统计假设检验的思想

不涉及备选假设。这种只涉及原假设的统计假设检验问题 称为 显著性假设检验问题。
• 下面我们来讨论，对给定的犯第一类错误的概率 （显著性水平） 在显著性假设
检验问题中，如何来构造一个检验“法则”？
• 如果一个检验法则已经确定，那么临界域 C及其补集C 就完全确定了。在实践中
为了能简化数据，总是去寻找这样一个统计量或样本函数 t t( X1, X 2 , , X n ) ，
• 来定出区域 {t t(x1, x2, , xn) : (x1, x2, , xn)C } ，从而得到临界域 C 。
譬如，我们还拿例1来看：如果原假设：H0 : 1500 成立（为真），那么在新工艺下
的灯泡的平均寿命 X ~ N (1500 ,1600 )。在重复取样下， X 的取值偏离1500较大的较少。
受哪一个的判断。这类假设检验问题常称为 H0 : 对 H1 : 的1 :
二 、假设检验的思想方法
• 在H 0 对 H1 的检验问题中，要作出某种判断，必须从样本 X1, X 2 , , X n 出发，制定出
一个“法则”，一旦样本观测值确定后，我们就可以用所构造的“法则”作出：拒H绝0 ，还 是拒H绝1 的判断。 那么我们的检验“法则”是什么呢？
1、服从 1500 正态分布呢？ 还是 2、仍然服从 1500 的正态分布呢？
若 新产品的寿命是服从 1500 的正态分布，
就说 “ 新产品的寿命 有显著提高 ”；
若新产品的寿命是仍然服从 1500 的正态分布，
就说 “ 新产品的寿命 没有显著提高” 。
• 在上面的例子中，我们可以把涉及到的两种情况用统计假设的形式表示 出来。
•
PH0 (u u ) 成立的 u 值, 从而求出临界域 C {( x1, x2 , , xn ) | u u }。
• 4．若由样本观测值计算出的统计量值 u u( x1, x2 , , xn ) u } ，
•
即样本落入临界域, 则拒绝原假设 H 0 ,否则接受 H 0 。
总结
• 1. 统计假设：对总体分布类型未知或分布参数未知而作的假设。 分为：参数假设、非参数假设，简单假设、复合假设；原假设和备选假设
一.假设检验的概念
我们来看一个例子。
例1：设某厂生产一种灯泡，其寿命服从 N (,1600) 的正态分布，从过去较长
一段时间的生产情况看，灯泡的平均寿命 1500 小时。现在采取新工艺后， 在所生产的灯管中抽取25只测得平均寿命为1650小时。
问：采用新工艺后，灯管的寿命是否有显著提高？
本例的问题就是要我们判断：新产品的寿命是：
(
x1,
x2 ,...,
xn
)
|
x
1500 40
1.65
=
{ ( x1, x2 ,..., xn ) | x 1566 }
• 而实际上，在采用新工艺后，对25只灯泡的平均寿命观测值 xs 1675 ；
• 显然 xs 1675
设,并且说: X
>1566, 这组样本落入了临界域(拒绝域)C, 因此我们就拒绝原假 与1500有显著差异。
据。为此，我们以“ H0 : 1500 即寿命没有提高”作为原假设，以“H1 : 1500 寿命显 著提高”作为备选假设。（2）有时，原假设的选定还要考虑数学上的处理方便。
•
在许多问题中，总体分布的类型为已知，仅仅是其分布函数中的一个或几个参数为
未知，只要对这一个或几个参数的值作出假设，就可以完全确定总体的分布。如上例只
– 例如：设某种蔬菜的农药残留量X 的分布函数为 F（x）,
– H0 : F(x) {对数正态分布族} ； H1 : F(x) { 正态分布族} 都是 非参数假设。
• 从上面我们看到，一个统计假设是对总体分布状态的一种陈述。如果一个统计假设可完全 确定总体的分布，则称这种假设为：简单统计假设 或 简单假设。否则，称为：复合统计 假设 或 简称 复合假设。
• 如此，就把对样本空间的划分问题转化为对统计量的值域空间的划分问题。 由于样本空间是 n 维的，而统计量的值域空间是 1 维 的，所以通过构造合 适的统计量可以使寻找临界域的问题变得简单多了。
{t t(x1, x2, , xn) : (x1, x2, , xn)C }
(x1, x2, , xn)C
• 例如 ：H0 : 1500 完全确定总体的分布，是简单假设；
•
而 ： H1 : 1500 是复合假设。
• 统计假设检验问题 的 一般提法是： 在给定备选假设下，对原假设作出判断。
若拒绝原假设 H0，: 那就意味着接受备选假设 H1 :； 否则，就接受原假设H0 : 。
•
简单地说，统计假设检验问题，就是要在原假设 H0 : 备选假设 H1 :中作出拒绝哪一个接
今后，我们把任意一个有关总体分布不确定的假设
称为统计假设或简称假设。
• 至于在两个假设中用哪个作为原假设，哪个作为备选假设呢?
•
要看具体的目的和要求而定。（1）一般，假如我们的目的是希望从样本观测值对
某一陈述取得强有力的支持，我们就将这一陈述的否定作为原假设，而把陈述本身作为
备选假设。对例1我们作的统计假设就是这样的。因为，新工艺是延长灯泡寿命的一种革 新，我们当然希望新工艺能使灯泡的寿命确有提高，但它又不象老产品那样有较多的数
因为人们常常把错误地拒绝H 0比错误地接受 H 0 看得更重要些。尽管基于奈曼与皮尔逊的
这一原则可以去讨论寻找最优检验的问题，但是有时最优检验法则很难找到，甚至可能
不存在。因而，我们不得不将奈曼与皮尔逊的这一原则放宽：只对犯第一类错误的概率 加以限制，而不考虑犯第二类错误的概率 。如此，在寻找临界域时只涉及原假设，而
的 u( x1, x2 , , xn ) u 时就拒绝 H0 : ，否则就接受 H0 : 。
那么，临界域 C {( x1, x2 , , xn ) | u( x1, x2 , , xn ) u }
• 比如取 0.05 ，查标准正态分布表知 u0.05 1.65 ，从而得到临界域：
•
C
• 它应该是以定义在样本空间上的一个样本函数为依据所构成的一个“准则”。一
旦样本观测值确定后，我们就可以根据这个“准则”作出：“拒H绝0 ”，还是 H1 “拒绝 的”判断。 我们的检验准则本质上就是：把样本空间划分成两个互不相交的子集 C 和C ，（子空间）
使得当样本观测值点 ( x1, x2 , , xn ) C 时，我们就将拒绝原假设（也即接受备选 假设）；否则，( x1, x2 , , xn ) C 我们将接受原假设（也即拒绝备选假设）。
2. 统计假设检验问题：原假设对备选假设的检验问题。要作出拒绝原假 设还是拒绝备选假设的判断问题。
3、统计假设检验中的判断性错误有两类： 第一类错误：拒真、弃真错误；第二类错误：受假、受伪错误。
4、统计假设检验的思想方法： 本质是：对样本空间的划分，从而确定临界域。通过选择或构造
要对 作出假设即可。
•
这种仅涉及到总体分布的未知参数的统计假设 称为：参数假设。
•
在有些实际问题中，我们不知道总体分布的具体类型。比如：某种蔬菜的农药残留量，
它可能服从对数正态分布，也可能服从其它分布。因此，对它的统计假设就只能对未知
分布的类型或它的某些特征提出某种假设。
•
这种不同于参数假设的统计假设称为：非参数假设。
• 并记 {t t(x1, x2, , xn ) : (x1, x2, , xn )C }
•及
{t t(x1, x2, , xn) : (x1, x2, , xn)C }
• 于是 P（t | H 0 为真 ）= P（ (x1, x2 , , xn ) C | H 0 为真 ）=
• 这样就可以做出等价的判断：当 t 时，就拒绝 H 0 ；否则，就接受 H 0。
统计假设检验的 概念 和
思想方法
引言
前一章中我们讨论了如何根据样本去得到总体分布中所含参数的 最优（优良）估计。
用参数估计方法得到的总体参数的优良估计值，去代替总体分 布的未知参数而得到的“总体”，与真的总体作比较，就要考察它
们 之间是否在统计意义上相拟合，尽管这种比较也只能在样本的基础 上进行。那么，怎样在样本的基础上做出一个有较大把握的结论， 就是统计假设检验问题。事实上，实际中很多统计问题都可以作为 统计假设检验问题予以解决。
• 那么，为什么能做出拒绝 H0 :的决定呢？
• 或者，换句话说，为什么能把 { ( x1, x2 ,..., xn ) | x 1566 } 作为临界域C呢？
• 因为，在 1500下， P(X 1566 ) ， 0.05 ，这意味着 “X 1566 ”是一个小概率
事件。根据小概率事件在一次试验中实际不可能发生的推断原理，现在在一次试 验（观察）中竟然出现了，所以我们甘愿冒犯第一类错误的风险而拒绝原假设。
这样的划分构成一个准则，我们称这样的样本空间的子集 C 为假设检验的临界域（或 拒绝域）。
( x1, x2 , , xn ) C
C
H0
H1
C
(x1, x2 , , xn ) C
H1
H0
• 反之， 一旦我们给出了某个检验“准则”，也就给出了样本空间的一个“划分”。
• 由于样本的随机性，在进行判断时，我们还是有可能犯 两类错误：
当 H1 为真（ H 0为假）
正确
犯第二类错误
• 第一类（弃真、拒真）错误发生的概率称为犯第一类错误的概率 或 拒真概率。
•
通常记为 ，即： P（ 拒绝H 0 | H 0为真 ）=
• 第二类（受假、受伪）错误发生的概率称为犯第二类错误的概率 或 受伪概率。
•
通常记为 ，即： P（ 接受 H 0 | H 0 为假 ）= 。
– 第一个统计假设： 1500。称为原假设，用符号： H0 : 表示。 H0 : 1500 ， 表示 “采用新工艺后，灯管寿命没有显著提高。”