第6章最优控制PPT课件
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0
3、泛函变分的规则 1） δL 1 (L 2)δL 1 δL 2
2） δL 1 ( L 2 ) L 1δL 2 L 2δL 1
3） δbL [x,x ,t]dtbδL [x,x ,t]dt
a
a
4）
δdx d δx dt dt
8
4、泛函的极值
设 J [ x] 是在线性赋泛空间 R n 上某个子集D 中的线性连续泛函，
（3）
初始状态
x1 (0) x2 (0)
0 0
末值状态
x1(t x2 (t
f f
) )
0
控制 I D 不受限制
性能指标
E tf RDID 2(t)dt 0
（4）
本问题的最优控制问题是：在数学模型（3）的约束下，寻求一个 控制 ID (t) ，使电动机从初始状态转移到末值状态，性能指标E 为最 小。
1
6.1 引言
什么是最优控制？以下通过直流他励电机的控制问题来说明
问题6-1 电动机的运动方程为
KmIDTF JDddt
（1）
其中，K m 为转矩系数；J D为转动惯量；
为恒T定F 的负载转矩；
tf (t)dt const （2） 0
希望：在时间区间[0，tf]内，电动机从静止起动，转过一定角度
第6章 最优控制
最优控制是控制系统设计的一种方法。它所研究的中心问题是如何 选择控制信号，才能保证控制系统的性能在某种意义下最优。本章 内容为： 1. 引言
2. 用变分法求解最优控制问题
3. 极小值原理及其在快速控制中的应用
4. 用动态规划法求解最优控制问题 5. 线性状态调节器 6. 线性伺服机问题
x0 D，若在 x 0 的某领域内 U ( x 0 ,) xx x 0 , x R n
在 xU(x0,)D时，均有 Δ J[x]J[x]J[x0]≤0 或 Δ J[x]J[x]J[x0]≥0
则称 J ( x) 在x x0处达到极大值或极小值。
定理：设J [ x ]是在线性赋泛空间 R n 上某个开子集D 中定义的可微 泛函，且在 x 处x0达到极值，则泛函 J [ x在] x x处0 必有
x1 (0) x2 (0)
0 0
末值状态
x1(t f ) x2(t f )
0
I D (t) ≤ IDmax
（5）
性能指标 J tf dt tf 0
（6）
最优控制问题为：在状态方程的约束下，寻求最优控制 ID (t)≤ IDmax
，将 x (t f ) 转移到 x(0) ，使J 为极小。 4
3
问题6-2 对于问题6-1中的直流他励电动机，如果电动机从初始
时刻 t0 0 的静止状态转过一个角度 又停下，求控制 ID (t（) ID (t)是
受到限制的），使得所需时间最短。
这也是一个最优控制问题：
系统方程为
xx1 20 0 1 0xx1 2K J0D mIDJ1 0DTF
初始状态
后停止，使电枢电阻 R D 上的损耗
E tf 0
RDID 2(t)dt最小，求
ID (t)
因为 I D 是时间的函数，E 又是 I D 的函数，E 是函数的函数，称为 泛函。
2
采用状态方程表示，令
x1
x2x1
x2
Km
JD
IDTJFD
于是
xx1 20 0 1 0xx1 2K J0D mIDJ1 0DTF
拉方程
L d x dt
Lx 0
及横截条件
LT x
tf
x(tf
) L xT
x(t0)0
t0
注意：满足欧拉方程是必要条件，不是充分条件。
10
6.2 用变分法求解最优控制问题
6.2.1 末值时刻固定、末值状态自由情况下的最优控制
非线性时变系统状态方程为
最优控制问题的一般性提法为
系统状态方程为 xf(xu,,t) 初始状态为 x(t0 )
其中，x 为n 维状态向量； u 为r 维控制向量； f 为n 维向量函数， 它是 x 、u 和t 的连续函数，并且对x 、t 连续可微。
寻求在[t0 , t f ]上的最优控制 uRr或 uURr ，以将系统状态 从 x(t0转) 移到 x (t 或f ) x (t的f ) 一个集合，并使性能指标
J[x(tf)t,f]tf L(x,u,t)dt t0
最优。其中 L(x,u,t) 是 x 、u 和t 的连续函数
最优控制问题就是求解一类带有约束条件的条件泛函极值问题。
5
补充：泛函与变分法
一、泛函与变分
1、泛函的基本定义：
如果对于某个函数集合x(t)中的每一个函数 x(t )，变量J 都有一个 值与之对应，则称变量J 为依赖于函数 x(t )的泛函，记作 Jx(t)
Δ J [ x ] J [ x δ x ] J [ x ] L [ x , δ x ] r [ x , δ x ]
其中，L[x,δx]是关于 δ x 的线性连续泛函，r[x,δx] 是关于δ x 的高阶 无穷小。则 δJL[x,δx]称为泛函 J [ x]的变分。
7
泛函的变分等于
Jx(t)x
可见，泛函为标量，可以理解为“函数的函数”
例如：
3
J[x] x(t)dt
0
（其中，x (t )为在[0,3]上连续可积函数）
当x(t) t 时，有 J4.5 ；当x(t) et 时，有 J e31 。
6
泛函 J[x(t)]如果满足以下条件时，称为线性泛函： 1） J[cx(t) ]c[Jx(t)]，其中c 为任意常数； 2） J [ x 1 ( t) x 2 ( t) ] J [ x 1 ( t) J ] [ x 2 ( t)]
δJ[x0,δx]0
9
欧拉方程：
定理：设有如下泛函极值问题：
miJn[x] tf L(x,x,t)dt
x(t)
t0
其中， L(x,x,t) 及 x (t ) 在 [t0 , t f ] 上连续可微， t 0 和 t f 给定，
已知 x(t0)x0，x(tf )xf ，x(t)Rn ，则极值轨线 x * (t ) 满足如下欧
对于一个任意小正数 ，总是可以找到 ，当 x(t)x0(t) 时，有
J[x(t) ]J[x0(t)]就称泛函J[x(t)]在 x(t)x0(t)处是连续的。
2、泛函的变分
所谓泛函 J[x(t)]的宗量 x (t ) 的变分是指两个函数间的差。
δxx(t)x0(t)
x(t),x0(t)Rn
定义：设J [ x ]是线性赋泛空间 R n 上的连续泛函，其增量可表示为
0
3、泛函变分的规则 1） δL 1 (L 2)δL 1 δL 2
2） δL 1 ( L 2 ) L 1δL 2 L 2δL 1
3） δbL [x,x ,t]dtbδL [x,x ,t]dt
a
a
4）
δdx d δx dt dt
8
4、泛函的极值
设 J [ x] 是在线性赋泛空间 R n 上某个子集D 中的线性连续泛函，
（3）
初始状态
x1 (0) x2 (0)
0 0
末值状态
x1(t x2 (t
f f
) )
0
控制 I D 不受限制
性能指标
E tf RDID 2(t)dt 0
（4）
本问题的最优控制问题是：在数学模型（3）的约束下，寻求一个 控制 ID (t) ，使电动机从初始状态转移到末值状态，性能指标E 为最 小。
1
6.1 引言
什么是最优控制？以下通过直流他励电机的控制问题来说明
问题6-1 电动机的运动方程为
KmIDTF JDddt
（1）
其中，K m 为转矩系数；J D为转动惯量；
为恒T定F 的负载转矩；
tf (t)dt const （2） 0
希望：在时间区间[0，tf]内，电动机从静止起动，转过一定角度
第6章 最优控制
最优控制是控制系统设计的一种方法。它所研究的中心问题是如何 选择控制信号，才能保证控制系统的性能在某种意义下最优。本章 内容为： 1. 引言
2. 用变分法求解最优控制问题
3. 极小值原理及其在快速控制中的应用
4. 用动态规划法求解最优控制问题 5. 线性状态调节器 6. 线性伺服机问题
x0 D，若在 x 0 的某领域内 U ( x 0 ,) xx x 0 , x R n
在 xU(x0,)D时，均有 Δ J[x]J[x]J[x0]≤0 或 Δ J[x]J[x]J[x0]≥0
则称 J ( x) 在x x0处达到极大值或极小值。
定理：设J [ x ]是在线性赋泛空间 R n 上某个开子集D 中定义的可微 泛函，且在 x 处x0达到极值，则泛函 J [ x在] x x处0 必有
x1 (0) x2 (0)
0 0
末值状态
x1(t f ) x2(t f )
0
I D (t) ≤ IDmax
（5）
性能指标 J tf dt tf 0
（6）
最优控制问题为：在状态方程的约束下，寻求最优控制 ID (t)≤ IDmax
，将 x (t f ) 转移到 x(0) ，使J 为极小。 4
3
问题6-2 对于问题6-1中的直流他励电动机，如果电动机从初始
时刻 t0 0 的静止状态转过一个角度 又停下，求控制 ID (t（) ID (t)是
受到限制的），使得所需时间最短。
这也是一个最优控制问题：
系统方程为
xx1 20 0 1 0xx1 2K J0D mIDJ1 0DTF
初始状态
后停止，使电枢电阻 R D 上的损耗
E tf 0
RDID 2(t)dt最小，求
ID (t)
因为 I D 是时间的函数，E 又是 I D 的函数，E 是函数的函数，称为 泛函。
2
采用状态方程表示，令
x1
x2x1
x2
Km
JD
IDTJFD
于是
xx1 20 0 1 0xx1 2K J0D mIDJ1 0DTF
拉方程
L d x dt
Lx 0
及横截条件
LT x
tf
x(tf
) L xT
x(t0)0
t0
注意：满足欧拉方程是必要条件，不是充分条件。
10
6.2 用变分法求解最优控制问题
6.2.1 末值时刻固定、末值状态自由情况下的最优控制
非线性时变系统状态方程为
最优控制问题的一般性提法为
系统状态方程为 xf(xu,,t) 初始状态为 x(t0 )
其中，x 为n 维状态向量； u 为r 维控制向量； f 为n 维向量函数， 它是 x 、u 和t 的连续函数，并且对x 、t 连续可微。
寻求在[t0 , t f ]上的最优控制 uRr或 uURr ，以将系统状态 从 x(t0转) 移到 x (t 或f ) x (t的f ) 一个集合，并使性能指标
J[x(tf)t,f]tf L(x,u,t)dt t0
最优。其中 L(x,u,t) 是 x 、u 和t 的连续函数
最优控制问题就是求解一类带有约束条件的条件泛函极值问题。
5
补充：泛函与变分法
一、泛函与变分
1、泛函的基本定义：
如果对于某个函数集合x(t)中的每一个函数 x(t )，变量J 都有一个 值与之对应，则称变量J 为依赖于函数 x(t )的泛函，记作 Jx(t)
Δ J [ x ] J [ x δ x ] J [ x ] L [ x , δ x ] r [ x , δ x ]
其中，L[x,δx]是关于 δ x 的线性连续泛函，r[x,δx] 是关于δ x 的高阶 无穷小。则 δJL[x,δx]称为泛函 J [ x]的变分。
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泛函的变分等于
Jx(t)x
可见，泛函为标量，可以理解为“函数的函数”
例如：
3
J[x] x(t)dt
0
（其中，x (t )为在[0,3]上连续可积函数）
当x(t) t 时，有 J4.5 ；当x(t) et 时，有 J e31 。
6
泛函 J[x(t)]如果满足以下条件时，称为线性泛函： 1） J[cx(t) ]c[Jx(t)]，其中c 为任意常数； 2） J [ x 1 ( t) x 2 ( t) ] J [ x 1 ( t) J ] [ x 2 ( t)]
δJ[x0,δx]0
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欧拉方程：
定理：设有如下泛函极值问题：
miJn[x] tf L(x,x,t)dt
x(t)
t0
其中， L(x,x,t) 及 x (t ) 在 [t0 , t f ] 上连续可微， t 0 和 t f 给定，
已知 x(t0)x0，x(tf )xf ，x(t)Rn ，则极值轨线 x * (t ) 满足如下欧
对于一个任意小正数 ，总是可以找到 ，当 x(t)x0(t) 时，有
J[x(t) ]J[x0(t)]就称泛函J[x(t)]在 x(t)x0(t)处是连续的。
2、泛函的变分
所谓泛函 J[x(t)]的宗量 x (t ) 的变分是指两个函数间的差。
δxx(t)x0(t)
x(t),x0(t)Rn
定义：设J [ x ]是线性赋泛空间 R n 上的连续泛函，其增量可表示为