上海交通大学材料力学课件_应力状态
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《材料力学》课件7-5空间应力状态下的应变能密度
02
应变能密度
应变能密度的定义
1
应变能密度是描述材料在应力状态下所储存的能 量的密度，其单位为J/m³。
2
它表示单位体积内的应变能，是材料力学中一个 重要的概念，用于分析材料的稳定性和强度。
3
应变能密度是应变能和体积的比值，反映了材料 在受力过程中抵抗变形的能力。
应变能密度的影响因素
材料的弹性模量
《材料力学》课件7-5空间应 力状态下的应变能密度
目
CONTENCT
录
• 空间应力状态 • 应变能密度 • 空间应力状态下的应变能密度 • 应变能密度在材料力学中的应用 • 结论与展望
01
空间应力状态
空间应力状态的定义
空间应力状态是指在三维空间中，各点的应力和应变状态随时间 和空间位置的变化而变化的状态。
弹性模量是材料在受力时抵抗变形的能力，弹性模 量越大，相同应力下材料的应变能密度越小。
应变状态
应变状态对应变能密度有显著影响，空间应力状态 下，不同方向的应变对应的应变能密度不同。
应力状态
应力状态对应变能密度有较大影响，例如，在复杂 应力状态下，剪切应力和弯曲应力对应的应变能密 度较高。
应变能密度的计算方法
应变能密度与材料性能的关系
应变能密度与材料的弹性模量、泊松比、屈服强度等力学性能参数密切相关。通过分析应 变能密度，可以深入了解材料的力学响应和破坏机理。
空间应力状态下应变能密度的计算方法
计算空间应力状态下应变能密度的方法主要包括基于弹性理论的解析方法和有限元分析方 法。这些方法能够考虑应力状态的空间变化，提供更准确的应变能密度值。
它描述了物体在受力作用下的应力分布和应力变化情况，是材料 力学中研究物体变形和破坏的重要基础。
材料力学8-3-平面应力状态分析-课件
02
平面应力状态分析的基本概念
应力状态
1 2
定义
应力状态是指物体在某一点处的应力分布情况。
表示方法
通常采用主应力、应力张量和应力矩阵来表示。
3
分类
根据应力分量的变化规律，可分为平面应力状态、 空间应力状态和轴对称应力状态。
平面应力状态
定义
平面应力状态是指物体在某一平面内 的应力分布情况，其应力分量只有三 个，即σx、σy和τxy。
材料力学8-3-平面应力状 态分析-课件
• 引言 • 平面应力状态分析的基本概念 • 平面应力状态的分类与表示 • 平面应力状态的平衡方程与几何方程 • 平面应力状态分析的实例 • 总结与展望
01
引言
平面应力状态分析的定义
平面应力状态分析是材料力学中一个重要的概念，它主要研究物体在受力时，其内 部应力的分布情况。
特点
在平面应力状态下，物体内的剪切力分 量τxy与正应力分量σx、σy成比例关系， 即剪切力分量与正应力分量成正比。
应力分量与主应力
定义
主应力与材料性质的关系
应力分量是指物体在某一点处各个方 向的应力值，而主应力则是应力分量 中的最大和最小值。
主应力的大小反映了材料在该点所受 的应力和应变状态，与材料的弹性模 量、泊松比等性质有关。
应力集中系数
为了描述应力集中的程度，引入了应力集中系数，该系数反映了孔 边应力和平均应力的比值。
弯曲梁的平面应力状态分析
弯曲梁
当梁受到垂直于轴线的力矩作用时，梁发生 弯曲变形。
平面应力状态
在弯曲梁的横截面上，剪应力和正应力的分布情况 。
弯矩和剪力的关系
通过分析剪应力和正应力的分布和大小，可 以确定梁的弯矩和剪力之间的关系，从而进 行受力分析和设计。
高等材料力学课件第二章应力状态
应变与应力之间的关系
应变和应力之间存在着密切的关系。应变是材料变形程度的度量，而应力是 材料受力的表现。了解应变与应力之间的关系可以帮助我们更好地分析和控 制材料的行为。
应力的平面转动
应力的平面转动是指在不同的坐标系下，应力分量的变化。通过对应力的平 面转动进行研究，我们可以更好地理解材料在不同坐标系下的受力情况应力。掌握主应力和主应力方 向的概念可以帮助我们识别和分析材料的受力情况。
应力状态的分类
应力状态可以分为三种基本形式：平面应力、轴对称应力和空间应力。通过分类应力状态，我们可以更好地理解材 料在不同条件下的受力行为。
平面应力和轴对称应力
平面应力是指只存在于某一平面上的应力，而轴对称应力是指具有旋转对称 性的应力。通过研究平面应力和轴对称应力，我们可以更好地分析材料在不 同维度上的受力情况。
平面应力下的摩尔-库仑方程
摩尔-库仑方程是描述平面应力下材料力学行为的重要方程。通过掌握摩尔-库仑方程，我们可以更好地分析和预测 材料在平面应力下的受力行为。
高等材料力学课件第二章 应力状态
在本章中，我们将深入探讨应力的概念和定义，重点介绍主应力和主应力方 向的概念，以及应力状态的分类以及平面应力和轴对称应力的特点。
应力的定义和概念
了解应力是理解材料行为的关键。应力是材料内部的力，是单位面积上的力。通过深入研究应力的定义和概念，我 们可以更好地理解材料的力学行为。
材料力学精品课件《应力状态和强度理论》
h b
解：k点为纯剪切应力状态，单元体如图所示。
F FS 2
3FS 3F 2 A 4bh
（a）
3FS 3F 2 A 4bh
（a）
1
2 0
3
（c）
（b）
y
由广义胡克定律 1 K 1 1 ( 2 3 ) E
1
y
应力圆的作法：
y
x
x
x
x
D
o
最大和最小切应力的表达式：
y
B C D′ A
max 1 2 2 min
x
§7-4 三向应力状态简介
当一点处的三个主应力都不等于零时，称该点处的应
力状态为空间应力状态(三向应力状态)；钢轨在轮轨触点
处就处于空间应力状态(图a)。
一、 三向应力圆
已知受力物体内某一点处三个 主应力 1、2、3
利用应力圆确定该点的最大 正应力和最大切应力。
3
2 1
2
1
3 1
3
2
首先研究与主应力 3 平行的斜截面上的应力，由于 3 作用 平面上的力自相平衡，因此，凡是与主应力 3 平行的斜截 面上的应力与 3 无关，这一组斜截面上的应力在—平面上
二、各向同性材料的体积应变
构件每单位体积的体积变化, 称为体积应变用θ表示.
如图所示的单元体，三个边长为 a1 , a2 , a3 变形后的边长分别为 a1(1+，a2(1+2 ，a3(1+3 变形后单元体的体积为 V'=a1(1+· a2(1+2 ·a3(1+3
a2
2
3
材料力学《第七章》应力状态分析
上海交通大学
受力： sadA、 tadA 受力： sxdAcosa、 txydAcosa
受力： sydAsina、 tyxdAsina
n
sx
txy
a
sa a
a
x
ta
tyx
e
切线方向上： Σ Fτ 0
σx σy σx σy σα cos2α τ xy sin2α 2 2
b
sy
τα d A ( σ x d A cos α )sin α ( τ xy d A cos α )cos α ( σ y d A sin α )cos α ( τ yx d A sin α )sin α 0
s1
一个主应力为零，其他二个主应力不为零。
3. 三向应力状态(空间应力状态)： 三个主应力均不为零。
上海交通大学
一般要找出主应力后才能确定应力状态。
四、应力状态分析步骤
s2
1. 确定构件危险截面危险点；
2. 取危险点单元体；
s3
3. 计算单元体各面应力；
4. 截面法取部分单元体； 5. 由平衡条件确定单元体斜截面上的应力。 应力状态分析方法： 解析法、图解法。
上海交通大学
三、应力状态的分类 定义：单元体 上应力为零的面称为零应力面； 单元体上只有 s 而无 t 的面称为主平面。 主平面上的正应力 s 称为主应力。
s2
s3
单元体在某一特殊方向上，三个互相垂直的截面上只有 s，而 无 t ，即为单元体的三个主平面。 用 s1 ≥ s2 ≥ s3 表示三个主应力，此单元体称为主单元体。 1. 单向应力状态： 一个主应力不为零，其他二个主应力为零。如：轴向拉伸。 2. 二向应力状态(平面应力状态)：
材料力学课件第7章 应力状态分析
α+
2
（2）主应力值计算 ） 方法一： 方法一： σ x +σ y σ x −σ y + cos 2α 0 − τ xy sin 2α 0 σ α =
2 2 0 σ x +σ y σ x −σ y π π σ = + cos 2 α 0 + − τ xy sin 2 α 0 + α0 + π 2 2 2 2 2
2τ xy
σ x −σ y
2τ xy 1 可取： 可取： α 0 = arctan − σ −σ 2 x y
1 2τ xy , arctan − σ −σ x y 2
π + 2来自3、主应力： 、主应力： （1）性质： ）性质： ①主应力为各截面上正应力的极值。 主应力为各截面上正应力的极值。
∗ FS Sz τ= bIz
五、主平面、主应力 主平面、 1、主平面 、 •τ= 0的截面 的截面; 的截面 •过一点有三个相 过一点有三个相 互垂直的主平面. 互垂直的主平面 2、主应力 、 •主平面上的正应力 主平面上的正应力; 主平面上的正应力 •表示符号 1 、σ2、σ3（ σ1 ≥σ2≥σ3 ） 。 表示符号σ 表示符号 应力状态分类： 六、应力状态分类： 1、单向应力状态： 只有一个主应力不为零。 、单向应力状态： 只有一个主应力不为零。 •可用平面图形表示应力状态。 可用平面图形表示应力状态。 可用平面图形表示应力状态 2、二向（平面）应力状态：两个主应力不为零。 、二向（平面）应力状态：两个主应力不为零。 •可用平面图形表示应力状态。 可用平面图形表示应力状态。 可用平面图形表示应力状态 3、三向应力状态 ：三个主应力都不为零。 三个主应力都不为零。 、 4、简单应力状态：单向应力状态。 、简单应力状态：单向应力状态。 5、复杂应力状态：二向和三向应力状态。 、复杂应力状态：二向和三向应力状态。
2
（2）主应力值计算 ） 方法一： 方法一： σ x +σ y σ x −σ y + cos 2α 0 − τ xy sin 2α 0 σ α =
2 2 0 σ x +σ y σ x −σ y π π σ = + cos 2 α 0 + − τ xy sin 2 α 0 + α0 + π 2 2 2 2 2
2τ xy
σ x −σ y
2τ xy 1 可取： 可取： α 0 = arctan − σ −σ 2 x y
1 2τ xy , arctan − σ −σ x y 2
π + 2来自3、主应力： 、主应力： （1）性质： ）性质： ①主应力为各截面上正应力的极值。 主应力为各截面上正应力的极值。
∗ FS Sz τ= bIz
五、主平面、主应力 主平面、 1、主平面 、 •τ= 0的截面 的截面; 的截面 •过一点有三个相 过一点有三个相 互垂直的主平面. 互垂直的主平面 2、主应力 、 •主平面上的正应力 主平面上的正应力; 主平面上的正应力 •表示符号 1 、σ2、σ3（ σ1 ≥σ2≥σ3 ） 。 表示符号σ 表示符号 应力状态分类： 六、应力状态分类： 1、单向应力状态： 只有一个主应力不为零。 、单向应力状态： 只有一个主应力不为零。 •可用平面图形表示应力状态。 可用平面图形表示应力状态。 可用平面图形表示应力状态 2、二向（平面）应力状态：两个主应力不为零。 、二向（平面）应力状态：两个主应力不为零。 •可用平面图形表示应力状态。 可用平面图形表示应力状态。 可用平面图形表示应力状态 3、三向应力状态 ：三个主应力都不为零。 三个主应力都不为零。 、 4、简单应力状态：单向应力状态。 、简单应力状态：单向应力状态。 5、复杂应力状态：二向和三向应力状态。 、复杂应力状态：二向和三向应力状态。
材料力学课件 第八章应力状态与强度理论
二向应力状态（Plane State of Stress）： 一个主应力为零的应力状态。
单向应力状态（Unidirectional State of Stress）： 一个主应力不为零的应力状态。
x B x
zx
xz
x
x
A
§8–2 平面应力状态下的应力分析
y
y
y
xy x
等价 y
x
xy
x z
Ox
一、解析法
30
x
y
2
sin 2
x cos2
80 (40) sin(2 30 ) 60 cos(2 30 ) 2
21.96MPa
确定主平面方位，将单元体已知应力代入 8.3，得
20 45
tan 20
2 x x y
2 (60) 80 (40)
1
0 22.5
0 即为最大主应力1 与 x 轴的夹角。主应力为
x
各侧面上剪应力均为零的单元体。
z
z
2
3
主平面(Principal Plane)：
剪应力为零的截面。 x
主应力(Principal Stress ）：
主平面上的正应力。
1
主应力排列规定：按代数值大小，
1 2 3
三向应力状态（ Three—Dimensional State of Stress）： 三个主应力都不为零的应力状态。
解：由于主应力1 ，2 ，3 与主应变1 ，2 ，3 一一对应，故由已知数据可知，
已知点处于平面应力状态且 2 0 。由广义胡克定律
1
1 E
(1
3 )
3
1 E
( 3
1)
联立上式
单向应力状态（Unidirectional State of Stress）： 一个主应力不为零的应力状态。
x B x
zx
xz
x
x
A
§8–2 平面应力状态下的应力分析
y
y
y
xy x
等价 y
x
xy
x z
Ox
一、解析法
30
x
y
2
sin 2
x cos2
80 (40) sin(2 30 ) 60 cos(2 30 ) 2
21.96MPa
确定主平面方位，将单元体已知应力代入 8.3，得
20 45
tan 20
2 x x y
2 (60) 80 (40)
1
0 22.5
0 即为最大主应力1 与 x 轴的夹角。主应力为
x
各侧面上剪应力均为零的单元体。
z
z
2
3
主平面(Principal Plane)：
剪应力为零的截面。 x
主应力(Principal Stress ）：
主平面上的正应力。
1
主应力排列规定：按代数值大小，
1 2 3
三向应力状态（ Three—Dimensional State of Stress）： 三个主应力都不为零的应力状态。
解：由于主应力1 ，2 ，3 与主应变1 ，2 ，3 一一对应，故由已知数据可知，
已知点处于平面应力状态且 2 0 。由广义胡克定律
1
1 E
(1
3 )
3
1 E
( 3
1)
联立上式
《材料力学》课件7-3空间应力状态的概念
有限元法的优点在于可以处理 复杂的几何形状和边界条件， 且可以方便地与其他数值方法 耦合，如流体动力学、热力学 等。
04
空间应力状态的应用
工程结构分析
桥梁和建筑结构
在设计和分析大型桥梁和建筑结构时，需要考虑空间应力状 态对结构稳定性和安全性的影响。通过分析空间应力状态， 可以预测结构的变形、裂缝和破坏，从而优化设计方案。
数值法可以通过计算机程序实现，通过迭代或近似方 法得到近似解，但需要适当的网格划分和算法设计。
有限元法
有限元法是一种基于离散化的 数值计算方法，它将连续的物 体离散为有限个小的单元，并 对每个单元进行单独的分析和 求解。
在空间应力状态分析中，有限 元法可以处理各种复杂的问题 ，包括非线性、三维、多物理 场等问题。
多尺度分析的进展
微观尺度研究
通过原子或分子模拟方法，深入 了解材料的微观结构和力学行为， 为宏观尺度下的应力状态分析提 供基础。
介观尺度研究
针对细观结构和界面行为进行建 模和分析，揭示材料在不同尺度 下的力学响应和应力传递机制。
多尺度耦合方法
发展多尺度耦合分析方法，实现 微观、细观和宏观尺度之间的有 效连接，为复杂应力状态下的结 构性能预测提供支持。
优化设计，提高安全性。
06
空间应力状态的未来发展
新材料的应用
高强度轻质材料
如碳纤维复合材料和钛合金，具有更高的强度和轻量化特性，能够 提高结构效率并降低能耗。
智能材料
如形状记忆合金和电致伸缩材料，具有自适应和传感功能，可用于 监测和调控结构应力状态。
多功能材料
如压电材料和磁致伸缩材料，能够实现力、电、磁等多物理场耦合， 为复杂应力状态下的结构性能优化提供新途径。
04
空间应力状态的应用
工程结构分析
桥梁和建筑结构
在设计和分析大型桥梁和建筑结构时，需要考虑空间应力状 态对结构稳定性和安全性的影响。通过分析空间应力状态， 可以预测结构的变形、裂缝和破坏，从而优化设计方案。
数值法可以通过计算机程序实现，通过迭代或近似方 法得到近似解，但需要适当的网格划分和算法设计。
有限元法
有限元法是一种基于离散化的 数值计算方法，它将连续的物 体离散为有限个小的单元，并 对每个单元进行单独的分析和 求解。
在空间应力状态分析中，有限 元法可以处理各种复杂的问题 ，包括非线性、三维、多物理 场等问题。
多尺度分析的进展
微观尺度研究
通过原子或分子模拟方法，深入 了解材料的微观结构和力学行为， 为宏观尺度下的应力状态分析提 供基础。
介观尺度研究
针对细观结构和界面行为进行建 模和分析，揭示材料在不同尺度 下的力学响应和应力传递机制。
多尺度耦合方法
发展多尺度耦合分析方法，实现 微观、细观和宏观尺度之间的有 效连接，为复杂应力状态下的结 构性能预测提供支持。
优化设计，提高安全性。
06
空间应力状态的未来发展
新材料的应用
高强度轻质材料
如碳纤维复合材料和钛合金，具有更高的强度和轻量化特性，能够 提高结构效率并降低能耗。
智能材料
如形状记忆合金和电致伸缩材料，具有自适应和传感功能，可用于 监测和调控结构应力状态。
多功能材料
如压电材料和磁致伸缩材料，能够实现力、电、磁等多物理场耦合， 为复杂应力状态下的结构性能优化提供新途径。
《材料力学》应力状态 ppt课件
x-y坐标系
ppt课件
x'－y'坐标系 xp-yp坐标系
主应力单元体 15
（四）、应力状态的分类
a、单向应力状态：只有一个主应力不等于零，另两个主应力 都等于零的应力状态。
b、二向应力状态：有两个主应力不等于零 ，另一个主应力 等于零的应力状态。
c、三向应力状态：三向主应力都不等于零的应力状态。
平面应力状态：单向应力状态和二向应力状态的总称。10
xy
yx
y
在单元体各面上标上应力—— 应力单元体
若单元体各个面上的应力已知，由平衡即可 确定任意方向面上的正应力和切应力。
4 ppt课件
应力状态/应力状态的概念及其描述
示例一
S平面
F
F
1
1
ppt课件
F
A
1
5
S平面
应力状态/应力状态的概念及其描述 n
F
1
F
1
90
研究应力状态的目的：
找出一点处沿不同方向应力的变化规律，确定 出最大应力，从而全面考虑构件破坏的原因， 建立适当 的强度条件。
3 ppt课件
应力状态/应力状态的概念及其描述
（二）、一点应力状态的描述
• 微元 （Element）
dx,dy,dz 0
z
zx zy
xz yz
x
x (pDt )
p
pD
4
2
x
pD 4t
11 ppt课件
应力状态/
ｐ×Ｄ×ｌ
Fy 0
t
ｐ
t
t (2t l)
材料力学应力分析PPT课件
y yx
D
xy
A
x
d
(y ,yx)
(
x
-
y
)2
+
2 xy
2
R
a (x ,xy)
c
x + y
2
在 -坐标系中，标定与单元体A、D面上
应力对应的点a和d
连ad交 轴于c点，c即为圆心，cd为应 力圆半径。
第40页/共123页
§2 平面应力状态分析
yy
yx
DB
A
xx
xxyy
O
C
d(y ,yx)
正应力与切应力
第15页/共123页
§2 平面应力状态分析
1、正应力正负号约定
x
应力状态
x
x
拉为正
第16页/共123页
x
压为负
§2 平面应力状态分析
切应力正负号约定
xy
yx
应力状态
使单元体 或其局部顺时 针方向转动为 正；反之为负。
第17页/共123页
§2 平面应力状态分析
角正负号约定
由x正向逆 时针转到n正 向者为正；反 之为负。
yx
a (x ,xy)
A
x
p xy
2
tg 2
p
-
x
-
xy x
+
2
y
o 2
1
d
2p
c g 1
负号表示从主应力的正方向到x轴的正方向为顺时转向
第48页/共123页
§2 平面应力状态分析
主应力与主方向的对应关系
应力状态
小（主应力中小的）偏小（σx和σy中 小的）、大（主应力中大的）偏大（σx和 σy中大的） ，夹角不比450大。
高等材料力学课件第二章应力状态
设σ1≥σ2≥σ3
§2.6 主应力17
应力圆
§2.6 主应力18
应力圆
max
最大正应力
max 1 , min 3
最大切应力
max
1 2
( 1
3)
§2.6 主应力19
最大切应力方位 l2 = 0.5 m2 = 0 n2 = 0.5
§2.1 §2.2 §2.3 §2.4 §2.5 §2.6 §2.7
目录
体力和面力 应力与应力张量 二维应力状态与平衡微分方程 应力状态的描述 边界条件 主应力与应力主方向 应力球张量和球应力偏张量
§2.1 体力和面力
• 物体外力 • ——分为两类 • 体力 • 面力 • 体力和面力分别为物体单位体积或者单位面
§2.6 主应力5
3 I1 2 I2 I3 0
其中：
I1 x y z
主应力特征方程
ij 主元之和
I2
x
y
y
z
z x
2 xy
2 yz
2 xz
x xy xz I3 yx y yz
zx zy z
代数主子式之和
应力张量元素 构成的行列式
•§2.6应主应力力6 状态特征方程
• 最大切应力的确定。
• 讨论任意截面正应力和切应力的变化趋
势——应力圆。
• 最大切应力以及方位的确定。
§2.6 主应力14
正应力和切应力
x xy xz
ij yx y yz
zx
zy
z
§2.6 主应力15
正应力和切应力
主应力与方向余弦表达式
§2.6 主应力16
应力圆
主应力与方向余弦表达式
§2.4 应力状态5
材料力学课件第七章 应力状态分析1-2
G2 "
3.应力圆的应用
①应力圆上一点坐标代表单元体某个面上的应力；
②应力圆上半径转过2a，单元体上坐标轴转过a,且转向相同;
③圆心为平均正应力，为不变量。 ④ 半径对应极值切应力。
y yx
xy x
n
a
a x a xy
yx y
(a,a)E
B1 B O "
D' (y, yx)
G1'
D(x, xy) 2a
x
2
y
2
2 xy
②取x面，定出D( x ,xy )点；取y面，定出D'( y ,yx )点；
③连DD'交轴于C点，以C为圆心，DD1为直径作圆；
y y yx
xy x
n
a
a x x a xy
yx y
(a,a)E
B1 B O "
G1'
D(x, xy) 2a
2a0 A A1
C
'
D' (y, yx)
1. ①主平面：单元体上切应力为零的面；
②主应力：主平面上的正应力，用1、2、3 表示， 有1≥2≥3。
y
z
yx
yz
xy
zy
x x
z zx xz z
x' 1
旋转
z' 3
2 y'
2.应力状态按主应力分类：
①只有一个主应力不为零称单向应力状态；
②只有一个主应力为零称两向应力状态(平面应力状态)； ③三个主应力均不为零称三向应力状态(空间应力状态)；
③主应力大小：
max min
x
y
2
x
《应力状态理论》课件
VS
地质工程
在地质工程领域，应力状态理论对于研究 地壳应力分布、地震成因及岩土工程稳定 性等方面具有重要意义。通过将应力状态 理论与地质工程实践相结合，可以更好地 防范地质灾害和提高工程安全性。
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THANKS
应力状态的重要性
工程应用
应力状态理论在工程领域中具有广泛应用，如结构分析、材料力学、岩石力学等，是解决实际工程问题的重要 基础。
学科发展
应力状态理论的发展推动了相关学科的进步，如断裂力学、损伤力学等，为解决复杂工程问题提供了更全面的 理论支持。
应力状态的历史与发展
早期研究
早期的应力状态研究主要集中在静力学领域，如弹性力学和塑性力学等，主要研究物体在受力作用下的平衡问题 。
多物理场耦合研究
在实际应用中，应力状态往往与温度、磁场等其他物理场存在耦合效应。未来研究应关注多物理场耦 合对应力状态的影响，建立更为完善的理论体系。
应力状态理论在其他领域的应用拓展
生物医学工程
在生物医学工程领域，应力状态理论在 骨骼、牙齿、血管等生物组织的生长、 修复和疾病防治等方面具有重要应用价 值。通过研究生物组织的应力状态，可 以为生物医学工程提供新的设计思路和 治疗方案。
应力的基本性质
应力的基本性质包括对称性、反对称性和转轴性。这 些性质反映了应力分布的内在规律，对于理解物体受 力状态和变形机制具有重要意义。
应力的基本性质包括对称性、反对称性和转轴性。对 称性是指对于任何点，其对称点的应力状态是相同的 ；反对称性则是指对于任何点，其对称点的应力状态 是相反的；转轴性则是指当坐标系旋转时，应力分量 的值会发生变化，但各向同性和各向异性状态不变。 这些性质反映了应力分布的内在规律，对于理解物体 受力状态和变形机制具有重要意义。
材料力学课件第十一章应力状态分析和强度理论
n
薄壁圆筒的横截面面积
πD 2 F p 4
′
p
A πD
πD 2 F p 4 pD A πD 4
n
D
第十一章
"
p
应力状态和强度理论
（2）假想用一直径平面将圆筒截分为二,并取下半环为研究对象
直径平面
FN
Ｏ
FN
d
y
D Fy 0 0 pl 2 sin d plD pD 2 l plD 0 2
2
3 1
1
3 2
第十一章
4.主平面 切应力为零的截面 5.主应力
应力状态和强度理论
主面上的正应力
说明:一点处必定存在这样的一个单元体, 三个相互垂直的面 均为主平面, 三个互相垂直的主应力分别记为1 ,2 , 3 且规定按 代数值大小的顺序来排列, 即
1 2 3
F k
n
（2）当 = 45°时， max 2 min （3）当 = -45° 时， （4）当 = 90°时， 0,
x
2 0
k
11.2
二向和三向应力状态的实例
m n
分析薄壁圆筒受内压时的应力状态
z
y
D
p
m
l
n
（1）沿圆筒轴线作用于筒底的总压力为F
F
k
F
k n
p cos cos
2
F
沿截面切线方向的切应力
k pα
x
p sin
2
sin2
pα
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oa
ob
ba
ob
bc tan 60
C(20,10 3)
20
10 tan
3 60
30MPa
半径 ca (ba)2 (bc)2
120º
b
o 2
a
120º
(10
3)2
(
10 tan
3 60
)
2
20MPa
D(20,10 3)
因此主应力为： 1 oa ca 50MPa,
材料力学
2 oa ca 10MPa, 3 0.
材料力学
2
2
应力状态/平面应力状态的极值与主应力
主应力单元体：
3
q p1 1
1 68.3MPa, 2 0, 3 48.3MPa
材料力学
应力状态/平面应力状态的极值与主应力
（二）解析法
40
（1）斜面上的应力
x
y
2
x
y
2
cos 2
xy sin 2
30MPa 60 40 60 40 cos(60 ) 30sin(60 )
2
2
60MPa 9.02MPa
x
y
2
sin 2
xy
cos 2
60 40 sin(60 ) 30cos(60 ) 2
58.3MPa
材料力学
应力状态/平面应力状态的极值与主应力 （2）主应力、主平面
x y
2
(
x
y
)2
2 xy
2
68.3MPa
40
30MPa
60MPa
x y
解：（一）、图解法 3 48.3MPa
1 68.3MPa
40
a(40,30)
30MPa
60MPa
e
tan 2q p
2 xy x y
0.6
qp 15.48
(10,0)
f
o c 2q p
60
b(60,30)
d (9.02,58.3)
R (60 (40))2 ( 30 30 )2 58.31MPa
2qp
OE C D
材料力学
应力状态/平面应力状态的极值与主应力
例1：一点处的平面应力状态如图所示。已知 30,
x 60MPa , xy 30MPa. y 40MPa, 试求（1）斜面上的应力；（2）主应力、主平面；
（3）绘出主应力单元体。
40
D
A 30MPa
60MPa
材料力学
应力状态/平面应力状态的极值与主应力
GPa,泊松比=0.3。试求F和m的值。
mu
F
k
F
45°
m u
材料力学
应力状态/广义胡克定律，应变比能
解：（1）K点处的应力状态分析
在K点取出单元体：
y
其横截面上的应力分量为：
K x x
由广义胡克定律：
x
FN A
F, A
x
Mn Wp
m Wp
m π D3
16
（2）计算外力F
( ) x
1 E
x
y
z
x
应力状态/应力圆
3.几种对应关系
点面对应——应力圆上一点的坐
标值对应着微元某一方向上的正应
力和切应力 。
y
yx
a ( a , a )
A xy
c
x
材料力学
应力状态/应力圆
转向对应——半径旋转方向与方向面法线旋转 方向一致；
二倍角对应——半径转过的角度是方向面旋转
角度的两倍。
ty
n
x
a'
A
2
(ax ,xy)
哪个主应力对应于哪一个主方向，可以采用以下方法：
材料力学
应力状态/平面应力状态的极值与主应力
主应力 1 的方向：q p1 15.5,
+
60MPa
主应力 3 的方向：q p2 105.5
40MPa
+
30MPa 30MPa
材料力学
应力状态/平面应力状态的极值与主应力
例2：一点处的平面应力状态如图所示。已知 60 ,
已知和零应力面垂直的任意两个面上的应力，就可以
求出其他任意斜截面上的应力以及主应力。例如：
材料力学
应力状态/平面应力状态的极值与主应力
D ( , )
D ( , )
3 o
a
1
4.一点处的应力状态有不同的表示方法，而用主 应力表示最为重要。
材料力学
应力状态/三向应力状态的概念
◆ 重要应用实例
承受内压薄壁容器任意点的应力状态
30
z
x
解：1) x面为
主平面之一
3
0 50MPa
材料力学
10
o
C
2 1(MPa)
1 58
2 50
3 27
D
max 43
应力状态/广义胡克定律，应变比能
例3：已知一圆轴承受轴向拉伸及扭转的联合作用。为了
测定拉力F和力矩m，可沿轴向及与轴向成45°方向测出
线应变。现测得轴向应变 0 500106， 45°方向的应变 为 u 400106。若轴的直径D=100mm,弹性模量E=200
20MPa, 10 3MPa; 60 , 20MPa , 10 3MPa.
求（1）主应力；（2）绘出主应力单元体。
C
30
D 30
C(20,10 3)
b
o 2
120º
a
1
120º
D(20,10 3)
材料力学
解： （1）作应力圆
应力状态/平面应力状态的极值与主应力
（2）根据应力圆的几何关系确定主应力
（壁厚为t，内直径为d，t<<d，内压为p）
x t
l
ｐ
材料力学
应力状态/平面应力状态的极值与主应力
x
x(p D) ｐ
Ｄ
ｐπD２ ４
x
Fx 0
x (πD
)
p
πD2 4
材料力学
x
pD
4
应力状态/平面应力状态的极值与主应力
ｐ×Ｄ× l
Fy 0
t
ｐ
t
t (2 l)
t (2 l) p(D l)
1
应力状态/平面应力状态的极值与主应力
（3）绘出主应力单元体。
C
30
D 30
o
2
C(20,10 3)
b
2
120º
a
1
120º
D(20,10 3)
1
1
材料力学
2
应力状态/平面应力状态的极值与主应力
★分析：
C
1.本题亦可用解析法求解。
30
D 30
2.在某些情况下，单元体可以不取立方体，如平面应
力状态问题，零应力面可以取矩形、三角形等，只要
t
pD
2
材料力学
应力状态/平面应力状态的极值与主应力
x t
t
承受内压薄壁容器 任意点的应力状态:
x
材料力学
应力状态/三向应力状态的概念 例：求图示单元体的主应力和最大切应力。（M P a）
y
B A 40 C 50
D/
（M Pa）max
2) 建立应力坐标系如图， 画y—z平面的应力圆及 三向应力圆得:
E
0
500106
材料力学
应力状态/广义胡克定律，应变比能
解得：
F
xA
785kN
E 0
A
200109 500106
2
(
x
y
)2
2
xy
2
48.3MPa
1 68.3MPa, 2 0, 3 48.3MPa
材料力学
应力状态/平面应力状态的极值与主应力
主平面的方位：
tan
2q p
2 xy x
y
60 60 40
0.6
40
30MPa
60MPa
qp1 15.48, qp2 15.48 90 105.48