下表所示。
速度加速度位移图示水平方向 v x ＝v 0 a x ＝0 x ＝v 0t竖直方向v y ＝gt a y ＝gy ＝21gt 2平抛运动v t＝220yυυ+tan＝υυya ＝g竖直向下s＝22y x +tan ＝xy2．平抛运动除常规的按照水平和竖直方向来分解以外，还可以根据需要向其它的方向分解出其它的不同的运动。
由平抛运动的处理思路，也使我们明确了其它匀变速曲线运动的处理方法，即把力或者速度正交分解力和垂直与力的方向上〔或速度和垂直与速度方向上〕的不同的运动3．有一些运动从初速度和受力情况上看和平抛运动类似——类平抛运动，也可以用平抛运动的处理思路来解决。
二、平抛运动的一个重要推论平抛运动的速度方向和位移方向不在一条直线上，如下列图，位移s 与水平方向的夹角小于速度与水平方向的夹角。
由几何关系： tan ＝xy υυ＝υυyx ＝v 0ty ＝21gt 2＝21v y t项目内容 svv x v yαββ xy O A x Ay A svv x v yα β β yA x Ay联立三式，解得 tan ＝22x yxy =＝2tan这个关系说明速度方向与水平方向的夹角与位移方向与水平方向的夹角之间的关系。
第2讲 平抛运动的规律及应用
解析
考点2 斜面上的平抛运动 斜面上的平抛运动问题是一种常见的题型，在解答这类问题时除要运 用平抛运动的位移和速度规律，还要充分运用斜面倾角，找出斜面倾角同 位移和速度与水平方向夹角的关系，从而使问题得到顺利解决。 1．从斜面上某点水平抛出，又落到斜面上的平抛运动的五个特点 (1)位移方向相同，竖直位移与水平位移之比等于斜面倾斜角的正切 值。 (2)末速度方向平行，竖直分速度与水平分速度(初速度)之比等于斜面 倾斜角正切值的2倍。
答案
解析 小锤打击弹性金属片后，A球做平抛运动，B球做自由落体运 动。A球在竖直方向上的运动情况与B球相同，也做自由落体运动，因此两 球同时落地，B正确；实验时，需A、B两球从同一高度开始运动，对质量 没有要求，应该改变两球的初始高度及击打力度，从而得出普遍结论，故 A错误，C正确；本实验不能说明A球在水平方向上的运动性质，D错误。
知识点 抛体运动的基本规律 Ⅱ 1．平抛运动 (1)研究方法：平抛运动可以分解为水平方向的 01 __匀__速__直__线____运动和 竖直方向的 02 __自__由__落__体____运动。 (2)基本规律(如图所示)
③轨迹方程：y＝ 10 ____2_gv_20_x_2 ___。
2．斜抛运动 (1)研究方法：斜抛运动可以分解为水平方向的 11 __匀__速__直__线____运动 和竖直方向的竖直上抛或竖直下抛运动。 (2)基本规律(以斜向上抛为例，如图所示) ①水平方向 v0x＝ 12 ____v_0_c_o_s_θ_____，x＝v0tcosθ。 ②竖直方向 v0y＝ 13 _____v_0_s_in_θ_____，y＝v0tsinθ－12gt2。
(3)运动的时间与初速度成正比t＝2v0tganθ。 (4)位移与初速度的二次方成正比s＝2gvc20toasnθθ。 (5)当速度与斜面平行时，物体到斜面的距离最远，且从抛出到距斜面
3.3平抛运动的规律和推论
水平方向：匀速直线运动
竖直方向：自由落体
1、抛出后t 秒末的速度
x
水平分速度：Vx＝V0
竖直分速度：Vy＝gt
y
Vt Vx2 Vy2 V02 gt 2
Vx θ Vy Vt
tanθ Vy gt Vx V0
2、抛出后t 秒内Leabharlann 位移水平位移： x=V0t
竖直位移： y 1 gt2
平抛运动任意瞬时速度v与平抛初速度的夹角的正切值是位移s与
水平位移夹角的正切值的2倍 tanθ=2tan
速度的反向延长线过水平位移的交点
2、平抛运动的水平射程
X V0t V0 2h g 水平射程由抛出时的高度和初速决定
3、速V平t度抛由V运抛x2动出的时Vy速的2 度高度V02和初gt速2决定tanθta nVVxyθ=Vg2t0 ttaannα yx
gt 2V0
4、平抛运动的速度偏角与位移偏角之间的关系
x α
x
2 合位移：S x2 y2
y
S
y gt
tanα
轨迹方程:
x 2V0
y
X V0t
Y
1 2
gt
2
消t
y
g 2V02
x2a2V g02
y
ax2
轨迹是抛物线,顶点在原点,开口向下
二、平抛运动的推论
1、平抛运动的时间 平h 抛 12运g动t2 的t时 间2由h 抛g 出时的高度决定
平抛运动的两个推论_概述说明以及解释
平抛运动的两个推论概述说明以及解释1. 引言1.1 概述本文旨在探讨平抛运动中的两个推论，即最大高度与水平飞行距离的关系以及飞行时间与初速度、下落时间的关系。
通过对这些推论进行概述、说明和解释，我们将更深入地理解平抛运动的基本特点及其物理意义。
1.2 文章结构文章共分为五个部分。
引言部分介绍了本文的目的和结构。
接下来，我们会先介绍平抛运动的基本特点，包括速度和方向、加速度和重力作用以及运动轨迹与时间关系。
然后，在第三部分中，我们将详细阐述第一个推论：最大高度与水平飞行距离之间的关系，并解释其物理意义。
紧接着，在第四部分，我们将探究第二个推论：飞行时间与初速度、下落时间之间的关系，并解释其物理意义。
最后，在结论部分，我们将总结这两个推论以及它们所带来的物理意义。
1.3 目的本文旨在通过研究平抛运动中的两个推论，帮助读者更加深入地理解物体在水平方向上被抛出时的运动规律。
通过推导和解释这些推论，我们将揭示它们背后的物理原理，并帮助读者更好地应用于实际问题中。
同时，本文还旨在培养读者对物理学习的兴趣和理解能力，为进一步探究平抛运动及其相关领域打下基础。
2. 平抛运动的基本特点2.1 速度和方向平抛运动是物理学中的一种简单的运动形式，其特点之一是速度的大小保持不变。
在平抛运动过程中，物体以一个固定的初速度沿着一个固定的发射角度被投掷出去。
这个初始速度可以分解为水平分量和垂直分量。
水平方向上的速度恒定，并且没有受到外力作用。
因此，在整个平抛运动过程中，物体在水平方向上匀速移动。
垂直方向上的速度会受到重力加速度的影响而逐渐改变。
在投掷时，物体具有最大的垂直分量速度，并且随着时间推移逐渐减小。
当物体达到最高点时，垂直分量速度降为零。
然后，在下落阶段，垂直分量速度逐渐增大并加速下降。
2.2 加速度和重力作用平抛运动中，加速度指示了物体在垂直方向上由于重力引起的变化率。
根据牛顿第二定律，物体所受合力等于质量乘以加速度。
平抛运动中的三个结论及应用
平抛运动中的三个结论及应用结论1：将物体从竖直面内直角坐标系的原点以初速度水平抛出（不计空气阻力），当它到达B点时，速度的反向延长线与x轴的交点的横坐标等于B点横坐标的一半。
证明：如图1所示，B点是做平抛运动的物体轨迹上的一点。
作B点的切线，与x轴的交点坐标为（，0）。
设物体的初速度为，经过时间t，竖直分速度为，竖直方向的分位移为，物体在B点的速度与水平方向的夹角为α，则由图1知由于，故，即。
结论2：平抛运动轨迹上任一点的速度方向（用速度和x轴的夹角表示）和位移方向（用位移和x轴的夹角α表示）的关系为。
证明：竖直平面内建立直角坐标系，以物体的抛出点为坐标原点O，以初速度方向为Ox轴正方向，竖直向下的方向为Oy轴正方向。
如图3所示，设物体抛出后ts末时刻，物体的位置为P，其坐标为x（ts内的水平位移）和y（ts内下落的高度），ts末速度的水平分量和竖直分量分别为、，则位移与水平方向的夹角α由下式决定（1）速度v与水平方向的夹角β由下式决定（2）比较（1）（2）两式可知，平抛运动中速度和位移的方向并不一致，且。
结论3：如图4所示，以大小不同的初速度，从倾角为θ、足够长的固定斜面上的A点沿水平向左的方向抛出一物体（不计空气阻力），物体刚落到斜面上时的瞬时速度方向与斜面的夹角与初速度大小无关。
证明：如图5所示，设物体到B 点时的竖直速度为，水平速度为，其速度v 与水平方向的夹角为β，与斜面的夹角为α。
由几何关系知由于θ为定值，所以β也为定值，由几何关系知速度与斜面的夹角也为定值，即速度方向与斜面的夹角与平抛物体的初速度无关，只与斜面的倾角有关。
类平抛运动的规律与平抛运动的规律一样。
（1．类平抛运动的受力特点 物体所受合力为恒力，且与初速度的方向垂直． 2．类平抛运动的运动特点在初速度v 0方向做匀速直线运动，在合外力方向做初速度为零的匀加速直线运动，加速度a ＝F 合m.这种运动，只是恒定合力F 合代替了平抛运动的重力，其研究方法跟平抛运动相同 ） 二、结论的应用1．求平抛运动的水平位移例1．如图2所示，墙壁上落有两只飞镖，它们是从同一位置水平射出的，飞镖A 与竖直墙壁成530，飞镖B 与竖直墙壁成370，两者相距为d 。
平抛运动规律及应用
5、类平抛问题
例4. 如图5，光滑斜面长为a，宽为b，倾角为θ 。一物块从斜面左上方顶点P水平入射，从右下 方顶点Q离开斜面，则入射的初速度为多大？
N Qθ
M G1mgsin
D
M
G1
a
G2
D G
a G1 m
m g sin m
g sin
M
N
a v0t
b1•gsin•t2
2
D
v0 a
gsin
速度
合速度v= vx2 vy2
速度方向角的正切值： tan
vy
gt
vx v0
位移规律：如图，以物体的出发点为原点，沿水 平和竖直方向建成立坐标。
水平分位移x= v 0 • t
竖直分位移y=
1 2
gt2
位移 合位移s= x2 y2
位移方向角的正切值：tan y gt
x 2v0
例1、如图，小球在斜面上A点以速度v0水平抛出 ，落在斜面上的C点，已知斜面倾角为θ，求：
平抛运动规律及应用
【知识回顾】 1.平抛运动及规律：1、运动性质：平抛运动 是 匀变速曲线 运动。
2、分解： 平抛运动可分解为水平方向的 匀速直线 运动 和竖直方向的 自由落体 运动。
速度规律：如图，以物体的出发点为原点，沿水 平和竖直方向建成立坐标。
v 水平分速度vx= 0
竖直分速度vy= g t
例3、如图，从倾角为θ的足够长斜面上的A点
，先后将一小球以不同的水平初速度抛出。第一
次初速度为v1，球落到斜面上瞬时速度方向与斜面
夹角为α1，，第二次初速度为v2，球落到斜面上瞬
时速度方向与斜面夹角为α2，，不计空气阻力，若
v1>v2，则α1
平抛运动的几个推论及应用
平抛运动的几个推论及应用第一部分绪论一、引入平抛运动是曲线运动的一个特例，是一种简单的曲线运动。
在高中的教学中，也是一个重点的教学内容。
对于平抛运动无论是重力场中的平抛运动，还是重力场中的“类平抛运动”，或是匀强电场中的“类平抛运动”，在历年的考试中也都是一个考试的热点。
本文将在重力场对平抛运动论述的基础上，从平抛运动的性质、规律、推论等几方面简述，再把其推论应用扩展到重力场中的平抛运动、重力场中的“类平抛运动”和匀强电场中的“类平抛运动”二、研究意义动力学是高中物理的一个主要的内容之一，而平抛运动是动力学中的一个小内容，也是曲线运动中的一个特例。
物理教学中，平抛运动对于初学的学生来说，是一个难度不小的内容，因此有必要找到适合的教学方法，引导学生，让学生在不断的思考中，构建平抛运动的物理图景及意义，从而达到真正的理解平抛运动。
平抛运动是一种有规律的曲线运动，可以把运动过程进行水平方向和竖直方向的分解，其效果等效于：水平方向是一种匀速直线运动，而竖直方向是一种自由落体运动，由此可以运动这两个规律推倒出平抛运动过程中，速度、位移、时间、夹角等等的几个结论出来，然后学生对这些结论的掌握往往是以死记硬背为主的，很难理解其中的意义，所以在教学中若能带领学生走进生活中，让生活的情景融入生活中，应用于生活中，那学生才有可以真正的理解其意义。
三、研究综述平抛运动是中学物理中的一个重要的内容，相关的研究有不少，比如：陶成龙（新高考）他从当前高考方向的角度分析平抛运动的知识点、重点难点及出题的方向等。
徐德军（中学理科杂志）他主要是分析了平抛运动的规律、推论及在常见的例题中应用。
郝国胜(河北盐山中学)他也是对平抛运动的规律做了分析，推导出其推论，再以例题的方式呈现平抛运动推论的应用。
综述这些已有的论述，主要是有以下几个方面：1、详细分析平抛运动的特点。
2、细解平运动的规律，由规律推导出常见的几个结论。
3、以例题的形式，论述推论的应用。
平抛运动及应用实例
球总是触网或出界。
【例】宇航员站在一星球表面上的某高度 处，沿水平方向抛出一个小球.经过时间t， 小球落到星球表面，测得抛出点与落地点 之间的距离为L.若抛出时的初速度增大到 2倍，则抛出点和落地点之间的距离为 L.
已知两3 落地点在同一水平面上，该星球的
半径为R，万有引力常数为G.求该星球的 质量M.
【解析】由图可以看出，a、b、c、d各位移水平间隔 相等，即各位置间时间间隔相等，设为t，又设初速度 为v0,则v0=2l/t 考虑物体由a到b及由b到c过程的竖直分运动，有：
l=vayt+1/2gt２ , 2l=vbyt+1/2gt２ vby=vay+gt
联立以上三式得：t= l / g
所以v0=2l/t=2 lg
【例5】如图所示，一高度为h=0.2m的水平面在
B点处与一倾角为θ=30°的斜面连接，一小球以
V0=5m/s的速度在平面上向右运动。求小球从A
点运动到地面所需的时间（平面与斜面均光滑，
取g=10m/s2）。某同学对此题的解法为：小球
沿斜面运动，则
h V t 1 g sin t2 , sin 0 2
【解析】本题的情景是平抛运动规律和万有引力定律在探测星球 质量时的综合运用.小球在地球上的平抛规律可以平移到其他星 球上的平抛运动中加以运用，只是加速度不同而已.在平抛运动 中，从同一高度中抛出的尽管初速不同，但是物体从抛出到落地 所经历的时间是一样的.从万有引力定律可知加速度与哪些因素 有关.加速度是联系平抛运动和万有引力的桥梁.
解：设抛出点的高度为h，第一次平抛的水平射程为x，则 有
x2+h2=L2.
由平抛运动规律得知，当初速增大到2倍，其水平射程也 增大到2x，可得 ( 3L)2
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平抛运动的推论及应用
河北 袁振卓
推论 1：做平抛运动的物体在任意时刻任一位置处，
设其末速度方向与水平方向的夹角
为θ，位移与水平的夹角为
，贝 tan θ =2tan
．
1
v y gt y
gt 2
gt
tan 2
v 0 ，
tan
证明：如图 1 所示，由平抛运动规律得 v 0
x
v 0 t
2v 0
所以 tan
2 tan 。
例 1、如图 2 所示，一物体自倾角为θ的固定斜面顶端沿水平方向抛出后落在斜面上．物 体与斜面接触时速度与水平方向的夹角
满足 (
)
A 、 tan sin
B 、 tan cos
C 、 tan
tan
D 、 tan
2 tan
解析：直接根据推论
1，可知正确选项为
D ．
推论 2：做平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移
的中点．
证明：如图 3 所示， B 为 OA 的中点，设平抛物体的初速度为
v
0 ，从原点 O 到 A 点的
时间为 t ， A 点坐标为
( x,0)
， B 点坐标为
( x ',0)
，则
x
y
1
gt 2 ,v y gt
v 0 t ，
2。
又
v y
y x
tan
x'
v 0
x
x 轴的交点 B 必为此刻
x'
，解得
2 。
即末状态速度方向反向延长线与
水平位移 OA 的中点。
例 2、如图 4 所示，将一小球从坐标原点沿着水平轴Ox 以v
02m／ s 的速度抛出，经过
一段时间到达P 点， M 为 P 点在 Ox 轴上的投影，作小球轨迹在P 点的切线并反向延长，与Ox 轴相交于Q 点，已知 QM=3m ，则小球运动的时间为多少
解析：由推论 2 可知， Q 为 OM 的中点，则从 O 点运动到 P 点的过程中，小球发生的水平位移 s 水平 =OM=2QM=6m ．由于水平方向做匀速直线运动，则小球在这段过程中运动的
时间为 t=3s．
推论 3：任意时刻的两个分运动的速度与合运动的速度构成一个矢量直角三角形．
例 3、从空中同一点沿水平方向同时抛出两个小球，它们的初速度方向相反，大小分别
为 v1和 v 2，求经过多长时间两小球速度之间的夹角为90°
解析：设两个小球抛出后经过时间t 它们速度之间的夹角为90°，与竖直方向的夹角分
别为α和β，对两小球分别构建速度矢量直角三角形，如图 5 所示，根据图可得：
gt v 2
cot, tan
v1gt①
又因为
90 ,所以 cottan②
gt v 2
t 1
v1 v2
由①②得v
1
gt
，所以g。
推论 4：任意一段时间内两个分运动的位移与合运动的位移构成一个矢量直角三角形．例
4、如图 6 甲所示，小球 a、 b 分别以大小相等、方向相反的初速度从三角形斜面的
顶点同时水平抛出，已知两斜面的倾角分别为 1 和 2 ，求小球a、b落到斜面上所用的时间之比 (设三角形斜面足够长 )
解析：根据推论 4 作出此时的位移矢量直角三角形如图 6 乙所示，
1gt a2
gt a
tan12
v0 t a2v 0
对 a 有：①
1
gt b2
gt b
tan22
v 0 t b2v 0
对 b 有：②
t a tan1
由①②得t
b tan 2 。