湖南省长沙一中2020年高考数学二模试题 理(含解析)

2020年湖南省长沙一中高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数等于（）A．4 B．﹣4 C．4i D．﹣4i2．已知A={y|y=x，0≤x≤1}，B={y|y=kx+1，x∈A}，若A⊆B，则实数k的取值范围为（）A．k=﹣1 B．k＜﹣1 C．﹣1≤k≤1 D．k≤﹣13．在区间[1，2]上任选两个数x，y，则y＜的概率为（）A．2ln2﹣1 B．1﹣ln2 C．D．ln24．若f（x）=asin（x+）+bsin（x﹣）（ab≠0）是偶函数，则有序实数对（a，b）可以是（）A．（1，）B．（﹣1，）C．（1，1）D．（﹣1，1）5．朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问有如下问题：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤．只云初日差六十四人，次日转多七人，每人日支米三升，共支米四百三石九斗二升，问筑堤几日”．其大意为：“官府陆续派遣1864人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始，每天派出的人数比前一天多7人，修筑堤坝的每人每天分发大米3升，共发出大米40392升，问修筑堤坝多少天”．这个问题中，前5天应发大米（）A．894升B．1170升C．1275米D．1467米6．平行四边形ABCD中，AB=AD=2，•=﹣2， +=，则•的值为（）A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．27．执行如图所示的程序框图，如果输入的m=168，n=112，则输出的k，m的值分别为（）A．4，7 B．4，56 C．3，7 D．3，568．如图，某几何体的三视图为三个边长均为1的正方形及两条对角线，则它的表面积为（）A．2 B．2 C．3 D．49．如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，若P处有一棵树与两墙的距离分别是4m和am（0＜a＜12），不考虑树的粗细．现用16m长的篱笆，借助墙角围成一个矩形花圃ABCD．设此矩形花圃的最大面积为u，若将这棵树围在矩形花圃内，则函数u=f（a）（单位m2）的图象大致是（）A．B．C．D．10．双曲线C的渐近线方程为y=±，一个焦点为F（0，﹣），点A（，0），点P为双曲线第一象限内的点，则当P点位置变化时，△PAF周长的最小值为（）A．8 B．10 C．D．11．棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中三角形（正四面体的截面）的面积是（）A．B．C．D．12．若函数f（x）=sin2x+asinx+b（a，b∈R）在[﹣，0]上存在零点，且0≤b﹣2a≤1，则b的取值范围是（）A．[﹣，0] B．[﹣3，﹣2] C．[﹣2，0] D．[﹣3，0]二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．在（1+x）+（1+x）2+…+（1+x）5的展开式中，x2项的系数是（用数字作答）．14．设不等式组，表示的平面区域为D，若函数y=log a x（a＞1）的图象上存在区域D上的点，则实数a的取值范围是．15．直线l过抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F，与抛物线C交于A、B两点，与其准线交于点D，若|AF|=6，，则p= ．16．已知数列{a n}满足a1=1，a2=2，a n+2=（1+cos2）a n+sin2，则该数列的前20项的和为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．如图，在平面四边形ABCD中，已知∠A=，∠B=，AB=6，在AB边上取点E，使得BE=1，连接EC，ED．若∠CED=，EC=．（Ⅰ）求sin∠BCE的值；（Ⅱ）求CD的长．18．如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB=4，CD=2，AC与BD 交于O，且AC⊥BD，矩形ACEF⊥底面ABCD，M为EF上一动点，满足=λ．（Ⅰ）若AM∥平面EBD，求实数λ的值；（Ⅱ）当λ=时，锐二面角D﹣AM﹣B的余弦值为，求多面体ABCDEF的体积．19．专家研究表明，PM2.5是霾的主要成份，在研究PM2.5形成原因时，某研究人员研究了PM2.5与燃烧排放的CO2、NO2、CO、O2等物质的相关关系．下图是某地某月PM2.5与CO和O2相关性的散点图．（Ⅰ）根据上面散点图，请你就CO，O2对PM2.5的影响关系做出初步评价；（Ⅱ）根据有关规定，当CO排放量低于100μg/m2时CO排放量达标，反之为CO排放量超标；当PM2.5值大于200μg/m2时雾霾严重，反之雾霾不严重．根据PM2.5与CO相关性的散点图填写好下面2×2列联表，并判断有多大的把握认为“雾霾是否严重与排放量有关”：雾霾不严重雾霾严重总计CO排放量达标CO排放量超标总计（Ⅲ）我们知道雾霾对交通影响较大．某市交通部门发现，在一个月内，当CO排放量分别是60，120，180时，某路口的交通流量（单位：万辆）一次是800，600，200，而在一个月内，CO排放量是60，120，180的概率一次是p，，q（），求该路口一个月的交通流量期望值的取值范围．附：P（x2≥k）0.100 0.050 0.010 0.001 k 2.706 3.841 6.635 10.828K2=．20．设P、Q、R、S是椭圆C1：（a＞b＞0）的四个顶点，四边形PQRS是圆C0：x2+y2=的外切平行四边形，其面积为12．椭圆C1的内接△ABC的重心（三条中线的交点）为坐标原点O．（Ⅰ）求椭圆C1的方程；（Ⅱ）△ABC的面积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．21．已知函数f（x）=a（x﹣1），g（x）=a（x﹣1）e x，a∈R．（Ⅰ）判断直线y=f（x）能否与曲线y=g（x）相切，并说明理由；（Ⅱ）若不等式f（x）＞g（x）有且仅有两个整数解，求a的取值范围．选修4-4：坐标系与参数方程22．在直角坐标系xOy中，曲线C1：（θ为参数，r为大于零的常数），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2﹣8ρsinθ+15=0．（Ⅰ）若曲线C1与C2有公共点，求r的取值范围；（Ⅱ）若r=1，过曲线上C1任意一点P作曲线C2的切线，切于点Q，求|PQ|的最大值．选修4-5：不等式选讲23．设函数f（x）=|x﹣a|，a∈R．（Ⅰ）当a=2时，解不等式：f（x）≥6﹣|2x﹣5|；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≤4的解集为[﹣1，7]，且两正数s和t满足2s+t=a，求证：．2020年湖南省长沙一中高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数等于（）A．4 B．﹣4 C．4i D．﹣4i【考点】A7：复数代数形式的混合运算．【分析】由完全平方公式，知=，由此利用虚数单位的性质能够求出结果．【解答】解： ==﹣1﹣2﹣1=﹣4，故选B．2．已知A={y|y=x，0≤x≤1}，B={y|y=kx+1，x∈A}，若A⊆B，则实数k的取值范围为（）A．k=﹣1 B．k＜﹣1 C．﹣1≤k≤1 D．k≤﹣1【考点】18：集合的包含关系判断及应用．【分析】求出集合A={y|0≤y≤1}，B={y|y=kx+1，0≤x≤1}，由A⊆B，列出方程组，能求出实数k的取值范围．【解答】解：∵A={y|y=x，0≤x≤1}={y|0≤y≤1}，B={y|y=kx+1，x∈A}={y|y=kx+1，0≤x≤1}，∵A⊆B，∴，解得k≤﹣1．∴实数k的取值范围为k≤﹣1．故选：D．3．在区间[1，2]上任选两个数x，y，则y＜的概率为（）A．2ln2﹣1 B．1﹣ln2 C．D．ln2【考点】CF：几何概型．【分析】由题意，本题是几何概型，利用变量对应区域的面积比求概率即可．【解答】解：由题意，在区间[1，2]上任选两个数x，y，对应区域如图：面积为1，则y＜的区域面积为=2ln2﹣1，所以所求概率为=2ln2﹣1；故选A．4．若f（x）=asin（x+）+bsin（x﹣）（ab≠0）是偶函数，则有序实数对（a，b）可以是（）A．（1，）B．（﹣1，）C．（1，1）D．（﹣1，1）【考点】3L：函数奇偶性的性质．【分析】根据函数奇偶性的定义建立方程进行求解即可．【解答】解：函数的定义域是R，若函数f（x）是偶函数，则f（）=f（﹣），即asin+bsin0=asin0+bsin（﹣），即a=﹣b，排除A，B，C，故选：D5．朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问有如下问题：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤．只云初日差六十四人，次日转多七人，每人日支米三升，共支米四百三石九斗二升，问筑堤几日”．其大意为：“官府陆续派遣1864人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始，每天派出的人数比前一天多7人，修筑堤坝的每人每天分发大米3升，共发出大米40392升，问修筑堤坝多少天”．这个问题中，前5天应发大米（）A．894升B．1170升C．1275米D．1467米【考点】85：等差数列的前n项和．【分析】先利用等差数列通项公式求出第5天派出的人数，再利用等差数列前n项和公式求出前5天一共派出多少人，由此能求出结果．【解答】解：∵第一天派出64人，从第二天开始，每天派出的人数比前一天多7人，∴第5天派出：64+4×7=92人，∴前5天共派出=390（人），∴前5天应发大米：390×3=1170（升）．故选：B．6．平行四边形ABCD中，AB=AD=2，•=﹣2， +=，则•的值为（）A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】由题意利用两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的运算公式求得•的值．【解答】解：如图：平行四边形ABCD中，∵AB=AD=2，•=﹣2， +=，∴M为CD的中点，∴=•（+）=•（﹣）=﹣=﹣2﹣=﹣4，故选：A．7．执行如图所示的程序框图，如果输入的m=168，n=112，则输出的k，m的值分别为（）A．4，7 B．4，56 C．3，7 D．3，56【考点】EF：程序框图．【分析】模拟执行程序框图的运行过程，即可得出程序运行后输出的结果．【解答】解：执行如图所示的程序框图，输入m=168，n=112，满足m、n都是偶数，k=1，m=84，n=56，满足m、n都是偶数，k=2，m=42，n=28，满足m、n都是偶数，k=3，m=21，n=14，不满足m、n都是偶数，满足m≠n，d=|m﹣n|=7，m=14，n=7，满足m≠n，d=|m﹣n|=7，m=7，n=7，不满足m≠n，退出循环，输出k=3，m=7．故选：C．8．如图，某几何体的三视图为三个边长均为1的正方形及两条对角线，则它的表面积为（）A．2 B．2 C．3 D．4【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由几何体的三视图还原几何体，该几何体是同底面的上下两个正四棱锥的组合体，根据各边是边长为1的等边三角形求表面积．【解答】解：如图所示，该几何体是同底面的上下两个正四棱锥．则该几何体的表面积S=8×=2；故选B．9．如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，若P处有一棵树与两墙的距离分别是4m和am（0＜a＜12），不考虑树的粗细．现用16m长的篱笆，借助墙角围成一个矩形花圃ABCD．设此矩形花圃的最大面积为u，若将这棵树围在矩形花圃内，则函数u=f（a）（单位m2）的图象大致是（）A．B．C．D．【考点】3O：函数的图象．【分析】求矩形ABCD面积的表达式，又要注意P点在长方形ABCD内，所以要注意分析自变量的取值范围，并以自变量的限制条件为分类标准进行分类讨论．判断函数的图象即可．【解答】解：设AD长为x，则CD长为16﹣x又因为要将P点围在矩形ABCD内，∴a≤x≤12则矩形ABCD的面积为x（16﹣x），当0＜a≤8时，当且仅当x=8时，u=64当8＜a＜12时，u=a（16﹣a）u=，分段画出函数图形可得其形状与C接近故选：B．10．双曲线C的渐近线方程为y=±，一个焦点为F（0，﹣），点A（，0），点P为双曲线第一象限内的点，则当P点位置变化时，△PAF周长的最小值为（）A．8 B．10 C．D．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】利用已知条件求出a，b求出双曲线方程，利用双曲线的定义转化求解三角形的最小值即可．【解答】解：双曲线C的渐近线方程为y=±，一个焦点为，可得，c==，a=2，b=．双曲线方程为，设双曲线的上焦点为F'，则|PF|=|PF'|+4，△PAF的周长为|PF|+|PA|+|AF|=|PF'|+4+|PA|+3，当P点在第一象限时，|PF'|+|PA|的最小值为|AF'|=3，故△PAF的周长的最小值为10．故选：B．11．棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中三角形（正四面体的截面）的面积是（）A．B．C．D．【考点】L6：简单组合体的结构特征．【分析】做本题时，需要将原图形在心中还原出来，最好可以做出图形，利用图形关系，就可以求解了．【解答】解：棱长为2的正四面体ABCD的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图为△ABF，则图中AB=2，E为AB中点，则EF⊥DC，在△DCE中，DE=EC=，DC=2，∴EF=，∴三角形ABF的面积是，故选C．12．若函数f（x）=sin2x+asinx+b（a，b∈R）在[﹣，0]上存在零点，且0≤b﹣2a≤1，则b的取值范围是（）A．[﹣，0] B．[﹣3，﹣2] C．[﹣2，0] D．[﹣3，0]【考点】52：函数零点的判定定理．【分析】讨论零点个数，列出不等式组，作出平面区域，得出b的取值范围．【解答】解：设sinx=t，则t∈[﹣1，0]，∴关于t的方程t2+at+b=0在[﹣1，0]上有解，令g（t）=t2+at+b，（1）若g（t）在[﹣1，0]上存在两个零点，则，无对应的平面区域，（2）若g（t）在[﹣1，0]上存在1个零点，则g（﹣1）g（0）≤0，∴，作出平面区域如图所示：解方程组得A（﹣2，﹣3）．∴b的范围是[﹣3，0]．故选D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．在（1+x）+（1+x）2+…+（1+x）5的展开式中，x2项的系数是20 （用数字作答）．【考点】DC：二项式定理的应用．【分析】利用二项展开式的通项公式，求得x2项的系数．【解答】解：（1+x）+（1+x）2+…+（1+x）5的展开式中，x2项的系数是+++=1+3+6+10=20，故答案为：20．14．设不等式组，表示的平面区域为D，若函数y=log a x（a＞1）的图象上存在区域D上的点，则实数a的取值范围是[3，+∞）．【考点】4H：对数的运算性质．【分析】如图所示，不等式组，表示的平面区域为D，联立，解得A（3，1）．根据函数y=log a x（a＞1）的图象上存在区域D上的点，可得经过点A时，a取得最小值，可得a．【解答】解：如图所示，不等式组，表示的平面区域为D，联立，解得，∴A（3，1）．∵函数y=log a x（a＞1）的图象上存在区域D上的点，∴经过点A时，a取得最小值，1=log a3，解得a=3．则实数a的取值范围是[3，+∞）．故答案为：[3，+∞）．15．直线l过抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F，与抛物线C交于A、B两点，与其准线交于点D，若|AF|=6，，则p= 3 ．【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】过A，B，F向准线作垂线，利用抛物线的定义得出直线AB的斜率，计算|AD|可得F为AD的中点，利用中位线定理得出p的值．【解答】解：过A，B，F作准线的垂线，垂足分别为A′，B′，F′，则|AA′|=|AF|=6，|BB′|=|BF|，|FF′|=p．∵，∴|DB|=2|BF|=2|BB′|，∴直线l的斜率为，∴|AD|=2|AA′|=12，∴F是AD的中点．∴|FF′|=|AA′|=3，即p=3．故答案为：3．16．已知数列{a n}满足a1=1，a2=2，a n+2=（1+cos2）a n+sin2，则该数列的前20项的和为2101 ．【考点】8E：数列的求和．【分析】先利用题中条件找到数列的特点，即其奇数项构成了首项为1，公差为1的等差数列，而其偶数项则构成了首项为2，公比为2的等比数列，再对其和用分组求和的方法找到即可．【解答】解：由题中条件知，a1=1，a2=2，a3=a1+1=2，a4=2a2+0=4，a5=a3+1=3，a6=2a4=8…即其奇数项构成了首项为1，公差为1的等差数列，而其偶数项则构成了首项为2，公比为2的等比数列，所以该数列的前20项的和为（1+2+3+…+10）+（2+4+8+…+210）=2101．故答案为：2101．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．如图，在平面四边形ABCD中，已知∠A=，∠B=，AB=6，在AB边上取点E，使得BE=1，连接EC，ED．若∠CED=，EC=．（Ⅰ）求sin∠BCE的值；（Ⅱ）求CD的长．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】（Ⅰ）在△CBE中，正弦定理求出sin∠BCE；（Ⅱ）在△CBE中，由余弦定理得CE2=BE2+CB2﹣2BE•CBcos120°，得CB．由余弦定理得CB2=BE2+CE2﹣2BE•CEcos∠BEC⇒cos∠BEC⇒sin∠BEC、cos∠AED在直角△ADE中，求得DE=2，在△CED中，由余弦定理得CD2=CE2+DE2﹣2CE•DEcos120°即可【解答】解：（Ⅰ）在△CBE中，由正弦定理得，sin∠BCE=，（Ⅱ）在△CBE中，由余弦定理得CE2=BE2+CB2﹣2BE•CBcos120°，即7=1+CB2+CB，解得CB=2．由余弦定理得CB2=BE2+CE2﹣2BE•CEcos∠BEC⇒cos∠BEC=．⇒sin∠BEC=，sin∠AED=sin=，⇒cos∠AED=，在直角△ADE中，AE=5，═cos∠AED=，⇒DE=2，在△CED中，由余弦定理得CD2=CE2+DE2﹣2CE•DEcos120°=49∴CD=7．18．如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB=4，CD=2，AC与BD 交于O，且AC⊥BD，矩形ACEF⊥底面ABCD，M为EF上一动点，满足=λ．（Ⅰ）若AM∥平面EBD，求实数λ的值；（Ⅱ）当λ=时，锐二面角D﹣AM﹣B的余弦值为，求多面体ABCDEF的体积．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LS：直线与平面平行的判定．【分析】（I）连结OE，根据线面平行的性质可知OE∥AM，故而四边形EMAO为平行四边形，于是；（II）以O为原点建立空间坐标系，求出平面ADM和平面ABM的法向量，根据二面角的大小，列方程求出CE，代入棱锥的体积公式即可．【解答】解：（Ⅰ）连接OE，在梯形ABCD中，AB∥CD，∴△DOC∽△BOA，∴．∵AM∥平面BDE，平面ACM∩平面BDE=OE，AM⊂平面ACM，∴AM∥OE．又ME∥AO，∴四边形MEOA为平行四边形，∴EM=AO．∴==，即λ=．（Ⅱ）∵距形ACEF⊥底面ABCD，平面ACEF∩平面ABCD=AC，∴CE⊥底面ABCD．∵，∴OM⊥底面ABCD．以O为原点，以OA，OB，OM所在直线为坐标轴建立如图所示空间直角坐标系，设CE=a（a＞0），∵△DAB≌△CBA，∴∠OBA=OAB，∴OA=OB=2，同理OC=OD=，∴A（2，0，0），B（0，2，0），D（0，﹣，0），M（0，0，a），∴=（﹣2，0，a），=（﹣2，﹣，0），=（﹣2，2，0）．设平面AMD的法向量为=（x1，y1，z1），平面AMB的法向量为=（x2，y2，z2）．则，，∴，令x1=x2=a，得=（a，﹣2a，2），=（a，a，2）．∴cos＜，＞==，∴||=，解得：a=2．∴多面体的体积为V=V D﹣ACEF+V B﹣ACEF=+===12．19．专家研究表明，PM2.5是霾的主要成份，在研究PM2.5形成原因时，某研究人员研究了PM2.5与燃烧排放的CO2、NO2、CO、O2等物质的相关关系．下图是某地某月PM2.5与CO和O2相关性的散点图．（Ⅰ）根据上面散点图，请你就CO，O2对PM2.5的影响关系做出初步评价；（Ⅱ）根据有关规定，当CO排放量低于100μg/m2时CO排放量达标，反之为CO排放量超标；当PM2.5值大于200μg/m2时雾霾严重，反之雾霾不严重．根据PM2.5与CO相关性的散点图填写好下面2×2列联表，并判断有多大的把握认为“雾霾是否严重与排放量有关”：雾霾不严重雾霾严重总计CO排放量达标CO排放量超标总计（Ⅲ）我们知道雾霾对交通影响较大．某市交通部门发现，在一个月内，当CO排放量分别是60，120，180时，某路口的交通流量（单位：万辆）一次是800，600，200，而在一个月内，CO排放量是60，120，180的概率一次是p，，q（），求该路口一个月的交通流量期望值的取值范围．附：P（x2≥k）0.100 0.050 0.010 0.001 k 2.706 3.841 6.635 10.828K2=．【考点】BO：独立性检验的应用；CG：离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）根据散点图知得出结论CO对PM2.5以及O2对PM2.5是否有相关关系；（Ⅱ）填写列联表，由表中数据计算K2，对照临界值得出结论；（Ⅲ）设交通流量是X，根据X的分布列，计算EX，求出它的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）根据散点图知，CO对PM2.5有正相关关系，而O2对PM2.5没有相关关系；（Ⅱ）列联表如下：雾霾不严重雾霾严重总计CO排放量达标13 5 18CO排放量超标 2 10 12总计15 15 30由表中数据可知K2==≈8.889＞7.879；故有99.5%的把握认为“雾霾是否严重与CO排放量有关”；（Ⅲ）设交通流量是X，则得如下分布列：交通流量X 800 600 200 p p q q因为，所以EX=800×p+600×q+200×q=p+∈（，800）；即566.7＜EX＜800，即交通流量期望值在566.7万辆到800万辆之间．20．设P、Q、R、S是椭圆C1：（a＞b＞0）的四个顶点，四边形PQRS是圆C0：x2+y2=的外切平行四边形，其面积为12．椭圆C1的内接△ABC的重心（三条中线的交点）为坐标原点O．（Ⅰ）求椭圆C1的方程；（Ⅱ）△ABC的面积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由题意可得关于a，b的方程组，求解方程组得到a，b的值，则椭圆方程可求；（Ⅱ）当直线AB斜率不存在时，直接求出|AB|=，C到直线AB的距离d=，可得△ABC的面积；当直线AB的斜率存在时，设直线AB方程为：y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2）．联立直线方程与椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，由判别式大于0可得k与m的关系，利用根与系数的关系可得A，B横坐标的和与积，由O为△ABC的重心求得C的坐标把C点坐标代入椭圆方程，可得4m2=12k2+9．由弦长公式求得|AB|，再求出点C到直线AB的距离d，代入三角形面积公式整理得答案．【解答】解：（Ⅰ）∵四边形PQRS是圆C0外切平行四边形，∴，又四边形PQRS的面积S=，联立解得a2=12，b2=9，故所求椭圆C1的方程为；（Ⅱ）当直线AB斜率不存在时，∵O为△ABC的重心，∴C为椭圆的左、右顶点，不妨设C（，0），则直线AB的方程为x=，可得|AB|=，C到直线AB的距离d=，∴=．当直线AB的斜率存在时，设直线AB方程为：y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2）．联立，得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣36=0，则△=64k2m2﹣4（3+4k2）（4m2﹣36）=48（12k2+9﹣m2）＞0．即12k2+9＞m2，，，∴．∵O为△ABC的重心，∴，∵C点在椭圆C1上，故有，化简得4m2=12k2+9．∴=．又点C到直线AB的距离d=（d是原点到AB距离的3倍得到）．∴=．综上可得，△ABC的面积为定值．21．已知函数f（x）=a（x﹣1），g（x）=a（x﹣1）e x，a∈R．（Ⅰ）判断直线y=f（x）能否与曲线y=g（x）相切，并说明理由；（Ⅱ）若不等式f（x）＞g（x）有且仅有两个整数解，求a的取值范围．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，设切点为（x0，y0），得到+x0﹣2=0．设h（x）=e x+x﹣2，根据函数的单调性求出x0的值，判断结论即可；（Ⅱ）根据a（x﹣）＜1，令h（x）=x﹣，根据函数的单调性求出h（x）的最小值，通过讨论a的范围，求出满足条件的a的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）假设存在这一的实数a使得f（x）的图象与g（x）相切，设切点为（x0，y0），由g′（x）=（ax+a﹣1）e x可知，（ax0+a﹣1）=a，即a（x0+﹣1）=①又函数f（x）的图象过定点（1，0），因此=a，即a（x0﹣x0+1）=②联立①、②消去a有+x0﹣2=0．设h（x）=e x+x﹣2，则h′（x）=e x+1＞0，所以h（x）在R上单调递增，而h（0）=﹣1＜0，h（1）=e﹣1＞0，h（0）h（1）＜0，故存在x0∈（0，1），使得h（x0）=0，所以存在直线y=f（x）能与曲线y=g（x）相切．（Ⅱ）由f（x）＞g（x）得a（x﹣）＜1．令h（x）=x﹣，则h′（x）=．令ω（x）=e x+x﹣2，则ω′（x）=e x+1＞0，所以ω（x）在R上单调递增，又ω（0）=﹣1＜0，ω（1）=e﹣1＞0，所以ω（x）在R上有唯一零点x0（0，1），此时h（x）在（﹣∞，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增．∴h（x）min=h（x0）=，易证e x＞x+1，h（x0）=＞＞0．当x≤0时，h（x）≥h（0）=1＞0；当x≥1时，h（x）≥h（1）=1．（1）若a≤0，则ah（x）≤0＜1，此时ah（x）＜1有无穷多个整数解，不合题意；（2）若a≥1，即≤1，因为h（x）在（﹣∞，0]上单调递减，在[1，+∞）上单调递增，所以x∈z时，h（x）≥min{h（0），h（1）}=1≥，所以h（x）＜无整数解，不合题意；（3）若0＜a＜1，即＞1，此时h（0）=h（1）=1＜，故0，1是h（x）＜的两个整数解，又h（x）＜只有两个整数解，因此，解得a≥．所以a∈[，1）．选修4-4：坐标系与参数方程22．在直角坐标系xOy中，曲线C1：（θ为参数，r为大于零的常数），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2﹣8ρsinθ+15=0．（Ⅰ）若曲线C1与C2有公共点，求r的取值范围；（Ⅱ）若r=1，过曲线上C1任意一点P作曲线C2的切线，切于点Q，求|PQ|的最大值．【考点】QH：参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）曲线C1消去参数r，求出曲线C1的直角坐标方程，由曲线C2的极坐标方程求出曲线C2的直角坐标方程，若C1与C2有公共点，则r﹣1≤|C1C2|≤r+1，由此能求出r的取值范围．（Ⅱ）设P（cosα，sinα），由|PQ|2=|PC2|2﹣|C2Q|2=|PC2|2﹣1，得|PQ|2=cos2α+（sinα﹣4）2﹣1=16﹣8sinα≤16+8=24，由此能求出|PQ|的最大值．【解答】解：（Ⅰ）∵曲线C1：（θ为参数，r为大于零的常数），∴消去参数r，得曲线C1的直角坐标方程为x2+y2=r2（r＞0），∵曲线C2的极坐标方程为ρ2﹣8ρsinθ+15=0，∴曲线C2的直角坐标方程为x2+（y﹣4）2=1．若C1与C2有公共点，则r﹣1≤≤r+1，解得3≤r≤5，故r的取值范围是[3，5]．（Ⅱ）设P（cosα，sinα），由|PQ|2=|PC2|2﹣|C2Q|2=|PC2|2﹣1，得|PQ|2=cos2α+（sinα﹣4）2﹣1=16﹣8sinα≤16+8=24，当且仅当sinα=﹣1时取最大值，故|PQ|的最大值为2．选修4-5：不等式选讲23．设函数f（x）=|x﹣a|，a∈R．（Ⅰ）当a=2时，解不等式：f（x）≥6﹣|2x﹣5|；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≤4的解集为[﹣1，7]，且两正数s和t满足2s+t=a，求证：．【考点】R5：绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）利用绝对值的意义表示成分段函数形式，解不等式即可．（2）根据不等式的解集求出a=3，利用1的代换结合基本不等式进行证明即可．【解答】（Ⅰ）解：当a=2时，不等式：f（x）≥6﹣|2x﹣5|，可化为|x﹣2|+|2x﹣5|≥6．①x≥2.5时，不等式可化为x﹣2+2x﹣5≥6，∴x≥；②2≤x＜2.5，不等式可化为x﹣2+5﹣2x≥6，∴x∈∅；③x＜2，不等式可化为2﹣x+5﹣2x≥6，∴x≤，综上所述，不等式的解集为（﹣]；（Ⅱ）证明：不等式f（x）≤4的解集为[a﹣4，a+4]=[﹣1，7]，∴a=3，∴=（）（2s+t）=（10++）≥6，当且仅当s=，t=2时取等号．。