中考数学二次函数(大题培优 易错 难题)附详细答案

中考数学二次函数(大题培优易错难题)附详细答案

一、二次函数

1．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（1，0）、C（﹣2，3）两点，与y 轴交于点N，其顶点为D．

（1）求抛物线及直线AC的函数关系式；

（2）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值及此时点P 的坐标；

（3）在对称轴上是否存在一点M，使△ANM的周长最小．若存在，请求出M点的坐标和△ANM周长的最小值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；y＝﹣x+1；（2）当x＝﹣1

2

时，△APC的面积取最大值，

最大值为27

8

，此时点P的坐标为（﹣

1

2

，

15

4

）；（3）在对称轴上存在一点M（﹣1，

2），使△ANM的周长最小，△ANM周长的最小值为10

2

【解析】

【分析】

（1）根据点A，C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线及直线AC的函数关系式；（2）过点P作PE∥y轴交x轴于点E，交直线AC于点F，过点C作CQ∥y轴交x轴于点Q，设点P的坐标为（x，﹣x2﹣2x+3）（﹣2＜x＜1），则点E的坐标为（x，0），点F的坐标为（x，﹣x+1），进而可得出PF的值，由点C的坐标可得出点Q的坐标，进而可得

出AQ的值，利用三角形的面积公式可得出S△APC＝﹣3

2

x2﹣

3

2

x+3，再利用二次函数的性

质，即可解决最值问题；（3）利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点N的坐标，利用配方法可找出抛物线的对称轴，由点C，N的坐标可得出点C，N关于抛物线的对称轴对称，令直线AC与抛物线的对称轴的交点为点M，则此时△ANM周长取最小值，再利用一次函数图象上点的坐标特征求出点M的坐标，以及利用两点间的距离公式结合三角形的周长公式求出△ANM周长的最小值即可得出结论．

【详解】

（1）将A（1，0），C（﹣2，3）代入y＝﹣x2+bx+c，得：

10423b c b c -++=⎧⎨

--+=⎩，解得：2

3b c =-⎧⎨=⎩

， ∴抛物线的函数关系式为y ＝﹣x 2﹣2x +3； 设直线AC 的函数关系式为y ＝mx +n （m ≠0）， 将A （1，0），C （﹣2，3）代入y ＝mx +n ，得：

023m n m n +=⎧⎨

-+=⎩，解得：1

1m n =-⎧⎨=⎩

， ∴直线AC 的函数关系式为y ＝﹣x +1．

（2）过点P 作PE ∥y 轴交x 轴于点E ，交直线AC 于点F ，过点C 作CQ ∥y 轴交x 轴于点Q ，如图1所示．

设点P 的坐标为（x ，﹣x 2﹣2x +3）（﹣2＜x ＜1），则点E 的坐标为（x ，0），点F 的坐标为（x ，﹣x +1），

∴PE ＝﹣x 2﹣2x +3，EF ＝﹣x +1，EF ＝PE ﹣EF ＝﹣x 2﹣2x +3﹣（﹣x +1）＝﹣x 2﹣x +2． ∵点C 的坐标为（﹣2，3）， ∴点Q 的坐标为（﹣2，0）， ∴AQ ＝1﹣（﹣2）＝3， ∴S △APC ＝12AQ •PF ＝﹣32x 2﹣32x +3＝﹣32（x +1

2）2+278

． ∵﹣

3

2

＜0， ∴当x ＝﹣

12时，△APC 的面积取最大值，最大值为278

，此时点P 的坐标为（﹣1

2，15

4

）． （3）当x ＝0时，y ＝﹣x 2﹣2x +3＝3， ∴点N 的坐标为（0，3）． ∵y ＝﹣x 2﹣2x +3＝﹣（x +1）2+4， ∴抛物线的对称轴为直线x ＝﹣1． ∵点C 的坐标为（﹣2，3）， ∴点C ，N 关于抛物线的对称轴对称．

令直线AC 与抛物线的对称轴的交点为点M ，如图2所示． ∵点C ，N 关于抛物线的对称轴对称， ∴MN ＝CM ，

∴AM +MN ＝AM +MC ＝AC ， ∴此时△ANM 周长取最小值． 当x ＝﹣1时，y ＝﹣x +1＝2， ∴此时点M 的坐标为（﹣1，2）．

∵点A 的坐标为（1，0），点C 的坐标为（﹣2，3），点N 的坐标为（0，3），

∴AC

＝，AN ，

∴C△ANM＝AM+MN+AN＝AC+AN＝32+10．

∴在对称轴上存在一点M（﹣1，2），使△ANM的周长最小，△ANM周长的最小值为32+10．

【点睛】

本题考查待定系数法求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、三角形的面积以及周长，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出抛物线及直线AC的函数关

系式；（2）利用三角形的面积公式找出S△APC＝﹣3

2

x2﹣

3

2

x+3的最值；（3）利用二次函

数图象的对称性结合两点之间线段最短找出点M的位置．

2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点Q从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，

另一个点也停止运动，当△PBQ 存在时，求运动多少秒使△PBQ 的面积最大，最大面积是多少？

（3）当△PBQ 的面积最大时，在BC 下方的抛物线上存在点K ，使S △CBK ：S △PBQ =5：2，求K 点坐标．

【答案】（1）y=3

8x 2﹣34

x ﹣3

（2）运动1秒使△PBQ 的面积最大，最大面积是9

10

（3）K 1（1，﹣278

），K 2（3，﹣158）

【解析】 【详解】

试题分析：（1）把点A 、B 的坐标分别代入抛物线解析式，列出关于系数a 、b 的解析式，通过解方程组求得它们的值；

（2）设运动时间为t 秒．利用三角形的面积公式列出S △PBQ 与t 的函数关系式S △PBQ =﹣9

10

（t ﹣1）2+

9

10

．利用二次函数的图象性质进行解答； （3）利用待定系数法求得直线BC 的解析式为y=3

4

x ﹣3．由二次函数图象上点的坐标特征

可设点K 的坐标为（m ，3

8m 2﹣34

m ﹣3）．

如图2，过点K 作KE ∥y 轴，交BC 于点E ．结合已知条件和（2）中的结果求得S △CBK =

9

4．则根据图形得到：S △CBK =S △CEK +S △BEK =12EK•m+12

•EK•（4﹣m ），把相关线段的长度代入推知：﹣

34m 2+3m=9

4．易求得K 1（1，﹣278

），K 2（3，﹣158）．

解：（1）把点A （﹣2，0）、B （4，0）分别代入y=ax 2+bx ﹣3（a≠0），得

4230

16430a b a b --=⎧⎨

+-=⎩

， 解得3834a b ⎧

=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩

，

所以该抛物线的解析式为：y=3

8x 2﹣34

x ﹣3；

（2）设运动时间为t 秒，则AP=3t ，BQ=t ． ∴PB=6﹣3t ．

由题意得，点C 的坐标为（0，﹣3）．