高考数学总复习真题分类专题09 三角函数

高考数学总复习真题分类

专题09 三角函数

1．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】函数f (x )=

在[,]-ππ的图像大致为

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】D 【解析】由22

sin()()sin ()()cos()()cos x x x x

f x f x x x x x -+----=

==--+-+，得()f x 是奇函数，其图象关于原点对称，

排除A ．又22π

1π42π2()1,π2π()2

f +

+==>2

π(π)01πf =>-+，排除B ，C ，故选D ． 【名师点睛】本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养，采取性质法或赋值法，利用数形结合思想解题．解答本题时，先判断函数的奇偶性，得()f x 是奇函数，排除A ，再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案．

2．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：

①f (x )是偶函数

②f (x )在区间（

2

π，π）单调递增

③f (x )在[,]-ππ有4个零点 ④f (x )的最大值为2

其中所有正确结论的编号是 A ．①②④ B ．②④ C ．①④

D ．①③

【答案】C

2

sin cos ++x x

x x

【解析】()()()()sin sin sin sin ,f x x x x x f x f x -=-+-=+=∴Q 为偶函数，故①正确．

当

ππ2x <<时，()2sin f x x =，它在区间,2π⎛⎫

π ⎪⎝⎭

单调递减，故②错误． 当0πx ≤≤时，()2sin f x x =，它有两个零点：0,π；当π0x -≤<时，()()sin sin f x x x =--

2sin x =-，它有一个零点：π-，故()f x 在[],-ππ有3个零点：0-π,,π，故③错误．

当[](

)

2,2x k k k *

∈ππ+π∈N

时，()2sin f x x =；当[](

)

2,22x k k k *

∈π+ππ+π∈N

时，

()sin sin 0f x x x =-=，又()f x 为偶函数，()f x ∴的最大值为2，故④正确．

综上所述，①④正确，故选C ．

【名师点睛】本题也可画出函数()sin sin f x x x =+的图象（如下图），由图象可得①④正确．

3．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】下列函数中，以2

π为周期且在区间(

4

π，

2

π)单调递增的是

A ．f (x )=|cos2x |

B ．f (x )=|sin2x |

C ．f (x )=cos|x |

D ．f (x )=sin|x |

【答案】A

【解析】作出因为sin ||y x =的图象如下图1，知其不是周期函数，排除D ； 因为cos cos y x x ==，周期为2π，排除C ；

作出cos2y x =图象如图2，由图象知，其周期为π2，在区间(4π，2π

)单调递增，A 正确； 作出sin 2y x =的图象如图3，由图象知，其周期为π2，在区间(4π，2

π

)单调递减，排除B ，

故选A ．

图1

图2

图3

【名师点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，渗透直观想象、逻辑推理等数学素养，画出各函数图象，即可作出选择．本题也可利用二级结论：①函数()y f x =的周期是函数()y f x =周期的一半；②sin y x ω=不是周期函数.

4．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知α∈(0，

2

π)，2sin2α=cos2α+1，则sin α=

A ．

15

B 5

5

C ．

3

3

D ．

25

5

【答案】B

【解析】2sin 2cos21αα=+Q ，2

4sin cos 2cos .0,,cos 02αααααπ⎛⎫∴⋅=∈∴> ⎪⎝⎭

Q ，sin 0,

α>2sin cos αα∴=，又22sin cos 1αα+=，2215sin 1,sin 5

αα∴==，又sin 0α>，5

sin α∴=

选B ．

【名师点睛】本题是对三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦的正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负很关键，切记不能凭感觉．解答本题时，先利用二倍角公式得到正余弦关系，再利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案．

5．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设函数()f x =sin （5

x ωπ

+

）(ω＞0)，已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，下述四个结论：

①()f x 在（0,2π）有且仅有3个极大值点 ②()f x 在（0,2π）有且仅有2个极小值点

③()f x 在（0,

10

π

）单调递增 ④ω的取值范围是[1229

510

，)

其中所有正确结论的编号是 A ．①④ B ．②③ C ．①②③ D ．①③④

【答案】D

【解析】①若()f x 在[0,2π]上有5

个零点，可画出大致图象， 由图1可知，()f x 在(0,2π)有且仅有3个极大值点.故①正确；

②由图1、2可知，()f x 在(0,2π)有且仅有2个或3个极小值点.故②错误；

④当()f x =sin （5x ωπ+）=0时，5

x ωπ+=k π（k ∈Z ），所以π

π5k x ω

-

=， 因为()f x 在[0,2π]上有5个零点，

所以当k =5时，

π5π52πx ω

-=

≤，当k =6时，π

6π52πx ω

-

=>，解得1229510

ω≤<，