实变函数论课后答案第四章1

实变函数论课后答案第四章1

第四章第一节习题 1．

证明：E 上的两个简单函数的和与乘积都还是E 上的简单函数

证明：设1

()i

n

i E i f c x χ==∑，1

()i

m

i F i g d x χ==∑，这里{}1n i i E =互不相交，{}1

m

i i F =互不相交

令ij i j K E F =⋂，1,1i n j m ≤≤≤≤ ij i j a c d =+， 1,1i n j m ≤≤≤≤

则易知1

1

11

()()()()i

j

i j

n m n m

i E j F i j E F i j i j f g c x d x c d x χχχ⋂====+=+=+∑∑∑∑

先注意：若1

m i i K K ==

，i K 互不相交，则1

()()i m

K K i x x χχ==∑ （m

可为无穷大）

（x K ∀∈，i ∃使i x K ∈，()1()i

K K x x χχ==，

,()0K x K x χ∀∉=，且i ∀，i x K ∉则()0i K x χ=）

且1

1

1

1

(())(())()((

))m m m m

c

c i i j i j i j i j j j j j E E F E F E F E F =====⋂⋃⋂=

⋂⋃⋂

1

1

1

()

((

))

((

))

1

()()()()()m

m m

i

i c

c

i j i j i j j j j m

E E

F E F E F E F j x x x x x χχ

χ

χχ

===⋂⋂⋂⋂==+=+∑

同理：1

(

)

1

()()()m

j

i j

c

j i i n

F E F F E i x x x χχχ

=⋂⋂==+∑

1

1

()()i j n m

i E j F i j f g c x d x χχ==+=+∑∑

1

1

(

)(

)1

1

1

1

(()())(()())m

m

i j i j c

c

i j j i j i n

m

m n

i E F j E F E F F E i j j i c x x d x x χχ

χχ

==⋂⋂⋂⋂=====+++∑∑∑∑

1

1

(

)(

)11

1

1

()()()()m

m

i

j

c

c

i j j i j i n m n

m

i j E F i j E F F E i j i j c d x c x d x χχ

χ

==⋂⋂⋂=====+++∑∑∑∑

这显然还是一个简单函数，因为 若(,)(,)i j k l ≠，则()()i j k l E F E F ⋂⋂⋂=∅

11((

))((

))m

m

c

c i j k j j j E F E F ==⋂⋂⋂=∅，

（i k ≠） 1

1

((

))((

))m

m c

c j i k l i i F E F E ==⋂⋂⋂=∅，（j k ≠）

1

1

((

))((

))m

m c

c i j k i j i E F F E ==⋂⋂⋂=∅，

（,i k ∀） 1

()((

))m

c i j i j j E F E F =⋂⋂⋂=∅，

显然，()()()i

i

i

j

E F E F x x x χχχ⋂=，

事实上，i j x E F ∀∈⋂，()()1()()i

i

i

i

E F E F x x x x χχχχ+==

若,i j i x E F x E ∉⋂⇒∉或i x F ∉ 则()()0()i

i

i

j

E F E F x x x χχχ⋂==

1

1

11

(())(())()()

i j i j n m n m

i E j F i j E F i j i j f g c x d x c d x x χχχχ====⋅==∑∑∑∑

11

()i j n m

i j E F i j c d x χ⋂===∑∑

当(,)(,)i j k l ≠时

()()()()i j k l i k j l E F E F E F E F ⋂⋂⋂=⋂⋂⋂=∅

则f g ⋅也是简单函数

1a R ∀∈，显然1()()i n

i E i af x ac x χ==∑仍为简单函数

2．

证明当()f x 既是1E 上又是2E 上的非负可测函数时，()f x 也是