第五章 定积分及其应用

第五章 定积分及其应用

定积分及其应用是微积分的主要内容之一，是微积分的精华，在《高等数学》中占有重要的地位 ，也是各类《高等数学》研究生入学考试的必考的重要内容之一。复习这部份内容，考生应着重掌握定积分的定义、性质及其计算方法，掌握“微元法”这一定积分应用的重要数学思想方法。

一、知识网络

定积分⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪

⎪⎩

⎪

⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧Γ⎪⎩⎪⎨⎧-函数审敛法和计算

定义广义各分分步积分法换元积分法莱公式牛积分的计算可变上限的定积分定积分的性质定积分的定义、 定积分的应用⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧）

（变力作功等其它弧长体积

面积

微元法

二、典型例题

例1 . 求极限 x

x dt

xt x

x 2sin )sin(lim

2302

⎰→。

[分析] 遇到极限中有可变上限有定积分，一般情况下可考虑应用洛必达法则，但由于现在

被积函数中含有变量x ，因此先应将x 从被积函数中分离出来，对此题可用变量代换；另外，在求极限的过程中如能恰当地应用等价无穷小代换，可简化求极限的过程。

[解] 对定积分作变换 xt u =，由于x 2sin 2

〜2

)2(x ，4

sin x 〜4

x ，)0(→x ，因此再

利用洛必达法则有

原式=230

20

)2(sin 1lim

2

x x dx u x x x ⎰

→=54060

2024sin 2lim 4sin lim 2x

x x x du u x x x →→=⎰ =12

1

12lim 440=→x x x

例2. 求极限 n

n n n n n

)2()2)(1(1lim

⋅⋅⋅++∞→.

[分析] 利用定积分的定义求极限，是一种常见的考研题型，难点在于如何将n x 变型成和

式

∑=∆n

i i

i

x

f 1

)(ξ。

[解] 令 n

n n n n n x )2()2)(1(1⋅⋅⋅++= 则 n n n n n x n ln )]2ln()2ln()1[ln(1

ln -+⋅⋅⋅++++=

=]ln )2ln()2ln()1[ln(1

n n n n n n -⋅⋅⋅++++ =)]1ln()21ln()11[ln(1n

n n n n ++⋅⋅⋅++++ 因此 ⎰+=

∞

→1

)1ln(ln lim dx x x n n =12ln 2-

所以 原式=e

e 4

1

2ln 2=

-

例3．设)(x f 在[]b a ,上连续，B b a A <<<,

求证 ⎰-=-+→b

a h a f

b f dx h x f h x f )()()

()(lim

0.

[证明1] ⎰⎰⎰-+=-+b a b

a

b a dx x f h dx h x f h dx h x f h x f )(1)(1)()(′ 令 u h x =+，则⎰

⎰++=+h

b h

a b a

du u f dx h x f )()(

从而

⎰

⎰⎰-=-+++b

a

b

a

h b h a dx x f h dx x f h dx h x f h x f )(1)(1)()(

=⎰⎰++-h

a a

h b b dx x f h dx x f h )(1)(1 由积分中值定理及)(x f 的2的性知 )()(1lim

0b f dx x f h h b b h =⎰+→ )()(1lim 0a f dx x f h h

a a

h =⎰+→ 故原题得证.

[证明2] 由证明1可知

⎰

⎰⎰-=-+++→→b

a

b

a

h

b h

a h h h

dx

x f dx x f dx h

x f h x f )()(lim )()(lim 00

=)]()([lim 0

h a f h b f h +-+→ ( 洛必达法则 ) =)()(a f b f -

例4．设)(x f 在[a ，b ]上连续，试证

⎰

≤≤+∞→=1

1

01)(max ))((

lim x f dx x f x p

p

p

[证明] 记

A x f x =≤≤)(max 1

0 ，由连续性可知，存在 ],[0b a x ∈，使 )(x f A =.

当0>p 时 ⎰

⎰=≥1

1

11)())((

A dx A dx x f p

p p

p

对0>∀ε，选取 0>δ，使得当 δ<-<00x x 时，有 2

)(ε

-

≥A x f

设 且,100≤≤≤≤βαx 0 <βα-<δ

则 ⎰

⎰≥1

11))(())((

β

α

p

p

p

p

dx x f dx x f

⎰-≥β

αε

p

p

dx A 1])

2([

=p

A 1))(2

(αβε

--

因为 当 +∞→p 时,1)(1→-p

αβ,故当p 充分大时有 ⎰

-=--≥1

12

)2())((

εε

εA A dx x f p

p

因此当 p 充分大时有 A dx x f A p

p

≤≤-⎰

11

))((ε

由ε的任意性知 ⎰

=+∞

→1

1))((

lim A dx x f p

p

p

例5. 计算

⎰+-1

a r c t a n dx x

a x

a [分析] 本题应用换元积分法,换元时应注意要换限. [解法1] 令 x

a x

a t +-=a r c t a n