06-07-1A《量子力学》试题及答案
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3. 一 个 质 量 为 m 的 粒 子 在 势 V ( x) 作 用 下 作 一 维 运 动 。 假 定 它 处 在 E
3. 给出如下对易关系：
y , Lz
L , p
y z
L
x
, Lz
y
,
x
( r , / 2 ) ， 4. 完全描述电子运动的旋量波函数为 ( r , s z ) ( r , / 2)
准确叙述
院/系
( r , / 2)
① 该量子态是否为能量算符 H 的本征态？（4 分） ② 对该系统进行能量测量，其可能的结果及其所对应的概率为何？（4 分） ③ 处于该量子态粒子能量的平均值为多少？（4 分） 解：① 在此一维势箱中运动的粒子，其波函数和能量表达式为
n x sin , n a a ,
n
1 (a ) n 0 。 n!
7. 相互不对易的力学量是否一定没有共同的本征态？试举例加以说明。 解 ： 相 互 不 对 易 的 力 学 量 可 以 有 共 同 的 本 征 态 。 例 如 ： Lx , Ly , Lz 相 互 不 对 易 ， 但
f (r )Y00 （，）
8. 对于阶梯形方势场
共6页 第3页
11. 在 t 0 时刻，氢原子处于状态
1 1 1 r ,0 C 1 r 2 r 3 r 3 2 2
式中， n r 为氢原子的第 n 个能量本征态。计算 t 0 时能量取各值的概率与平均值，写出 t 0 时的波 函数。 （12 分）
1
QM2006 下学期（A）参考答案及评分标准 6. 给出一维谐振子升、降算符 a 、 a 的对易关系式；粒子数算符 N 与 a 、 a 的关系；哈密顿量 H 用 N 或a 、 a 表示的式子； N （亦即 H ）的归一化本征态。
解：
[ a , a ] 1,
N aa ,
1 1 H aa N ， 2 2
3
QM2006 下学期（A）参考答案及评分标准 解：氢原子的本征解为
En
e4 1
2 2 n 2
nlm r Rnl r Ylm ,
其中，量子数的取值范围是
n 1, 2 , 3 , ； l 0 , 1, 2 , , n 1 ；
由波函数归一化条件可知归一化常数为
1 4
f (r ) 就是它们的共同本征态，本征值皆为 0（ f (r ) 是 r 的任意函数） 。
V1 , V ( x) V2 ,
xa xa
，
如果（ V2 V1 ）有限，则定态波函数 ( x) 连续否？其一阶导数 解：定态波函数 ( x) 连续；其一阶导数
( x) 连续否？
安徽大学 2006—2007 学年第 1 学期
------------------------------装---------------------------------------------订----------------------------------------线----------------------------------------
E1
其出现的概率分别为
2 2 9 2 2 , E 3 2 a 2 2 a 2
1 1 , 4 2
③ 能量测量的平均值为
2
3 3 2 4
2
E
2 2 1 3 7 2 2 1 3 E1 E3 9 2 4 4 2 a 2 4 4 2 a
p y [ Lx , p y ] [ Lx , p y ] p y p z [ Lx , p z ] [ Lx , p z ] p z i p y p z p z p y i p z p y p y p z 0 ；
同理，
Baidu NhomakorabeaLy , p 2 ] 0 ，
m l , l 1,, 0 ,, l 1, l
1 1 1 C 2 3 2
能量取各值的概率为
1 / 2
3 2
3 1 W E1 W E3 ； W E 2 8 4
能量平均值为
4 3 E1 E3 1 E 2 e2 8 4 2
E
3 1 1 1 8 1 9 4 4
23 e 4 23 23 2 E1 13.6 eV 6.52 eV 48 2 48 48
当 t 0 时，波函数为
3 3 i 1 i i r , t 1 r exp E1t 2 r exp E 2 t 3 r exp E3t 8 8 2
《 量子力学 》考试试卷（A 卷）
（时间 120 分钟）
题 号 得 分 阅卷人 一 二 三 四 五 六 七 总分
一、简答题（每小题 4 分，共 32 分）
1. 束缚态、非束缚态及相应能级的特点。
得
分
学号
装 订 线
姓名
答
题
勿
超
2.（L , L z） 的共同本征函数是什么？相应的本征值又分别是什么？
2
专业
2. 在 t 0 时刻，氢原子处于状态
1 1 1 r ,0 C 1 r 2 r 3 r 3 2 2
式中， n r 为氢原子的第 n 个能量本征态。计算 t 0 时能量取各值的概率与平均值，写出 t 0 时的波 函数。 （12 分）
2
及
d
3
r (r , / 2)
2
分别表示什么样的物理意义。
《量子力学》试卷
共6页 第1页
5. 二电子体系中，总自旋 S s1 s 2 ，写出（ S , S z ）的归一化本征态（即自旋单态与三重态） 。
2
a 的对易关系式；粒子数算符 N 与 a 、 a 的关系；哈密顿量 H 用 6. 给出一维谐振子升、降算符 a 、
xa x或 xa
En
对波函数的分析可知
n 2 2 2 , n 1, 2 , 3 , 2 a 2
( x) 1 ( x)
1 2
3 3 ( x) 2
即粒子处在 1 ( x) 和 3 ( x) 的叠加态，该量子态不是能量算符 H 的本征态。 ② 由于 ( x) 是能量本征态 1 ( x) 和 3 ( x) 的线性组合，而且是归一化的，因此能量测量的可能值为
2 2
L2Ylm ( , ) l (l 1) 2Ylm ( , ) ,
3. 给出如下对易关系：
L z Ylm ( , ) mYlm ( , ) 。
y , Lz ?
解：
L , p ?
y z
L
x
x
, Lz ?
y
,
x
?
准确叙述 解：
( r , / 2)
2
2
及
d 3 r ( r , / 2)
2
分别表示什么样的物理意义。
r , / 2
表示电子自旋向上（ s z 2 ） 、位置在 r 处的几率密度；
2
d
2
3
r r , / 2
表示电子自旋向下（ s z 2 ）的几率。
《量子力学》试卷
共6页 第5页
13. 对于非谐振子， H
2 d 2 x 4 ，取试探波函数为 2 2 dx
0 x
1/ 4
e
2 2
x /2
（18 分） （与谐振子基态波函数形式相同） ， 为参数，用变分法求基态能量。
《量子力学》试卷
共6页 第6页
QM2006 下学期（A）参考答案及评分标准
( x)
x 3 x 21 3 sin sin a a a 2 2
① 该量子态是否为能量算符 H 的本征态？ ② 对该系统进行能量测量，其可能的结果及其所对应的概率为何？ ③ 处于该量子态粒子能量的平均值为多少？ （三小题各 4 分，共 12 分）
《量子力学》试卷
《量子力学》试卷
共6页 第2页
二、证明题（第 9 题 10 分，共 10 分）
2
得
分
9. 在直角坐标系中，证明： [ L , p ] 0 ，其中 L 为角动量算符， p 为动量算符。
三、计算题（4 小题，共 58 分）
得
分
10. 一质量为 m 的粒子在一维势箱 0 x a 中运动，其量子态为
《量子力学》试卷
共6页 第4页
12. 一 个 质 量 为 m 的 粒 子 在 势 V ( x) 作 用 下 作 一 维 运 动 。 假 定 它 处 在 E
2 2 的能量本征态 2m
2 ( x)
1/ 4
e
2 2
x
2
，
① 求粒子的平均位置； ② 求粒子的平均动量； ④ 求粒子的动量在 p p dp 间的几率。 ③ 求 V ( x) ； （四小题各 4 分，共 16 分）
。 5. 二电子体系中，总自旋 S s1 s 2 ，写出（ S , S z ）的归一化本征态（即自旋单态与三重态）
2
解： （ S , S z ）的归一化本征态记为 SM S ，则 自旋单态为
00
1 (1) (2) (1) (2) 2
自旋三重态为
11 (1) (2) 1 (1) (2) (1) (2) 10 2 11 (1) (2)
2006-2007 学年第 1 学期《量子力学》 （A 卷） 参考答案及评分标准
一、简答题（每小题 4 分，共 32 分）
1. 束缚态、非束缚态及相应能级的特点。 答：束缚态：粒子在一定范围内运动， r 时， 0 。能级分立。 非束缚态：粒子的运动范围没有限制， r 时， 不趋于 0。能级连续分布。 2. （L , L z） 的共同本征函数是什么？相应的本征值又分别是什么？ 解： L , L z 的共同本征函数是球谐函数 Ylm ( , ) 。
所以
[ Lz , p 2 ] 0
[L , p 2 ] 0
2
QM2006 下学期（A）参考答案及评分标准
三、计算题（4 小题，共 58 分）
1. 一质量为 m 的粒子在一维势箱 0 x a 中运动，其量子态为
( x)
x 3 x 21 3 sin sin a2 a a 2
y
y , Lz ix
L , p ip
y z
L
x
, L z iL y
,
x
2i
z
( r , / 2 ) 4. 完全描述电子运动的旋量波函数为 ( r , s z ) ， ( r , / 2 )
N 或 a 、 a 表示的式子； N （亦即 H ）的归一化本征态。
7. 相互不对易的力学量是否一定没有共同的本征态？试举例加以说明。
8. 对于阶梯形方势场
V1 , V ( x) V2 ,
xa xa
，
如果（ V2 V1 ）有限，则定态波函数 ( x) 连续否？其一阶导数
( x) 连续否？
( x) 也连续。
二、证明题（每小题 10 分，共 10 分） 2 1. 在直角坐标系中，证明： [ L , p ] 0 ，其中 L 为角动量算符， p 为动量算符。
证：
2 2 2 [ Lx , p 2 ] [ Lx , p x py p z2 ] [ Lx , p y ] [ L x , p z2 ]
3. 给出如下对易关系：
y , Lz
L , p
y z
L
x
, Lz
y
,
x
( r , / 2 ) ， 4. 完全描述电子运动的旋量波函数为 ( r , s z ) ( r , / 2)
准确叙述
院/系
( r , / 2)
① 该量子态是否为能量算符 H 的本征态？（4 分） ② 对该系统进行能量测量，其可能的结果及其所对应的概率为何？（4 分） ③ 处于该量子态粒子能量的平均值为多少？（4 分） 解：① 在此一维势箱中运动的粒子，其波函数和能量表达式为
n x sin , n a a ,
n
1 (a ) n 0 。 n!
7. 相互不对易的力学量是否一定没有共同的本征态？试举例加以说明。 解 ： 相 互 不 对 易 的 力 学 量 可 以 有 共 同 的 本 征 态 。 例 如 ： Lx , Ly , Lz 相 互 不 对 易 ， 但
f (r )Y00 （，）
8. 对于阶梯形方势场
共6页 第3页
11. 在 t 0 时刻，氢原子处于状态
1 1 1 r ,0 C 1 r 2 r 3 r 3 2 2
式中， n r 为氢原子的第 n 个能量本征态。计算 t 0 时能量取各值的概率与平均值，写出 t 0 时的波 函数。 （12 分）
1
QM2006 下学期（A）参考答案及评分标准 6. 给出一维谐振子升、降算符 a 、 a 的对易关系式；粒子数算符 N 与 a 、 a 的关系；哈密顿量 H 用 N 或a 、 a 表示的式子； N （亦即 H ）的归一化本征态。
解：
[ a , a ] 1,
N aa ,
1 1 H aa N ， 2 2
3
QM2006 下学期（A）参考答案及评分标准 解：氢原子的本征解为
En
e4 1
2 2 n 2
nlm r Rnl r Ylm ,
其中，量子数的取值范围是
n 1, 2 , 3 , ； l 0 , 1, 2 , , n 1 ；
由波函数归一化条件可知归一化常数为
1 4
f (r ) 就是它们的共同本征态，本征值皆为 0（ f (r ) 是 r 的任意函数） 。
V1 , V ( x) V2 ,
xa xa
，
如果（ V2 V1 ）有限，则定态波函数 ( x) 连续否？其一阶导数 解：定态波函数 ( x) 连续；其一阶导数
( x) 连续否？
安徽大学 2006—2007 学年第 1 学期
------------------------------装---------------------------------------------订----------------------------------------线----------------------------------------
E1
其出现的概率分别为
2 2 9 2 2 , E 3 2 a 2 2 a 2
1 1 , 4 2
③ 能量测量的平均值为
2
3 3 2 4
2
E
2 2 1 3 7 2 2 1 3 E1 E3 9 2 4 4 2 a 2 4 4 2 a
p y [ Lx , p y ] [ Lx , p y ] p y p z [ Lx , p z ] [ Lx , p z ] p z i p y p z p z p y i p z p y p y p z 0 ；
同理，
Baidu NhomakorabeaLy , p 2 ] 0 ，
m l , l 1,, 0 ,, l 1, l
1 1 1 C 2 3 2
能量取各值的概率为
1 / 2
3 2
3 1 W E1 W E3 ； W E 2 8 4
能量平均值为
4 3 E1 E3 1 E 2 e2 8 4 2
E
3 1 1 1 8 1 9 4 4
23 e 4 23 23 2 E1 13.6 eV 6.52 eV 48 2 48 48
当 t 0 时，波函数为
3 3 i 1 i i r , t 1 r exp E1t 2 r exp E 2 t 3 r exp E3t 8 8 2
《 量子力学 》考试试卷（A 卷）
（时间 120 分钟）
题 号 得 分 阅卷人 一 二 三 四 五 六 七 总分
一、简答题（每小题 4 分，共 32 分）
1. 束缚态、非束缚态及相应能级的特点。
得
分
学号
装 订 线
姓名
答
题
勿
超
2.（L , L z） 的共同本征函数是什么？相应的本征值又分别是什么？
2
专业
2. 在 t 0 时刻，氢原子处于状态
1 1 1 r ,0 C 1 r 2 r 3 r 3 2 2
式中， n r 为氢原子的第 n 个能量本征态。计算 t 0 时能量取各值的概率与平均值，写出 t 0 时的波 函数。 （12 分）
2
及
d
3
r (r , / 2)
2
分别表示什么样的物理意义。
《量子力学》试卷
共6页 第1页
5. 二电子体系中，总自旋 S s1 s 2 ，写出（ S , S z ）的归一化本征态（即自旋单态与三重态） 。
2
a 的对易关系式；粒子数算符 N 与 a 、 a 的关系；哈密顿量 H 用 6. 给出一维谐振子升、降算符 a 、
xa x或 xa
En
对波函数的分析可知
n 2 2 2 , n 1, 2 , 3 , 2 a 2
( x) 1 ( x)
1 2
3 3 ( x) 2
即粒子处在 1 ( x) 和 3 ( x) 的叠加态，该量子态不是能量算符 H 的本征态。 ② 由于 ( x) 是能量本征态 1 ( x) 和 3 ( x) 的线性组合，而且是归一化的，因此能量测量的可能值为
2 2
L2Ylm ( , ) l (l 1) 2Ylm ( , ) ,
3. 给出如下对易关系：
L z Ylm ( , ) mYlm ( , ) 。
y , Lz ?
解：
L , p ?
y z
L
x
x
, Lz ?
y
,
x
?
准确叙述 解：
( r , / 2)
2
2
及
d 3 r ( r , / 2)
2
分别表示什么样的物理意义。
r , / 2
表示电子自旋向上（ s z 2 ） 、位置在 r 处的几率密度；
2
d
2
3
r r , / 2
表示电子自旋向下（ s z 2 ）的几率。
《量子力学》试卷
共6页 第5页
13. 对于非谐振子， H
2 d 2 x 4 ，取试探波函数为 2 2 dx
0 x
1/ 4
e
2 2
x /2
（18 分） （与谐振子基态波函数形式相同） ， 为参数，用变分法求基态能量。
《量子力学》试卷
共6页 第6页
QM2006 下学期（A）参考答案及评分标准
( x)
x 3 x 21 3 sin sin a a a 2 2
① 该量子态是否为能量算符 H 的本征态？ ② 对该系统进行能量测量，其可能的结果及其所对应的概率为何？ ③ 处于该量子态粒子能量的平均值为多少？ （三小题各 4 分，共 12 分）
《量子力学》试卷
《量子力学》试卷
共6页 第2页
二、证明题（第 9 题 10 分，共 10 分）
2
得
分
9. 在直角坐标系中，证明： [ L , p ] 0 ，其中 L 为角动量算符， p 为动量算符。
三、计算题（4 小题，共 58 分）
得
分
10. 一质量为 m 的粒子在一维势箱 0 x a 中运动，其量子态为
《量子力学》试卷
共6页 第4页
12. 一 个 质 量 为 m 的 粒 子 在 势 V ( x) 作 用 下 作 一 维 运 动 。 假 定 它 处 在 E
2 2 的能量本征态 2m
2 ( x)
1/ 4
e
2 2
x
2
，
① 求粒子的平均位置； ② 求粒子的平均动量； ④ 求粒子的动量在 p p dp 间的几率。 ③ 求 V ( x) ； （四小题各 4 分，共 16 分）
。 5. 二电子体系中，总自旋 S s1 s 2 ，写出（ S , S z ）的归一化本征态（即自旋单态与三重态）
2
解： （ S , S z ）的归一化本征态记为 SM S ，则 自旋单态为
00
1 (1) (2) (1) (2) 2
自旋三重态为
11 (1) (2) 1 (1) (2) (1) (2) 10 2 11 (1) (2)
2006-2007 学年第 1 学期《量子力学》 （A 卷） 参考答案及评分标准
一、简答题（每小题 4 分，共 32 分）
1. 束缚态、非束缚态及相应能级的特点。 答：束缚态：粒子在一定范围内运动， r 时， 0 。能级分立。 非束缚态：粒子的运动范围没有限制， r 时， 不趋于 0。能级连续分布。 2. （L , L z） 的共同本征函数是什么？相应的本征值又分别是什么？ 解： L , L z 的共同本征函数是球谐函数 Ylm ( , ) 。
所以
[ Lz , p 2 ] 0
[L , p 2 ] 0
2
QM2006 下学期（A）参考答案及评分标准
三、计算题（4 小题，共 58 分）
1. 一质量为 m 的粒子在一维势箱 0 x a 中运动，其量子态为
( x)
x 3 x 21 3 sin sin a2 a a 2
y
y , Lz ix
L , p ip
y z
L
x
, L z iL y
,
x
2i
z
( r , / 2 ) 4. 完全描述电子运动的旋量波函数为 ( r , s z ) ， ( r , / 2 )
N 或 a 、 a 表示的式子； N （亦即 H ）的归一化本征态。
7. 相互不对易的力学量是否一定没有共同的本征态？试举例加以说明。
8. 对于阶梯形方势场
V1 , V ( x) V2 ,
xa xa
，
如果（ V2 V1 ）有限，则定态波函数 ( x) 连续否？其一阶导数
( x) 连续否？
( x) 也连续。
二、证明题（每小题 10 分，共 10 分） 2 1. 在直角坐标系中，证明： [ L , p ] 0 ，其中 L 为角动量算符， p 为动量算符。
证：
2 2 2 [ Lx , p 2 ] [ Lx , p x py p z2 ] [ Lx , p y ] [ L x , p z2 ]