傅里叶变换的性质 (1)

F
4 2
0 2
4
…
4 2 0
2
4
…
3、频移性 傅里叶变换的频移(调制)特性表示为
若 f t F
则 f t e j0t F 0
证：
f t e j0te jtdt
f t e j0 tdt F 0
频移(调制)特性表明信号在时域中与复因子 e j0t 相乘，
j
e 2
2
2E
2
cos
2
2
8E
sin2
4
因为 F10 F2 0 0
最后
F
1
j2
F2
1 2
8E
s
in
2
4
E
2
Sa2
4
7、频域微分特性 傅里叶变换的频域微分特性表示为
若 f t F
则 dF jt f t
d 一般频域微分特性的实用形式为
j dF tf t
d
对频谱函数的高阶导数亦成立
yt
dt
，说明无直流分量
则 F 0 0 。
利用积分特性可以简化由折线组成的信号频谱的求解。
例2-6 求如图2-21(a)所示 f t 的频谱函数 F 。
f t
E
/ 2
0
解：
f
t
E
1
2
t
0
/2
t
2
t
2
t
（a）
f1t
f
t
2E / 2E /
/2 t 0 0t /2
f t
可以理解为信号波形压缩（扩展）a 倍，信号随时间 变化加快（慢）a 倍，所以信号所包含的频率分量增加 （减少）a 倍，频谱展宽（压缩） a 倍。又因能量守
恒原理，各频率分量分量的大小减小（增加）a 倍。
图2-20表示了矩形脉冲及频谱的展缩情况。
f t
A
F ASa
2
A
/2 0 /2 t
f t / 2
F
f at 1
a
f
x
e
j
a
x
dx
1 a
F
a
a 0 令 at x ， 则 dt 1/ adx ， t x / a 代入上式
F
f at
1 a
jx
f x e a dx
1
f
x
e
j
a
x
dx
a
1 a
F
a
综合 a 0 、a 0 两种情况，尺度变换特性表示为
A
0
t
f 2t
2
2
4
0
4
2F 2
2A
2
0 2
1/ 2F / 2
A / 2
/4 0 /4 t
4
4
0
5、时域微分特性
傅里叶变换的时域微分特性表示为
若 f t F
则 df t jF
dt
证：
df t
dt
1
2
d
dt
F
e
jt
d
交换微、积分运算次序
1 F d e jt d
则频谱为 f 的信号，其时域函数必为 1 Ft 。
2
例2-8 已知 F1 如图2-22所示，利用对称性求 f1t。 F1
E
1
0
1
图2-22
解
F1
E
1
1
0
1 1
例2-6的波形是如图2-23所示的对称三角波,即
f t
E
t
/ 2
0
/2
f t
E 1
2
t
0
t
2
t
2
其对应的
dF n
d n
jt n
f
t
或
tn
f
t
jn
d nF
dn
证：
dF
d
d d
f te jtdt
交换微、积分次序
所以 或
f t d e jt dt
d
jtf te jtdt
dF jt f t
d
j dF tf t
d
同理可证高阶导数
dF n
d n
jt n
f
t
或
tn
f
t
jn
d nF
2
dt
所以
1 jF e jtd
2
df t jF
dt
同理，可推广到高阶导数的傅里叶变换
df n dt
t
n
j
n
F
式中 j 是微分因子。
6、时域积分特性
傅里叶变换的时域积分特性表示为
若 f t F
则
yt
t
f
d
Y
F0
1 F
j
特别地，当 F0 0 时
yt t
f d
Y
f t cos 1t
1
F
-1
sin 1t
1
-1
t
1
0
1Biblioteka Baidu
F
1
t
0
1
利用的 e j1t 傅氏变换，我们还可以推导任意周期函数
的频谱函数为
fT t
F e jn1t n
2
Fn n1
n
n
证 F
fT t
F
n
Fn
e
jn1t
n
F
F e jn1t n
Fn F e jn1t 2
也称调制特性。
例2-4 求 f t cos 0t ut 的频谱函数，并画出频谱
图。
解： 已知 ut 1 ，利用频移性
j
cos0tut
2
0
0
2
1
j
0
2
1
j
0
2
0
0
02
j 2
f t 的波形以及频谱如图2-17所示。
图2-17 例2-4的波形及振幅、相位频谱
f t
1
F
0
t
/ 2
特别地当 f t 为实偶函数，我们有
X
f tsin tdt 0
F
2R
20
f
t cos
tdt
上式表明 f t 若是t 的实偶函数，则 F 必为 的
实偶函数。
特别地 f t 为实奇函数，则
R
f tcos tdt 0
F
jX
j
f tsin tdt
/ 2
-1
0
0
0
/2
0
0
0
/2
例2-5 求如图2.-18所示 f t 的 F 并作图。
f t
A
t
2
2
-A
解 令 f1t Ag t ， f t f1tcos0t 0 2 /
图 2 .
F1 ASa / 2
3
4
则
F
1 2
F1
0
F1
0
A
2
Sa
2
0
Sa
0
2
其中 0 2 /
即：
T
t
1 e jn1t T n
再求这个级数的傅氏变换
F
1 T n
e
jn1t
2
T
n
n1
1 n1
n
T t 的频谱函数如图2-25b所示。 F
1
1 0 1 21 31
单位周期冲激序列的傅氏变换仍为周期冲激序列。
9、奇、偶、虚、实性
f t为实函数时，F 的模与幅角、实部与虚部表示形式
并作频谱图。
f1 t
解 f1t 与门函数的关系为
E
f1t Ef t 2
由上节门函数的变换
0 t
f t F Sa 2
再由线性与时移性，得到
F1
EF
e jt0
ESa
2
e
j
2
F1 E F E Sa 2
1 / 2
f1t 的振幅、相位频谱函数、如图2-16所示。
1 ，并乘以系数 2 ，我们得到另一对变换对
e j1t 2 1 2 1
利用上面结果，可推导周期正、余弦函数的傅氏变换。
cos1t
1 2
e j1t
e j1t
1 1
sin 1t
1 2j
e e j1t
j1t
j 1 1
cos1t 、sin 1t 的波形与频谱如图2-24 所示。
实际调制解调的载波信号是正（余）弦信号，借助欧拉 公式正（余）弦信号可以表示为
cos 0t
e j0t
e j0t 2
sin 0t
e j0t
e j0t 2j
这样，若有 f t F
则
f
t c os0t
1 2
F
0
F
0
f tsin 0t
1 j2
F
0
F
0
这正是调制解调过程中频谱搬移情况，所以这一性质
Fn n1
n
n
例2.3-9 求周期单位冲激序列 T t t nT
的傅氏变换,
1
2
T
n
解：先将周期单位冲激序列展开傅氏级数
其中
T t
Fn e jn1t
n
Fn
1 T
T
2
T 2 T
t e jtdt 1 T
T 2
T 2
t dt 1 T
Fn
1/T
1 0 1 21 31
dn
例2-7 求 f t teatut 的频谱函数。
解：利用
eatut
1 a j
，则
teatut
F
j
d d
a
1 j
j
a
j j
2
1
a j2
8、对称（偶）性 傅里叶变换的对称特性表示为
若： f t F
则 Ft 2f
或 1 Ft f
2
证：
f t 1 F e jtd
当一个信号在时域中发生了某些变化，会引起频域中 的什么样变化？反之亦然。除了明白信号时频之间的 内在联系，我们也希望能简化变换的运算，为此对傅 氏变换基本性质及定理进行讨论就非常重要。
一、傅里叶变换性质 1.线性
傅里叶变换的线性特性表示为
若 f1t F1 f2 t F2
则 af1t bf2 t aF1 bF2
证：
f t t0 e jt dt
f
x e jxt0 dx
e jt0 f x e jxdx F j e jt0
时延（移位）性说明波形在时间轴上时延，不改变信号 振幅频谱，仅使信号增加一 t0 线性相位。
例2.3-1 求如图2-15所示信号 f1t 的频谱函数 F1，
Sa2 1t 2
利用对称性可以由已知的一对傅氏变换对，方便的推出 与之相关的另一对傅氏变换对，从而减少了大量的运算。
利用对称性，我们还可以得到任意周期信号的傅氏变换。
例2.3-8 求 e j1t 的傅氏变换。
解 由时延特性，可得 t t0 e jt0
利用对称性，将上式中的 t 变换成 、t0 变换成
2E /
f t如图2-21(b)所示。
/ 2 0
/2
t
F1
ESa
4
j e 4
j
e 4
2E / 2E /
f t
(b) 2E /
j2ESa sin
44
/ 2
0 /2
t
f2t
f
t
2E
t
2
2 t
t
2
4E /
f t 如图2-21(c)所示
F2
2E
j e 2
1 F
j
证： F yt t f d e jtdt
f
ut
d
e
jt dt
f
ut
e jtdtd
f
1 j
e
j
d
f e j d f 1 e j d
j
f d
1 F
j
F0 1 F
j
显然，当 F0 0 时，有
t
f d
1 F
j
从时域上看，一般当 yt 是无限区间可积时，即
式中 a、b 为任意常数。
证 ：
af1
t
bf2
t
e
jt
dt
a
f1te jtdt
b
f2 t e jtdt
aF1
bF2
利用傅氏变换的线性特性，可以将待求信号分解为若干
基本信号之和。
2. 时延（时移、移位）性 傅里叶变换的时延（移位）特性表示为
若 f t F 则 f1t f t t0 F1 F e jt0
则在频域中将使整个频谱搬移 0 。通信技术中的调制 是将频谱在 0 附近的低频信号乘以e j0t，使其频谱 搬移到 0 附近。反之，频谱在 0 附近的高频 信号乘以 e j0t ，其频谱被搬移到附近，这就是解调。
变频是将频谱在 c 附近的信号 f t 乘以 e j0t ，
使其频谱搬移到 c 0 附近。这些都是频移特性 的应用。
2
f t 1 Fe jtd
2
2f F te jtdt
将变量 t 与 互换
特别地：当 f t 是 t 的偶函数，那么
Ft 2f 2f
或
f 1 Ft
2
(2-54)
由上式看，在此条件下时域与频域是完全对称性关系。
就是说，当 f t 是偶函数时，如果的频谱函数为F ，
为
F f te jtdt
f
tcos tdt
j
f tsin tdt
R jX Fe j
其中
R
f tcostdt R
X
f tsin tdt X
F R2 X 2 F
tan1
X R
由上式可知 R、 F ，是 的偶函数；X 、
是 的奇函数。
f
at
1 a
F
a
特别地，当 a 1 时，得到 f t 的折叠函数 f t ，
其频谱亦为原频谱的折叠，即 f t F 。
尺度特性说明，信号在时域中压缩，频域中就扩展；反 之，信号在时域中扩展，在频域中就一定压缩；即信号 的脉宽与频宽成反比。一般来说时宽有限的信号，其频 宽无限，反之亦然。
§2.3傅里叶变换性质及定理 傅氏变换揭示了信号时间特性与频率特性之间的联系。 信号可以在时域中用时间函数 f t 表示，亦可以在频域 中用频谱密度函数 F 表示；只要其中一个确定，另一 个随之确定，两者是一一对应的。在实际的信号分析 中，往往还需要对信号的时、频特性之间的对应关系、
变换规律有更深入、具体的了解。例如我们希望清楚，
F E Sa2
2 4
比较图2-22、2-23两者变化规律相同，利用对称性可以
很方便地求出 f1t ，因为由图可以看出，只要将 f t
中的 t
；
2
1
；就有
f
F1 。这样一来
f1 t
亦可由 F
的 t
，
2
1
1
得到(只差 2
系
数)，即：
F
t
E1Sa2
1t 2
则
f1t
1
2
Ft
E1
2
F1以及 F 如图2-19所示。
F1
A
2
4
2
0
4
F
A / 2
0 2 /
0
0
0
4、尺度变换 傅里叶变换的尺度变换特性表示为
若 f t F
则 f at 1 F
a a
a0
证： F f at f ate jtdt
a 0 令 at x ， 则 dt 1/ adx ， t x / a 代入上式