线面平行的性质定理

平行
两种证明方法： 两种证明方法：
１．从正面证明 ２．反证法
α
b
a
β
线面平行的性质定理
一条直线和一个平面平行， 一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一 平面与此平面的交线与该直线平行。 平面与此平面的交线与该直线平行。 β α∩β= m
l⊂β
l ∥α
l
l ∥m
m
α
线面平行
线线平行
线面平行的性质定理
思考
1
如果一条直线和一个平面平行，那么这条 如果一条直线和一个平面平行， 直线和这个平面内的直线有怎样的位置关系？ 直线和这个平面内的直线有怎样的位置关系？
a a b α 平行 异面
b α
思考
2
如果一条直线与一个平面平行时， 如果一条直线与一个平面平行时，过这条直线 作一平面与已知平面相交， 作一平面与已知平面相交，那么这条直线与这 两个平面的交线的位置关系是什么? 两个平面的交线的位置关系是什么?
随堂练习随堂练习-判断
已知m,n两条直线及平面α，判断下列命题是否正确
1.若m//α ,n//α , 则m//n 2.若m//α , m//n,则n//α 3.若m//α , 则m平行于α内的所有直线 4.m平行于α内的无数条直线,则m//α
随堂练习随堂练习-选择 1.下面给出四个命题，其中正确命题的个数是： 下面给出四个命题，其中正确命题的个数是： （1）若a// α ,b// α , 则 a//b ） （2）若a// α ,b α , 则 a//b ） （3）若a//b,b α ,则a// α ） 则 （4）若a//b,b// α ,则a// α ） 则
练习
如果一条直线和一个平面平行，则这条直线（ 如果一条直线和一个平面平行，则这条直线（ D ） A 只和这个平面内一条直线平行； 只和这个平面内一条直线平行； B 只和这个平面内两条相交直线不相交； 只和这个平面内两条相交直线不相交； C 和这个平面内的任意直线都平行； 和这个平面内的任意直线都平行； D 和这个平面内的任意直线都不相交。 和这个平面内的任意直线都不相交。
典例剖析
有一块木料， 平行于面A 要经过面A 有一块木料，棱BC平行于面 1C1 要经过面 1C1 平行于面 例1 内一点P和棱 锯开木料，应该怎样画线？ 和棱BC锯开木料 内一点 和棱 锯开木料，应该怎样画线？ 这 线与平面AC有怎样的关系 有怎样的关系？ 线与平面 有怎样的关系？
D1 P A1 D B F B1 C E C1
随堂练习
3. 直线 a∥平面 ，平面 内有 n 条互相平行的直线， ∥平面α，平面α内有 条互相平行的直线， 那么这 n 条直线和直线 a ( C ) （A）全平行 ） （C）全平行或全异面 ） （B）全异面 ） （D）不全平行也不全异面 ）
4. 直线 a∥平面 ，平面 内有无数条直线 交于 一点，那 一点， ∥平面α，平面α内有无数条直线 平行的（ 么这无数条直线中与直线 a 平行的（ B ） （A）至少有一条 ） （C）有且只有一条 ） （B）至多有一条 ） （D）不可能有 ）
又 ∵a∥b ∴b∥c ∥ ∥ ∵ b ⊄α, c a c β b
α
⊂ α
∴b∥α. ∥
典例剖析
如果两个相交平面分别经过两条平行直线中的一条， 如果两个相交平面分别经过两条平行直线中的一条，那么它 们的交线和这两条直线平行. 们的交线和这两条直线平行 ⊂ 已知:平面 平面α∩ 平面 l, a α, b β, ⊂ b（如图）求证： 平面β= a∥ （如图）求证： 已知 平面 ∥ ∥ ∥ 例3 a∥l , b∥l. 证明： 证明：∵a∥b，b ⊂β，a ∥ ， ， β ⊄ l ∴a∥β ∥ 平面β= 又∵a ⊂α，平面 ，平面α∩ 平面 l ∴a∥l ∥ 同理b∥ 同理 ∥l 故a∥l , b∥l . ∥ ∥ a b β
复习： 复习：线面平行的判定定理 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线 平行，那么这条直线和这个平面平行。 平行，那么这条直线和这个平面平行。 a a ⊄α b⊂α ⊂ a∥α b a∥ b ∥ 注明： 注明：
α
Fra Baidu bibliotek
1、定理三个条件缺一不可。 、定理三个条件缺一不可。 2、简记：线线平行，则线面平行。 平行， 线面平行 平行。 、简记：线线平行 定理告诉我们：要证线面平行， 3、定理告诉我们：要证线面平行，得在面内找 一条线，使线线平行。 一条线，使线线平行。
A.0 B.1 ∩∩ C.2 D.4 （ C） 2. 下列命题中，正确的是： 下列命题中，正确的是： （A ）
A.如果直线 a与平面内无数条直线成异面直线，则有 a// α 如果直线 与平面内无数条直线成异面直线 与平面内无数条直线成异面直线， ∩
B.如果直线 与平面内无数条直线平行，则有 a// α 如果直线a 与平面内无数条直线平行， 如果直线 C.如果直线 a与平面内无数条直线成异面直线，则a α 与平面内无数条直线成异面直线， 如果直线 与平面内无数条直线成异面直线 D.如果一条直线与一个平面平行，则该直线平行于这个平面内 如果一条直线与一个平面平行， 如果一条直线与一个平面平行 的所有直线 E.如果一条直线上有无数个点不在平面内，则这条直线与这个 如果一条直线上有无数个点不在平面内， 如果一条直线上有无数个点不在平面内 平面平行。 平面平行。
的中点， 证明： 证明：因为 E , F分别是 AB , AC的中点， 所以EF // BC 又因为 BC ⊂ 平面BCD 所以EF // 平面BCD 又因为 EF ⊂ α，MN ⊂ α 且α I 平面BCD = MN 所以由线面平行的性质 得：EF // MN
如果一条直线和一个平面平行， 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平 面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行. 面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.
已知： 已知：l ∥α, l 求证： 求证：l ∥m
⊂ β,α∩β= m
β
l
证明：∵l ∥α 证明： 没有公共点； ∴l 和α没有公共点； 没有公共点 又∵m ⊂ α 也没有公共点； ∴l 和 m 也没有公共点；
α
小结 线面平行的判定定理 线面平行的判定定理
线线平行 线面平行 如果不在一个平面内的一条直线和平面内的 一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行。 一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行。
线面平行的性质定理 线面平行的性质定理
线面平行 线线平行
如果一条直线和一个平面平行， 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的 平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。 平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
随堂练习
6.在四面体ABCD中,E、 分别是AB、AC的中点 的中点, 6.在四面体ABCD中,E、F分别是AB、AC的中点,过直线 在四面体ABCD AB EF作平面 作平面α 分别交BD CD于 BD、 EF作平面α,分别交BD、CD于M、N, 求证：EF∥ 求证：EF∥MN.
A E B F M C N D
m
α
都在平面β内 且没有公共点； 又 l 和 m 都在平面 内，且没有公共点； ∴l ∥m.
判定定理与性质定理
直线和平面平行的判定定理: 直线和平面平行的判定定理 直线与直线平行 直线与直线平行 注意: 注意: 平面外的一条直线只要和平面内的任一条直线平 平面外的一条直线只要和平面内的任一条直线平 任一条 则就可以得到这条直线和这个平面平行； 行，则就可以得到这条直线和这个平面平行；但是若 一条直线与一个平面平行，则这条直线并不是 并不是和平面 一条直线与一个平面平行，则这条直线并不是和平面 任一条直线平行 共面的直线 内的任一条直线平行，它只与该平面内与它共面 内的任一条直线平行，它只与该平面内与它共面的直线 平行． 平行． 直线与平面平行 直线与平面平行
直线和平面平行的性质定理: 直线和平面平行的性质定理
练习
(1).如果一条直线和一个平面平行 这个平 面 内是 如果一条直线和一个平面平行, 如果一条直线和一个平面平行 否只有一条直线和已知直线平行呢? 否只有一条直线和已知直线平行呢 平面内的那些 直线都和已知直线平行? 有多少条? 直线都和已知直线平行 有多少条 (2).如果 ∥α, 经过 的一组平面分别和 相交于 、 如果a∥ 经过a 的一组平面分别和α相交于 相交于b、 如果 c、d …,b、c、d …是一组平行线吗？为什么？ 是一组平行线吗？ 、 、 、 是一组平行线吗 为什么？ (3).平行于同一平面的两条直线是否平行？ 平行于同一平面的两条直线是否平行？ 平行于同一平面的两条直线是否平行 (4).过平面外一点与这平面平行的直线有多少条？ 过平面外一点与这平面平行的直线有多少条？ 过平面外一点与这平面平行的直线有多少条
随堂练习
3.如果直线 m//平面 如果直线 平面 关系是 平行或异面
α , 直线 α 直线n
∩
, 则直线 、 n 的位置 则直线m
4.已知：E为正方体 已知： 为正方体 为正方体ABCD-A`B`C`D` 的棱 的棱DD`的中点，则 的中点， 已知 的中点 平行 BD`与过 、C、E的平面的位置关系是 与过A、 、 的平面的位置关系是 与过 5.如图 平行四边形EFGH 的四个顶点分别在空间四边形ABCD 5.如图，平行四边形EFGH 的四个顶点分别在空间四边形ABCD 如图， 的边AB、 、 、 上 的边 、BC、CD、DA上， A 求证: 求证 BD //面EFGH 面 H E D G B F C
A
如何画线？ 如何画线？
在平面A 解:在平面A’C’内, 过P点作EF//B’C’, 点作EF//B’ EF//B A’ 交A’B’、C’D’于E,F 连接BE,CF, BE,CF,则 连接BE,CF,则 CF是应画的线 是应画的线. EF, BE, CF是应画的线
A D’
E
D
P
F
C’
C B
因为BC//平面A 平面BC //平面 BC’ 因为BC//平面A’C’, 平面BC’//平面 BC//平面 =B’ A’C’=B’C’ 所以BC//B BC//B’ EF//B’ 所以// BC ’C’,且EF//B’C’,由 EF BC//B EF ⊄ 平面AC ⇒ EF // 平面AC. BC ⊂ 平面AC CF与平面AC相交 与平面AC BE, CF与平面AC相交
典例剖析
例2
已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个 平面，求证：另一条也平行于这个平面。 平面，求证：另一条也平行于这个平面。
已知直线a和 α 已知直线 和b, a∥b，a∥面α, b ⊄ ∥ ， ∥ 求证： ∥平面α 求证：b∥平面
证明：过a 作平面 交平 作平面β交平 证明： 面α于直线 c 于直线 ∵a∥α ∥ ∴a∥c ∥