上海交通大学材料力学课件_应力状态

1
应力状态/平面应力状态的极值与主应力
（3）绘出主应力单元体。
C
30
D 30
o
2
C(20,10 3)
b
2
120º
a
1
120º
D(20,10 3)
1
1
材料力学
2
应力状态/平面应力状态的极值与主应力
★分析：
C
1.本题亦可用解析法求解。
30
D 30
2.在某些情况下，单元体可以不取立方体，如平面应
力状态问题，零应力面可以取矩形、三角形等，只要
oa
ob
ba
ob
bc tan 60
C(20,10 3)
20
10 tan
3 60
30MPa
半径 ca (ba)2 (bc)2
120º
b
o 2
a
120º
(10
3)2
(
10 tan
3 60
)
2
20MPa
D(20,10 3)
因此主应力为： 1 oa ca 50MPa,
材料力学
2 oa ca 10MPa, 3 0.
2qp
OE C D
材料力学
应力状态/平面应力状态的极值与主应力
例1：一点处的平面应力状态如图所示。已知 30,
x 60MPa , xy 30MPa. y 40MPa, 试求（1）斜面上的应力；（2）主应力、主平面；
（3）绘出主应力单元体。
40
D
A 30MPa
60MPa
材料力学
应力状态/平面应力状态的极值与主应力
2
(
x
y
)2
2
xy
2
48.3MPa
1 68.3MPa, 2 0, 3 48.3MPa
材料力学
应力状态/平面应力状态的极值与主应力
主平面的方位：
tan
2q p
2 xy x
y
60 60 40
0.6
40
30MPa
60MPa
qp1 15.48, qp2 15.48 90 105.48
应力状态/应力圆
3.几种对应关系
点面对应——应力圆上某一点的坐
标值对应着微元某一方向上的正应
力和切应力 。
y
yx
a ( a , a )
A xy
c
x
材料力学
应力状态/应力圆
转向对应——半径旋转方向与方向面法线旋转 方向一致；
二倍角对应——半径转过的角度是方向面旋转
角度的两倍。
ty
n
x
a'
A
2
(ax ,xy)
30
z
x
解：1) x面为
主平面之一
3
0 50MPa
材料Fra Baidu bibliotek学
10
o
C
2 1(MPa)
1 58
2 50
3 27
D
max 43
应力状态/广义胡克定律，应变比能
例3：已知一圆轴承受轴向拉伸及扭转的联合作用。为了
测定拉力F和力矩m，可沿轴向及与轴向成45°方向测出
线应变。现测得轴向应变 0 500106， 45°方向的应变 为 u 400106。若轴的直径D=100mm,弹性模量E=200
t
pD
2
材料力学
应力状态/平面应力状态的极值与主应力
x t
t
承受内压薄壁容器 任意点的应力状态:
x
材料力学
应力状态/三向应力状态的概念 例：求图示单元体的主应力和最大切应力。（M P a）
y
B A 40 C 50
D/
（M Pa）max
2) 建立应力坐标系如图， 画y—z平面的应力圆及 三向应力圆得:
已知和零应力面垂直的任意两个面上的应力，就可以
求出其他任意斜截面上的应力以及主应力。例如：
材料力学
应力状态/平面应力状态的极值与主应力
D ( , )
D ( , )
3 o
a
1
4.一点处的应力状态有不同的表示方法，而用主 应力表示最为重要。
材料力学
应力状态/三向应力状态的概念
◆ 重要应用实例
承受内压薄壁容器任意点的应力状态
20MPa, 10 3MPa; 60 , 20MPa , 10 3MPa.
求（1）主应力；（2）绘出主应力单元体。
C
30
D 30
C(20,10 3)
b
o 2
120º
a
1
120º
D(20,10 3)
材料力学
解： （1）作应力圆
应力状态/平面应力状态的极值与主应力
（2）根据应力圆的几何关系确定主应力
哪个主应力对应于哪一个主方向，可以采用以下方法：
材料力学
应力状态/平面应力状态的极值与主应力
主应力 1 的方向：q p1 15.5,
+
60MPa
主应力 3 的方向：q p2 105.5
40MPa
+
30MPa 30MPa
材料力学
应力状态/平面应力状态的极值与主应力
例2：一点处的平面应力状态如图所示。已知 60 ,
E
0
500106
材料力学
应力状态/广义胡克定律，应变比能
解得：
F
xA
785kN
E 0
A
200109 500106
材料力学
2
2
应力状态/平面应力状态的极值与主应力
主应力单元体：
3
q p1 1
1 68.3MPa, 2 0, 3 48.3MPa
材料力学
应力状态/平面应力状态的极值与主应力
（二）解析法
40
（1）斜面上的应力
x
y
2
x
y
2
cos 2
xy sin 2
30MPa 60 40 60 40 cos(60 ) 30sin(60 )
（壁厚为t，内直径为d，t<<d，内压为p）
x t
l
ｐ
材料力学
应力状态/平面应力状态的极值与主应力
x
x(p D) ｐ
Ｄ
ｐπD２ ４
x
Fx 0
x (πD
)
p
πD2 4
材料力学
x
pD
4
应力状态/平面应力状态的极值与主应力
ｐ×Ｄ× l
Fy 0
t
ｐ
t
t (2 l)
t (2 l) p(D l)
2
2
60MPa 9.02MPa
x
y
2
sin 2
xy
cos 2
60 40 sin(60 ) 30cos(60 ) 2
58.3MPa
材料力学
应力状态/平面应力状态的极值与主应力 （2）主应力、主平面
x y
2
(
x
y
)2
2 xy
2
68.3MPa
40
30MPa
60MPa
x y
GPa,泊松比=0.3。试求F和m的值。
mu
F
k
F
45°
m u
材料力学
应力状态/广义胡克定律，应变比能
解：（1）K点处的应力状态分析
在K点取出单元体：
y
其横截面上的应力分量为：
K x x
由广义胡克定律：
x
FN A
F, A
x
Mn Wp
m Wp
m π D3
16
（2）计算外力F
( ) x
1 E
x
y
z
x
解：（一）、图解法 3 48.3MPa
1 68.3MPa
40
a(40,30)
30MPa
60MPa
e
tan 2q p
2 xy x y
0.6
qp 15.48
(10,0)
f
o c 2q p
60
b(60,30)
d (9.02,58.3)
R (60 (40))2 ( 30 30 )2 58.31MPa