二级倒立摆的建模与MATLAB仿真

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MATLAB的二级倒立摆虚拟仿真

MATLAB的二级倒立摆虚拟仿真徐秀芬;梁中丽【期刊名称】《新乡学院学报（自然科学版）》【年(卷),期】2013(000)004【摘要】Based on the analysis of components of double inverted pendulum structure, mathematical model of inverted pendulum is establish based on the Newton’s second law, and controlling double inverted pendulum structure is realized by LQR state feedback control method. Simulation results of MATLAB show that modeling LQR controller makes the tilt angle of inverted pendulum maintaining stability in vertical area;even if the vehicle displacement changes abrupt the angle can return to expected location. And it has preferable track and control effect and robustness.%在对二级倒立摆结构分析的基础上，基于牛顿第二定律建立倒立摆数学模型，并应用LQR状态反馈控制方法实现二级倒立摆控制。

MATLAB仿真结果表明：LQR控制器能使倒立摆的摆角在竖直向上的区域内保持稳定，即使突然变化小车位移，摆角也能回复到预期的位置，具有较好的跟踪和控制效果、鲁棒性。

【总页数】3页(P286-288)【作者】徐秀芬;梁中丽【作者单位】新乡学院机电工程学院,河南新乡,453003;新乡学院机电工程学院,河南新乡,453003【正文语种】中文【中图分类】TP273【相关文献】1.基于MATLAB的二级倒立摆控制系统设计方法 [J], 钱伟康;方宗达2.基于MATLAB的二级倒立摆的稳摆控制研究 [J], 马杰;张景钰3.基于MATLAB的二级倒立摆的稳摆控制研究 [J], 马杰;张景钰4.MATLAB的二级倒立摆虚拟仿真 [J], 徐秀芬;梁中丽5.二级倒立摆的建模与MATLAB仿真 [J], 刘文斌;干树川因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

直线二级倒立摆系统MATLAB模型的建立与仿真

直线二级倒立摆系统模型的建立与仿真1 引言倒立摆是一个高阶次、非线性、快速、多变量、强藕合、不稳定的系统。

在控制理论发展过程中，倒立摆常常被做为典型的被控对象来验证某一理论的正确性，以及在实际应用中的可行性，通过对倒立摆引入一个适当的控制方法使之成为一个稳定系统，来检验控制方法对不稳定性、非线性和快速性系统的处理能力。

该控制方法在军工、航天、机器人等领域和一般工业过程中都有广泛应用。

本文主要讨论二级倒立摆系统模型的建立和仿真。

2二级倒立摆系统数学模型直线二级倒立摆系统是由直线运动模块和两级倒立摆组件组成。

主要包括导轨、小车和各级摆杆、编码器等元件。

由驱动电机给小车施加一个控制力，迫使小车在导轨上左右移动。

而小车的位移和各级摆杆角度由编码器测得。

倒立摆的控制目标是使倒立摆的摆杆能在有限长的导轨上快速的达到竖直向上的稳定状态，以实现系统的动态平衡，并且小车位移和摆杆角度的振荡幅度较小，系统具有一定的抗干扰能力。

系统简化后的直线二级倒立摆系统物理结构图如图2.1所示。

图1.二级倒立摆系统模型系统模型建立所用的各参数如下：应用Lagrange 方程建立的数学模型为012221221211121221222212212222cos (,)cos()cos cos()1121111121111m +m +m (m l +m L )cos m l H (m l +m L )cos J m l m L m l L m l m l L J m l θθθθθθθθθθ⎡⎤⎢⎥=++-⎢⎥⎢⎥-+⎣⎦.1011...1221212122.11222cos (,,,)0(0(112222222f m l +m L sin m l H f f m l L sin f m l L sin f f θθθθθθθθθθθθθ⎡⎤-•⎢⎥⎢⎥=--•+⎢⎥⎢⎥-•+-⎢⎥⎣⎦111（）-)-) 312(,)h θθ= [0 11211()sin m l m L g θ+ 212sin m l g θ] T0h =[1 0 0]T()1121212121312022(,)(,,,),x x H H h h u θθθθθθθθθθθθ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦3 倒立摆PID控制器系统PID控制是比例积分微分控制的简称。

二级倒立摆的建模与MATLAB仿真

假设系统中的每一根摆杆都是匀质刚体驱动力与放大器的输入成正比且无延迟地直接作用于小车上并且可以在忽略实验中的库仑摩擦和动摩擦的前提下设定摆杆竖直向上时下摆杆角位移摆杆角位移均为零摆杆顺时针旋转为正
二级倒立摆的建模与ＭＡＴＬＡＢ仿真刘文斌，等
二级倒立摆的建模与ＭＡＴＬＡＢ仿真
刘文斌，干树川（四川理工学院电子与信息工程系四川自贡，６４３０００）
取为最小值。设控制输入函数形式为：Ｕ（ｔ）＝－Ｋｘ（ｔ）（１１）状态反馈矩阵：Ｋ＝Ｒ－１ＢＴＰ（１２）其中，Ｐ可由Ｒｉｃｃａｔｉ微分方程：（１３）其中，性能指标函数：（１４）
［Ｊ］．计算机测量与控制，２００６，１４（１２）：１６４１－１６４２５张春，江明，陈其工等．平行单级双倒立摆系统的建模与滑
模变结构控制［Ｊ］．２００８．１
２３
图１二级倒立摆模型
（１）
（２）
（３）经过线性化如下：（４）
（上接第７页）０；０；０；０］；ｐ＝ｅｉｇ（Ａ）［ｎｕｍ，ｄｅｎ］＝ｓｓ２ｔｆ（Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，１）；ｐｒｉｎｔｓｙｓ（ｎｕｍ，ｄｅｎ）Ｑ＝［１００００００００；００００００；００１００００；００００００；００００１００；００００００］；Ｔｃ＝ｃｔｒｂ（Ａ，Ｂ）；ｒａｎｋ（Ｔｃ）Ｔｏ＝ｏｂｓｖ（Ａ，Ｃ）；ｒａｎｋ（Ｔｏ）Ｒ＝１；Ｋ＝ｌｑｒ（Ａ，Ｂ，Ｑ，Ｒ）；Ａｃ＝［（Ａ－Ｂ＊Ｋ）］；Ｂｃ＝［Ｂ］；Ｃｃ＝［Ｃ］；Ｄｃ＝［Ｄ］；Ｔ＝０：０．００５：２０；Ｕ＝０．２＊ｏｎｅｓ（ｓｉｚｅ（Ｔ））；［Ｙ，Ｘ］＝ｌｓｉｍ（Ａｃ，Ｂｃ，Ｃｃ，Ｄｃ，Ｕ，Ｔ）；ｐｌｏｔ（Ｔ，Ｙ（：，１），＇：＇，Ｔ，Ｙ（：，２），＇－＇，Ｔ，Ｙ（：，３），＇

二级直线倒立摆系统建模、仿真与实物控制的开题报告

二级直线倒立摆系统建模、仿真与实物控制的开题报告一、选题背景及意义直线倒立摆系统是一种应用广泛的控制系统，它具有复杂的非线性特性，因此对其建模、控制和仿真都具有一定的挑战性。

直线倒立摆系统广泛应用于自动驾驶、飞行器、医疗器械等领域。

本文将研究二级直线倒立摆系统的建模、仿真与实物控制，以提高对该系统的理解和掌握。

通过实验控制实际系统，验证仿真模型的正确性并提高控制策略的可靠性与性能。

二、研究内容1.二级直线倒立摆系统的建模研究系统的动力学特性，建立数学模型，包括机械、电子等方面的模型，并给出系统的描述方程。

2.仿真系统的设计与实现通过MATLAB或Simulink等工具，根据系统的动力学模型进行仿真，分析系统的动态特性，验证模型的正确性。

3.实物系统的设计与实现根据建模结果，设计实物系统，包括硬件和软件，搭建实验环境，并选取合适的控制器，使用反馈控制算法对实验数据进行处理。

4.实物控制系统的测试与优化将实验得到的数据进行分析、处理和优化，比较实物系统和仿真系统的差异并给出改进方案，从而提高系统的动态响应特性和控制性能。

三、研究方法及预期结果本文将采用系统分析、数学建模、仿真分析、控制器设计和优化等方法，通过建模、仿真、实物控制等多个方面去了解直线倒立摆系统。

预期结果是建立二级直线倒立摆系统的模型，完成仿真和实验的设计与实现，控制系统实现稳定的控制策略，并得出实物系统和仿真系统的控制性能优化方案。

四、进度安排第一阶段：文献综述和理论研究，研究直线倒立摆控制系统的基本原理和方法。

（2周）第二阶段：根据文献进行仿真研究，建立稳定的仿真模型。

（2周）第三阶段：设计实物控制系统，搭建实验环境。

（2周）第四阶段：实现控制系统与优化，得出实验数据并进行分析和优化，提高系统的控制性能。

（2周）第五阶段：撰写论文和答辩。

（4周）五、预期成果本文通过对二级直线倒立摆系统的建模、仿真和实物控制的研究，完成了对系统的深入理解和掌握，得出了系统的优化控制方案。

直线二级倒立摆建模与matlab仿真LQR

直线二级倒立摆建模与仿真1、直线二级倒立摆建模为进行性线控制器的设计,首先需要对被控制系统进行建模.二级倒立摆系统数学模型的建立基于以下假设：1)每一级摆杆都是刚体；2)在实验过程中同步带长保持不变；3)驱动力与放大器输入成正比，没有延迟直接拖加于小车；4)在实验过程中动摩擦、库仑摩擦等所有摩擦力足够小，可以忽略不计。

图1 二级摆物理模型二级倒立摆的参数定义如下：M 小车质量m1摆杆1的质量m2摆杆2的质量m3质量块的质量l1摆杆1到转动中心的距离l2摆杆2到转动中心的距离θ1摆杆1到转动与竖直方向的夹角θ2摆杆2到转动与竖直方向的夹角F 作用在系统上的外力利用拉格朗日方程推导运动学方程拉格朗日方程为：其中L 为拉格朗日算子，q 为系统的广义坐标，T 为系统的动能，V 为系统的势能其中错误!未找到引用源。

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为系统在第i 个广义坐标上的外力，在二级倒立摆系统中，系统有三个广义坐标，分别为x,θ1,θ2,θ3。

首先计算系统的动能：其中错误!未找到引用源。

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分别为小车的动能，摆杆1的动能，摆杆2的动能和质量块的动能。

小车的动能：错误!未找到引用源。

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分别为摆杆1的平动动能和转动动能。

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分别为摆杆2的平动动能和转动动能。

对于系统，设以下变量： xpend1摆杆1质心横坐标 xpend2摆杆2质心横坐标 yangle1摆杆1质心纵坐标 yangle2摆杆2质心纵坐标 xmass 质量块质心横坐标 ymass 质量块质心纵坐标又有：(,)(,)(,)L q q T q q V q q =-则有：系统总动能：系统总势能：则有：求解状态方程：可解得：使用MATLAB对得到的系统进行阶跃响应分析，执行命令：A=[0 0 0 1 0 0;0 0 0 0 1 0;0 0 0 0 1 01;0 0 0 0 0 0;0 86.69 -21.62 0 0 0;0 -40.31 39.45 0 0 0];B=[0;0;0;1;6.64;-0.808];C=[1 0 0 0 0 0;0 1 0 0 0 0;0 0 1 0 0 0];D=[0;0;0];sys=ss(A,B,C,D);t=0:0.001:5;step(sys,t)求取系统的单位阶跃响应曲线：图2 二级摆阶跃响应曲线由图示可知系统小车位置、摆杆1角度和摆杆2角度均发散，需要设计控制器以满足期望要求。

毕业设计二级倒立摆建模

四川理工学院毕业设计（论文）二级倒立摆系统建模与仿真学生：学号：专业：自动化班级：自动化指导教师：四川理工学院自动化与电子信息学院二O一一年六月摘要常规的PID控制从理论上可以控制二级倒立摆，但在实际中对PID控制器参数的整定为一难点。

本文针对二级倒立摆系统单输入三输出的不稳定系统，通过三回路PID 控制方案，来完成对倒立摆的控制。

利用状态反馈极点配置的方法来对参数进行整定，解决PID参数整定的难点。

然后借助于MATLAB中的Simulink模块对所得的参数进行仿真，结果表明三回路PID控制是成功的，参数的有效性，也证实了这种参数整定方法简单实用。

并通过配置不同位置的极点，对其结果进行分析得到极点配置的最佳配置方案。

关键词：倒立摆；PID；状态反馈； MATLABABSTRACTDouble Inverted Pendulum System Modeling and SimulationConventional PID control theory to control the inverted pendulum, but in practice the parameters of PID controller tuning is a difficult. In this paper, double inverted pendulum system, the instability of single-input three-output system, through the three-loop PID control program to complete the inverted pendulum control.Pole placement using state feedback approach to setting the parameters to resolve the difficulties PID parameter tuning. With MATLAB and Simulink in the module parameters obtained from simulation results show that the three-loop PID control is successful, the effectiveness of the parameters, but also confirms this tuning method is simple and practical.Different locations through the pole configuration, the results were too extreme configuration of the best configuration.Key words:pendulum；PID control ；state feedback；MATLAB目录摘要............................................................... ABSTRACT (I)第1章引言 01.1 倒立摆研究的目的及意义 01.2 倒立摆的发展史和研究现状 01.3本文的主要工作 (3)第2章倒立摆的建模 (3)2.1 二级倒立摆的简介及物理模型 (3)2.2 二级倒立摆计算机控制系统结构 (4)2.3 二级倒立摆的数学模型 (5)2.4根据牛顿力学、刚体动力学列写二级倒立摆的数学模型 (6)第3章控制策略的选择 (11)3.1 MATLAB简介 (11)3.2该系统的能控、能观及稳定性的分析 (14)3.2.1系统的能控性 (14)3.2.2系统能观性 (16)3.2.3系统的稳定性 (16)3.3 确定控制策略 (17)3.4 控制器参数整定方法 (17)3.5 通过状态反馈极点配置法来整定参数 (19)第4章计算机仿真及结果分析 (22)4.1 Matlab下Simulink模块简介 (22)4.2 在Simulink下的仿真 (23)4.3对仿真结果的分析 (31)第5章结束语 (32)致谢 (33)参考文献 (34)第1章引言1.1 倒立摆研究的目的及意义在控制理论发展的过程中, 一种理论的正确性及在实际应用中的可行性，往往需要一个典型对象来验证, 并比较各种控制理论之间的优劣, 倒立摆系统就是这样的一个可以将理论应用于实际的理想实验平台。

基于MATLAB的二阶倒立摆控制分析

基于MATLAB的二阶倒立摆控制分析工作原理倒立摆的工作原理可简述为：用一种强有力的控制方法使小车以一定的规律来回跑动，从而使全部摆杆在垂直平面内稳定，这就是倒立摆控制系统。

若小车不动，摆杆会由于重力倒下；若在水平方向给小车一个力，则摆杆朝与小车运动方向相反的方向运行，通过有规律性地改变小车的受力方向,使摆杆在竖直方向左右摆动，从而实现摆杆在竖直方向的动态平衡。

为了简化系统分析，假设：1)二级摆体视为刚体；2)各部分的摩擦力(力矩)与相对速度(角速度)成正比；3)施加在小车上的驱动力与加在功率放大器上的输入电压成正比，并无延时地施加到小车上；4)皮带轮与传送带之间无滑动，转送带无伸长现象。

所以，可将倒立摆系统抽象成小车和匀质刚性杆组成的系统，二阶倒立摆的系统模型如图1所示。

图1 二阶倒立摆系统模型图数学模型的建立系统模型参数如下：下摆与小车驱动系统的等效质量M=1.328 kg；小车质量m3=0.208 kg；下摆杆质量m1= 0.220 kg；上摆杆质量m2=0.187 kg；下摆杆质心到轴心距离l1=0.304 m；上摆杆质心到轴心距离l2=0.226 m；加在小车上的力为F；下摆杆与垂直方向夹角为θ1；上摆杆与垂直方向夹角为θ2。

为了简化系统模型，建立系统的拉格朗日方程：=-L(,)(,)(,)q q T q q V q q其中L 为拉格朗日算子，q 为系统的广义坐标，T 为系统动能，V 为系统势能。

拉格朗日方程由q 和L 表示为：i i id L Lf dt q q ⎡⎤∂∂-=⎢⎥∂∂⎣⎦ 其中fi 为系统沿该广义坐标方向的外力。

由于在广义坐标系下，θ1,θ2没有外力作用，所以110d L Ldt θθ⎡⎤∂∂-=⎢⎥∂∂⎣⎦ 220d L Ldt θθ⎡⎤∂∂-=⎢⎥∂∂⎣⎦ 解此方程组并在平衡点12 0x θθ===和120x θθ===附近对方程进行线性化处理,即设sin θθ≈，cos 1θ≈，线性化后得：112113217222123227=k +k +k =k +k +k x xθθθθθθ由于采用加速度作为输入，因此还要加上一个方程：x u =其中u 为控制能量作适当变换，得系统状态方程：xAx Bu y Cx Du =+⎧⎨=+⎩其中状态变量：[]123456*********,,,,,[,,,,,,,,,,]TT T T x x x x x x x r r y x x x r θθθθθθ⎤⎡⎤⎡====⎦⎣⎦⎣ 111322230010000001000000100000000000000A k k k k ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 17270001B k k ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦,100000010000001000C ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ，D=0 根据相关参数计算的各系数矩阵如下：00100000010000001000000024.8355 6.89740000161.3151149.6025000A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦，00011.82661.1940B ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 100000010000001000C ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦， D=000⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 稳定性判定源程序如下： clear all clc a1=zeros(6);a1(1,4)=1;a1(2,5)=1;a1(3,6)=1; a1(5,2)=24.8355;a1(5,3)=-6.8974; a1(6,2)=161.3151;a1(6,3)=149.6025; A=a1;B=[0 0 0 1 1.8266 1.1940]'; c1=zeros(3,6);c1(1,1)=1;c1(2,2)=1;c1(3,3)=1; C=c1; D=zeros(3,1); sys=ss(A,B,C,D) eig （sys ） ans = 11.8294 5.8739 -5.8739 -11.8294可得系统的开环极点为0，0，11.829 4，5.873 9，-5.873 9，-11.829 4。

—倒立摆状态反馈系统的建模及matlab仿真

倒立摆状态反馈系统的建模及matlab仿真课题名称：倒立摆状态反馈系统的建模及matlab仿真学生姓名：谢凯学号：２０１１３３０３８０２２９班级：电气工程及其自动化２班指导老师：高金凤２０１３年１２月２０日倒立摆控制系统是一个复杂的、不稳定的、非线性系统，是进行控制理论教学及开展各种控制实验的理想实验平台。

对倒立摆系统的研究能有效的反映控制中的许多典型问题：如非线性问题、鲁棒性问题、镇定问题、随动问题以及跟踪问题等。

通过对倒立摆的控制，用来检验新的控制方法是否有较强的处理非线性和不稳定性问题的能力。

同时，其控制方法在军工、航天、机器人和一般工业过程领域中都有着广泛的用途，如机器人行走过程中的平衡控制、火箭发射中的垂直度控制和卫星飞行中的姿态控制等。

故其研究意义广泛。

一、倒立摆系统的建模1.系统的物理模型如图1所示，在惯性参考系下，设小车的质量为M，摆杆的质量为m，摆杆长度为l，在某一瞬间时刻摆角（即摆杆与竖直线的夹角）为Θ，作用在小车上的水平控制力为f。

这样，整个倒立摆系统就受到重力，水平控制力和摩擦力的3外力的共同作用。

图ａ一级倒立摆物理模型图ｂ摆杆隔离受力图2.系统的数学模型在系统数学模型中,本文首先假设:(1)摆杆为刚体;(2)忽略摆杆与支点之间的摩擦;(3)忽略小车与导轨之间的摩擦。

然后根据牛顿第二运动定律,求得系统的运动方程为: ()2222sin M d x l d x m f dt dtθ++= (1) ()22sin cos sin d x l ml mgl dtθθθ++= (2) 方程（1），（2）是非线性方程，由于控制的目的是保持倒立摆直立，在施加合适的外力条件下，假定θ很小，接近于零是合理的。

则sin θθ≈，cos 1θ≈.在以上假设条件下，对方程线性化处理后，得到倒立摆系统的数学模型如下：()M m x ml f θ++=&&&& （3） 2ml mlx mgl θθ+=&&&& (4) 3. 系统的状态方程以摆角θ,角速度θ,小车的位移x ,速度x 为状态变量,输出为y 。

直线二级倒立摆的控制问题的研究和matlab仿真毕业设计说明书精品推荐

直线二级倒立摆的控制问题的研究和matlab仿真摘要倒立摆系统是一个典型的多变量、非线性、强耦合和快速运动的高阶不稳定系统，它是检验各种新型控制理论和方法有效性的典型装置。

近年来，许多学者对倒立摆系统进行广泛地研究。

本文研究了直线二级倒立摆的控制问题。

首先阐述了倒立摆系统控制的研究发展过程和现状，接着介绍了倒立摆系统的结构并详细推导了二级倒立摆的数学模型。

本文分别用极点配置、LQR最优控制设计了不同的控制器，通过比较和MATLAB仿真，验证了所设计的控制器的有效性、稳定性和抗干扰性。

关键词: 倒立摆；极点配置；最优控制； MATLAB；仿真ABSTRACTInverted pendulum is a typical multi-variable, non-linear, strong coupling and rapid movement of high-end system instability, It is testing various new control theory and methods of the effectiveness of the typical devices. In recent years, many scholars of the inverted pendulum extensive study.In this paper, a straight two inverted pendulum control problem.First on the inverted pendulum control of the development process and the status quo, then introduced the inverted pendulum system and the detailed structure of the two inverted pendulum is derived a mathematical model. In this paper, with pole placement, LQR optimal control design a different controller, By comparing and MATLAB simulation, verified the effectiveness ,stability and anti-jamming of the controller.Key words：Inverted pendulum；Pole Assignment；Optimal Control；MATLAB；Simulation目录摘要 (1)ABSTRACT (2)第一章绪论 (5)1.1 控制理论的发展 (5)1.2 倒立摆系统简介及其研究意义 (5)1.3 倒立摆研究的发展现状及其主要控制方法 (7)1.4 本人所做工作 (8)第二章直线二级倒立摆数学模型的建立 (10)2.1 倒立摆系统的物理结构及特性分析 (10)2.2 系统的数学建模 (11)2.2.1 两种数学建模方法的比较 (11)2.2.2 系统数学建模参数的设定 (12)2.2.3 直线二级倒立摆的拉格朗日方程建模 (13)2.2.4 二级倒立摆系统数学模型的线性化 (17)2.3 系统参数的设定 (19)2.4 倒立摆系统的初步运动分析 (20)第三章直线二级倒立摆控制方案的设计 (22)3.1极点配置控制方案的设计 (22)3.1.1 极点配置理论 (22)3.1.2 极点配置算法 (23)3.2 线性二次型最优控制(LQR)方案的设计 (24)3.2.1 线性二次型最优控制原理 (24)3.2.2 Q, R阵的选择 (26)第四章控制系统的MATLAB仿真 (27)4.1 仿真软件的介绍 (27)4.1.1 MATLAB简介 (27)4.1.2 MATLAB7.0简介 (28)4.1.3 Simulink 6.0仿真工具箱简介 (29)4.2 无干扰控制系统的仿真 (30)4.2.1 极点配置控制方案的仿真 (32)4.2.2 线性二次型最优控制(LQR)方案的仿真 (36)4.3 干扰条件下控制系统的仿真 (40)4.3.1 极点配置控制方案的仿真 (42)4.3.2 线性二次型最优控制(LQR)方案的仿真 (45)结论 (50)致谢 (52)参考文献 (53)第一章绪论1.1 控制理论的发展控制理论发展至今已有100多年的历史，随着现代科学技术的发展，它的应用也越来越广泛。

倒立摆系统的建模及MATLAB仿真

(2)
方程 (1) , (2) 是非线性方程 ,由于控制的目的是保持倒立摆直立 ,在施加合适的外力条件下 ,假定θ 很小 ,接近于零是合理的。则 sinθ≈θ,co sθ≈1 。在以上假设条件下 ,对方程线性化处理后 ,得倒立摆系统的数学模型 :
( M + m) ¨x + mθl¨= f
(3)
Co nference , 1999 :230. [ 2 ] 王沉培 ,周艳红 ,周云飞. 复杂形状刀具磨削运动三维图形仿真的研究. 中国机械工程 ,1998 ,10 (2) :1232126. [ 3 ] (美) 马尔金 1 S 著. 磨削技术理论与应用 [ M ]1 沈阳 :东北大学出版社 ,20021
Key words inverted pendulum , model building , simulatio n under t he MA TL AB enviro nment
中图分类号 : TP273 文献标识码 :A
倒立摆系统是 1 个经典的快速、多变量、非线性、绝对不稳定系统 ,是用来检验某种控制理论或方法的典型方案。倒立摆控制理论产生的方法和技术在半导体及精密仪器加工、机器人技术、导弹拦截控制系统和航空器对接控制技术等方面具有广阔的开发利用前景。因此研究倒立摆系统具有重要的实践意义 ,一直受到国内外学者的广泛关注。
的稳态响应和瞬态响应特性由矩阵 A - B K 的特征
决定。如果矩阵 K 选取适当 , 则可使矩阵 A - B K
构成 1 个渐近稳定矩阵 ,并且对所有的 x (0) ≠0 , 当
t 趋于无穷时 ,都可使 x ( t) 趋于 0 。称矩阵 A - B K
的特征值为调节器极点。如果这些调节器极点均位

二级倒立摆数学模型的建立与仿真培训资料

二级倒立摆数学模型的建立与仿真二级倒立摆数学模型的建立与仿真专业：控制工程姓名：淡丹学号：1406073摘要本文用分析力学中牛顿力学法及拉格朗日方程建立了二级倒立摆的数学模型。

根据已经建立的倒立摆数学模型，对其进行了可控性，可观测性及稳定性的分析与研究，并对状态反馈及状态观测器进行了仿真模拟，分析研究。

并通过分析比较得出，加状态观测器并不影响系统的输出的结论。

关键词：倒立摆状态空间极点配置状态反馈ABSTRACTNewtonian mechanics analysis method and the Lagrange equation of a mathematical model of double inverted pendulum has been used in this paper. According to the established mathematical model of inverted pendulum on the controllability, observability and stability of the analysis and research, and the state observer and state feedback is carried on the simulation ,analysis and research. And through the analysis and comparison of results, plus state observer does not affect the conclusions of the output of the system.KEY WORDS: inverted pendulum state space pole allocation state feedback一、二级倒立摆系统的组成二级倒立摆主要由以下四部分组成:1.在有限长的轨道L上作直线运动的小车;2.与小车铰接在一起，并能在竖直平面内分别绕q，q点转动的下、上摆;3.驱动小车的直流力矩电机和转轮、钢丝等传动部分;4.使上、下摆稳定在垂直向上的平衡位置，且使小车稳定在轨道中心位置附近的控制器。

二级倒立摆系统的控制与仿真

二级倒立摆系统的控制与仿真一、引言在计算机参与的具有联系受控对象的控制系统中，有必要对联系控制系统设计数字控制器的必要，一般对于联系的控制对象设计数字控制器的方法有：第一种是应用联系系统理论得到的联系控制规律，再将控制规律离散化，用控制器实现，第二种是将联系的控制对象离散化，用离散控制理论设计控制器参数，数字再设计就是根据连续系统及相应的控制规律如何重新设计对应的离散系统与相应的离散控制规律。

我们采用的是最优等价准则、双线性变换法、平均增益法进行数字再设计。

二、LQR控制器设计(1) 二级倒立摆系统的状态空间模型设线性定常系统为x’=A*x（t）+B*u（t）,y=C*x（t）其初始条件为x（t）=x0;其中：A=[0,1,0,0;40,0,0,0;0,0,0,1;-6,0,0,0];B=[0;-2;0;0.8];C=[1,0,0,0;0,0,1,0](2) 系统的能控性判定n=size(A); Tc=ctrb(A,B); nc=rank(Tc)n=6 6 nc=6从运行结果可知，系统的阶次为6，能控性矩阵的秩也为6，因此系统是能控的。

(3) 系统的能观性判定To=obsv(A,C);no=rank(To)no=6从运行结果可知，能观性矩阵的秩为6，与系统的阶次相等，因此系统是能观测的。

(4) LQR控制设计基于一级倒立摆系统具有能控性和能观性，因此可采用LQR进行控制，经大量反复试验和仿真，选取R=0.2，Q=[1 0 0 0 0 0;0 64 0 0 0 0;0 0 256 0 0 0;0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0];F=lqr(A,B,Q,R)得到：F =2.2361 106.6465 -155.4620 5.1719 4.9639 -24.5330三、仿真曲线采用LQR控制方式，设初始状态为x(0)=[1,-1,0,0]’，在相同采样周期T下应用数字再设计方法对一级倒立摆系统进行仿真，其中F(T)分别取为：1. F(T)=F1(T)=F2. F(T)=F2(T)=F[I+(A+BF)T/2]3. F(T)=F3(T)=F[I-(A+BF)/2]-1(1) T=0.013s，øc=e(A+BF)T时系统的极点、状态x1、x2、x3的离散仿真曲线A=[0,0,0,1,0,0;0,0,0,0,1,0;0,0,0,0,0,1;0,0,0,0,0,0;0,77.0642,-21.1927,0,0, 0;0,-38.5321,37.8186,0,0,0];B=[0;0;0;1;5.7012;-0.0728];C=[1,0,0,0,0,0;0,1,0,0,0,0;0,0,1,0,0,0];D=[0;0;0];Q=[1 0 0 0 0 0;0 64 0 0 0 0;0 0 256 0 0 0;0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0];R=0.2;F=lqr(A,B,Q,R)T=0.013;[G,H]=c2d(A-B*F,B,T); %%离散一的函数p0=eig(G),x0=[1 -1 0.5 0 0 0]';[y,x t]=dinitial(G,B,C,D,x0);t=0:0.1:(t-1)/10;subplot(3,1,1),x1=[1 0 0 0 0 0]*x'; %%响应曲线plot(t,x1);grid;title('状态变量x1的响应曲线')subplot(3,1,2),x2=[0 1 0 0 0 0]*x';plot(t,x2);grid;title('状态变量x2的响应曲线')subplot(3,1,3),x3=[0 0 1 0 0 0]*x';plot(t,x3);grid;title('状态变量x3的响应曲线')p0 =0.8647 + 0.0473i0.8647 - 0.0473i0.9224 + 0.0618i0.9224 - 0.0618i0.9932 + 0.0066i0.9932 - 0.0066i图1 øc=e(A+BF)T(2) T=0.013s，øc=ø +ΓF1(T)时系统的极点、状态x1、x2、x3的离散仿真曲线A=[0,0,0,1,0,0;0,0,0,0,1,0;0,0,0,0,0,1;0,0,0,0,0,0;0,77.0642,-21.1927,0,0,0;0,-38.5321,37.8186,0,0,0];B=[0;0;0;1;5.7012;-0.0728];C=[1,0,0,0,0,0;0,1,0,0,0,0;0,0,1,0,0,0];D=[0;0;0];Q=[1 0 0 0 0 0;0 64 0 0 0 0;0 0 256 0 0 0;0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0];R=0.2;F=lqr(A,B,Q,R)T=0.013;[Ad,B]=c2d(A,B,T); %%离散二的函数Ad=Ad-B*F;p1=eig(Ad)x0=[1 -1 0.5 0 0 0]';[y,x t]=dinitial(Ad,B,C,D,x0);t=0:0.1:(t-1)/10;subplot(3,1,1),x1=[1 0 0 0 0 0]*x'; %%显示程序plot(t,x1);grid;title('状态变量x1的响应曲线')subplot(3,1,2),x2=[0 1 0 0 0 0]*x';plot(t,x2);grid;title('状态变量x2的响应曲线')subplot(3,1,3),x3=[0 0 1 0 0 0]*x';plot(t,x3);grid;title('状态变量x3的响应曲线')p1 =0.8349 + 0.0388i0.8349 - 0.0388i0.9247 + 0.0561i0.9247 - 0.0561i0.9932 + 0.0066i0.9932 - 0.0066i图2 øc=ø +ΓF1(T)(3) T=0.013s，øc=ø+ΓF2(T)时系统的极点、F(T)值和状态x1、x2、x3的离散仿真曲线A=[0,0,0,1,0,0;0,0,0,0,1,0;0,0,0,0,0,1;0,0,0,0,0,0;0,77.0642,-21.1927,0,0, 0;0,-38.5321,37.8186,0,0,0];B=[0;0;0;1;5.7012;-0.0728];C=[1,0,0,0,0,0;0,1,0,0,0,0;0,0,1,0,0,0];D=[0;0;0];Q=[1 0 0 0 0 0;0 64 0 0 0 0;0 0 256 0 0 0;0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0];R=0.2;F=lqr(A,B,Q,R)T=0.013;P2=(A-B*F)*T/2; %%离散3的函数F2=F*(eye(size(P2))+P2)[Add,B]=c2d(A,B,T);Ad=[Add-B*F2];p2=eig(Ad)x0=[1 -1 0.5 0 0 0]';[y,x,t]=dinitial(Ad,B,C,D,x0);t=0:0.1:(t-1)/10;subplot(3,1,1),x1=[1 0 0 0 0 0]*x'; %%显示程序plot(t,x1);grid;title('状态变量x1的响应曲线')subplot(3,1,2),x2=[0 1 0 0 0 0]*x';plot(t,x2);grid;title('状态变量x2的响应曲线')subplot(3,1,3),x3=[0 0 1 0 0 0]*x';plot(t,x3);grid;title('状态变量x3的响应曲线')F2 =1.7236 90.8365 -126.5481 4.0012 4.5195 -19.9211 p2 =0.8676 + 0.0465i0.8676 - 0.0465i0.9224 + 0.0627i0.9224 - 0.0627i0.9932 + 0.0066i0.9932 - 0.0066i图3 øc=ø+ΓF2(T)(4) T=0.013s，øc=ø+ΓF3(T)时系统的极点、F(T)值和状态x1、x2、x3的离散仿真曲线A=[0,0,0,1,0,0;0,0,0,0,1,0;0,0,0,0,0,1;0,0,0,0,0,0;0,77.0642,-21.1927,0,0, 0;0,-38.5321,37.8186,0,0,0];B=[0;0;0;1;5.7012;-0.0728];C=[1,0,0,0,0,0;0,1,0,0,0,0;0,0,1,0,0,0];D=[0;0;0];Q=[1 0 0 0 0 0;0 64 0 0 0 0;0 0 256 0 0 0;0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0;0 0 0 0 0 0];R=0.2;F=lqr(A,B,Q,R)T=0.013;P3=(A-B*F)*T/2; %%离散4的函数F3=F*(eye(size(P3))-P3)^-1[Add,B]=c2d(A,B,T);Ad=[Add-B*F3];p3=eig(Ad),[y,x,t]=dinitial(Ad,B,C,D,x0);t=0:0.1:(t-1)/10;subplot(3,1,1),x1=[1 0 0 0 0 0]*x'; %%显示程序plot(t,x1);grid;title('状态变量x1的响应曲线')subplot(3,1,2),x2=[0 1 0 0 0 0]*x';plot(t,x2);grid;title('状态变量x2的响应曲线')subplot(3,1,3),x3=[0 0 1 0 0 0]*x';plot(t,x3);grid;title('状态变量x3的响应曲线')F3 =1.7779 92.1683 -129.2365 4.1238 4.5459 -20.3464 p3 =0.8655 + 0.0476i0.8655 - 0.0476i0.9222 + 0.0622i0.9222 - 0.0622i0.9932 + 0.0066i0.9932 - 0.0066i图4 øc=ø+ΓF3(T)由上面的1-4图我们可以知道：F(T)分别取F1(T)，F2(T)，F3(T)构成的闭环离散系统时仿真曲线基本一致，相应情况的闭环极点也基本相同，而取F(T)=F3(T)时，从系统的极点看，用øc=ø+ΓF3(T)代替øc=e(A+BF)T 构成闭环系统的精确度相当好。

二级倒立摆的建模与MATLAB仿真毕业论文

二级倒立摆的建模与MATLAB仿真摘要：本文根据牛顿力学原理，使用机理建模法对二级倒立摆系统进行了建模与仿真研究。

利用最优化控制理论，研究了线性二次型最优控制器对倒立摆系统进行了有效控制。

基于MATLAB程序的设计、仿真的运行，结果表明，二级倒立摆的数学建模法是切实可行的，而且十分可靠，同时利用LQR 控制器实现了对系统的控制，可以达到系统所需要的稳定性，鲁棒性。

关键词：二次型最优控制；二级倒立摆；MATLAB1 引言倒立摆系统是一个常用的、简单的、典型的可进行控制理论研究的实验平台，很多难以用常规实验研究的控制理论问题，都可以通过倒立摆系统来进行研究从而使这些抽象的控制理论问题，通过该系统可以直观的鲜明的显示出来。

所以倒立摆系统一直是控制领域的热点，并且在这些年来在不断的发展进步对控制理论的研究起到了重要作用。

倒立摆系统是一个典型的不稳定系统，具有多变量、强耦合、非线性等特点。

同时也是仿人类行走机器人和火箭发射飞行的过程调整和直升机飞行等实际运用控制对象的最简模型。

本文建立在牛顿力学定律的基础上，研究对象设置为二级倒立摆，对其进行数学建模，再使用二次型最优控制器（linear quadratic regulator，LQR）可以得到一个最优状态反馈的矩阵K，然后在通过对Q和R两个加权矩阵的严谨选取从而实现对二级倒立摆系统良好的自动控制。

2 二级倒立摆模型建立一个典型的二级倒立摆系统主要由机械部分和电气装置两部分组成。

机械装置的结构主要由小车、摆杆1、摆杆2及连接轴等组成，电气装置的主要结构是功率放大器、电动机、驱动电路、保护电路等。

其系统的结构如图1所示。

实验假设如下：(1)小车、摆杆1、摆杆2的材料性质都是刚体的。

(2)小车的驱动力和放大器的输出直接的，无滞后的作用于小车上。

(3)忽略实验中过程中出现的不可避免的各种摩擦力如库伦摩擦力等。

图1 二级倒立摆控制系统的结构二级倒立摆的参数设定如表1。

二级倒立摆数学模型的建立与仿真

0 -51.0100 78.1600 -20.7500 0.2400 -0.5700
0 9.7965 -0.8639 23.1980 -1.9807 0.1164
0 -55.0076 23.7731 -97.4668 46.2695 -25.2530
0 80.8145 -52.5041 115.9299 -51.2610 78.6255
满秩。
能观测性判据二：
（1）当系统特征值互异时，若线性定常连续系统的特征值互异，则状态完全能观测的充分必要条件是系统经非奇异线性变换后的对角线标准型
（3-6）
的矩阵中不包含元素全为零的列。
（3）当系统含有重特征值时，其重特征值
则系统状态完全能观测的充分必要条件为，系统经非奇异变换后的约定标准型
（3-7）
（2）当系统含有重特征值时，其重特征值
也就是说每一个重特征值只用一个约当块表示。则系统状态完全能控的充分必要条件为，系统经非奇异变换后的约定标准型
（3-3）
中，和每个约当块Ji(i=1,2, ,k)的最后一行相对应的矩阵中的所有那些行，其元素不全为零。
能控标准型:
（3-4）
（3）系统的可观测性
线性定常连续系统
能控性判据
能控性判据一：
线性定常连续系统（如（3-1）式）状态完全可控的条件为：当且仅当向量组是线性无关的，或n×n维矩阵[ ]的秩为n。
能控性判据二：
（1）当系统特征值互异时，若线性定常连续系统的特征值互异，则状态完全可控的充分必要条件是系统经非奇异线性变换后的对角线标准型：
（3-2）
的矩阵中不包含元素全为零的行。
（3-5）
如果对任意给定的输入u，都存在一有限观测时间tf>t0，使得根据[t0,tf]期间的输出y唯一的确定系统在初始时刻的状态x(t0)，则称此状态x(t0)是能观测的。如果系统的所有状态都是能观测的，则称此系统是状态完全能观测的，或简称系统是能观测的。

滑模控制二阶倒立摆 matlab

滑模控制二阶倒立摆 matlab滑模控制是一种常用的控制方法，在控制二阶倒立摆中也可以得到很好的应用。

通过加入滑模控制器可以提高控制系统的稳定性和鲁棒性。

在 Matlab 中，可以使用 Simulink 来进行二阶倒立摆的仿真和控制器设计。

具体步骤如下：1. 搭建二阶倒立摆的模型，包括小车、摆杆和配重块等组成部分。

2. 设计 PID 控制器，作为基准控制器用于比较滑模控制器的性能；3. 按照滑模控制器设计的思路，搭建滑模控制器模型，其中包括滑模面、滑模控制律等组成部分。

4. 将滑模控制器与二阶倒立摆模型进行连接，并进行仿真。

实现过程中的代码如下：1. 建立模型：使用 Simulink 中的组件、信号源、仿真器等构建二阶倒立摆控制系统模型。

2. PID 控制器设计：```matlabKp = 1.5;Ki = 0.01;Kd = 0.2;pid_controller = pid(Kp, Ki, Kd);```3. 滑模控制器设计：```matlabs = 0.1;r = 0.1;a = sqrt(2 * s * r);s_function = @(s_, r_) sign(s_) * a * tanh(abs(s_ / a) ^ (1 / 2)) - r_ * sign(s_);fcn = @(s_, r_) [s_function(s_(1), r_(1)), s_function(s_(2), r_(2))];smc_controller = @(s_, r_) - fcn(s_, r_);```4. 连接模型和控制器，进行仿真：```matlabmodel = 'inverted_pendulum';load_system(model);set_param(model, 'StopTime', '20');sim(model);% 绘制结果显示figure;subplot(2,1,1);plot(tout, theta, 'r', tout, theta_pid,'b');grid on;title('角度反馈');legend('smc', 'pid');xlabel('时间(s)');ylabel('角度(弧度)');subplot(2,1,2);plot(tout, x, 'r', tout, x_pid, 'b');gridon;title('位置反馈');legend('smc', 'pid');xlabel('时间(s)');ylabel('位置(m)');```在运行成功后，就可以看到二阶倒立摆的仿真结果，包括位置和角度等方面的变化情况，可以通过比较 PID 控制器和滑模控制器的性能表现来验证滑模控制器的优势。

基于LMI的二级倒立摆的建模与仿真

基于LMI的二级倒立摆系统的∞H鲁棒控制摘要倒立摆系统为典型的快速、多变量、非线性、绝对不稳定系统, 且存在不确定因素。

针对二级倒立摆系统中所受摩擦的不确定性，采用LMI方法, 建立了二级倒立摆模型，设计了∞H鲁棒控制器, 给出了控制器的求解方法。

仿真实验结果证明了该控制方法的有效性和可行性，并且具有很好的鲁棒稳定性和响应速度快的优越性，对高阶次不稳定系统具有很好的控制效果。

关键词：二级倒立摆；线性矩阵不等式（LMI）;∞H鲁棒控制0 引言现代控制工程所面临的问题极其复杂。

实际的工程控制系统中, 总是存在一定的不确定性。

倒立摆即是一个包含不确定性的系统, 也是控制理论的一个理想实验平台, 对倒立摆系统的研究具有重要的理论和实际意义。

本文采用线性矩阵不等式(LMI)方法，设计了二级倒立摆系统的鲁棒∞H状态反馈控制器，有效地克服了用求解两个联立的里卡迪方程获得∞H控制器时求解过程不容易收敛的困难，并且可降低控制器参数的数量级，使其在实控上易于实现。

根据文献[1]中对LMI的处理方法, 对二级倒立摆系统进行了仿真研究，结果表明，这样的控制方法可使二级倒立摆系统具有很好的鲁棒稳定性。

1 二级倒立摆系统建模1.1 倒立摆系统结构图1是二级倒立摆的系统结构图，它由三部分组成：计算机、电气部分和机械部分。

计算机部分有A/D、D/A转换模块，运动控制卡和PC机；电气部分主要有：光电编码器、直流功率放大器、伺服电机和保护电路；机械部分有摆杆、轨道、运动小车和皮带轮等。

计算机伺服驱动器运动控制卡伺服电机小车下摆杆上摆杆光电编码器1光电编码器2光电编码器3图1 二级倒立摆系统结构图1.2 倒立摆系统特性分析倒立摆系统是典型的机械电子系统，具有如下特性：（1）欠冗余性。

一般的倒立摆控制系统采用单电机驱动，无冗余结构。

采用欠冗余的设计方法主要是在不失系统可靠性的前提下节约经济成本或节约有效的空间。

（2）仿射非线性系统。

倒立摆控制系统是一种典型的仿射非线性系统，可以用微分几何的方法进行分析。

直线二级倒立摆系统MATLAB模型的建立与仿真

直线二级倒立摆系统模型的建立与仿真1 引言倒立摆是一个高阶次、非线性、快速、多变量、强藕合、不稳定的系统。

该控制方法在军工、航天、机器人等领域和一般工业过程中都有广泛应用。

本文主要讨论二级倒立摆系统模型的建立和仿真。

2二级倒立摆系统数学模型直线二级倒立摆系统是由直线运动模块和两级倒立摆组件组成。

主要包括导轨、小车和各级摆杆、编码器等元件。

由驱动电机给小车施加一个控制力，迫使小车在导轨上左右移动。

而小车的位移和各级摆杆角度由编码器测得。

系统简化后的直线二级倒立摆系统物理结构图如图2.1所示。

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