四川省成都石室中学2021届高三上学期开学考试 数学(文)(含答案)
石室中学高2021届2020-2021学年度上期数学入学考试参考答案(文科)
石室中学高2021届2020-2021学年度上期数学入学考试参考答案（文科）13. y = 14.315． (-∞，1)(0-⋃，1) 16.①②④17.（Ⅰ）0r r <．......................4分（Ⅱ）由题中数据可得：42421111110,744242i i i i x x y y ======∑∑，................6分 所以.............8分又因为，所以，，所以，................10分将代入，得81.5y =，所以估计B 同学的物理成绩为81.5分．....................12分18．（1）当1a =时，函数32()41f x x x x =+++2()324f x x x '=++(2)20f '∴=即切线的斜率20k =..................2分(2)21f =∴切线方程为20(2)21x y -=-即切线为：20190x y --=..................4分（2）2()324f x x ax '=++对称轴为03ax =->..................5分 ○1当24480a ∆=-≤时，即0a -≤<，()0f x '>()()4242114235035042110748470iii ii i x x y y x y x y ==--=-⋅=-⨯⨯=∑∑()422116940i i x x =-=∑()()()1211698470ˆ00.54niii ni i x x y y bx x ==--===-∑∑740.511019a y bx =-=-⨯=0.519y x =+125x =()f x 在(0,)+∞上单调递增；.................8分○2当24480a ∆=->时，即a <-，又 (0)40f '=>令2()3240f x x ax '=++=，则1x =，2x =当206a x -<<或26x ->时，()0f x '>；x <<()0f x '<；()f x 在2(0,6a -，2()6a -+∞上单调递增；()f x 在上单调递减. .................12分19.（1）设AC 与BD 相交于点O ，连接FO ，∵四边形ABCD 为菱形，∴AC BD ⊥，且O 为AC 中点， ∵FA FC =，∴AC FO ⊥,又FO BD O =，∴AC ⊥平面BDEF .…………………5分（2）∵四边形BDEF 为菱形，且60DBF ∠=︒，∴DBF ∆为等边三角形， ∵O 为BD 中点，∴FO BD ⊥，又AC FO ⊥，∴FO ⊥平面ABCD…………………7分2,60AB AD DAB ==∠=2BD BF ∴==由60DBF ∠=︒∴F 到面ABCD 的距离为FO =9分,EF BD BD ⊂面ABCD ，EF ⊄面ABCD EF ∴面ABCDE ∴到面ABCD 的距离等于F 到面ABCD………………10分1222sin 23ADCSπ=⨯⨯⨯= 113A EDC E ADC ADCV V SFO --∴==⨯⨯=…………………12分20．（1，可得c e a == 由短轴长为2，可得1b =， …………1分 又2221a c b -==，解得2a =，c =，则椭圆的方程为2214x y +=； …………4分（2）当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y kx m =+，由2244y kx m x y =+⎧⎨+=⎩可得222(14)8440k x kmx m +++-=，…………5分 因为直线l 与椭圆C 有且只有一个交点，所以△2221(8)4(14)(44)0km k m =-+-=，即2214m k =+，…………6分 由方程组225y kx mx y =+⎧⎨+=⎩可得222(1)250k x kmx m +++-=， 则△2222(2)4(14)(5)0km k m =-+->，设11(P x ，1)y ，22(P x ，2)y ，则12221kmx x k +=-+，212251m x x k -=+，…………7分 设直线1OP ，2OP 的斜率为1k ，2k ，所以222212121212122121212()()()55y y kx m kx m k x x km x x m m k k k x x x x x x m +++++-====-，…………9分 将2214m k =+代入上式，可得212211444k k k k -+===--，…………10分当直线l 的斜率不存在时，由题意可得l 的方程为2x =±，此时圆225x y +=与l 的交点为1P ，2P 也满足1214k k =-，…………11分综上可得直线l 与圆的交点1P ，2P 满足斜率之积12k k 为定值14-．…………12分21．（Ⅰ）当13a =时，()ln 113x f x x =+-，()'233x f x x -=， 所以()f x 在[],3e 单减，在23,e ⎡⎤⎣⎦单增，…………2分()123f e e =-，()22113f e e =-，()()2f e f e <所以ln32()(3)3min f x f -==，2max 211()()3f x f e e ==-．…………5分 （Ⅱ）依题意，． 则，令，，，所以在上是单调增函数．要使得在上存在极值，则须满足即 所以，，即．…………8分所以1111ln 1ln 1a e a a a a a a a a--+-->++--=+- 当0a >时，令，()1g ln 1a a a =+-，()'21a g a a-=，所以()()10g a g ≥= 所以，．…………11分 即，所以．…………12分22．（Ⅰ）由曲线2C 的参数方程2cos (22sin x y φϕφ=⎧⎨=-+⎩为参数）．可得曲线2C 的普通方程为22(2)4x y ++=． 将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入上式，得4sin ρθ=-．()11ln 1ln 1xx g x e a x e a x x x ⎛⎫=+-+-=-+ ⎪⎝⎭0a x e -<<()x xa xe a g x e x x-'=-=()x t x xe a =-()0,a x e -∈()(1)0xt x e x '=+>()t x ()0,ae-()g x ()0,ae-()()00,0,a t t e -⎧<⎪⎨>⎪⎩0,0,aa e a e e a -->⎧⎪⎨⋅->⎪⎩0aaee a -->>ln e e a a -->ln a e a a ->+0a >1ln 10a a+-≥110a e a a --+-->11a e a a --+>+所以2C 的极坐标方程为4sin ρθ=-． …………4分 （Ⅱ）设A 点的极坐标为1(ρ，)α，B 点的极坐标为2(,)3πρα-，则12sin ρα=，24sin()3πρα=--， …………6分于是AOB ∆的面积12113sin (2sin )[4sin()]23sin sin()3sin(2)232336S ππππρρααααα==--=--=+…………9分当6πα=时，S ．所以AOB ∆．…………10分。
四川省成都市石室中学2021届上学期高三年级一诊模拟测试数学试卷(文科)
四川省成都市石室中学2021届上学期高三年级一诊模拟测试数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1．复数z 满足()12i z i +=，则=z （A ）12（B）2（C（D ）22．设函数y =A ，函数ln(1)y x =-的定义域为B ，则A B =（A ）(1,2)（B ）(1,2]（C ）(2,1)-（D ）[2,1)-3．如图，正方形ABCD 中，M 是BC 的中点，若错误!,P Q A P B QP P Q Q {}n a n n S 228580a a a +-+=9S =()()sin 202f x x πϕϕ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭6πy ()f x m n m n -6π3π23π53π()()22239C x y -+-=：()11M ，C ,A B AB 210x y --=280x y +-=210x y -+=230x y +-={}n a n S n T 316a =3112S =1n T >P ABC-PA ⊥ABC 2AB =1AC =60BAC ∠=43π323π12π16π21:8C y x =222:(2)1C x y -+=,P Q 12,C C (4,0)M ||||PM PQ 35454-4ln 3a π=3ln 4b π=34ln c π=a b c c b a <<b c a <<b a c <<a b c <<,x y4312x y xx y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩2z x y =-0.6182sin18m =︒24m n +=212cos 27m n-︒P ()222210,0x y a b a b-=>>12,F F I 12PF F ∆1212,,IPF IPF IF F ∆∆∆12,,S S S 1212S S S -≥()()()2ln ln f x ax x x x x =+--ABC ∆(2)sin (2)sin 2sin a b A b a B c C +++=3c =ABC ∆P ABCD -PAD ⊥ABCD ABCD//,2AB CD AB DC =23,ACBD F ==G G PCD -0<()()22121ˆ1niii nii y yR y y ==-=--∑∑17 4.1≈ˆˆˆybx a =+()()()1122211ˆnni iiii i nniii i x y nx y x x y y b xnxx x ====-⋅--==--∑∑∑∑ˆˆay bx =-22221x y a b+=0a b >>(0,1)A 22222:(1)M x y r ++=M ()e cos 2xf x x =+-()f x '()f x 0x ≥()f x 'π2x ≥-2cos 20xxe x x ax x +--≥a xOy C cos 1sin x y αα=⎧⎨=+⎩αx O 3πθ=56πθ=()R ρ∈C ,A B ,A B C ,A B AB ABO ∆()225f x x =+-()|1|f x x ≥-1m ≥-()()||g x f x x m =+-x m[]8,0z ∈-12-12e <≤2211,e e e e ⎛⎫-+ ⎪-⎝⎭ABC ∆,A B C ，,,,a b c (2)sin (2)sin 2sin a b A b a B c C +++=∴(2)(2)2222a b c a b b a c R R R +⋅++⋅=⋅222a b c ab +-=-2221cos 22a b c C ab +-∴==-0C π<<23C π∴=3c =3sin sin 32a bA B∴==2sin a A ∴=2sin b B =ABC ∆l l a b c =++2sin 2sin 3A B =++2sin 2sin 33A A π⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭2sin 2sin cos 2cos sin 333A A A ππ=+-+sin 3cos 3A A =++PAD ∆ABD ∆PAD∆//GF PDC2sin 3A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭03A π<<2sin 3A π⎛⎫∴<++ ⎪⎝⎭2≤+ABC∆2PD E ,,AE CE GF//,2AB CD AB DC=AC BD F ==2AF AB FCCD∴==G G2AGGE ∴=GF CE ∴,GF PDC CE PDC ⊄⊂面面∴G PCD F PCDP CDFV V V ---==11122CDF DF S FB ∆=∴==133P CDF V -∴==182.479.2>()()772211182.479.2iii i y y y y ==>--∑∑()()772211182.479.211iit t y y y y ==-<---∑∑21R 22R 17x =ˆ21.314.421.3 4.114.472.93y=≈⨯-=17x >2122232425235x ++++==68.56867.5666667.25y ++++==0.767.20.72383.3a y x =+=+⨯=17x >ˆ0.783.3yx =-+20x ˆ0.72083.369.3y=-⨯+=20x 69.3574.3+=72.93>22222111122b c x a b c C y a a b c =⎧⎪⎪=⇒===⇒+=⎨⎪=+⎪⎩，椭圆：过A 的切线方程可设为l ：1y kx =+，代入椭圆C 的方程得：()222421212kx kx x k -++=⇒=+，可得21122114121212k k B k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，；同理可得22222224121212k k D k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭， ……………………………………6分 由圆M 与l ()2221210r r k k r =⇒--+-=由韦达定理得：12122211k k k k r+==-，……………………8分 所以直线BD 的斜率()()()22212222212112122212121122221121212124424442111212k k y y k k k k k k k k k x x k k k k r k k ----++-====-+=-----+++……………………………………9分直线BD 的方程为：21122221124212112k k y x k r k ⎛⎫--=+ ⎪+-+⎝⎭化简为：2211122221111412223112121k k k y x x r k k k r +-=-⨯+=--++-，即2231y x r =--…………11分 所以，当(01)r r <<变化时，直线BD 总过定点()03R -，………………12分 21．（本小题满分12分） 【解析】（Ⅰ）()e sin x f x x '=-，令()e sin x g x x =-，0x ≥，则()e cos x g x x '=-PAD ∆//GF PDC //GF PDC①当[)0,πx ∈时，()g x '为增函数，()()00g x g ''≥=；②当[),x π∈+∞时，()πe 10g x '≥->故0x ≥时，()0g x '≥，()g x 为增函数，故()()min 01g x g ==，即()f x '的最小值为1 ……5分（Ⅱ）令()e cos 2x hx x ax =+--，()e sin x h x x a '=--，则本题即证当π2x ≥-时，()0x h x ⋅≥恒成立 ①当1a >时，由（1）可知()e sin x h x x a '=--在[)0,+∞上为增函数，且()010h a '=-<，()1110a h a e a +'+≥-->，故存在唯一()20,x ∈+∞，使得()20h x '=则当()20,x x ∈时，()0h x '<，()h x 为减函数，所以()()00h x h <=，此时()0x h x ⋅<，与()0x h x ⋅≥恒成立矛盾 …………………………7分 ②当1a ≤时，（i ）若0x ≥，则由（1）可知，()10h x a '≥-≥，所以()h x 为增函数，故()()00h x h ≥=恒成立，即()0x h x ⋅≥恒成立；…………………………8分（ii ）若π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则()e cos xh x x ''=-，()e sin x h x x '''=+在π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数，又()01h '''=，π2πe 102h -⎛⎫'''-=-< ⎪⎝⎭，故存在唯一0π,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，使得()00h x '''= 当0π,2x x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()0h x '''<，()h x ''为减函数；()0,0x x ∈时，()0h x '''≥，()h x ''为增函数 又π2πe 02h -⎛⎫''-=> ⎪⎝⎭，()00h ''=，故存在唯一1π,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭使得()10h x ''=故1π,2x x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()10h x ''>，()h x '为增函数；()1,0x x ∈时，()10h x ''<，()h x '为减函数 又π2πe 102h a ⎛⎫'-=+-> ⎪⎝⎭，()010h a '=-≥，所以π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()0h x '>，()h x 为增函数，故()()00h x h ≤=，即()0x h x ⋅≥恒成立……11分 综上所述，1a ≤………………………12分 22．（本小题满分10分）【解析】（Ⅰ）曲线C 的参数方程为1x cos y sin αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），所以消去参数α得曲线C 的普通方程为2220x y y +-=，因为cos x ρθ=，sin y ρθ=，代入曲线C 可得C 的极坐标方程：2sin ρθ=将直线3πθ=，56πθ=代入圆的极坐标方程可知:1ρ=，21ρ=，故A 、B两点的极坐标为3A π⎫⎪⎭，51,6B π⎛⎫⎪⎝⎭…………………5分 （Ⅱ）由cos x ρθ=，sin y ρθ=得：32A ⎫⎪⎪⎝⎭，12B ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，根据两点式可知直线AB 的方程为：所以的极坐标方程为：13y x =+ 所以AB的极坐标方程为sin 62πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ 可知直线AB 恰好经过圆的圆心，故ABO ∆为直角三角形，且OA 1OB =，故12ABO S ∆==分 23．（本小题满分10分）【解析】（Ⅰ）由题意知，原不等式等价于12251x x x ≤-⎧⎨---≥-⎩或112251x x x -<≤⎧⎨+-≥-⎩或12251x x x >⎧⎨+-≥-⎩， 解得8x ≤-或∅或2x ≥， 综上所述，不等式()1f x x ≥-的解集为(][),82,-∞-+∞……………………………………5分（Ⅱ）当1m =-时，则()2251g x x x =+-++ 315x =+-，此时()gx 的图象与x 轴围成一个三角形，满足题意：当1m >-时，()225g x x x m =+-+- 37,13,133,x m x x m x m x m x m -+-≤-⎧⎪=+--<≤⎨⎪-->⎩，则函数()gx 在(),1-∞-上单调递减，在()1,-+∞上单调递增 要使函数()gx 的图象与x 轴围成一个三角形，则()()140230g m g m m ⎧-=-<⎪⎨=-≥⎪⎩，解得342m ≤<；综上所述，实数m 的取值范围为{}3,412⎡⎫-⎪⎢⎣⎭…………………10分。
2021届四川省成都石室中学高三上学期开学考试数学(文)试题 PDF版
文科数学试卷
一、选择题（共 12 小题；共 60 分）
1.已知集合 A x, y x y 0, x, y R, B x, y x y+1 0, x, y R ，则集合 A I B 的元素个
数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
2．i 为虚数单位， z 5i ， 则 z 的共轭复数为 （ ） 1 2i
（Ⅱ）求 y 关于 x 的线性回归方程，并估计如果 B 考生参加了这次物理考试（已知 B 考生的
数学成绩为125 分），物理成绩是多少？n Nhomakorabean
(xi x)( yi y)
xi yi nx y
附：回归方程 $y a$ b$x 中, b$ i1 n
(xi x)2
=
i 1 n
xi 2
2
nx
第 1 页 共 4 页 命题人：
A． y 2x 2x B． y x tan x
C． y x sin x
D． y 1 2x x
8．抛物线 C : y2 4x 的焦点为 F ，其准线 l 与 x 轴交于点 A ，点 M 在抛物线 C 上，
MA
当 MF
2 时， AMF 的面积为（
）
A．1
i 1
i 1
n
又因为
42
xi
i 1
x 2
16940 ，所以 bˆ
xi
i 1 n
x yi y xi x 2
8470 16940
0.5 ，
i 1
a$ y b$x 74 0.5110 19 ，所以 $y 0.5x 19 ，................10 分
四川省顶级名校2021届高三上学期开学考试 数学(文)试题
文科数学试卷
一、选择题（共12小题；共60分）
1.已知集合 ，则集合 的元素个数是（）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．i为虚数单位， ，则 的共轭复数为（）
A. B． C. D．
3．石室中学为了解1 000名学生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些学生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则以下4名学生中被抽到的是（）
（2） 对称轴为 ..................5分
当 时，即 ，
在 上单调递增；.................8分
当 时，即 ，又
令 ，则 ，
当 或 时， ；
当 时， ；
在 ， 上单调递增；
在 上单调递减..................12分
19.（1）设 与 相交于点 ，连接 ，
∵四边形 为菱形，∴ ，且 为 中点，
由短轴长为2，可得 ，…………1分
又 ，解得 ， ，
其中所有正确结论的序号为_______
三、解答题（共6小题；共70分）
17.(本题满分12分)石室中学高三学生摸底考试后，从全体考生中随机抽取 名，获取他们本次考试的数学成绩( )和物理成绩( )，绘制成如图散点图：
根据散点图可以看出 与 之间有线性相关关系，但图中有两个异常点 ．经调查得知， 考生由于重感冒导致物理考试发挥失常， 考生因故未能参加物理考试．为了使分析结果更科学准确，剔除这两组数据后，对剩下的数据作处理，得到一些统计的值： 其中 分别表示这 名同学的数学成绩、物理成绩， ， 与 的相关系数 ．
15．已知 是定义域为 的奇函数， 是 的导函数， ，当 时， ，则使得 成立的 的取值集合是___________．
四川省成都市石室中学2020-2021学年高三上学期入学考数学(文)试题
故选B.
【点睛】
本题考查了二次不等式的解法、指数函数的值域的求法及并集的运算，属基础题.
3．C
【解析】
【分析】
由全称命题的否定为特称命题可得：命题的否定是“ ， ”，选项A错误，
由 在 为增函数，即 ，即B错误；由根式方程的求法得“ ”是“ ”的充要条件，即C正确，由向量的夹角可得向量 与 夹角为钝角或平角，即D错误，得解.
16．对于函数 ，若存在区间 ，当 时的值域为 ，则称 为 倍值函数.若 是 倍值函数，则实数 的取值范围是________.
三、解答题
17．某高校在2021年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如下表所示．
组号
分组
频数
频率
第1组
5
0.050
第2组
n
0.350
A． B．1C． D．2
11．在 中，已知 ， ， ，D是边AC上一点，将 沿BD折起，得到三棱锥 ．若该三棱锥的顶点A在底面BCD的射影M在线段BC上，设 ，则x的取值范围为（）
A． B． C． D．
12．设双曲线 的左，右顶点为 是双曲线上不同于 的一点，设直线 的斜率分别为 ，则当 取得最小值时，双曲线C的离心率为（）
【点睛】
本题考查了全称命题的否定、均值不等式的应用、根式方程的求法及向量的夹角，属基础题.
4．C
【解析】
【分析】
由 ，求得 ，
再利用 的性质即可得解.
【详解】
解：因为
，
则函数是在 上单调递增的偶函数，且值域为 ，周期为 ，
即选项 正确，选项 错误，
故选C.
【点睛】
本题考察了三角恒等变换及函数 的性质，属基础题.
2020-2021学年四川省成都市石室中学高三(上)期末数学试卷(文科)(解析版)
2020-2021学年四川省成都市石室中学高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（共12小题）.1．设集合A＝{x|﹣2≤x≤3}，B＝{x|2x﹣a≤0}，且A∩B＝{x|﹣2≤x≤1}，则a＝（）A．﹣4B．﹣2C．2D．42．抛物线y2＝﹣8x的准线方程为（）A．x＝﹣2B．x＝﹣1C．y＝1D．x＝23．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S7＝28，a2+a4＝7，则a6＝（）A．3B．4C．5D．64．欧拉公式e iθ＝cosθ+i sinθ把自然对数的底数e，虚数单位i，三角函数cosθ和sinθ联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学的天桥”若复数z满足（e iπ+i）•z＝i，则|z|＝（）A．1B．C．D．5．2020年初，新型冠状病毒（COVID﹣19）引起的肺炎疫情爆发以来，各地医疗机构采取了各种针对性的治疗方法，取得了不错的成效，某地开始使用中西医结合方法后，每周治愈的患者人数如表所示：周数（x）12345治愈人数（y）2791314由表格可得y关于x的线性回归方程为＝3x+，则此回归模型第4周的残差（实际值与预报值之差）为（）A．4B．1C．0D．﹣16．已知向量，的夹角为，，，则等于（）A．B．C．D．7．已知直线l和两个不同的平面α，β，则下列结论正确的是（）A．若l∥α，l⊥β，则α⊥βB．若α⊥β，l⊥α，则l⊥βC．若l∥α，l∥β，则α∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β8．已知函数的图象关于点成中心对称，且与直线y＝a的两个相邻交点间的距离为，则下列叙述正确的是（）A．函数f（x）的最小正周期为πB．函数f（x）图象的对称中心为C．函数f（x）的图象可由y＝tan2x的图象向左平移得到D．函数f（x）的递增区间为9．若函数f（x），g（x）的图象都是一条连续不断的曲线，定义：d（f，g）＝|f（x）﹣g （x）|min．若函数f（x）＝x+a和g（x）＝lnx的定义域是（0，+∞），则“a＞2”是“d （f，g）＞2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件10．圆C：x2+y2﹣10x+16＝0上有且仅有两点到双曲线的一条渐近线的距离为1，则该双曲线离心率的取值范围是（）A．B．C．D．11．已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a n+S n＝1，则＝（）A．1013B．1035C．2037D．205912．已知x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，若函数f（x）对定义域内任意x，有f（x）+f（2+x）＝0，f（x）+f（2﹣x）＝0，且x∈[﹣1，0]时，f（x）＝x﹣[x]，则函数在区间[﹣1，2021]的零点个数为（）A．1009B．1010C．1011D．1012二、填空题（共4小题）.13．在“一带一路”（英文：TheBel tan dRoad，缩写B&R）知识问答竞赛中，“江苏”代表队的七名选手的比赛成绩的茎叶统计图如图所示，去掉一个最高分和一个最低分，所剩数据的方差为．14．已知a，b∈R+，若直线（a﹣1）x+2y﹣1＝0与直线x+by+7＝0互相垂直，则ab的最大值等于．15．直三棱柱ABC﹣A1B1C1内有一个体积为V的球，若△ABC是边长为的等边三角形，AA1＝5，则V的最大值为．16．已知定义在R上的函数f（x）的图象连续不断，若存在常数t（t∈R），使得f（x+t）+tf（x）＝0对任意的实数x成立，则称f（x）是回旋函数．给出下列四个命题中，正确的命题是．①若f（x）是的回旋函数，则函数f（x）至少有一个零点；②若y＝a x（a＞1）为回旋函数，则t＞0；③函数f（x）＝x2不是回旋函数：④函数y＝tanω1x（ω1＞0），函数y＝sinω2x（ω2＞0）是回旋函数，则ω1，ω2的取值的集合是相等的．三、解答题（一）必考题17．在①c sin＝a sin C，②2cos A（b cos C+c cos B）＝a，③（sin B﹣sin C）2＝sin2A﹣sin B sin C 中任选一个，补充在横线上，并回答下面问题．在△ABC中，已知内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若c＝（﹣1）b，_____．（1）求C的值；（2）若△ABC的面积为3﹣，求b的值．18．2020年4月，各行各业开始复工复产，生活逐步恢复常态，某物流公司承担从成都到重庆的蔬菜运输业务．已知该公司统计了往年同期100天内每天配送的蔬菜量X（40≤X ＜160，单位：件．注：蔬菜全部用统一规格的包装箱包装），并分组统计得到表格如表：蔬菜量X[40，80）[80，120）[120，160）天数204040试解答如下问题：（Ⅰ）该物流公司负责人决定用分层抽样的形式在[40，80）、[80，120）两组数据中抽6天来分析配送的蔬菜量的情况，再从这六天中随机抽2天调研，求这2天配送的蔬菜量中至少有1天小于80件的概率；（Ⅱ）该物流公司拟一次性租赁一批货车专门运营从成都到重庆的蔬菜运输．已知一辆货车每天只能运营一趟．每辆货车每趟最多可装载40件，满载才发车，否则不发车．若发车，则每辆货车每趟可获利2000元；若未发车，则每辆货车每天平均亏损400元．该物流公司负责人甲提出的方案是租赁2辆货车，负责人乙提出的方案是租赁3辆货车，为使该物流公司此项业务的平均营业利润最大，应该选用哪种方案？19．如图（1），在矩形ABCD中，E，F在边CD上，BC＝CE＝FF＝FD．沿BE，AF，将△CBE和△DAF折起，使平面CBE和平面DAF都与平面ABEF垂直，如图（2）．（Ⅰ）试判断图（2）中直线CD与AB的位置关系，并说明理由；（Ⅱ）若平面DFA∩平面CEB＝l，证明：l⊥平面ABEF．20．已知函数f（x）＝x2lnx﹣2x．（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求证：存在唯一的x0∈（1，2），使得曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处的切线的斜率为f（2）﹣f（1）；（Ⅲ）比较f（1.01）与﹣2.01的大小，并加以证明．21．设椭圆C：+＝1（a＞b＞0），定义椭圆C的“相关圆”方程为x2+y2＝．若抛物线y2＝4x的焦点与椭圆C的一个焦点重合，且椭圆C短轴的一个端点和两个焦点构成直角三角形．（Ⅰ）求椭圆C的方程和“相关圆”E的方程；（Ⅱ）过“相关圆”E上任意一点P作“相关圆”E的切线与椭圆C交于A，B两点，O 为坐标原点．（ⅰ）证明：∠AOB为定值；（ⅱ）连接PO并延长交“相关圆”E于点Q，求△ABQ面积的取值范围．（二）选考题[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为为参数），直线l2的参数方程为参数）．若直线l1，l2的交点为P，当k变化时，点P的轨迹是曲线C．（1）求曲线C的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，直线l：，已知点P在曲线C上，点P到直线l和极轴的距离分别为d1，d2，求d1+d2的最大值．[选修4-3；不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x﹣1|﹣|x﹣3|．（Ⅰ）解不等式f（x）＞0；（Ⅱ）若不等式m2﹣4|m|+|x﹣3|＞f（x）对x∈R恒成立，求实数m的取值范围．参考答案一、选择题（共12小题）.1．设集合A＝{x|﹣2≤x≤3}，B＝{x|2x﹣a≤0}，且A∩B＝{x|﹣2≤x≤1}，则a＝（）A．﹣4B．﹣2C．2D．4解：∵集合A＝{x|﹣2≤x≤3}，B＝{x|2x﹣a≤0}＝{x|x≤}，且A∩B＝{x|﹣2≤x≤1}，∴＝1，解得a＝2．故选：C．2．抛物线y2＝﹣8x的准线方程为（）A．x＝﹣2B．x＝﹣1C．y＝1D．x＝2解：抛物线y2＝﹣8x的开口向左，2p＝8，∴抛物线y2＝﹣8x的准线方程为x＝＝2故选：D．3．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S7＝28，a2+a4＝7，则a6＝（）A．3B．4C．5D．6解：设等差数列{a n}的公差为d，∵S7＝28，a2+a4＝7，∴7a1+21d＝28，2a1+4d＝7．解得：a1＝，d＝．则a6＝+5×＝5．故选：C．4．欧拉公式e iθ＝cosθ+i sinθ把自然对数的底数e，虚数单位i，三角函数cosθ和sinθ联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学的天桥”若复数z满足（e iπ+i）•z＝i，则|z|＝（）A．1B．C．D．解：由e iθ＝cosθ+i sinθ，得e iπ＝cosπ+i sinπ＝﹣1，则由（e iπ+i）•z＝i，得z＝，∴|z|＝．故选：B．5．2020年初，新型冠状病毒（COVID﹣19）引起的肺炎疫情爆发以来，各地医疗机构采取了各种针对性的治疗方法，取得了不错的成效，某地开始使用中西医结合方法后，每周治愈的患者人数如表所示：周数（x）12345治愈人数（y）2791314由表格可得y关于x的线性回归方程为＝3x+，则此回归模型第4周的残差（实际值与预报值之差）为（）A．4B．1C．0D．﹣1解：，，则样本点的中心坐标为（3，9），代入，得a＝9﹣3×3＝0，∴线性回归方程为，取x＝4，可得，则此回归模型第4周的残差为13﹣12＝1．故选：B．6．已知向量，的夹角为，，，则等于（）A．B．C．D．解：∵向量，的夹角为，，，所以：||＝；∴•（+2）＝+2＝5+2××||•cos＝0⇒||＝；故选：A．7．已知直线l和两个不同的平面α，β，则下列结论正确的是（）A．若l∥α，l⊥β，则α⊥βB．若α⊥β，l⊥α，则l⊥βC．若l∥α，l∥β，则α∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β解：设m⊂α，且m∥l，由l⊥β，则m⊥β，由面面垂直的判定定理可得：α⊥β，即选项A正确，故选：A．8．已知函数的图象关于点成中心对称，且与直线y＝a的两个相邻交点间的距离为，则下列叙述正确的是（）A．函数f（x）的最小正周期为πB．函数f（x）图象的对称中心为C．函数f（x）的图象可由y＝tan2x的图象向左平移得到D．函数f（x）的递增区间为解：∵直线y＝a的两个相邻交点间的距离为，∴函数f（x）的最小正周期为，A错，∴，∵图象关于点成中心对称，∴2×+φ＝，k∈Z，∵0＜φ＜，∴φ＝．∴函数f（x）图象的对称中心为（，0），k∈Z，B错；∴f（x）＝tan（2x+），∴函数f（x）的图象可由y＝tan2x的图象向左平移得到，C错；∵﹣+kπ＜2x+＜+kπ，∴函数f（x）的递增区间为，D对．故选：D．9．若函数f（x），g（x）的图象都是一条连续不断的曲线，定义：d（f，g）＝|f（x）﹣g （x）|min．若函数f（x）＝x+a和g（x）＝lnx的定义域是（0，+∞），则“a＞2”是“d （f，g）＞2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：根据题意，f（x）＝x+a，g（x）＝lnx，设F（x）＝f（x）﹣g（x）＝x﹣lnx+a，则F′（x）＝1﹣＝，在区间（0，1）上，F′（x）＜0，F（x）为减函数，在区间（1，+∞）上，F′（x）＞0，F（x）为增函数，则F（x）在（0，+∞）的最小值为F（1）＝1﹣ln1+a＝a+1，当a＞﹣1时，F（x）＞0恒成立，则f（x）的图象在g（x）的上方，此时d（f，g）＝a+1＞0，当a≤﹣1时，F（x）＝0有解，f（x）与g（x）的图象有交点，此时d（f，g）＝0，若“a＞2”，则d（f，g）＝a+1＞3＞2，则“a＞2”是“d（f，g）＞2”充分条件，反之，若d（f，g）＞2，即a+1＞2，解可得a＞1，则“a＞2”是“d（f，g）＞2”的不必要条件，故“a＞2”是“d（f，g）＞2”的充分不必要条件，故选：A．10．圆C：x2+y2﹣10x+16＝0上有且仅有两点到双曲线的一条渐近线的距离为1，则该双曲线离心率的取值范围是（）A．B．C．D．解：圆C：x2+y2﹣10x+16＝0可化为（x﹣5）2+y2＝9，∵圆C：x2+y2﹣10x+16＝0上有且仅有两点到双曲线的一条渐近线的距离为1，∴圆心到双曲线渐近线的距离大于2且小于4，由对称性不妨取双曲线的一条渐近线为y＝x，即ax﹣by＝0，∴2＜＜4，即2＜＜4，解得：．即双曲线离心率的取值范围是（，）．故选：A．11．已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a n+S n＝1，则＝（）A．1013B．1035C．2037D．2059解：n＝1时，a1+S1＝1，1＝，n≥2时，a n+S n＝1，a n﹣1+S n﹣1＝1，∴a n＝a n﹣1，则数列{a n}是首项为公比为的等比数列．∴，S n＝．∴．则＝2+22+…+29﹣9＝1024﹣11＝1013．故选：A．12．已知x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，若函数f（x）对定义域内任意x，有f（x）+f（2+x）＝0，f（x）+f（2﹣x）＝0，且x∈[﹣1，0]时，f（x）＝x﹣[x]，则函数在区间[﹣1，2021]的零点个数为（）A．1009B．1010C．1011D．1012解：x∈[﹣1，0）时，[x]＝﹣1，所以f（x）＝x+1，因为f（x）+f（2+x）＝0，所以f（x+2）＝﹣f（x），则有f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），故函数f（x）的周期为4，又f（x）+f（2﹣x）＝0，则有f（x+2）＝﹣f[2﹣（x+2）]＝﹣f（﹣x），又f（x+2）＝﹣f（x），所以f（﹣x）＝f（x），故函数f（x）为偶函数，令，则，令h'（x）＝0，解得x＝2，当x＜2时，h'（x）＜0，h（x）在（﹣∞，2）上单调递减，当x＞2时，h'（x）＞0，h（x）在（2，+∞）上单调递增，所以，当x＝2时，，函数的零点个数等价于y＝f（x）与y＝h（x）图象的交点个数，作出函数y＝f（x）和y＝h（x）的图象如图所示，在区间[﹣1，3）内有2个交点，在[3，7）上有2个交点，即每个周期都有2个交点，将区间[﹣1，2021]分为两部分[﹣1，3）和[3，2021]，在[3，2021]上共有504个周期余前半个周期，而在[3，2021]上，每个周期的前半个周期都没有交点，后半个周期有2个交点，所以在区间[﹣1，2021]上的交点个数为2+504×2＝1010，故函数在区间[﹣1，2021]的零点个数为1010个．故选：B．二、填空题13．在“一带一路”（英文：TheBel tan dRoad，缩写B&R）知识问答竞赛中，“江苏”代表队的七名选手的比赛成绩的茎叶统计图如图所示，去掉一个最高分和一个最低分，所剩数据的方差为．解：在“一带一路”（英文：The Belt and Road，缩写B&R）知识问答竞赛中，“江苏”代表队的七名选手的比赛成绩的茎叶统计图如图所示，去掉一个最高分和一个最低分，所剩数据为：84，84，84，86，87，∴所剩数据平均数为＝（84+84+84+86+87）＝85，∴所剩数据的方差为：S2＝[（84﹣85）2+（84﹣85）2+（84﹣85）2+（86﹣85）2+（87﹣85）2]＝．故答案为：．14．已知a，b∈R+，若直线（a﹣1）x+2y﹣1＝0与直线x+by+7＝0互相垂直，则ab的最大值等于．解：∵直线（a﹣1）x+2y﹣1＝0与直线x+by+7＝0互相垂直，∴（a﹣1）×1+2×b＝0，解得a+2b＝1，∵a，b∈R+，∴2ab≤＝，当且仅当2a＝b，即a＝，b＝时取等号，∴ab的最大值等于．故答案为：．15．直三棱柱ABC﹣A1B1C1内有一个体积为V的球，若△ABC是边长为的等边三角形，AA1＝5，则V的最大值为π．解：如图，等边三角形内切球的半径r＝3＞，要使球的体积最大，则球与直三棱柱ABC﹣A1B1C1的上下底面相切，∴球半径R＝，∴V max＝＝．故答案为：π．16．已知定义在R上的函数f（x）的图象连续不断，若存在常数t（t∈R），使得f（x+t）+tf（x）＝0对任意的实数x成立，则称f（x）是回旋函数．给出下列四个命题中，正确的命题是①③④．①若f（x）是的回旋函数，则函数f（x）至少有一个零点；②若y＝a x（a＞1）为回旋函数，则t＞0；③函数f（x）＝x2不是回旋函数：④函数y＝tanω1x（ω1＞0），函数y＝sinω2x（ω2＞0）是回旋函数，则ω1，ω2的取值的集合是相等的．解：对于①，若f（x）是t＝的回旋函数，则f（x+）+f（x）＝0，即f（x+）＝﹣f（x）恒成立，∴f（x）•f（x+）≤0，∴由零点存在性定理可得，函数f（x）在区间[x，x+]上至少有一个零点，故①正确；对于②，若指数函数y＝a x为阶数为t回旋函数，则a x+t+ta x＝0，a t+t＝0，∴t＜0，故②错误；对于③，若（x+a）2+ax2＝0对任意实数都成立，令x＝0，则必须有a＝0，令x＝1，则有a2+3a+1＝0，a＝0不是这个方程的解，故假设不成立，该函数不是回旋函数，故③正确；对于④，∵函数y＝tanω1x（ω1＞0），函数y＝sinω2x（ω2＞0）是回旋函数，∴tanω1（x+t）+t•tanω1x＝0，sinω2（x+t）+t•sinω2x＝0，∴ω1，ω2的取值的集合是相等的，故④正确．故答案为：①③④．三、解答题（一）必考题17．在①c sin＝a sin C，②2cos A（b cos C+c cos B）＝a，③（sin B﹣sin C）2＝sin2A﹣sin B sin C 中任选一个，补充在横线上，并回答下面问题．在△ABC中，已知内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若c＝（﹣1）b，_____．（1）求C的值；（2）若△ABC的面积为3﹣，求b的值．解：（1）选①，，由正弦定理可得sin C sin＝sin A sin C，因为C为三角形内角，sin C＞0，所以sin＝sin A，即cos＝2sin cos，因为A为三角形内角，∈（0，），所以sin＝，可得＝，可得A＝，可得B＝﹣C，又c＝（）b，由正弦定理可得sin C＝（﹣1）sin B，即sin C＝（﹣1）sin（﹣C）＝cos C+sin C，可得sin C﹣cos C＝0，即sin（C﹣）＝0，又C∈（0，π），所以C﹣∈（﹣，），选②，2cos A（b cos C+c cos B）＝a，由正弦定理可得2cos A（sin B cos C+sin C cos B）＝sin A，所以2cos A sin（B+C）＝2cos A sin A＝sin A，因为sin A≠0，所以cos A＝，又A为三角形内角，A∈（0，π），所以A＝，可得B＝﹣C，又c＝（）b，由正弦定理可得sin C＝（﹣1）sin B，即sin C＝（﹣1）sin（﹣C）＝cos C+sin C，可得sin C﹣cos C＝0，即sin（C﹣）＝0，又C∈（0，π），所以C﹣∈（﹣，），所以C﹣＝0，即C＝．选③，（sin B﹣sin C）2＝sin2A﹣sin B sin C，由正弦定理可得（b﹣c）2＝a2﹣bc，即b2+c2﹣a2＝bc，因此cos A＝＝，又A为三角形内角，A∈（0，π），所以A＝，可得B＝﹣C，又c＝（）b，由正弦定理可得sin C＝（﹣1）sin B，即sin C＝（﹣1）sin（﹣C）＝cos C+sin C，可得sin C﹣cos C＝0，即sin（C﹣）＝0，又C∈（0，π），所以C﹣＝0，即C＝．（2）因为△ABC的面积为3﹣＝bc sin A＝bc＝b2，所以解得b＝2．18．2020年4月，各行各业开始复工复产，生活逐步恢复常态，某物流公司承担从成都到重庆的蔬菜运输业务．已知该公司统计了往年同期100天内每天配送的蔬菜量X（40≤X ＜160，单位：件．注：蔬菜全部用统一规格的包装箱包装），并分组统计得到表格如表：蔬菜量X[40，80）[80，120）[120，160）天数204040试解答如下问题：（Ⅰ）该物流公司负责人决定用分层抽样的形式在[40，80）、[80，120）两组数据中抽6天来分析配送的蔬菜量的情况，再从这六天中随机抽2天调研，求这2天配送的蔬菜量中至少有1天小于80件的概率；（Ⅱ）该物流公司拟一次性租赁一批货车专门运营从成都到重庆的蔬菜运输．已知一辆货车每天只能运营一趟．每辆货车每趟最多可装载40件，满载才发车，否则不发车．若发车，则每辆货车每趟可获利2000元；若未发车，则每辆货车每天平均亏损400元．该物流公司负责人甲提出的方案是租赁2辆货车，负责人乙提出的方案是租赁3辆货车，为使该物流公司此项业务的平均营业利润最大，应该选用哪种方案？【解答】（Ⅰ）记事件A为“2天配送的蔬菜量中至多有1天小于80件的概率”，在[40，80）、[80，120）两组数据中用分层抽样抽6天，[40，80）中抽的天数为天，记为A，B，[80，120）中抽的天数为天，记为a，b，c，d，则从这6天中随机抽取2天的所有可能情况有以下：（A，B），（A，a），（A，b），（A，c），（A，d），（B，a），（B，b），（B，c），（B，d），（a，b），（a，c），（a，d），（b，c），（b，d），（c，d），共15种，选中的2天中配送的蔬菜量中至少有1天小于80件的可能情况有以下：（A，B），（A，a），（A，b），（A，c），（A，d），（B，a），（B，b），（B，c），（B，d），共9种∴选中的2天中配送的蔬菜量中至少有1天小于80件概率为．（Ⅱ）若租赁2辆车，平均利润为若租赁3辆车，平均利润为∵4080＞3520，所以应该选择租赁3辆货车，此时平均营业利润最大．19．如图（1），在矩形ABCD中，E，F在边CD上，BC＝CE＝FF＝FD．沿BE，AF，将△CBE和△DAF折起，使平面CBE和平面DAF都与平面ABEF垂直，如图（2）．（Ⅰ）试判断图（2）中直线CD与AB的位置关系，并说明理由；（Ⅱ）若平面DFA∩平面CEB＝l，证明：l⊥平面ABEF．【解答】证明：（Ⅰ）CD∥AB．理由如下：连结CD，分别取AF，BE的中点M，N，连结DM，CN，MN，由图（1）可得，△ADF与△BCE都是等腰直角三角形且全等，则DM⊥AF，CN⊥BE，DM＝CN ∵平面ADF⊥平面ABEF，交线为AF，DM⊂平面ADF，DM⊥AF∴DM⊥平面ABEF．同理得，CN⊥平面ABEF，∴DM∥CN．又∵DM＝CN∴四边形CDMN为平行四边形，∴CD∥MN．∵M，N分别是AF，BE的中点，∴MN∥AB∴CD∥AB．（Ⅱ）证明：∵DM∥CN，DM⊆平面DFA，CN⊄平面DFA∴CN∥面DFA∵CN⊂平面CEB，面DFA∩平面CEB＝l∴CN∥l∵DM∥CN∴DM∥l由（Ⅰ）问有DM⊥平面ABEF．∴l⊥平面ABEF．20．已知函数f（x）＝x2lnx﹣2x．（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求证：存在唯一的x0∈（1，2），使得曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处的切线的斜率为f（2）﹣f（1）；（Ⅲ）比较f（1.01）与﹣2.01的大小，并加以证明．解：（Ⅰ）函数f（x）＝x2lnx﹣2x的定义域是（0，+∞），导函数为f'（x）＝2xlnx+x﹣2，所以f'（1）＝﹣1，又f（1）＝﹣2，所以曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y＝﹣x﹣1；（Ⅱ）证明：由已知f（2）﹣f（1）＝4ln2﹣2，所以只需证明方程2xlnx+x﹣2＝4ln2﹣2在区间（1，2）有唯一解．即方程2xlnx+x﹣4ln2＝0在区间（1，2）有唯一解．设函数g（x）＝2xlnx+x﹣4ln2，则g'（x）＝2lnx+3．当x∈（1，2）时，g'（x）＞0，故g（x）在区间（1，2）单调递增．又g（1）＝1﹣4ln2＜0，g（2）＝2＞0，所以存在唯一的x0∈（1，2），使得g（x0）＝0．综上，存在唯一的x0∈（1，2），使得曲线y＝f（x）在点（x0，f（x0））处的切线的斜率为f（2）﹣f（1）；（Ⅲ）f（1.01）＞﹣2.01．证明如下：首先证明：当x＞1时，f（x）＞﹣x﹣1．设h（x）＝f（x）﹣（﹣x﹣1）＝x2lnx﹣x+1，则h'（x）＝x+2xlnx﹣1．当x＞1时，x﹣1＞0，2xlnx＞0，所以h'（x）＞0，故h（x）在（1，+∞）单调递增，所以x＞1时，有h（x）＞h（1）＝0，即当x＞1时，有f（x）＞﹣x﹣1．所以f（1.01）＞﹣1.01﹣1＝﹣2.01．21．设椭圆C：+＝1（a＞b＞0），定义椭圆C的“相关圆”方程为x2+y2＝．若抛物线y2＝4x的焦点与椭圆C的一个焦点重合，且椭圆C短轴的一个端点和两个焦点构成直角三角形．（Ⅰ）求椭圆C的方程和“相关圆”E的方程；（Ⅱ）过“相关圆”E上任意一点P作“相关圆”E的切线与椭圆C交于A，B两点，O 为坐标原点．（ⅰ）证明：∠AOB为定值；（ⅱ）连接PO并延长交“相关圆”E于点Q，求△ABQ面积的取值范围．解：（Ⅰ）∵抛物线y2＝4x的焦点与椭圆C的一个焦点重合，且椭圆C短轴的一个端点和两个焦点构成直角三角形，∴b＝c＝1，∴a2＝1+1＝2，∴椭圆C的方程为．∴“相关圆”E的方程为x2+y2＝．证明：（Ⅱ）（i）当直线l的斜率不存在时，不妨设直线AB方程为x＝，则A（，），B（，﹣），∴，当直线l的斜率存在时，设其方程为y＝kx+m，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程组，得x2+2（kx+m）2＝2，即（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2＝0，△＝16k2m2﹣4（1+2k2）（2m2﹣2）＝8（2k2﹣m2+1）＞0，即2k2﹣m2+1＞0，（*），∵直线与圆相切，∴＝＝，∴3m2＝2+2k2，∴+km（x1+x2）+m2＝＝＝0，∴，∴为定值．解：（ii）∵PQ是“相关圆”的直径，∴，∴要求△ABQ的面积的取值范围，只需求弦长|AB|的范围，当直线AB的斜率不存在时，由（i）知|AB|＝，|AB|＝＝＝＝，①当k≠0时，|AB|＝，∵，∴0＜，∴≤3，∴＜|AB|，当且仅当k＝时，取“＝”号．②当k＝0时，|AB|＝．|AB|的取值范围为≤|AB|，∴△ABQ面积的取值范围是[，]．（二）选考题[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为为参数），直线l2的参数方程为参数）．若直线l1，l2的交点为P，当k变化时，点P的轨迹是曲线C．（1）求曲线C的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，直线l：，已知点P在曲线C上，点P到直线l和极轴的距离分别为d1，d2，求d1+d2的最大值．解：（1）直线l1的参数方程为参数），转换为直线l1的普通方程为y＝k （﹣x），直线l2的参数方程为参数）．转化为直线l2的普通方程为y﹣2＝，联立直线l1，l2方程，消去参数k，得曲线C的普通方程为y（y﹣2）＝﹣x2，整理得x2+（y﹣1）2＝1（x≠0）．（2）直线l：，即为ρ（cosθ+sinθ）＝2，即ρcosθ+ρsinθ﹣4＝0，由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，可得x+y﹣4＝0，由x2+（y﹣1）2＝1（x≠0），可得C的参数方程为（α为参数，且0≤α＜2π，且α≠），可设P（cosα，1+sinα），d1＝＝＝（3﹣cosα﹣sinα），又d2＝1+sinα，则d1+d2＝+sinα﹣cosα＝sin（α﹣）+，当α＝时，sin（α﹣）取得最大值1，则d1+d2取得最大值．[选修4-3；不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x﹣1|﹣|x﹣3|．（Ⅰ）解不等式f（x）＞0；（Ⅱ）若不等式m2﹣4|m|+|x﹣3|＞f（x）对x∈R恒成立，求实数m的取值范围．解：（Ⅰ）f（x）＞0即为|2x﹣1|＞|x﹣3|，∴|2x﹣1|2＞|x﹣3|2，即4x2﹣4x+1＞x2+9﹣6x，∴3x2+2x﹣8＞0，解得或x＜﹣2，∴不等式的解集为；（Ⅱ）m2﹣4|m|+|x﹣3|＞|2x﹣1|﹣|x﹣3|即m2﹣4|m|＞|2x﹣1|﹣|2x﹣6|恒成立，由||2x﹣1|﹣|2x﹣6||≤|（2x﹣1）﹣（2x﹣6）|＝5（x＝3时等号成立），可知m2﹣4|m|＞5，解得|m|＞5，∴m＞5或m＜﹣5，即实数m的取值范围为（﹣∞，﹣5）∪（5，+∞）．。
石室中学高2021届2020-2021学年度上期数学入学考试参考答案(理科)
x
e−a
．
( ) 则 g( x) = ex − a = xex − a ，令 t ( x) = xex − a ， x 0, e−a ， t( x) = ex (x +1) 0 ， xx
( ) 所以 t ( x) 在 0, e−a 上是单调增函数．
( ) 要使得 g ( x) 在 0, e−a 上存在极值，
( ) ( ) f (e) = 1 − 2 ， f e3
e2
=
1 e2
−1 3
，
f
(e)
f
e2
所以
f (x)min
=
f
(3) =
ln 3 − 2 3
，
f (x)max
=
f
(e2 ) =
1 e2
−1 3
．…………5 分
（Ⅱ）依题意
g
(
x)
=
ex
+
1 x
−
a
ln
x
+
1 x
−1
=
ex
−
a
ln
x
+1，
0
x1 x2
x1 x2
k2 =
m2 − r2 1+ k2
+
km
−2km 1+− r2k2 =
m2 − r2
…9 分
1+ k2
将
m2
=1+
4k 2
代入上式，可得
k1k2
=
(4
− r2 )k2 m2 − r2
+1
=
(4 − r2 )k2 4k 2 + (1 −
+1 r2)
四川省成都市青羊区石室中学2021届高三数学上学期10月月考试题 文(含解析).doc
四川省成都市青羊区石室中学2021届高三数学上学期10月月考试题文（含解析）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|(1)(2)0},{|0}=--≤=>M x x x N x x ，则（ ） A. N M ⊆B. M N ⊆C. M N ⋂=∅D.M N R =【答案】B 【解析】 【分析】求解出集合M ，根据子集判定可得结果.【详解】由题意知：()(){}{}12012M x x x x x =--≤=≤≤，则M N ⊆ 本题正确选项：B【点睛】本题考查集合间的关系，属于基础题. 2.已知i 为虚数单位，则232019i i i i ++++等于（ ）A. iB. 1C. i -D. 1-【答案】D 【解析】 【分析】利用)ni n N *∈（的周期求解.【详解】由于234110i i i i i i +++=--+=， 且)ni n N *∈（的周期为4，2019=4504+3⋅， 所以原式=2311i i i i i ++=--=-. 故选：D【点睛】本题主要考查复数的计算和)ni n N *∈（的周期性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.3.已知命题p ：(),0x ∀∈-∞，22310x x -+>，命题q ：若0x ≥，则22310x x -+≤，则以下命题正确的为（ ）A. p 的否定为“[0,)x ∃∈+∞，22310x x -+≤”，q 的否命题为“若0x <，则22310x x -+>”B. p 的否定为“(,0)x ∃∈-∞，22310x x -+≤”，q 的否命题为“若0x <，则22310x x -+>”C. p 的否定为“[0,)x ∃∈+∞，22310x x -+≤”，q 的否命题为“若0x ≥，则22310x x -+>”D. p 的否定为“(,0)x ∃∈-∞，22310x x -+≤”，q 的否命题为“若0x ≥，则22310x x -+>”【答案】B 【解析】 【分析】根据命题的否定：全称变特称，只否结论；否命题：条件结论都要否。
2020-2021学年四川省成都市石室中学(高中部)高三数学文上学期期末试卷含解析
2020-2021学年四川省成都市石室中学(高中部)高三数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若向量则=A．（－2，－4）B．（3．4）C．（6，10）D．（－6．－10）参考答案：2. 一个正方体的展开图如图所示，A、B、C、D为原正方体的顶点，则在原来的正方体中（）A．AB∥CD B．AB与CD相交C．AB⊥CD D．AB与CD所成的角为60°参考答案：D3. “直线不相交”是“直线为异面直线”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：B4. 已知恒成立，若为真命题，则实数的最小值为（）A．2 B．3 C. 4 D．5参考答案：A5. 已知函数的图象如图所示，，则（）A、B、C、D、参考答案：B略6. 已知为原点，双曲线上有一点，过作两条渐近线的平行线，且与两渐近线的交点分别为，平行四边形的面积为1，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．参考答案：7. （）（A）（B）（C）（D）参考答案：B略8. （5分）（2015?嘉峪关校级三模）四面体ABCD的四个顶点都在球O的表面上，AB⊥平面BCD，△BCD是边长为3的等边三角形．若AB=2，则球O的表面积为（）A．4π B．12π C．16π D．32π参考答案：C【考点】：球的体积和表面积．【专题】：计算题；空间位置关系与距离．【分析】：取CD的中点E，连结AE，BE，作出外接球的球心，求出半径，即可求出表面积．解：取CD的中点E，连结AE，BE，∵在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，△BCD是边长为3的等边三角形．∴Rt△ABC≌Rt△ABD，△ACD是等腰三角形，△BCD的中心为G，作OG∥AB交AB的中垂线HO于O，O为外接球的中心，BE=，BG=，∴R=2．四面体ABCD外接球的表面积为：4πR2=16π．故选：C．【点评】：本题考查球的内接体知识，考查空间想象能力，确定球的切线与半径是解题的关键．9. 若集合，则（）A. {0,1,2,3}B. {1,2,3}C. {0,1,2}D. {0,1,2,3,4}参考答案：A10. 是虚数单位，则复数在复平面内对应的点在（）．第一象限．第二象限．第三象限．第四象限参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知复数（其中是虚数单位），则_________.参考答案：12. 函数的值域是_________.参考答案：(0,+∞)【分析】先求得函数的定义域,再由可求得函数的值域.【详解】函数的定义域为,又,故函数的值域是.故答案为:.【点睛】(且,).13. 下图展示了一个由区间(0,1)到实数集R的映射过程：区间中的实数m对应数轴上的点M，如图1；将线段围成一个圆，使两端点A、B恰好重合，如图2；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y轴上，点A的坐标为，如图3.图3中直线与x轴交于点，则m的象就是n，记作.（ⅰ）方程的解是；（ⅱ）下列说法中正确命题的序号是 .（填出所有正确命题的序号）①； ②是奇函数； ③在定义域上单调递增；④的图象关于点对称．参考答案：，③④14. 已知在平面直角坐标系中有一个点列：。
2021届四川省成都石室中学高三上期期中文科数学试卷
2021年四川省成都石室中学高三上期期中文科数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．集合A ＝{y ∈R|y ＝lgx ，x ＞1}，B ＝{－2，－1，1，2}，则下列结论正确的是( ) A.A ∩B ＝{－2，－1} B.( R A)∪B ＝(－∞，0) C.A ∪B ＝(0，＋∞) D.( R A)∩B ＝{－2，－1}2．复数112i iz i +=--的共轭复数z 的虚部是( ) A.2i B.－2i C.12 D.－123．已知角α的终边与单位圆x 2＋y 2＝1交于P(12，y)，则sin(2π＋2α)＝( )A.12 B.1 C.－12D.－24．正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积为94P 是△A 1B 1C 1的中心，则PA 与平面ABC 所成角的大小是( ) A.12πB.3π C.4π D.6π 5．已知函数f(x)＝|x ＋a|－|x －a|(a ≠0)，h(x)＝22(0)(0)x x x x x x ⎧-+>⎪⎨+≤⎪⎩，则f(x)，h(x)的奇偶性依次为( ) A.偶函数，奇函数 B.奇函数，偶函数 C.偶函数，偶函数 D.奇函数，奇函数6．已知{}n a 为等比数列,472a a +=,568a a =-,则110a a +=（ ） A ．7B ．5C ．5-D ．7-7．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的四个面的面积中，最大的是()3 B.8 7 38．已知e 是自然对数的底数，函数()2x f x e x =+-的零点为a ，函数()ln 2g x x x =+-的零点为b ，则下列不等式中成立的是（ ）A ．(1)()()f f a f b <<B ．()(1)()f b f f a <<C ．()()(1)f a f b f <<D ．()(1)()f a f f b <<9．已知直线l ：y ＝ax ＋1－a(a ∈R)，若存在实数a 使得一条曲线与直线l 由两个不同的交点，且以这两个交点为端点的线段长度恰好等于|a|，则称此曲线为直线l 的“绝对曲线”.下面给出的三条曲线方程：①y ＝－2|x －1|；②(x －1)2＋(y －1)2＝1；③x 2＋3y 2＝4.其中直线l 的“绝对曲线”的条数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3二、填空题 10．lg14－lg25＝____________. 11．已知x ，y 满足约束条件1122x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，则目标函数z ＝2x －3y 的最大值为________.12．为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中药品的浓度C(单位：mg/L)随时间t(单位：小时)的变化关系为C ＝2204tt +，则经过__________小时候池水中药品的浓度达到最大.13．已知cos α－sin α2，则tan α＝______________.14．设x ∈R ，用[x]表示不超过x 的最大整数，例如：[2]＝2，[3.1]＝3，[－2.6]＝－3.下列四个命题： ①若x ＞y ，则[x]＞[y]；②若[x]＞[y]，则x ＞y ；③设函数f(x)＝||1()2x ，则函数y ＝[f(x)]的值域为{0，1}；④方程1142x x +-⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦的解集是{x|1≤x ＜5}. 其中真命题的序号是_________________.(写出所有真命题的序号)三、解答题15．已知()2cos 23sin ,1m x x =+，()cos ,n x y =-，满足•0m n =． (1)将y 表示为x 的函数()f x ，并求()f x 的最小正周期；(2)已知,,a b c 分别为ABC ∆的三个内角,,A B C 对应的边长，()(R)f x x ∈的最大值是()2Af ，且2a =，求b c +的取值范围． 16．(本小题满分12分)如图，在四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，侧面ADD 1A 1⊥底面ABCD ，D 1A ＝DD 1＝2，底面ABCD 为直角梯形，其中BC ∥AD ，AB ⊥AD ，AD ＝2AB ＝2BC ＝2.(1)求证：A 1O ∥平面AB 1C ； (2)求三棱锥B 1－ABC 的体积.17．(本小题满分12分)为了宣传今年10月在我是举办的“第十五届中国西部博览会”组委会举办了“西博会”知识有奖问答活动，随机对市民15～65岁的人群抽样n 人，回答问题统计结果如下图表所示：(1)分别求出a ，x 的值；(2)从地2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，“西博会”组委会决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率.18．(本小题满分12分)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2＋pn ＋q(p ，q ∈R)，且a 2，a 3，a 5成等比数列 (1)求p ，q 的值；(2)若数列{b n }满足a n ＋log 2n ＝log 2b n ，求数列{b n }的前n 项和T n .19．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点分别为()()122,0,2,0F F -,以椭圆短轴为直径的圆经过点()1,0M . (1)求椭圆C 的方程;(2)过点M 的直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点,设点()3,2N ,直线,AN BN 的斜率分别为12,k k ,问12k k +是否为定值?并证明你的结论. 20．(本小题满分14分)已知函数f(x)＝(1＋x)lnx. (1)求函数f(x)在x ＝1处的切线方程； (2)设g(x)＝()(1)f x a x -，对任意x ∈(0，1)，都有g(x)＜－2，求实数a 的取值范围；参考答案1．D【解析】由已知，x ＞1，故y ＝lgx ＞0，即A ＝(0，＋∞)，于是A ∩B ＝{1，2}，A 错误，A ∪B ＝{－1，－2}∪(0，＋∞)，C 错误，( R A)∪B ＝(－∞，0]∪{1，2}，故B 错误，( R A)∩B ＝{－2，－1}，D 正确 考点：集合运算 2．D【解析】2(1)2(1)(1)2222i i i i i z i i +=-=-=-+，∴2i z =-，故z 虚部为－12考点：复数的概念及其代数运算 3．C【解析】在单位圆上，当x ＝12，y ＝±2，于是tan α＝∴sin(2π＋2α)＝cos2α＝cos 2α－sin 2α＝222222cos sin 1tan 131cos sin 1tan 132αααααα---===-+++ 考点：三角函数图象，性质，诱导公式，二倍角公式 4．B，32，PA 1＝1， 设△ABC 的中心为Q ，则∠PAQ 为PA 与平面ABC 所成角有tan ∠PAQ ＝11AA PQ AQ PA == 即PA 与平面ABC 所成角为3π. 考点：三棱柱体积，解三角形 5．D【解析】f(－x)＝|－x ＋a|－|－x －a|＝|x －a|－|x ＋a|，故f(x)为奇函数 x ＞0时，－x ＜0，h(－x)＝(－x)2＋(－x)＝x 2－x ＝－h(x)x ＜0时，－x ＞0，h(－x)＝－(－x)2＋(－x)＝－x 2－x ＝－h(x) 且h(0)＝0，故h(x)也是奇函数 考点：函数的奇偶性 6．D 【分析】由条件可得47a a ，的值，进而由27104a a a =和2417a a a =可得解.【详解】56474747822,4a a a a a a a a ==-+=∴=-=或474,2a a ==-.由等比数列性质可知2274101478,1a a a a a a ==-==或2274101471,8a a a a a a ====-1107a a ∴+=-故选D. 【点睛】本题主要考查了等比数列的下标的性质，属于中档题. 7．C【解析】原几何体是一个三棱锥，底面是边长为4的正三角形，一条长为4的侧棱垂直于底面，可知，四个面的面积分别为，8，8，，故最大面积为. 考点：三视图，棱锥的表面积 8．D 【解析】∵函数()2xf x e x =+-的零点为a ，f （0）=-1＜0，f （1）=e -1＞0，∴0＜a ＜1．∵函数()ln 2g x x x =+-的零点为b ，g （1）=-1＜0，g （2）=ln2＞0，∴1＜b ＜2． 综上可得，0＜a ＜1＜b ＜2．再由函数()2xf x e x =+-在（0，+∞）上是增函数，可得()()()1f a f f b <<，故选D ．点睛：本题主要考查函数的零点的存在性定理，函数的单调性的应用，一般地，如果函数y=f （x ）在区间[a ，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f （a ）•f （b ）＜0，那么函数y=f （x ）在区间（a ，b ）内有零点，即存在c ∈（a ，b ），使得f （c ）=O ，这个c 也就是f （x ）=0的根． 9．C【解析】由l ：y ＝ax ＋1－a 可知，该直线过定点(1，1) ①对于y ＝－2|x －1|＝22(1)22(1)x x x x -+≥⎧⎨-<⎩是以(1，0)点为折点的折线，如图无论a 为何值，它与l 都最多有一个公共点，故①不是“绝对曲线”； ②(x －1)2＋(y －1)2＝1是以(1，1)为圆心，1为半径的圆， 直线l 过圆心，他们相交所得线段长为定值2 因此，存在a ＝±2满足条件，故②是“绝对曲线”③将l 的方程代入x 2＋3y 2＝4，得(3a 2＋1)x 2＋6a(1－a)x ＋3(1－a)2－4＝0 设他们的交点为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)则2226(1)31a a x x a --+=+，22223(1)431a x x a --=+由弦长公式：|AB|2＝(1＋a 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]即：a 2＝(1＋a 2)[(26(1)31a a a --+)2－4223(1)431a a --+] 化简整理得：222262()131a a a a +-++＝0 令f(a)＝222262()131a a a a +-++，由于f(1)＝12－4＜0，f(3)＝9251049-＞0 所以函数f(a)在(1，3)内有零点，即方程f(a)＝0有实数根 故存在实数a ∈(1，3)满足条件，故③是“绝对曲线”； 考点：直线与曲线位置关系，弦长，新定义 10．－2【解析】原式＝lg(14÷25)＝lg 1100＝－2 考点：对数运算 11．2【解析】画出可行域如图将可行域三个顶点坐标代入目标函数，可知当直线z ＝2x －3y 经过点A(1，0)时，z 的最大值为2.考点：简单线性规划 12．2 【解析】C ＝2202020444t t t t=≤++＝5 当且仅当4t t=且t ＞0，即t ＝2时取等号 考点：基本不等式，实际应用 13．－1【解析】由cos α－sin αsin(α－4π)，即sin(α－4π)＝－1， 于是α－4π＝2k π－2π(k ∈Z) α＝2k π－4π(k ∈Z) 所以tan α＝tan(2k π－4π)＝－tan 4π＝－1 考点：三角函数性质 14．③④【解析】对于①，当x ＝1.2，y ＝1.1时，x ＞y 成立，但[x]＝[y]，故①错误； 对于②，当x ＝1.1，y ＝1.2时，有[x]≥[y]，当x ＜y ，故②错误； 对于③，∵|x|≥0，∴f(x)＝2|x|∈(0，1] 当f(x)∈(0，1)时，y ＝[f(x)]＝0 当f(x)＝1时，y ＝[f(x)]＝1故y ＝[f(x)]的值域为{0，1}，③正确；对于④，根据定义，要使得[x]＝[y]，必有|x －y|＜1 当x ≤－1时，113||||244x x x -+--=≥1，11[][]42x x +-=无解 当－1＜x ＜1时，14x +∈(0，12)，[14x +]＝0，而12x -∈(－1，0)，[12x -]＝－1≠[14x +] 当1≤x ＜3时，14x +∈[12，1)，[14x +]＝0，而12x -∈[0，1)，[12x -]＝0＝[14x +] 当3≤x ＜5时，14x +∈[1，32)，[14x +]＝1，而12x -∈[1，2)，[12x -]＝1＝[14x +] 当5≤x ＜7时，14x +∈[32，2)，[14x +]＝1，而12x -∈[2，3)，[12x -]＝2≠[14x +] 当x ≥7时，113||||244x x x -+--=≥1，11[][]42x x +-=无解综上所述，11[][]42x x +-=的解集为{x|1≤x ＜5}，故④正确. 考点：函数性质，不等式，方程 15．（1）π；（2）(]2,4 【分析】（1）由向量乘法的坐标表示列式，结合二倍角公式以及辅助角公式化简，即可得出最小正周期；（2）由最值列式，求出A 的值，根据正弦定理以正弦表示边长，由三角形内角和将正弦中的角度化为同一个角，根据角的取值范围求出最值. 【详解】（1）由·0m n =得22cos cos 0x x x y +-=，即22cos cos cos 2212sin 216y x x x x x x π⎛⎫=+=+=++ ⎪⎝⎭， 所以()2sin 216f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭π，其最小正周期为π.（2）由题意得32A f ⎛⎫=⎪⎝⎭，所以()262A k k Z πππ+=+∈， 因为0A π<<,所以3A π=，由正弦定理得,b B c C ==，24sin 333336b c B C B B B ππ⎛⎫⎛⎫+=+=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以b +c 的取值范围为(]2,4. 【点睛】本题考查三角函数的化简以及解三角形中的最值问题，化简时一般结合二倍角公式以及辅助角公式，求边长最值时有两个方法，一种是将边化为正弦，由角的范围求最值，另一种是结合余弦定理，由基本不等式求最值.16．(1)见解析；(2)16【解析】试题分析：(1)要证A 1O ∥平面AB 1C ；只需证明A 1O 与平面AB 1C 内的一条直线平行即可，结合图形，可选择B 1C ；(2)求追求的体积，关键是确定谁做底面，然后找到相应的高即可. 试题解析：(1)如图，连结CO ，AC ，则四边形ABCO 为正方形所以，OC ＝AB ＝A 1B 1， 且OC ∥AB ∥A 1B 1，故四边形A 1B 1CO 为平行四边形，所以A 1O ∥B 1C 又A 1O平面AB 1C ，BC ⊂平面AB 1C ，所以A 1O ∥平面AB 1C.(2)因为D 1A ＝D 1D ，O 为AD 中点，所以D 1O ⊥AD 又侧面ADD 1A 1⊥底面ABCD ，交线为AD 故D 1O ⊥底面ABCD ，∵平面A 1B 1C 1D 1∥平面ABCD ∴点B 1到平面ABCD 的距离等于D 1O ∴11111113326B ABC ABC V SD O -∆=⋅=⨯⨯= 考点：空间线面关系，二面角，空间向量 17．(1)a ＝18，x ＝0.9；(2)35【解析】试题分析：(1)根据第1组数据，先求出总人数n，然后对照直方图中的数据，分别求出a和x；(2)利用分层抽样的原理，先确定出每组抽出的人数，列出所有两人获奖的情况，找出第2组至少1人获奖的情况数，求出相应概率.试题解析：(1)根据频率表中第1组数据可知，第1组的总人数为50.5＝10再结合频率分布直方图可知n＝100.0110⨯＝100∴a＝100×0.020×10×0.9＝18x＝271000.0310⨯⨯＝0.9(2)第2，3，4组中回答正确的共有54人∴利用分层抽样在54人中抽取6人，每组分别抽取的人数为：第2组：654×18＝2人；第3组：654×27＝3人；第3组：654×9＝1人设第2组的2人为A1，A2，第3组中的3人为B1，B2，B3，第4组的1人为C.则从6人中抽2人的所有可能情况为：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，C)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，C)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，C)，(B2，B3)，(B2，C)，(B3，C)，共15个基本事件其中第2组至少1人被抽中的有(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，C)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，C)这9个事件∴第2组至少1人获得幸运奖的概率为93 155=.考点：抽样方法，统计，直方图，频率，概率.18．(1)p＝－1，q＝0；(2)T n＝19[(3n－1)4n＋1]【解析】试题分析：(1)先利用变更序号法，将S n转化为a n，再根据{a n}是等差数列且a2，a3，a5成等比数列，建立p，q的方程组，可求出p和q的值；(2)根据a n＋log2n＝log2b n，找到b n的通项公式，然后用错位相减法求T n.试题解析：(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝1＋p ＋q 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋pn ＋q －[(n －1)2＋p(n －1)＋q] ＝2n －1＋p ∵{a n }是等差数列∴1＋p ＋q ＝2×1－1＋p ，得q ＝0又a 2＝3＋p ，a 3＝5＋p ，a 5＝9＋p ，且a 2，a 3，a 5成等比数列， ∴(5＋p)2＝(3＋p)(9＋p) 解得p ＝－1. (2)由(1)得a n ＝2n －2 ∵a n ＋log 2n ＝log 2b n ， ∴221224na n n nb n n n --=⋅=⋅=⋅T n ＝b 1＋b 2＋……＋b n －1＋b n＝1×40＋2×41＋3×42＋……＋(n －1)4n －2＋n4n －14t n ＝ 1×41＋2×42＋……＋(n －2)4n －2＋(n －1)4n －1＋n4n 作差得：－3T n ＝40＋41＋42＋……＋4n －1－n4n＝14(13)414143n n nn n ----⋅=- ∴T n ＝19[(3n －1)4n ＋1] 考点：等差数列，等不数列，数列的通项公式，前n 项和，错位相减法19．(1)2213x y +=；(2)定值为2.【解析】试题分析：（1）由题意得到c =1b OM ==，所以a =写出椭圆方程；（2）联立直线方程与椭圆方程，得到韦达定理2122631k x x k +=+，21223331k x x k -=+，()()()()()21212121212212121212211222462223393621k x x k x x x x y y k k x x x x x x k +⎡⎤-++-++--⎣⎦+=+===---+++.试题解析： （1）依题意，c =222a b -=.∵点()1,0M 与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直， ∴1b OM ==，∴a =∴椭圆C 的方程为2213x y +=.（2）①当直线l 的斜率不存在时，由22113x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩解得1x =，3y =±.设A ⎛ ⎝⎭，1,B ⎛⎝⎭，则122233222k k ++=+=为定值. ②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为：()1y k x =-.将()1y k x =-代入2213x y +=整理化简，得()2222316330k x k x k +-+-=.依题意，直线l 与椭圆C 必相交于两点，设()11,A x y ，()22,B x y ，则2122631k x x k +=+，21223331k x x k -=+. 又()111y k x =-，()221y k x =-， 所以1212122233y y k k x x --+=+-- ()()()()()()122112232333y x y x x x --+--=-- ()()()()()1221121221321393k x x k x x x x x x ⎡⎤⎡⎤---+---⎣⎦⎣⎦=-++ ()()()121212121212224693x x k x x x x x x x x ⎡⎤-++-++⎣⎦=-++()22122222223361222463131633933131k k x x k k k k k k k ⎡⎤--++⨯-⨯+⎢⎥++⎣⎦=--⨯+++ ()()2212212621k k +==+. 综上得12k k +为常数2.点睛：圆锥曲线大题熟悉解题套路，本题先求出椭圆方程，然后与直线方程联立方程组，求得韦达定理，则2122631k x x k +=+，21223331k x x k -=+，()()()()()21212121212212121212211222462223393621k x x k x x x x y y k k x x x x x x k +⎡⎤-++-++--⎣⎦+=+===---+++，为定值．20．(1)y ＝2(x －1)；(2)a ∈(0，1]. 【解析】试题分析：(1)分别求出f(1)和f '(1)，即可写出切线方程；(2)求g(x)的导数，对a 分类讨论，找到g(x)＋2在x ∈(0，1)的最大值，使其最大值小于0即可. 试题解析：(1)f '(x)＝lnx ＋1x x+ ∴f '(1)＝2，且切点为(1，0)∴f(x)在x ＝1处的切线方程为y ＝2(x －1) (2)g(x)＝1ln (1)xx a x +-，x ∈(0，1)当a ＜0时，g(x)＞0不合题意 当a ＞0时，由g(x)＜－2，得lnx ＋2(1)1a x x-+＜0令h(x)＝lnx ＋2(1)1a x x-+，注意到h(0)＝0，h'(x)＝22(24)1(1)x a x x x +-++令Φ(x)＝x 2＋(2－4a)x ＋1，其△＝16a(a －1) 当0＜a ≤1时，△≤0，h'(x)≥0在x ∈(0，1)恒成立故h(x)在(0，1)上为增函数，故x∈(0，1)时，h(x)＜h(1)＝0a＞1时，Φ(0)＝1＞0，Φ(1)＝4(1－a)＜0x0∈(0，1)，使得Φ(x0)＝0∴当x∈(x0，1)，Φ(x)＜0，h'(x)＜0，h(x)在(x0，1)上是减函数h(x)＞h(1)＝0，不合题意综上所述，a∈(0，1].考点：利用导数研究函数的性质，曲线的切线，不等式，恒成立问题.。
2021届四川省成都石室中学高三上学期开学考试文数(试题+解析)
度上期入学考试文科数学试卷一、选择题（共12小题；共60分）1.已知集合(){}(){},0,,R ,,+10,,R A x y x y x y B x y x y x y =+=∈=-=∈，则集合A B 的元素个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 2．i 为虚数单位， 512iz i=+， 则z 的共轭复数为 （ ） A. 2i - B ．2i + C. 2i -- D ．2i -+A ．8号学生B ．200号学生C ．616号学生D ．815号学生4．函数2()ln 1f x x x=-+的零点所在的大致区间是（ ） A ．(1,2) B ．(2,)e C ．(,3)e D ．(3,)+∞ 5．已知向量(1)a m =，，(32)b m =-，，则3m =是a //b 的（ ）A ．充要条件B ．既不充分也不必要条件C ．必要不充分条件D ．充分不必要条件6 ．已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若3a =2b =，60A =︒，则B 为（ ）A ．60°B ．60°或120°C ．30°D ．30°或150°7．下列函数中，既是奇函数又在(0,)+∞单调递减的函数是（ ） A ．22x x y -=- B ．tan y x x = C ．sin y x x =-D ．12y x x=- 8．抛物线2:4C y x =的焦点为F ，其准线l 与x 轴交于点A ，点M 在抛物线C 上，当2MA MF=AMF ∆的面积为（ ）A ．1B ．2C ．2D ．229. 如图是用模拟方法估计圆周率π的程序框图，P 表示估计结果， 则图中空白框内应填入（ ） A ．1000N P =B ．41000N P =C ．1000M P =D ．41000MP = 10. 已知235log log log 1x y z ==<-，则2,3,5x y z 的大小关系为（ ） A ．235x y z <<B ．325y x z <<C ．523z x y <<D ．532z y x <<11.某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球表面积为（ ） A ．11πB ．143πC ．283πD ．16π12.已知a 为常数，函数()212e 12x f x ax ax =--+有两个极值点x 1，x 2(x 1＜x 2)，则下列结论正确的是 （ ）A ．0a < B. 01a << C ．()13f x > D ．()11f x < 二、填空题（共4小题；共20分）13.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为_______________15．已知()f x 是定义域为R 的奇函数，()f x '是()f x 的导函数，(1)0f -=，当0x >时，()3()0xf x f x '-<，则使得()0f x >成立的x 的取值集合是___________．16.已知棱长为1的正方体，过对角线作平面交棱于点E ，交棱于点F ，则：①平面分正方体所得两部分的体积相等；②四边形一定是平行四边形；1111ABCD A B C D -1BD α1AA 1CC α1BFD E③平面与平面不可能垂直； ④四边形.其中所有正确结论的序号为_______三、解答题（共6小题；共70分）17. (本题满分12分)石室中学高三学生摸底考试后，从全体考生中随机抽取44名，获取他们本次考试的数学成绩(x )和物理成绩(y )，绘制成如图散点图：根据散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系，但图中有两个异常点,A B ．经调查得知，A 考生由于重感冒导致物理考试发挥失常，B 考生因故未能参加物理考试．为了使分析结果更科学准确，剔除这两组数据后，对剩下的数据作处理，得到一些统计的值：4242421114620,3108,350350,ii i i i i i xy x y ======∑∑∑()422116940,i i x x =∑-=()42215250,i i y y =∑-=其中,i i x y 分别表示这42名同学的数学成绩、物理成绩，1,2,3,,42i =，y 与x 的相关系数0.82r =．（Ⅰ）若不剔除,A B 两名考生的数据，用44组数据作回归分析，设此时y 与x 的相关系数为0r ．试判断0r 与r 的大小关系（不必说理由）；附：回归方程y a bx =+中, 1122211()()=()n niii ii i nniii i x x y y x y nxya y bx x x xn b x====---==---∑∑∑∑，18．已知三次函数32()41f x x ax x =+++(a 为常数).α1DBB 1BFD E（1）当1a =时，求函数()f x 在2x =处的切线方程； （2）若0a <，讨论函数()f x 在()0,x ∈+∞的单调性.19.如图，四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，FA FC =，且60DAB DBF ∠=∠=︒． （1）求证：AC ⊥平面BDEF ；（2）若2AB =，求三棱锥A EDC -的体积.20．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>3，短轴长为2，直线l 与椭圆有且只有一个公共点．（1）求椭圆的方程；（2）圆C 的方程为225x y +=，若圆C 与直线l 相交于P ，Q 两点（两点均不在坐标轴上），试探究OP ，OQ 的斜率之积是否为定值，若是，求出此定值，若不是，请说明理由．21．已知函数()1ln 1f x a x x=+-，其中常数a ∈R ，自然常数 2.71828e ≈. （Ⅰ）当实数13a =时，求()f x 在区间2,e e ⎡⎤⎣⎦上的最值； （Ⅱ）设函数()()1xg x e f x x=+-在区间()0,a e -上存在极值，求证：11a a e a --+>+.22．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系．曲线1C 的极坐标方程为2sin ρθ=，曲线2C 的参数方程为2cos (22sin x y ϕϕϕ=⎧⎨=-+⎩为参数）． （Ⅰ）写出2C 的极坐标方程；（Ⅱ）过原点O 的射线与1C 的异于极点的交点为A ，(0)3xOA παα∠=<<，B 为2C 上的一点，且π∠=，求AOBAOB∆面积的最大值．3石室中学高2021届2020-2021学年度上期数学入学考试参考答案（文科）13. y = 14.315． (-∞，1)(0-⋃，1) 16.①②④17.（Ⅰ）0r r <．......................4分（Ⅱ）由题中数据可得：42421111110,744242i i i i x x y y ======∑∑，................6分 所以.............8分又因为，所以，，所以，................10分将代入，得81.5y =，所以估计B 同学的物理成绩为81.5分．....................12分18．（1）当1a =时，函数32()41f x x x x =+++2()324f x x x '=++(2)20f '∴=即切线的斜率20k =..................2分 (2)21f =∴切线方程为20(2)21x y -=-即切线为：20190x y --=..................4分（2）2()324f x x ax '=++对称轴为03ax =->..................5分 ()()4242114235035042110748470iii ii i x x y y x y x y ==--=-⋅=-⨯⨯=∑∑()422116940i i x x =-=∑()()()1211698470ˆ00.54niii ni i x x y y bx x ==--===-∑∑740.511019a y bx =-=-⨯=0.519y x =+125x =○1当24480a ∆=-≤时，即0a -≤<，()0f x '>()f x 在(0,)+∞上单调递增；.................8分○2当24480a ∆=->时，即a <- (0)40f '=>令2()3240f x x ax '=++=，则1x =2x =当0x <<或x >()0f x '>；当2266a x --<<时，()0f x '<；()f x 在2(0,)6a --，2()6a -++∞上单调递增；()f x 在22(66a ---上单调递减. .................12分19.（1）设AC 与BD 相交于点O ，连接FO ，∵四边形ABCD 为菱形，∴AC BD ⊥，且O 为AC 中点， ∵FA FC =，∴AC FO ⊥,又FO BD O =，∴AC ⊥平面BDEF .…………………5分（2）∵四边形BDEF 为菱形，且60DBF ∠=︒，∴DBF ∆为等边三角形，∵O 为BD 中点，∴FO BD ⊥，又AC FO ⊥，∴FO ⊥平面ABCD …………………7分2,60AB AD DAB ==∠=2BD BF ∴==由60DBF ∠=︒∴F 到面ABCD的距离为FO =………………9分,EF BD BD ⊂面ABCD ，EF ⊄面ABCD EF ∴面ABCDE ∴到面ABCD 的距离等于F 到面ABCD分1222sin 23ADCSπ=⨯⨯⨯= 113A EDC E ADC ADCV V SFO --∴==⨯⨯= …………………12分20．（1，可得c e a == 由短轴长为2，可得1b =， …………1分 又2221a c b -==，解得2a =，c则椭圆的方程为2214x y +=； …………4分（2）当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y kx m =+，由2244y kx m x y =+⎧⎨+=⎩可得222(14)8440k x kmx m +++-=，…………5分 因为直线l 与椭圆C 有且只有一个交点，所以△2221(8)4(14)(44)0km k m =-+-=，即2214m k =+，…………6分 由方程组225y kx mx y =+⎧⎨+=⎩可得222(1)250k x kmx m +++-=， 则△2222(2)4(14)(5)0km k m =-+->，设11(P x ，1)y ，22(P x ，2)y ，则12221km x x k +=-+，212251m x x k-=+，…………7分 设直线1OP ，2OP 的斜率为1k ，2k ，所以222212121212122121212()()()55y y kx m kx m k x x km x x m m k k k x x x x x x m +++++-====-，…………9分 将2214m k =+代入上式，可得212211444k k k k -+===--，…………10分当直线l 的斜率不存在时，由题意可得l 的方程为2x =±，此时圆225x y +=与l 的交点为1P ，2P 也满足1214k k =-，…………11分综上可得直线l 与圆的交点1P ，2P 满足斜率之积12k k 为定值14-．…………12分 21．（Ⅰ）当13a =时，()ln 113x f x x =+-，()'233x f x x-=， 所以()f x 在[],3e 单减，在23,e ⎡⎤⎣⎦单增，…………2分()123f e e =-，()22113f e e =-，()()2f e f e <所以ln32()(3)3min f x f -==，2max 211()()3f x f e e ==-．…………5分 （Ⅱ）依题意，． 则，令，，，所以在上是单调增函数．要使得在上存在极值，则须满足即 所以，，即．…………8分所以1111ln 1ln 1aea a a a a a a a--+-->++--=+- 当0a >时，令，()1g ln 1a a a =+-，()'21a g a a-=，所以()()10g a g ≥= 所以，．…………11分 ()11ln 1ln 1xx g x e a x e a x x x ⎛⎫=+-+-=-+ ⎪⎝⎭0a x e -<<()x xa xe a g x e x x-'=-=()x t x xe a =-()0,a x e -∈()(1)0xt x e x '=+>()t x ()0,ae-()g x ()0,ae-()()00,0,a t t e -⎧<⎪⎨>⎪⎩0,0,aa e a e e a -->⎧⎪⎨⋅->⎪⎩0aae e a -->>ln e e a a -->ln a e a a ->+0a >1ln 10a a+-≥即，所以．…………12分22．（Ⅰ）由曲线2C 的参数方程2cos (22sin x y φϕφ=⎧⎨=-+⎩为参数）． 可得曲线2C 的普通方程为22(2)4x y ++=． 将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入上式，得4sin ρθ=-．所以2C 的极坐标方程为4sin ρθ=-． …………4分（Ⅱ）设A 点的极坐标为1(ρ，)α，B 点的极坐标为2(,)3πρα-，则12sin ρα=，24sin()3πρα=--， …………6分于是AOB ∆的面积12113sin (2sin )[4sin()]23sin sin()3sin(2)232336S ππππρρααααα==--=--=+ …………9分 当6πα=时，S ． 所以AOB ∆．…………10分110a e a a --+-->11a e a a --+>+。
四川省成都石室中学2021届高三上学期开学考试 数学(文科)试题含答案
当
MA MF
=
2 时， ∆AMF 的面积为（
）
A．1
B． 2
C．2
D． 2 2
9. 如图是用模拟方法估计圆周率 π 的程序框图，P 表示估计结果，
则图中空白框内应填入（ ）
A．
P
=
N 1000
B．
P
=
4N 1000
C．
P
=
M 1000
D．
P
=
4M 1000
10. 已知 log2 x = log3 y = log5 z < −1，则 2x, 3 y, 5z 的大小关系为（ ）
（1）当 a = 1 时，求函数 f (x) 在 x = 2 处的切线方程；
（2）若 a < 0 ，讨论函数 f (x) 在 x ∈(0, +∞) 的单调性.
19.如图，四边形 ABCD 与 BDEF 均为菱形， FA = FC ，且 ∠DAB = ∠DBF = 60° ． （1）求证： AC ⊥平面 BDEF ； （2）若 AB = 2 ，求三棱锥 A − EDC 的体积.
=
α
(0
<
α
<
π 3
)
，
B
为
C2
上的一点，
且
∠AOB
=
π 3
，求
∆AOB
面积的最大值．
第 5 页 共 4 页 命题人：胡嘉苇 文海伦 审题人：邵成林
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石室中学高 2021 届 2020-2021 学年度上期数学入学考试参考答案（文科）
1
数是（ ）
A．0
B．1
成都石室中学高2021届高三上期期末考试参考答案(文科)
成都石室中学2020—2021学年度上期高2021届期末考试数学参考答案（文科）13．14．15． 16． ①③④ 三、解答题 17．选① (1)sinsin sin sin sin cos sin sin 222B C A Ac a C c a C C A C π+-=⇒=⇒= ………………[2分]0,sin 0C C π<<∴≠cos2sin 222A A A cos ∴=，0,cos 02AA π<<∴≠……………… [4分]1sin223A A π∴=⇒=……………… [6分] 21)sin 1)sin sin 1)sin()3c b C B C C π=⇒=⇒=- 化简得sin cos 4C C C π=⇒=……………… [8分](2)21sin 1)324ABCScb A b ===……………… [10分] 2b ∴=……………… [12分]选②2cos cos cos 2cos sin cos sin cos sin ()()A b C c B a A B C C B A +=⇒+=……………… [2分] 2cos si )n s (in ,A B C A ∴+=2cos sin sin ,A A A ∴=……………… [4分] 0,sin 0A A π<<∴≠1cos 23A A π∴=⇒=……………… [6分] 21)sin 1)sin sin 1)sin()3c b C B C C π=⇒=⇒=- 化简得sin cos 4C C C π=⇒=……………… [8分]8518125π6(2) 21sin 1)324ABCScb A b ===……………… [10分] 2b ∴= ……………… [12分]选③()22222sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin B C A B C B C A B C -=-⇒+=+222b c a bc +=+ ，1cos 2A ∴=0,A π<<……………… [4分]3A π∴=……………… [6分] 21)sin 1)sin sin 1)sin()3c b C B C C π=⇒=⇒=- 化简得sin cos 4C C C π=⇒=……………… [8分](2) 21sin 1)324ABCScb A b ===……………… [10分] 2b ∴=……………… [12分]18． （1）记事件A 为“2天配送的蔬菜量中至多有1天小于80件的概率”， 在[40，80）、[80，120）两组数据中用分层抽样抽6天, [40，80）中抽的天数为206260天，记为,A B ;[80，120）中抽的天数为406460天，记为,,,a b c d ……………… [1分]则从这6天中随机抽取2天的所有可能情况有以下：“(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),A B A a A b A c A d B a B b B c B d a b a c a d b c(,),(,)b d c d ”共15种………………[3分]选中的2天中配送的蔬菜量中至少有1天小于80件的可能情况有以下：“(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)A B A a A b A c A d B a B b B c B d ”共9种……………… [5分] 选中的2天中配送的蔬菜量中至少有1天小于80件概率为93()155P A .……………… [6分] （2）若租赁2辆车， 平均利润为2080(2000400)40003520100100……………… [8分] 若租赁3辆车，平均利润为204040(2000800)(4000400)60004080100100100………………[10分]40803520所以应该选择租赁3辆货车，此时平均营业利润最大。
四川省成都市石室中学2021-2022学年高三上学期专家联测卷(一)数学(文)试题(含答案解析)
四川省成都市石室中学2021-2022学年高三上学期专家联测卷（一）数学（文）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}2|20A x x x =--≤，{|21}B x x =-<≤，则A B ⋃=（ ）A ．{|12}x x -B ．{|22}x x -<C ．{|21}x x -<D ．{|22}x x -≤≤2．若a b >，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．22a b > B ．11a b> C ．12a b ->-D．a b +>3．已知向量1e ，2e 是两个不共线的向量，122a e e =-与12b e e λ=+共线，则λ=（ ） A ．2B ．2-C ．12-D ．124．已知[]0,πα∈，且3sin 2αtan2α=（ ）A ．12-B ．12C ．43D ．25．设函数()122,11log ,1x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩则满足()2f x ≤的x 的取值范围是（ ）A ．[]1,2-B ．[]0,2C ．[)1,+∞D ．[)0,+∞ 6．当强度为x 的声音对应的等级为()f x 分贝时，有0()10lgxf x A =（其中0A 为常数）.装修电钻的声音约为100分贝，普通室内谈话的声音约为60分贝.则装修电钻的声音强度与普通室内谈话的声音强度的比值为（ ） A ．53B ．5310C ．410D ．4e7．已知A 、B 、C 是ABC ∆的三个内角，若sin cos tan 0A B C <，则ABC ∆是 A ．钝角三角形 B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．任意三角形8．函数()24xf x x x=-的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．9．函数2228(0)y x ax a a =-->，记0y ≤的解集为A ，若()1,1A -⊆，则a 的取值范围 A ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．11,42⎛⎫⎪⎝⎭D ．11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦10．设()|1|(1)f x x x x =-⋅+-，若关于x 的方程()f x k =有三个不同的实数解，则实数k 的取值范围是（ ） A ．51,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．51,4⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．(0,1)D ．(1,1)-11．下列函数中，既是偶函数又在区间()0,∞+上单调递增的是（ ） A．y =B ．sin y x x =C ．2y x x =+D ．1y x =+12．已知函数()xf x e a x =-有三个零点，则实数a 的取值范围是A ．(),0-∞B ．()0,1C ．()0,eD ．(),e +∞二、填空题13．若实数x ，y 满足约束条件1002310x x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则12z x y =-的最小值是______.14．已知5458<，45138<，设5log 3a =，8log 5b =，13log 8c =，则a ，b ，c 的大小关系是______.（用“＜”连接）15．已知{}n x 是递增数列，且0n x ≥，则关于数列{}n x ，对任意的正整数p ，q ，下列结论不可能成立的是______.（填序号）①pq q p x px qx =+；②p q q p x px qx +=+；③1pq p q x x x =+-；④2p q p q x x x +=.三、解答题5满足//a b .数列{}n a 是公差不为0的等差数列，若()()()12936f a f a f a +++=，则129a a a +++=______.17．已知函数32()22f x x ax =-+. （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）当0<<3a 时，求()f x 在区间[0,1]上的最大值及最小值. 18．已知等比数列{}n a 的公比3q = ，前3项和S 3=133. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若函数()sin(2)(0,0)f x A x A ϕϕπ=+><<在6x π=处取得最大值，且最大值为3a ，求函数()f x 的解析式. 19．在ABC 中，7cos 8A =，3c =，且b c ≠，再从条件①、条件②中选择一个作为已知.条件①：sin 2sin B A =； 条件②：sin sin 2sin A B C +=. （1）求b 的值； （2）求ABC 的面积.20．已知函数()222sin f x x x m =-+，再从下列条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知.条件①：()f x 的最大值与最小值之和为0；条件②：02f ⎛⎫= ⎪⎝⎭π.（1）求m 的值；（2）求函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递增区间.21．已知函数2()3ln =-+f x x x x ．（1）求曲线()y f x =在点(3,(3))f 处的切线方程；（2）求函数()f x 的单调区间，并判断函数()f x 的零点个数．22．在直角坐标系xOy 中，抛物线C 的方程为22(0)y px p =>，以点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2sin 3πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭l 与x 轴交于点M ．()1求l 的直角坐标方程，点M 的极坐标；()2设l 与C 相交于A ，B 两点，若MA 、AB 、MB 成等比数列，求p 的值．23．已知0,0,0a b c >>>设函数()||||,R f x x b x c a x =-+++∈ （1）若1a b c ===，求不等式()5f x <的解集； （2）若函数()f x 的最小值为1，证明：14918()a b c a b b c c a++≥+++++．参考答案1．B 【分析】化简集合A ，按照并集定义，即可求解. 【详解】}{|12},{|21A B x x x x =-≤≤=-<≤， {|22}A B x x ⋃=-<≤.故选:B. 【点睛】本题考查集合间的运算，属于基础题. 2．C 【分析】利用特殊值判断ABD ，根据不等式的性质判断C ； 【详解】解：对于A ：若0a =，1b =-，显然满足a b >，但是22a b <，故A 错误； 对于B ：若0a =，1b =-，显然满足a b >，1a无意义，故B 错误； 对于C ：因为a b >，12->-，所以12a b ->-，故C 正确；对于D ：若1a =，1b =-，显然满足a b >，但是D 错误； 故选：C 3．C 【分析】由题意结合向量共线的充分必要条件整理计算即可求得最终结果. 【详解】因为122a e e =-与12b e e λ=+共线，所以ka b =，0k ≠， 所以()12122k e e e e λ-=+.因为向量1e ，2e 是两个不共线的向量，所以21k k λ=⎧⎨-=⎩，解得12λ=-.故选：C.4．B 【分析】根据[]0,πα∈，可得π022α≤≤，再利用二倍角的正弦公式及平方关系化简3sin 2α=即可得出答案. 【详解】解：由于0πα≤≤，所以π022α≤≤，故sin 02α≥，cos 02α≥，sincos22αα=+，即cossin3sin222ααα+=，即2c s osin22αα=，故sintan1222cos2ααα==.故选：B. 5．D 【分析】分1x ≤、1x >解不等式()2f x ≤，综合即可得出不等式()2f x ≤的解集. 【详解】当1x ≤时，()122xf x -=≤，11x -≤，解得0x ≥，所以01x ≤≤；当1x >时，()221log 2log 1f x x x =-≤⇒≥-，解得：12x ≥，所以：1x >. 综上可知不等式()2f x ≤的解集是[)0,+∞. 故选：D. 【点睛】本题考查分段函数不等式的求解，同时也考查了指数函数和对数函数单调性的应用，考查计算能力，属于中等题. 6．C 【分析】设装修电钻的声音强度为1x ，普通室内谈话的声音强度为2x ，由装修电钻的声音约为100分贝，普通室内谈话的声音约为60分贝，列出方程组解出1x ，2x ，可得出12x x 的值，得到答案. 【详解】设装修电钻的声音强度为1x ，普通室内谈话的声音强度为2x ， 由题意，()()111001062202010010lg 10106010lgx f x A x A x x A f x A ⎧==⎪⎧=⎪⇒⎨⎨=⎩⎪==⎪⎩， 所以装修电钻的声音强度和普通室内谈话的声音强度比值为10401620101010A x x A ==. 故选：C 【点睛】本题考查函数的实际应用问题，考查对数的性质、运算法则等基础知识，属于基础题. 7．A 【分析】依题意，可知B ，C 中有一角为钝角，从而可得答案． 【详解】∵A 是△ABC 的一个内角， ∴sin A ＞0，又sin A cos B tan C ＜0， ∴cos B tan C ＜0，∴B ，C 中有一角为钝角， 故△ABC 为钝角三角形． 故选A ． 【点睛】本题考查三角形的形状判断，求得B ，C 中有一角为钝角是判断的关键，属于中档题． 8．D 【分析】根据函数的定义域可排除B ，根据01x <<时函数值的符号可排除C ，根据1x >时函数值的符号可排除A ，即可得出答案.【详解】解：因为210x -≠，所以1x ≠±，即该函数的定义域为()()(),11,11,-∞-⋃-⋃+∞，排除选项B ； 当01x <<时，210x -<，所以()0f x <，排除选项C ； 当1x >时，210x ->，所以()0f x >，排除选项A. 故选：D. 9．A 【分析】因为2228(2)(4)--=+-x ax a x a x a ，且24a a -<，所以解集[]2,4A a a =-；然后根据()1,1A -⊆，得不等式组2141a a -≤-⎧⎨≥⎩，可得a 的取值范围．【详解】函数()()222824y x ax a x a x a =--=+-，抛物线开口向上，又0a >，所以24a a -<,则0y ≤的解集为[]2,4A a a =-，得2141a a -≤-⎧⎨≥⎩，解得12a ≥，所以正确选项为A ．【点睛】本题主要考查含参数的一元二次不等式解法，确定两根的大小是解决本题的关键． 10．B 【分析】将函数写成分段函数，作出图象数形结合求解. 【详解】221,1()1(1)1,1x x x f x x x x x x x ⎧--+≤=-+-=⎨-->⎩，故函数()f x 的图象如图所示．由图可知，当514k -<<时，函数图象与直线y k =有三个交点， 即关于x 的方程()f x k =有三个不同的实数解，故实数k 的取值范围是51,4⎛⎫- ⎪⎝⎭．故选：B 【点睛】此题考查根据方程的根的个数求参数的取值范围，关键在于准确作出分段函数的图象，数形结合求解参数的取值范围. 11．C 【分析】结合基本初等函数的奇偶性及单调性，结合各选项进行判断即可. 【详解】对于选项A ，y = 对于选项B ，()sin f x x x =在()0,∞+上不单调，不符合题意；对于选项C ，2y x x =+为偶函数，且在()0,∞+上单调递增，符合题意；对于选项D ，1y x =+为非奇非偶函数，不符合题意. 故选：C . 12．D 【详解】显然0a ≤不满足三个零点，所以0a >，(),0,0x x e ax x f x e ax x ⎧+≤=⎨->⎩，当0x ≤时，x e ax =-（0a >）两图像必有一交点，所以必有一零点在(),0-∞．当x>0时，()(),,x xf x e ax f x e a '=-=-所以f(x)在()0,ln a 单调递减，在()ln ,a +∞上单调递增．()0,+∞上要有两个零点，只需()()01,ln ln 0f f a a a a ==-<，解得a e >，选D.【点睛】零点问题，常把方程F(x)=0变形为左右两边各放一个函数f(x)=g(x),然后分别出来 y=f(x)和y=g(x)的图像，再观察两图像交点个数，从而得到y=F(x)的零点个数．如果图像不好直接画出，则要借助导数及函数图像来解决． 13．32-【分析】作出约束条件所表示的可行域，再利用直线截距的几何意义，即可得答案. 【详解】画出满足约束条件1002310x x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩的可行域，如图所示.目标函数12z x y =-化为22y x z =-. 由12133x y x =-⎧⎪⎨=-+⎪⎩，解得11x y =-⎧⎨=⎩，则()1,1A -. 当直线22y x z =-过点A 时，12z x y =-取得最小值为32-. 故答案为：32-14．a b c << 【分析】利用作商法结合基本不等式可比较,a b 的大小，利用对数式与指数式的互化求得,b c，再根据5458<，45138<，分别与45比较，从而可得出答案.【详解】解：由题意，知(),,0,1a b c ∈.因为()222528log 3lg 3lg81lg 3lg8lg 3lg8lg 241log 5lg 5lg 522lg 5lg 25lg 5a b ⎛⎫⎛⎫++⎛⎫==⋅<⋅==<⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以a b <，由8log 5b =，得85b =；由5458<，得5488b <， 所以54b <，可得45b <， 由13log 8c =，得138c =；由45138<，得451313c <， 所以54c >，可得45c >， 综上所述，a ，b ，c 的大小关系是a b c <<. 故答案为：a b c <<. 15．② 【分析】根据每一个递推关系式的特点通过举例或者推理就可以判断. 【详解】对于①，pq q p pq q p x x x x px qx pq q p=+⇔=+，取ln n x n n =，则易知数列{}n x 满足条件，故①可能成立. 对于②，p q q p x px qx +=+，令1p q ==，则212x x =. 令2p =，1q =，得312124x x x x =+=； 令2p q ==，得42148x x x ==； 令3p =，1q =，得413137x x x x =+=， 所以1187x x =，即10x =，所以0n x =与{}n x 是递增数列矛盾，故②不可能成立.对于③，由1pq p q x x x =+-，得111pq p q x x x -=-+-，取ln 1n x n =+，则易知数列{}n x 满足条件，故③可能成立. 对于④，由2p q p q x x x +=，得222p qp q x x x +=⋅，取2nn e x =，则易知数列{}n x 满足条件，故④可能成立. 故答案为：② 16．18 【分析】由向量共线求出函数()f x 的解析式，设2g x f x （）＝（＋），利用函数的单调性以及等差数列的性质讨论5a 的值，从而求出129a a a +++的值.【详解】由//a b ，得()522x y x -=-，整理得()()5()2224y f x x x ==-+-+， 因为设函数()()24g x f x =+-，则奇函数()52g x x x =+单调递增.由()()()12936f a f a f a +++=，可得()()()2912202g a g a g a +++---=又数列{}n a 为公差不为0的等差数列， 因此()502g a -=，即55022a a =⇒-=， 此时1295918a a a a +++==；故答案为：1817．（Ⅰ）答案见解析；（Ⅱ）最小值为32327a a f ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，最大值为(0)2f =或(1)4f a =-.【分析】（Ⅰ）求导函数()2(3)f x x x a '=-，分0a >，0a =，0a <讨论可得结果； （Ⅱ）当0<<3a 时，由（Ⅰ）知，()f x 在0,3a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在,13a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，进而可得最小值为32327a a f ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，最大值为{}max (0),(1)f f .【详解】（Ⅰ）2()622(3)f x x ax x x a '=-=-， 令()0f x '=，得0x =或3a x =， 若0a >，则当(,0),3a x ⎛⎫∈-∞+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>；当0,3a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<.故()f x 在(,0)-∞，,3a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增，在0,3a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减；若0a =，()f x 在(,)-∞+∞单调递增；若0a <，则当,(0,)3a x ⎛⎫∈-∞+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>；当,03a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<.故()f x 在,3a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，(0,)+∞单调递增，在,03a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减.（Ⅱ）当0<<3a 时，由（Ⅰ）知，()f x 在0,3a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在,13a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，所以()f x 在[0,1]的最小值为32327a a f ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，最大值为(0)2f =或(1)4f a =-.不妨设最小值为m ，最大值为M ，则3227a m =-+，4,02,2,2 3.a a M a -<<⎧=⎨≤<⎩18．【详解】试题分析：（Ⅰ）根据等比数列的前n 项和公式得()3131313133a S -==-，求出首项113a=，再根据等比数列的通项公式求得其通项公式23n n a -=；（Ⅱ）由（Ⅰ）结合题意得32333A a -===，又因为“函数在6x π=处取得最大值”，即3sin 2366f ππϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()2062ππϕϕπ⨯+=<<，解得6πϕ=，从而解得所求函数的解析式为()3sin(2)6f x x π=+.试题解析：（Ⅰ）由313(13)13133,,3133a q S -===-得解得11.3a = 所以12133.3n n n a --=⨯=（Ⅱ）由（Ⅰ）可知233, 3.n n a a -==所以因为函数()f x 的最大值为3，所以A=3. 因为当6x π=时()f x 取得最大值，所以sin(2) 1.6πϕ⨯+=又0,.6πϕπϕ<<=故所以函数()f x 的解析式为()3sin(2)6f x x π=+考点：1.等比数列的前n 项和及通项公式；2.函数()sin y A x ωϕ=+解析式的求解. 19．（1）选条件①：4b =；选条件②：4b =（2）选条件①② 【分析】（1）若选①：在三角形ABC 中由正弦定理及余弦定理可得a ，b 关系式，解方程可得b 的值；若选②：由正弦定理可得a ，b ，c 的关系，再由余弦定理可得a ，b ，c 的关系，再由A 角的余弦值可得b 的值．（2）结合（1），利用三角形面积公式即可求出三角形的面积； （1）选条件①：sin 2sin B A =. 在ABC 中，因为sin sin b a B A=，所以sin 2sin a Bb a A ==. 因为222cos 2b c a A bc+-=，且3c =，7cos 8A =，2b a =，所以22497128a a a +-=， 化简得22760a a -+=，解得2a =或32a =. 当32a =时，23b a c ===，与题意矛盾， 所以2a =，所以4b =.选条件②：sin sin 2sin A B C +=. 在ABC 中，因为sin sin sin a b cA B C==，且3c =， 所以由sin sin 2sin A B C +=，得26a b c +==.因为222cos 2b c a A bc+-=，且3c =，7cos 8A =，6a b =-，所以()2296768b b b +--=，解得4b =.（2）选条件①：sin 2sin B A =.因为7cos 8A =，()0,πA ∈，所以sin A =所以11sin 4322ABC S bc A ==⨯⨯△. 选条件②：sin sin 2sin A B C +=. 由（1）知4b =，所以62a b =-=.因为7cos 8A =，()0,πA ∈，所以sin A =所以11sin 4322ABC S bc A ==⨯⨯△. 20．（1）选①：1m =；选②：2m =.（2）选①或②，函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递增区间为06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数解析式为()2sin 216f x x m π⎛⎫=++- ⎪⎝⎭，根据所选条件①或②可得出关于实数m 的等式，由此可解得对应的实数m 的值；（2）选①或②，由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可得72,666πππ⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦x ，解不等式2662x πππ≤+≤即可得解.（1）解：选①：()()222sin 21cos2f x x x m x x m -+--+2cos 212sin 216x x m x m π⎛⎫++-=++- ⎪⎝⎭，则()max 211f x m m =+-=+，()min 213f x m m =-+-=-，由已知可得13220m m m ++-=-=，解得1m =，此时()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.选②：()()222sin 21cos2f x x x m x x m =-+--+2cos 212sin 216x x m x m π⎛⎫++-=++- ⎪⎝⎭，2sin 12026f m m πππ⎛⎫⎛⎫=++-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得2m =，此时()2sin 216f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.（2）解：选①：由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可得72,666πππ⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦x ，由2662x πππ≤+≤，解得06x π≤≤，故函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递增区间为06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦；选②：同①.21．（1）1033ln3300x y -+-=；（2）答案见解析． 【分析】（1）利用导数的几何意义求切线的斜率，并求出()3f ，写出切线方程即可； （2）由()()()211x x f x x--'=且定义域为0,，根据f x 判断()f x 的区间单调性，再根据单调性及极值的符号，结合零点存在性定理判断零点的个数. 【详解】（1）函数定义域为0,，又()3ln3f =，∴切点为()3,ln3，又()123f x x x-'=+， ∴()1033f '=，即切线斜率为103k =，∴切线方程是()103ln 33y x =-+，即1033ln3300x y -+-= （2）由（1）知：()()()2211231x x x x f x x x---+=='， 令0f x ，可得121,1x x ==.x()x递增如表格，函数()f x 的单调增区间是10,2⎛⎫⎪⎝⎭和1,，单调减区间是1,12⎛⎫⎪⎝⎭．又()f x 的极大值151ln 0242f ⎛⎫=-+< ⎪⎝⎭，∴当01x <<时()0f x <恒成立，而函数()f x 在区间1,上单调递增，()10f <，()3ln30f =>，∴存在()01,3x ∈，使得()00f x =，即()f x 只有一个零点．22．（1）y =()1,π；（2）152【分析】()1直接利用转换关系，把参数方程，直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．()2写出直线l 的参数方程并代入曲线C 中，写出韦达定理利用参数t 的几何意义进行求解.【详解】解：()1由2sin 3πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭sin cos y ρθθ==+l ∴的直角坐标方程y =令0y =得点M 的直角坐标为()1,0-，∴点M 的极坐标为 ()1,π．()2由()1知l 的倾斜角为3π，参数方程为112x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,(t 为参数),代入22y px =， 得23480t pt p -+=，121248,33p pt t t t ∴+==． 2||AB MB MA =⋅，21212()t t t t ∴-=， 21212()5t t t t ∴+=．248()533p p ∴=⨯， 152p ∴=． 【点睛】本题考查参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，考查直线参数方程中参数t 的几何意义的应用，属于基础题. 23．（1）(2,2)-；（2）证明见解析. 【分析】（1）根据题意，只需解|1||1|4x x -++<，再分类讨论求解即可； （2）由题知1a b c ++=，进而根据柯西不等式即可证明. 【详解】（1）1a b c ===，不等式()5f x <，即|1||1|4x x -++<当1x ≤-时，11421x x x ---<⇒-<≤- 当11x -<<时，11411x x x -+-<⇒-<< 当1≥x 时，11412x x x -++<⇒≤< ∴不等式的解集为(2,2)-（2）()|||||()()|||f x x b x c a x c x b a b c a =-+++≥+-++=++ ∵0,0,0a b c >>>，∴min ()1f x a b c =++= ∴149149()a b c a b b c c a a b b c c a ⎛⎫++=++++ ⎪++++++⎝⎭ 1149()2a b b c a c a b b c c a ⎛⎫=+++++++ ⎪+++⎝⎭()211231818()2a b c ≥++==++.。
四川省成都市石室中学2024届高三上学期开学考试数学文科试题含答案
侧视图0.5俯视图1正视图10.5成都石室中学2023-2024年度上期高2024届入学考试数学试题（文）（总分：150分，时间：120分钟）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题（本题共12道小题，每小题5分，共60分）1.已知集合{}14A x x =∈-≤<N ，{}2230B x x x =--<，则A B =I （）A ．{}1,2B ．{}0,1,2C ．{}1,2,3D ．{}0,1,2,32.若复数z 满足(13i)24i z ⋅+=-，则z =()A ．22B ．1C D ．23.函数23()e xx xf x -=的图象大致是()AB C D 4.已知实数,x y 满足()01x ya a a <<<，则下列关系式恒成立的是（）A ．221111x y >++B ．()()22ln 1ln 1x y +>+C ．sin sin x y>D ．33x y>5.若()0,0,lg lg lg a b a b a b >>+=+，则a b +的最小值为（）A.8B.6C.4D.26.已知命题:p 若22,ac bc >则a b >；命题:q 在ABC ∆中，sin sin A B =是A B =的必要不充分条件，则下列命题为真命题的是（）A ．p q ⌝∨ B.()p q ⌝∨ C.p q ∧ D.p q ∧⌝7.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是（）A ．14B.12C.1D.28.已知函数()sin(4)(0)f x A x ϕϕ=+<<π的图象与y 轴交点的坐标为，且图象关于直线24x π=-对称，将()f x 图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数()g x 的图象，则()g x 在区间0,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为()A ．12B ．1C D ．29.已知ABC ∆中，若23A π=，2c =，ABC ∆的面积为32，D 为边BC 的中点，则AD 的长度是（）A.5714B.32C.1D.210.已知0.90.930.7,log 2a c ==，b=0.8，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．c a b <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．b c a<<11.已知圆2212316:()33C x y +-=过双曲线22222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左右焦点12,F F ,曲线1C 与曲线2C 在第一象限交点为M ，1212,MF MF ⋅=则双曲线2C 的离心率为（）A ．2B ．3C ．2D ．312.已知函数()114x xf x e e --=-+，若方程()4(0)f x kx k k =+->有三个不同的根1x ，2x ，3x ，则123x x x ++=（）A.4B.3C.2D.k第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13.已知倾斜角为α的直线l 与直线:230m x y -+=垂直，则cos 2α=.14.设x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥+≤--+0202222y x y x y x y x ，则y x z +=2的最大值是_________.15.直线01=--y x 与抛物线x y 42=交于,A B 两点，过线段AB 的中点作直线1-=x 的垂线，垂足为M ，则=⋅MB MA .16.已知三棱锥BCD A -中,2====AD BC CD AB ,t BD AC ==,当三棱锥BCD A -体积最大时,t 的值为.三、解答题（本题共6道小题，17题10分，其余各题12分，共70分）17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足13a =，121n n a a n +=-+，数列{}n b 满足12b =，1n n n b b a n +=+-.（1）证明：{}n a n -是等比数列；（2）数列{}n c 满足()()111n n n n a nc b b +-=++，求数列{}n c 的前n 项的和n T .18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P -ABCD 中，四边形ABCD 为正方形，平面ADP ⊥底面ABCD ，AP =DP ，且AP ⊥DP ，设E ，F 分别为CP ，BD 的中点，2FP =．（1）求证：AP ⊥CP ；（2）求三棱锥P -ADE 的体积．已知某绿豆新品种发芽的适宜温度在6℃~22℃之间，一农学实验室研究人员为研究温度x （℃）与绿豆新品种发芽数y （颗）之间的关系，每组选取了成熟种子50颗，分别在对应的8℃~14℃的温度环境下进行实验，得到如下散点图：其中24y =,71()(70i i i x x y y =--=∑，721()=176i i y y =-∑．（1）运用相关系数进行分析说明，是否可以用线性回归模型拟合y 与x 的关系？（2）若求出 y 关于 x 的线性回归方程y bx a =+$$$，并预测在19℃的温度下，种子的发芽的颗数．参考公式：相关系数()()nii xx y y r --=∑y bx a =+$$$，其中121()(()nii i nii xx y y bxx ==--=-∑∑ ，a y bx =-$$8.77≈．20．（本小题满分12分）已知椭圆1C ：22221x y a b+=（0a b >>）左、右焦点分别为1F ,2F ，且2F 为抛物线22:8C y x=的焦点，P 为椭圆1C 上一点.（1）求椭圆1C 的方程；（2）已知A ，B 为椭圆1C 上不同两点，且都在x 轴上方，满足12F A F B λ=.（ⅰ）若3λ=，求直线1F A 的斜率；（ⅱ）若直线1F A 与抛物线2y x =无交点，求四边形12F F BA 面积的取值范围.设()ln f x x =．（1）证明：()y f x =的图象与直线xy e=-有且只有一个横坐标为α的公共点，且1(,1)e α∈；（2）求所有的实数k ，使得直线y kx =与函数2()y f x =的图象相切；（3）设2,,((,)a b c eα∈+∞（其中α由（1）给出），且3a b c ++=，()ln 2g x x =+，求g 2(a )+g 2(b )+g 2(c )的最大值．22．（本小题满分10分）在直角坐标系中，直线的方程为，曲线的参数方程为（为参数），点，分别在直线和曲线上运动，的最小值为.(1)求的值；(2)以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，射线与曲线交于不同的两点与直线交于点，若，求的值.成都石室中学2023-2024年度上期高2024届入学考试数学试题（文）参考答案一、选择题题号123456789101112答案BCADCDACBACB二、填空题13.35-;14.3+15.0;16.433.三、解答题17．解：（1）121n n a a n +=-+()()112n n a n a n +∴-+=-，又因为112a -=，所以{}n a n -是首项为2，公比为2的等比数列.．．．．．．．．．．．．．5分（2）()11122n nn a n a --=-⋅=1n n n b b a n +=+-12nn n b b +∴-=()()()()121112*********n n n n n n n n b b b b b b b b n -----∴=-+-+-+=++++=≥ 12b =满足上式.2nn b ∴=()()()()1112111121212121n n n n n n n n n a n c b b +++-===-++++++12231111111111212121212121321n n n n T ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪+++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭ .．．．．．．．．．．．．．12分18．解：（1）∵ABCD 是正方形，∴AD ⊥CD ．（1分）∵侧面PAD ⊥底面ABCD ，侧面PAD 底面ABCD =AD ，AD ⊂平面PAD ，∴CD ⊥平面PAD ，（3分）∴CD ⊥AP ．又AP ⊥DP ，CD ∩DP =D ，∴AP ⊥平面PCD ，（5分）∴PA PC ⊥．（6分）（2）∵四边形ABCD 为正方形，连接AC ，则AC ∩BD =F ，F 为AC 中点．∵E 为PC 中点，∴在△ACP 中，EF PA ∥．∵PA ⊂平面ADP ，EF ⊄平面ADP ，∴EF 平面ADP ．∴E 到面ADP 的距离等于F 到面ADP 的距离．（8分）由（1）知，PA PC ⊥，∴12PF AC ==AC=，∴2AB AD ==,PA PD ==（9分）（法一）取AD 中点M ，连接AC ，MF ，则MF ∥CD ，又CD ⊥平面ADP ，∴MF ⊥平面ADP ．∴111113323P ADE E PAD F PAD PAD V V V MF ---∆===⋅=⨯=．（12分）（法二）取AD 中点M ，连接AC ，MF ，则PM ⊥AD ．∵侧面PAD ⊥底面ABCD ，侧面PAD 底面ABCD =AD ，PM ⊂平面PAD ，∴PM ⊥底面ABCD ，112PM AD ==．∴11111213323P ADE E PAD F PAD P ADF ADF V V V V S PM ----∆====⋅=⨯⨯⨯⨯=．（12分）19．解：（1）根据题意，得()1891011121314117x =++++++=．（1分）()()()()()()()()2222227122811+911+1011+1111+1211+1311+1411=28i i x x =-------=-∑（2分）70.16．（3分）因而相关系数()()7700.99870.16iix x y y r --==≈∑．（5分）由于0.998r ≈很接近1，∴可以用线性回归方程模型拟合y 与x 的关系．（6分）（2）()()()7172178ˆ0522i ii ii x x yy bx x ==--===-∑∑，（8分）5724112ˆ2a=-⨯=-，（9分）∴ y 关于 x的回归方程为5722ˆy x =-．（11分）若19x =，则5719442ˆ2y=⨯-=颗．∴在19℃的温度下，种子的发芽颗数为44．（12分）20．解：（1）依题意得2c =，则1(2,0)F -，2(2,0)F .于是12a PF =2PF +=，从而a =又222a b c =+，解得2b =所以椭圆1C 的方程为22184x y +=.．．．．．．．．．．．．．3分（2）如图，设1F A 直线交椭圆于另一点'B ，2F B 直线交椭圆于另一点A'，由12F A F B λ=，故12//F A F B ，由椭圆对称性，2112',A'BF B F AF F ==，且四边形''ABA B 为平行四边形.．．．．．．．．．．．．．5分○1由题意直线'AB 的斜率不为0，设直线'AB ：2x ty =-，由22228x ty x y =-⎧⎨+=⎩，消去x 整理得()222440t y ty +--=，设()11,A x y ，()22',B x y ，则12242t y y t +=+，12242y y t =-+，由12111233'3F A F B F A F B y y =⇒=-⇒=-（*）带入上式，解得：122262,22t ty y t t -==++故2222124,0(),1(2)2t t t t t -=->∴=++由图Q ，故1F A 的斜率为1.．．．．．．．．．．．．．8分○2由22x ty y x=-⎧⎨=⎩，消去x 整理得220y ty -+=，由()280t ∆=--<得28t <.所以12'AB y =-=)2212t t +=+，'AB 与'BA 间的距离d =2F 到'AB 的距离），故1212AF F BAB A B S S ''==)221122t t +⋅+28212t =+，[)1,3s =∈，则1222AF F BS t=+211s s s==++5⎛∈ ⎝，所以四边形12AFF B的面积的取值范围为5⎛⎝⎦.．．．．．．．．．．．．．12分21．解：（1）考虑函数()ln xu x x e =+，易知()u x 在(0,1)上单调递增，且(1)0u >，1()0u e<．因此有且只有1(,1)e α∈使得()0u α=，即()y f x =的图象与直线x y e=-有且只有一个公共点，且该公共点的横坐标为α．…………3分（2）22ln [()]xf x x'=．设200(,ln )P x x 是2()y f x =的图象上一点，则该点处的切线为200002ln ln ()x y x x x x -=-，整理得200002ln 2ln ln x y x x x x =-+．令2002ln ln 0x x -+=，解得01x =或20x e =．因此0y =与24y x e=与函数2()y f x =的图象相切．因此所求实数k 的值为0或24e ．…………7分（3）设224()ln h x x x e =-，则22ln 4()x h x x e '=-．设ln ()x x x ϕ=，则21ln ()xx xϕ-'=．当2x e α<<时，()0x ϕ'>；当x e >时，()0x ϕ'<．因此()x ϕ在2(,)e α上单调递增，在(,)e +∞上单调递减．从而()h x '在2(,)e α上单调递增，(,)e +∞上单调递减．注意到2()0h e '=，故当2e x e <<时()0h x '>，当2x e >时()0h x '<，因此()h x 在2(,)e e 上单调递减，在2(,)e +∞上单调递增．所以当[,)x e ∈+∞时，2()()0h x h e ≤=．另一方面，注意到24(1)0h e '=-<，故必然存在0(1,)x e ∈，使得0()0h x '=，且当20x x α<<时()0h x '<，当0x x e <<时()0h x '>．因此()h x 在20(,)x α上单调递减，在0(,)x e 上单调递增．显然2()()0h e h e <=，而22222422()ln (2ln )(2ln )0h e e eααααα=-=+-=．因此当2(,)x e α∈时，()0h x <．综上可知当2x α>时()0h x ≤，即224ln x x e≤，当且仅当2x e =时等号成立．由于222()ln ()g x e x =，故当22e x α>，即2()x e α>时，2224()()4g x e x x e<⋅=，当且仅当22e x e =，即1x =时等号成立．因此222()()()44412g a g b g c a b c ++≤++=，当且仅当1a b c ===时等号成立．因此222322……5分（2）曲线:2cos C ρθ=，直线:(cos sin )4l ρθθ+=，分别代入θα=，得2cos A ρα=，4sin cos B ραα=+，由||||OA AB =知2B A ρρ=，即44cos sin cos ααα=+，2sin cos cos 1ααα∴+=即π2sin(2)42α+=，故π3π244α+=即π4α=.……10分。
2021年 成都石室中学高三上学期入学考试数学文模拟练习解析版配套精选卷
〔3〕根据销售量的频率分布直方图，求该服装店网店销售量中位数的估计值〔精确到〕．
20．椭圆C的两个顶点分别为，焦点在x轴上，离心率为.
〔1〕求椭圆C的方程
A．〔﹣∞，﹣1〕∪〔1，+∞〕B．〔﹣∞，﹣1]∪[1，+∞〕
C．〔﹣1，1〕D．[﹣1，1]
3．命题“，〞的否认是
A．，B．，
C．，D．，
4．在如图的程序框图中，假设输入，那么输出的的值是
A．3 B．7 C．11 D．33
5．在区间[﹣3，5]上随机地取一个数x，假设x满足|x|≤m〔m＞0〕的概率为，那么m的值等于
A．B．3 C．4 D．﹣2
6．等比数列{an}满足a1+a2=6，a4+a5=48，那么数列{an}前8项的和S8为
A．510 B．126 C．256 D．512
7．函数是定义域为的奇函数，，且当时，，那么以下结论正确的选项是
A．B．
C．D．
8．，实数x，y满足，假设z=3x+y最小值为1,那么a的值为
∴，得m=4．
∴m的值等于4．
应选：C．
【点睛】
解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考察对象和对象的活动范围．当考察对象为点，点的活动范围在线段上时，用线段长度比计算；当考察对象为线时，一般用角度比计算，即当半径一定时，由于弧长之比等于其所对应的圆心角的度数之比，所以角度之比实际上是所对的弧长(曲线长)之比．
当0＜m≤3时，
满足|x|≤m〔m＞0〕的解集的区间长度为2m，
又在区间[﹣3，5]上随机地取一个数x，假设x满足|x|≤m〔m＞0〕的概率为，
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D． 5z 3y 2x
11.某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球表面积为（
A．11
14 B． 3
28 C． 3
）
D．16
f x 2ex 1 ax2 ax 1
12.已知 a 为常数，函数
2
有两个极值点 x1，x2(x1＜x2)，则下列结论正确
的是 （ ）
A． a 0
B. 0 a 1
④四边形 BFD1E 的面积的最大值为 2 .
三、解答题（共 6 小题；共 70 分）
17. (本题满分 12 分)石室中学高三学生摸底考试后，从全体考生中随机抽取 44 名，获取他们本次考
试的数学成绩( x )和物理成绩( y )，绘制成如图散点图：
根据散点图可以看出 y 与 x 之间有线性相关关系，但图中有两个异常点 A, B ．经调查得知， A 考
z 5i 2．i 为虚数单位， 1 2i ， 则 z 的共轭复数为 （ ）
A. 2 i
B． 2 i
C. 2 i
D． 2 i
3．石室中学为了解 1 000 名学生的身体素质，将这些学生编号为 1，2，…，1 000，从这些学生中
用系统抽样方法等距抽取 100 名学生进行体质测验，若 46 号学生被抽到，则以下 4 名学生中被抽
丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是 古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为___________钱. 15．已知 f (x) 是定义域为 R 的奇函数， f (x) 是 f (x) 的导函数， f (1) 0 ，当 x 0 时， xf (x) 3 f (x) 0 ，则使得 f (x) 0 成立的 x 的取值集合是___________．
2 5250, 其中 xi , yi
分别表示这 42 名同学的数学成绩、物理成绩， i 1, 2, 3,, 42 ， y 与 x 的相关系数 r 0.82 ．
（Ⅰ）若不剔除 A, B 两名考生的数据，用 44 组数据作回归分析，设此时 y 与 x 的相关系数为 r0 ．试 判断 r0 与 r 的大小关系（不必说理由）； （Ⅱ）求 y 关于 x 的线性回归方程，并估计如果 B 考生参加了这次物理考试（已知 B 考生的数学成
生由于重感冒导致物理考试发挥失常， B 考生因故未能参加物理考试．为了使分析结果更科学准
确，剔除这两组数据后，对剩下的数据作处理，得到一些统计的值：
4242ຫໍສະໝຸດ 42xi 4620,
yi 3108,
xi
yi
350350,
42
i 1
i 1
i 1
i 1
xi x
2
16940,
42
i 1
yi y
A．充要条件
B．既不充分也不必要条件
C．必要不充分条件
D．充分不必要条件
6 ．已知 ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ，若 a 2 3 ， b 2 ， A 60 ，则 B 为
（）
A．60°
B．60°或 120° C．30°
D．30°或 150°
7．下列函数中，既是奇函数又在 (0, ) 单调递减的函数是（ ）
则图中空白框内应填入（ ）
P N A． 1000
P 4N B． 1000
P M C． 1000
P 4M D． 1000
10. 已知 log2 x log3 y log5 z 1，则 2x, 3y, 5z 的大小关系为（ ）
A． 2x 3y 5z B． 3y 2x 5z
C． 5z 2x 3y
绩为125 分），物理成绩是多少？
n
n
附：回归方程 y a bx 中,
b
i 1
( xi
n
x)( yi (xi x)2
y) =
i 1 n
xi yi nx y ，a
xi 2
2
nx
y
bx
i 1
i 1
18．已知三次函数 f (x) x3 ax2 4x 1 ( a 为常数).
（1）当 a 1 时，求函数 f (x) 在 x 2 处的切线方程；
16.已知棱长为 1 的正方体 ABCD A1B1C1D1 ，过对角线 BD1 作平面 交棱 AA1 于点 E ，交棱 CC1 于点
F ，则：①平面 分正方体所得两部分的体积相等；②四边形 BFD1E 一定是平行四边形；
③平面 与平面 DBB1 不可能垂直； 其中所有正确结论的序号为_______
到的是（ ）
A．8 号学生
B．200 号学生
C．616 号学生
f (x) ln x 2 1
4．函数
x 的零点所在的大致区间是（ ）
D．815 号学生
A． (1, 2)
B． (2, e)
C． (e, 3)
D． (3, )
5．已知向量 a ( m，1) ， b ( 3，m 2 ) ，则 m 3 是 a // b 的（ ）
（2）若 a 0 ，讨论函数 f (x) 在 x 0, 的单调性.
19.如图，四边形 ABCD 与 BDEF 均为菱形， FA FC ，且 DAB DBF 60 ． （1）求证： AC 平面 BDEF ； （2）若 AB 2 ，求三棱锥 A EDC 的体积.
C． f x1 3
D． f x1 1
二、填空题（共 4 小题；共 20 分）
13.已知双曲线
x2 a2
y2 b2
1a
0, b
0
的离心率为 2，则该双曲线的渐近线方程为
_______________ 14.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下 三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分 5 钱，甲、乙两人所得与丙、
A． y 2x 2x
B． y x tan x
C． y x sin x
y 1 2x D． x
8．抛物线 C : y2 4x 的焦点为 F ，其准线 l 与 x 轴交于点 A ，点 M 在抛物线 C 上，
MA 2
当 MF
时， AMF 的面积为（ ）
A．1
B． 2
C．2
D． 2 2
9. 如图是用模拟方法估计圆周率 π 的程序框图，P 表示估计结果，
石室中学高 2021 届 2020-2021 学年度上期入学考试
文科数学试卷
一、选择题（共 12 小题；共 60 分）
1.已知集合 A x, y x y 0, x, y R, B x, y x y+1 0, x, y R ，则集合 A B 的元素个数是
（）
A．0
B．1
C．2
D．3