二级倒立摆的建模与MATLAB仿真

ＭＡＴＬＡＢ

二级倒立摆的建模与仿真刘文斌，等二级倒立摆的建模与ＭＡＴＬＡＢ仿真

刘文斌，千树川

（四川理工学院电子与信息工程系四川自贡，６４３０００）

摘要：通过对二级倒立摆结构构成及平衡控制问题的分析，给出基于牛顿力学定律的数学建模方法，并应用

二次型最优控制理论实现二级倒立摆控制。根据ＭＡＴＬＡＢ仿真结果表明，建模方法可行，采用二次型最优控制对系统

进行控制，能满足控制系统稳定性、鲁棒性要求。

关键词：ＬＱＲ；最优控制；倒立摆；ＭＡＴＬＡＢ：状态反馈阵

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｂｙａｎａｌｙｚｉｎｇｔｈｅｄｏｕｂｌｅｉｎｖｅｒｔｅｄｐｅｎｄｕｌｕｍｓｙｓｔｅｍ，Ｗｅｂｕｉｌｔａｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｍｏｄｅｌｏｆｔｈｅｓｙｓｔｅｍｗｈｉｃｈｉｓｂａｓｅｄ

ｏｎＮｅｗｔｏｎ’ＳＬａｗｏｆＭｅｃｈａｎｉｃｓａｎｄｔｈｅｌｉｎｅａｒｑｕａｄｒａｔｉｃｏｐｔｉｍａｌｃｏｎｔｒｏｌｓｔｒａｔｅｇｙ．Ｔｈｅｓｉｍｕｌａｔｉｏｎｏｎ

ＭＡＴＬＡＢｓｈｏｗｔｈａｔｔｈｅ

ｍｅｔｈｏｄｏｆｔｈｅｃｏｎｔｒｏｌｌｅｒｉｓｆｅａｓｉｂｌｅ，ａｎｄｔｈｅｃｏｎｔｒｏｌｓｙｓｔｅｍｈａｓｇｏｏｄｓｔａｂｉｌｉｔｙａｎｄｒｏｂｕｓｔｎｅｓｓ．

Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：Ｉ．ＯＲ；ｏｐｔｉｍａ！ｃｏｎｔｒｏｌ；Ｉｎｖｅｒｔｅｄｐｅｎｄｕｌｕｍ：ＭＡｎ．ＡＢ；Ｓｔａｔｅｆｅｅｄｂａｃｋｍａｔｒｉｅ

中图分类号：ＴＰ２７３＋．１文献标识码：＾文章编号：１００１—９２２７（２００８）０５－０００６－０３

Ｏ引言

倒立摆是进行控制理论研究的典型实验平台，许多抽象的控制理论概念，如系统的稳定性、可观性及－口Ｔ控性等都可以通过该系统直观地表示出来。因此，近几年来，该系统已经成为控制领域的研究热点。

倒立摆系统是一个典型的非线性、强耦合、多变量和不稳定系统。在控制研究领域有着代表性的意义。倒立摆作为控制系统的被控对象，许多抽象的控制概念都可以通过它直观的表现出来。本文以二级倒立摆为研究对象，采用牛顿力学定律进行数学建模，利用二次型最优控制器（１ｉｎｅａｒｑｕａｄｒａｔｉｃｒｅｇｕｌａｔｏｒ，ＬＱＲ）ｔ２】［叫求出最优状态反馈矩阵Ｋ，经过对Ｑ和Ｒ两个加权矩阵的选取实现二级倒立摆的自动控制。该方法为多变量反馈系统的设计提供了有效的分析方法，可适于时变系统，处理扰动信号和测量噪声，处理有限和无限的时间区间［２１。

１系统建模

一个典型的二级倒立摆系统主要由机电装置和控制装置两部分组成。机电装置的结构主要由小车、下摆杆、上摆杆及连接轴等构成，如图ｌ所示。假设系统中的每一根摆杆都是匀质刚体，驱动力与放大器的输入成正比且无延迟地直接作用于小车上，并且可以在忽略实验中的库仑摩擦和动摩擦的前提下，设定摆杆竖直向上时，下摆杆角位移鼠、上摆杆角位移岛均为零，摆杆顺时针旋转为正。图１所示为二级倒立摆模型。

在式（１）～式（６）中：ｘ为小车位移，Ｆ为加在小车上的力，ｍ为小车质量，下摆杆质量为Ｍ。，转动惯量为Ｊ．，下摆杆重心到转轴ａ问的长度为，ｌ，上摆杆质量为坞，转动惯量为Ｊ。，上摆杆重心到转轴ｂ间的长度，２，小车与地面摩擦力系数ｆ，下摆杆转轴ａ与ｂ间的长度Ｌ，重力加速度ｇ。运用牛顿力学定律建立方程如式（１）～式（３）所示。

图１二级倒立摆模型

Ｆ＝ｆＪ＋（ｍ＋Ｍｌ＋Ｍ２）肿（Ｍｌ，ｌ＋肘２Ｌ）鼠ＣＯＳｏｉ一（Ｍｌ‘

＋Ｍ２￡）砰ｓｉｎｑ＋Ｍ２１２０２ＣＯＳ岛一Ｍ２厶彰ｓｉｎ幺（１）

Ｊ２０２＝Ｍ２９１２ｓｉｎ岛＋肼２Ｌ／２ＣＯＳ鼠ｓｉｎ岛·钟＋Ｍ２￡ｆ２

ｓｉｎＢｓｉｎ岛·鼠＋２Ｍ２譬ｓｉｎ０２ＣＯＳ岛·彰＋Ｍ２蟹ｓｉｎ２幺

·岛一Ｍ２，２ＣＯＳ０２工＋Ｍ２工，２ｓｉｎＢＣＯＳ岛·砰－Ｍ２Ｌ１２ＣＯＳｑ

ｃｏｓ０２－Ｂ—Ｍ２譬ＣＯＳ２Ｂ·０２（２）Ｊ１０ｌ＝ＭＩｇｌｌｓｉｎ０ｌ＋ＭｌＩｔ２Ｓｉｎ

２

０ｌ·护ｌ＋Ｍ２９Ｌｓｉｎ０Ｉ

＋２Ｍ

２三２ｓｉｎ口ｌ

ＣＯＳ０ｌ·０１２＋Ｍ２Ｌ２ｓｉｎ２０Ｉ·口Ｉ＋Ｍ２上，２

ｓｉｎ０ｌＣＯｓ０２。０２＋Ｍ２Ｌ１２ｓｉｎ口ｌｓｉｎ０２·０２一ＭＩ，ｌＣＯＳＯＩｘ—ＭｌＩｔ２ＣＯＳ２０ｌ·０ｌ—Ｍ２ＬＣＯＳ０１Ｊ—Ｍ２￡２ＣＯＳ２０ｌ·０Ｉ

＋Ｍ

２Ｌ１２ＣＯＳ０ｌｓｉｎ０２’口；一Ｍ２￡，２ＣＯｓ占ｌＣＯｓ０２·０２（３）经过线性化如下：

Ｆ＝鼍取＋《ｍ＋Ｍｌ＋Ｍ２）ｘ＋（Ｍｚｌｚ＋ＭｅＬ）０１＋Ｍ２ｌ２０２【４）以０２＝Ｍ２９，２幺一Ｍ２乞工一Ｍ２Ｌ１２日ｌ—Ｍ２譬０２

（５）

《自动化与仪器仪表》２００８年第５期（总第１３９期）

４结束语参考文献改造后，在新建的控制室ＰＣ机上，能监测到所有的工１吴企渊．计算机网络［Ｍ］．北京：清华大学出版社，２００４

艺参数、设备状况和阀门开关，通过自动报表，准确地记录２郝久清，肖立．ＰＬＪｃ控制系统的可靠性设计［Ｊ］．自动化与仪器仪历史数据。控制平稳，灵敏。有效的生产操作和产品质量跟表。２００５，２１（１１）

踪分析，为公司的稳定生产和经济效益提高建立了硬件基３张尧学，王晓春，赵艳标．计算机网络与Ｉｎｔｅｒｎｅｔ教程［Ｍ］．北京：础，同时大大地减轻了员工的工作强度。清华大学出版社，２０００

（上接第７页）

０：

０：

０：

０］：

ｐ＝ｅｉｇ（Ａ）

［ｎｕｌｎ，ｄｅｎ］＝ｓｓ２ｔｆ（Ａ，Ｂ，Ｃ。Ｄ，１）：

ｐｒｉｎｔｓｙｓ（ｎｕｍ。ｄｅｎ）

Ｑ＝［１００００００００：

００００００：

００１００００：

００００００：

００００１００：

００Ｏ０００］：

Ｔｃ＝ｃｔｒｂ（Ａ。Ｂ）：

ｒａｎｋ（Ｔｃ）

Ｔｏ＝ｏｂｓｖ（Ａ，Ｃ）：

ｒａｎｋ（Ｔｏ）

Ｒ＝Ｉ：

木’）Ｋ＝ｌｑｒ（Ａ，Ｂ，Ｑ，Ｒ）

Ａｃ＝［（Ａ－Ｂ＊Ｋ）］：

Ｂｃ＝［Ｂ］：

Ｃｃ＝［Ｃ］：

Ｄｃ＝［Ｄ］：

Ｔ＝Ｏ：０．００５：２０：

Ｕ＝Ｏ．２＊ｏｎｅｓ（ｓｉｚｅ（Ｔ））：

［Ｙ，Ｘ］＝Ｉｓｉｍ（Ａｃ，Ｂｃ，Ｃｃ，Ｄｃ，Ｕ，Ｔ）：

ｐｌｏｔ（Ｔ，Ｙ（：，１），’：’，Ｔ，Ｙ（：。２），’一，Ｔ，Ｙ（：，３）。７

ｌｅｇｅｎｄ（’ｃａｒｔｐｏｓｉｔｉｏｎ’。’ｐｅｎｄｕｌｕｍａｎｇｌｅｌ’，

’ａｎｇｌｅ２’）

ｇｒｉｄ

图２小车位移、下摆摆角及上摆摆角比较

４结论

仿真结果表明：控制系统性能优良，稳定性好，具有较

强的鲁棒性。可见，应用线性二次型最优控制对二级倒立摆

平衡系统进行控制能够达到良好的效果，为以后的进～步实

验研究奠定了基础。

参考文献

ｌ郑大钟．线性系统理论第二版［Ｍ］．北京：清华大学出版社，２００２

２李俊等．倒立摆系统的线性二次型状态反馈控制［Ｊ］．自动测

量与控制，２００７，２６（３）：５６—５８

３黄忠霖，周向明．控制系统ＭＡＴＬＡＢ计算及仿真实训［Ｍ］．北京ｔ

国防工业出版社，２００６

４黄孝平，牛秦洲．线性二次型最优控制在倒立摆系统中的实现

［Ｊ］．计算机测量与控制，２００６，１４（１２）：１６４１—１６４２

５张春，江明，陈其工等．平行单级双倒立摆系统的建模与滑

模变结构控制［Ｊ］．２００８．Ｉ