中考数学二次函数(大题培优 易错 难题)附详细答案

中考数学二次函数(大题培优易错难题)附详细答案
一、二次函数
1．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（1，0）、C（﹣2，3）两点，与y 轴交于点N，其顶点为D．
（1）求抛物线及直线AC的函数关系式；
（2）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值及此时点P 的坐标；
（3）在对称轴上是否存在一点M，使△ANM的周长最小．若存在，请求出M点的坐标和△ANM周长的最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；y＝﹣x+1；（2）当x＝﹣1
2
时，△APC的面积取最大值，
最大值为27
8
，此时点P的坐标为（﹣
1
2
，
15
4
）；（3）在对称轴上存在一点M（﹣1，
2），使△ANM的周长最小，△ANM周长的最小值为10
2
【解析】
【分析】
（1）根据点A，C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线及直线AC的函数关系式；（2）过点P作PE∥y轴交x轴于点E，交直线AC于点F，过点C作CQ∥y轴交x轴于点Q，设点P的坐标为（x，﹣x2﹣2x+3）（﹣2＜x＜1），则点E的坐标为（x，0），点F的坐标为（x，﹣x+1），进而可得出PF的值，由点C的坐标可得出点Q的坐标，进而可得
出AQ的值，利用三角形的面积公式可得出S△APC＝﹣3
2
x2﹣
3
2
x+3，再利用二次函数的性
质，即可解决最值问题；（3）利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点N的坐标，利用配方法可找出抛物线的对称轴，由点C，N的坐标可得出点C，N关于抛物线的对称轴对称，令直线AC与抛物线的对称轴的交点为点M，则此时△ANM周长取最小值，再利用一次函数图象上点的坐标特征求出点M的坐标，以及利用两点间的距离公式结合三角形的周长公式求出△ANM周长的最小值即可得出结论．
【详解】
（1）将A（1，0），C（﹣2，3）代入y＝﹣x2+bx+c，得：
10423b c b c -++=⎧⎨
--+=⎩，解得：2
3b c =-⎧⎨=⎩
， ∴抛物线的函数关系式为y ＝﹣x 2﹣2x +3； 设直线AC 的函数关系式为y ＝mx +n （m ≠0）， 将A （1，0），C （﹣2，3）代入y ＝mx +n ，得：
023m n m n +=⎧⎨
-+=⎩，解得：1
1m n =-⎧⎨=⎩
， ∴直线AC 的函数关系式为y ＝﹣x +1．
（2）过点P 作PE ∥y 轴交x 轴于点E ，交直线AC 于点F ，过点C 作CQ ∥y 轴交x 轴于点Q ，如图1所示．
设点P 的坐标为（x ，﹣x 2﹣2x +3）（﹣2＜x ＜1），则点E 的坐标为（x ，0），点F 的坐标为（x ，﹣x +1），
∴PE ＝﹣x 2﹣2x +3，EF ＝﹣x +1，EF ＝PE ﹣EF ＝﹣x 2﹣2x +3﹣（﹣x +1）＝﹣x 2﹣x +2． ∵点C 的坐标为（﹣2，3）， ∴点Q 的坐标为（﹣2，0）， ∴AQ ＝1﹣（﹣2）＝3， ∴S △APC ＝12AQ •PF ＝﹣32x 2﹣32x +3＝﹣32（x +1
2）2+278
． ∵﹣
3
2
＜0， ∴当x ＝﹣
12时，△APC 的面积取最大值，最大值为278
，此时点P 的坐标为（﹣1
2，15
4
）． （3）当x ＝0时，y ＝﹣x 2﹣2x +3＝3， ∴点N 的坐标为（0，3）． ∵y ＝﹣x 2﹣2x +3＝﹣（x +1）2+4， ∴抛物线的对称轴为直线x ＝﹣1． ∵点C 的坐标为（﹣2，3）， ∴点C ，N 关于抛物线的对称轴对称．
令直线AC 与抛物线的对称轴的交点为点M ，如图2所示． ∵点C ，N 关于抛物线的对称轴对称， ∴MN ＝CM ，
∴AM +MN ＝AM +MC ＝AC ， ∴此时△ANM 周长取最小值． 当x ＝﹣1时，y ＝﹣x +1＝2， ∴此时点M 的坐标为（﹣1，2）．
∵点A 的坐标为（1，0），点C 的坐标为（﹣2，3），点N 的坐标为（0，3），
∴AC
＝，AN ，
∴C△ANM＝AM+MN+AN＝AC+AN＝32+10．
∴在对称轴上存在一点M（﹣1，2），使△ANM的周长最小，△ANM周长的最小值为32+10．
【点睛】
本题考查待定系数法求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、三角形的面积以及周长，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出抛物线及直线AC的函数关
系式；（2）利用三角形的面积公式找出S△APC＝﹣3
2
x2﹣
3
2
x+3的最值；（3）利用二次函
数图象的对称性结合两点之间线段最短找出点M的位置．
2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点Q从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，其中一个点到达终点时，
另一个点也停止运动，当△PBQ 存在时，求运动多少秒使△PBQ 的面积最大，最大面积是多少？
（3）当△PBQ 的面积最大时，在BC 下方的抛物线上存在点K ，使S △CBK ：S △PBQ =5：2，求K 点坐标．
【答案】（1）y=3
8x 2﹣34
x ﹣3
（2）运动1秒使△PBQ 的面积最大，最大面积是9
10
（3）K 1（1，﹣278
），K 2（3，﹣158）
【解析】 【详解】
试题分析：（1）把点A 、B 的坐标分别代入抛物线解析式，列出关于系数a 、b 的解析式，通过解方程组求得它们的值；
（2）设运动时间为t 秒．利用三角形的面积公式列出S △PBQ 与t 的函数关系式S △PBQ =﹣9
10
（t ﹣1）2+
9
10
．利用二次函数的图象性质进行解答； （3）利用待定系数法求得直线BC 的解析式为y=3
4
x ﹣3．由二次函数图象上点的坐标特征
可设点K 的坐标为（m ，3
8m 2﹣34
m ﹣3）．
如图2，过点K 作KE ∥y 轴，交BC 于点E ．结合已知条件和（2）中的结果求得S △CBK =
9
4．则根据图形得到：S △CBK =S △CEK +S △BEK =12EK•m+12
•EK•（4﹣m ），把相关线段的长度代入推知：﹣
34m 2+3m=9
4．易求得K 1（1，﹣278
），K 2（3，﹣158）．
解：（1）把点A （﹣2，0）、B （4，0）分别代入y=ax 2+bx ﹣3（a≠0），得
4230
16430a b a b --=⎧⎨
+-=⎩
， 解得3834a b ⎧
=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
，
所以该抛物线的解析式为：y=3
8x 2﹣34
x ﹣3；
（2）设运动时间为t 秒，则AP=3t ，BQ=t ． ∴PB=6﹣3t ．
由题意得，点C 的坐标为（0，﹣3）．
在Rt △BOC 中，
BC=2234+=5． 如图1，过点Q 作QH ⊥AB 于点H ．
∴QH ∥CO ， ∴△BHQ ∽△BOC ， ∴
HB OC BG
BC
=，即
Hb 35
t
=，
∴HQ=
35
t ． ∴S △PBQ =12PB•HQ=12（6﹣3t ）•35t=﹣910t 2+9
5t=﹣910（t ﹣1）2+910
．
当△PBQ 存在时，0＜t ＜2 ∴当t=1时，
S △PBQ 最大=
910
． 答：运动1秒使△PBQ 的面积最大，最大面积是910
； （3）设直线BC 的解析式为y=kx+c （k≠0）． 把B （4，0），C （0，﹣3）代入，得
40
3k c c +=⎧⎨
=-⎩
， 解得3k 4c 3
⎧=⎪⎨⎪=-⎩，
∴直线BC 的解析式为y=3
4
x ﹣3． ∵点K 在抛物线上．
∴设点K 的坐标为（m ，3
8
m 2﹣
3
4
m ﹣3）． 如图2，过点K 作KE ∥y 轴，交BC 于点E ．则点E 的坐标为（m ，
3
4
m ﹣3）．
∴EK=3
4
m﹣3﹣（
3
8
m2﹣
3
4
m﹣3）=﹣
3
8
m2+
3
2
m．
当△PBQ的面积最大时，∵S△CBK：S△PBQ=5：2，S△PBQ=
9 10
．
∴S△CBK=9
4
．
S△CBK=S△CEK+S△BEK=1
2
EK•m+
1
2
•EK•（4﹣m）
=1
2
×4•EK
=2（﹣3
8
m2+
3
2
m）
=﹣3
4
m2+3m．
即：﹣3
4
m2+3m=
9
4
．
解得 m1=1，m2=3．
∴K1（1，﹣27
8
），K2（3，﹣
15
8
）．
点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有待定系数法求二次函数解析式和三角形的面积求法．在求有关动点问题时要注意该点的运动范围，即自变量的取值范围．
3．如图1，抛物线C1：y=ax2﹣2ax+c（a＜0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．已知点A的坐标为（﹣1，0），点O为坐标原点，OC=3OA，抛物线C1的顶点为G．
（1）求出抛物线C1的解析式，并写出点G的坐标；
（2）如图2，将抛物线C1向下平移k（k＞0）个单位，得到抛物线C2，设C2与x轴的交点为A′、B′，顶点为G′，当△A′B′G′是等边三角形时，求k的值：
（3）在（2）的条件下，如图3，设点M为x轴正半轴上一动点，过点M作x轴的垂线分别交抛物线C1、C2于P、Q两点，试探究在直线y=﹣1上是否存在点N，使得以P、Q、N 为顶点的三角形与△AOQ全等，若存在，直接写出点M，N的坐标：若不存在，请说明理由．
【答案】（1）抛物线C1的解析式为y=﹣x2+2x+3，点G的坐标为（1，4）；（2）k=1；
（3）M1（113
2
+
，0）、N1131）；M2（
113
2
+
，0）、N2（1，﹣1）；M3
（4，0）、N3（10，﹣1）；M4（4，0）、N4（﹣2，﹣1）．
【解析】
【分析】（1）由点A的坐标及OC=3OA得点C坐标，将A、C坐标代入解析式求解可得；（2）设抛物线C2的解析式为y=﹣x2+2x+3﹣k，即y=﹣（x﹣1）2+4﹣k，′作G′D⊥x轴于点D，设BD′=m，由等边三角形性质知点B′的坐标为（m+1，0），点G′的坐标为（1，
3m），代入所设解析式求解可得；
（3）设M（x，0），则P（x，﹣x2+2x+3）、Q（x，﹣x2+2x+2），根据PQ=OA=1且
∠AOQ、∠PQN均为钝角知△AOQ≌△PQN，延长PQ交直线y=﹣1于点H，证
△OQM≌△QNH，根据对应边相等建立关于x的方程，解之求得x的值从而进一步求解即可．
【详解】（1）∵点A的坐标为（﹣1，0），
∴OA=1，
∴OC=3OA，
∴点C的坐标为（0，3），
将A、C坐标代入y=ax2﹣2ax+c，得：
20
3
a a c
c
++=
⎧
⎨
=
⎩
，
解得：
1
3
a
c
=-
⎧
⎨
=
⎩
，
∴抛物线C1的解析式为y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，
所以点G的坐标为（1，4）；
（2）设抛物线C2的解析式为y=﹣x2+2x+3﹣k，即y=﹣（x﹣1）2+4﹣k，
过点G′作G′D ⊥x 轴于点D ，设BD′=m ，
∵△A′B′G′为等边三角形， ∴G′D=3
B′D=3m ，
则点B′的坐标为（m+1，0），点G′的坐标为（1，3m ）， 将点B′、G′的坐标代入y=﹣（x ﹣1）2+4﹣k ，得：
2
40
43m k k m
⎧-+-=⎪⎨
-=⎪⎩， 解得：1104m k =⎧⎨=⎩（舍），2231
m k ⎧=⎪⎨=⎪⎩，
∴k=1；
（3）设M （x ，0），则P （x ，﹣x 2+2x+3）、Q （x ，﹣x 2+2x+2）， ∴PQ=OA=1，
∵∠AOQ 、∠PQN 均为钝角， ∴△AOQ ≌△PQN ，
如图2，延长PQ 交直线y=﹣1于点H ，
则∠QHN=∠OMQ=90°， 又∵△AOQ ≌△PQN ， ∴OQ=QN ，∠AOQ=∠PQN ， ∴∠MOQ=∠HQN ， ∴△OQM ≌△QNH （AAS ）， ∴OM=QH ，即x=﹣x 2+2x+2+1， 解得：x=
113
2
±
当x=
1132+时，HN=QM=﹣x 2+2x+2=1312-，点M （113
2
+，0）， ∴点N 坐标为（113++131
-，﹣1），即（13，﹣1）； 或（
113+﹣131-，﹣1），即（1，﹣1）； 如图3，
同理可得△OQM ≌△PNH ，
∴OM=PH ，即x=﹣（﹣x 2+2x+2）﹣1， 解得：x=﹣1（舍）或x=4，
当x=4时，点M 的坐标为（4，0），HN=QM=﹣（﹣x 2+2x+2）=6，
∴点N 的坐标为（4+6，﹣1）即（10，﹣1），或（4﹣6，﹣1）即（﹣2，﹣1）； 综上点M 1113+0）、N 1131）；M 2113
+0）、N 2（1，﹣1）；M 3
（4，0）、N 3（10，﹣1）；M 4（4，0）、N 4（﹣2，﹣1）．
【点睛】本题考查的是二次函数的综合题，涉及到的知识有待定系数法、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等，熟练掌握待定系数法求函数解析式、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、运用分类讨论思想是解题的关键.
4．如图，在平面直角坐标系中，二次函数2y ax bx c =++交x 轴于点()4,0A -、
()2,0B ，交y 轴于点()0,6C ，在y 轴上有一点()0,2E -，连接AE .
（1）求二次函数的表达式；
（2）若点D 为抛物线在x 轴负半轴上方的一个动点，求ADE ∆面积的最大值； （3）抛物线对称轴上是否存在点P ，使AEP ∆为等腰三角形，若存在，请直接写出所有
P 点的坐标，若不存在请说明理由.
【答案】（1）二次函数的解析式为233642y x x =--+；（2）当2
3
x =-时，ADE ∆的面积取得最大值50
3
；（3）P 点的坐标为()1,1-，(
1,11-，(1,219--. 【解析】
分析：（1）把已知点坐标代入函数解析式，得出方程组求解即可；
（2）根据函数解析式设出点D 坐标，过点D 作DG ⊥x 轴，交AE 于点F ，表示△ADE 的面积，运用二次函数分析最值即可；
（3）设出点P 坐标，分PA =PE ，PA =AE ，PE =AE 三种情况讨论分析即可． 详解：（1）∵二次函数y =ax 2+bx +c 经过点A （﹣4，0）、B （2，0），C （0，6），
∴16404206a b c a b c c -+=⎧⎪
++=⎨⎪=⎩
， 解得：34326a b c ⎧
=-⎪⎪
⎪
=-⎨⎪
=⎪⎪⎩
，
所以二次函数的解析式为：y =233
642
x x -
-+； （2）由A （﹣4，0），E （0，﹣2），可求AE 所在直线解析式为y =1
22
x -
-， 过点D 作DN ⊥x 轴，交AE 于点F ，交x 轴于点G ，过点E 作EH ⊥DF ，垂足为H ，如图，
设D （m ，233642m m -
-+），则点F （m ，122m --）， ∴DF =233642m m --+﹣（122m --）=2384
m m --+， ∴S △ADE =S △ADF +S △EDF =
12×DF ×AG +12DF ×EH =12×DF ×AG +12
×DF ×EH =12
×4×DF =2×（2384
m m --+） =23250233m -++
（）， ∴当m =23-时，△ADE 的面积取得最大值为503
． （3）y =233642x x -
-+的对称轴为x =﹣1，设P （﹣1，n ），又E （0，﹣2），A （﹣4，0），可求PA 29n +PE 212n ++（）
AE 16425+=，分三种情况讨论： 当PA =PE 29n +212n ++（）
n =1，此时P （﹣1，1）； 当PA =AE 29n +16425+=n =11，此时点P 坐标为（﹣1，11）；
当PE =AE 212n ++（）16425+=n =﹣219P 坐标为：（﹣1，﹣219）．
综上所述：P 点的坐标为：（﹣1，1），（﹣1，111，﹣219）． 点睛：本题主要考查二次函数的综合问题，会求抛物线解析式，会运用二次函数分析三角形面积的最大值，会分类讨论解决等腰三角形的顶点的存在问题时解决此题的关键．
5．在平面直角坐标系中，有两点(),A a b 、(),B c d ，若满足：当a b ≥时，c a =，2d b =-；当a b <时，c a <-，d b <，则称点为点的“友好点”.
（1）点()4,1的“友好点”的坐标是_______.
（2）点(),A a b 是直线2y x =-上的一点，点B 是点A 的“友好点”.
①当B 点与A 点重合时，求点A 的坐标.
②当A 点与A 点不重合时，求线段AB 的长度随着a 的增大而减小时，a 的取值范围.
【答案】（1）()41-,；（2）①点A 的坐标是()2,0或()1,1-；②当1a <或322a ≤<时，AB 的长度随着a 的增大而减小；
【解析】
【分析】
（1）直接利用“友好点”定义进行解题即可；（2）先利用 “友好点”定义求出B 点坐标，A 点又在直线2y x =-上，得到2b a =-；①当点A 和点B 重合，得2b b =-．解出即可，②当点A 和点B 不重合， 1a ≠且2a ≠．所以对a 分情况讨论，1°、当1a <或
2a >时，()222
313224AB b b a a a ⎛⎫=--=-+=-- ⎪⎝⎭，所以当a ≤32时，AB 的长度随着a 的增大而减小，即取1a <．2°当12a <<时，()2
2231+3224AB b b a a a ⎛⎫=--=--=--+ ⎪⎝⎭，当32a ≥时，AB 的长度随着a 的增大而减小，即取32
2a ≤<． 综上，当1a <或32
2a ≤<时，AB 的长度随着a 的增大而减小． 【详解】
（1）点()4,1，4＞1，根据“友好点”定义，得到点()4,1的“友好点”的坐标是()41-, （2）Q 点(),A a b 是直线2y x =-上的一点，
∴2b a =-．
Q 2a a >-，根据友好点的定义，点B 的坐标为()
2,B a b -，
①当点A 和点B 重合，∴2b b =-．
解得0b =或1b =-．
当0b =时，2a =；当1b =-时，1a =， ∴点A 的坐标是()2,0或()1,1-．
②当点A 和点B 不重合，1a ≠且2a ≠．
当1a <或2a >时，()222313224AB b b a a a ⎛⎫=--=-+=-- ⎪⎝
⎭．
∴当a ≤32时，AB 的长度随着a 的增大而减小， ∴取1a <． 当12a <<时， ()222
31+3224AB b b a a a ⎛⎫=--=--=--+ ⎪⎝⎭ ． ∴当32a ≥
时，AB 的长度随着a 的增大而减小， ∴取32
2a ≤<． 综上，当1a <或
322a ≤<时，AB 的长度随着a 的增大而减小． 【点睛】
本题属于阅读理解题型，结合二次函数的基本性质进行解题，第二问的第二小问的关键是求出AB 的长用a 进行表示，然后利用二次函数基本性质进行分类讨论
6．如图，抛物线y=ax 2+6x+c 交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于点C ．直线y=x ﹣5经过点B ，C ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点A 的直线交直线BC 于点M ．
①当AM ⊥BC 时，过抛物线上一动点P （不与点B ，C 重合），作直线AM 的平行线交直线BC 于点Q ，若以点A ，M ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点P 的横坐标； ②连接AC ，当直线AM 与直线BC 的夹角等于∠ACB 的2倍时，请直接写出点M 的坐标．
【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x 2+6x ﹣5；（2）①P 点的横坐标为45+41或5-412
；②点M 的坐标为（136，﹣176）或（236，﹣76）． 【解析】
分析：（1）利用一次函数解析式确定C （0，-5），B （5，0），然后利用待定系数法求抛物线解析式；
（2）①先解方程-x 2+6x-5=0得A （1，0），再判断△OCB 为等腰直角三角形得到∠OBC=∠OCB=45°，则△AMB 为等腰直角三角形，所以
，接着根据平行四边形的性质得到
，PQ ⊥BC ，作PD ⊥x 轴交直线BC 于D ，如图1，利用∠PDQ=45°得到
PQ=4，设P （m ，-m 2+6m-5），则D （m ，m-5），讨论：当P 点在直线BC 上方时，PD=-m 2+6m-5-（m-5）=4；当P 点在直线BC 下方时，PD=m-5-（-m 2+6m-5），然后分别解方程即可得到P 点的横坐标；
②作AN ⊥BC 于N ，NH ⊥x 轴于H ，作AC 的垂直平分线交BC 于M 1，交AC 于E ，如图2，利用等腰三角形的性质和三角形外角性质得到∠AM 1B=2∠ACB ，再确定N （3，-2）， AC 的解析式为y=5x-5，E 点坐标为（
12，-52），利用两直线垂直的问题可设直线EM 1的解析式为y=-15x+b ，把E （12，-52）代入求出b 得到直线EM 1的解析式为y=-15x-125
，则解方程组511255y x y x -⎧⎪⎨--⎪⎩
＝＝得M 1点的坐标；作直线BC 上作点M 1关于N 点的对称点M 2，如图2，利用对称性得到∠AM 2C=∠AM 1B=2∠ACB ，设M 2（x ，x-5），根据中点坐标公式
得到3=13+62
x ，然后求出x 即可得到M 2的坐标，从而得到满足条件的点M 的坐标．
详解：（1）当x=0时，y=x ﹣5=﹣5，则C （0，﹣5），
当y=0时，x ﹣5=0，解得x=5，则B （5，0），
把B （5，0），C （0，﹣5）代入y=ax 2+6x+c 得
253005a c c ++=⎧⎨=-⎩，解得15a b =-⎧⎨=-⎩
， ∴抛物线解析式为y=﹣x 2+6x ﹣5；
（2）①解方程﹣x 2+6x ﹣5=0得x 1=1，x 2=5，则A （1，0），
∵B （5，0），C （0，﹣5），
∴△OCB 为等腰直角三角形，
∴∠OBC=∠OCB=45°，
∵AM ⊥BC ，
∴△AMB 为等腰直角三角形，
∴
AM=2
AB=2
， ∵以点A ，M ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，AM ∥PQ ，
∴
PQ ⊥BC ，
作PD ⊥x 轴交直线BC 于D ，如图1，则∠PDQ=45°，
∴PD=2PQ=2×22=4，
设P（m，﹣m2+6m﹣5），则D（m，m﹣5），
当P点在直线BC上方时，
PD=﹣m2+6m﹣5﹣（m﹣5）=﹣m2+5m=4，解得m1=1，m2=4，当P点在直线BC下方时，
PD=m﹣5﹣（﹣m2+6m﹣5）=m2﹣5m=4，解得m1=5+41
2
，m2=
5-41
2
，
综上所述，P点的横坐标为4或5+41
或
5-41
；
②作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，交AC于E，如图2，
∵M1A=M1C，
∴∠ACM1=∠CAM1，
∴∠AM1B=2∠ACB，
∵△ANB为等腰直角三角形，
∴AH=BH=NH=2，
∴N（3，﹣2），
易得AC的解析式为y=5x﹣5，E点坐标为（1
2
，﹣
5
2
，
设直线EM1的解析式为y=﹣1
5
x+b，
把E（1
2
，﹣
5
2
）代入得﹣
1
10
+b=﹣
5
2
，解得b=﹣
12
5
，
∴直线EM1的解析式为y=﹣1
5x﹣
12
5
解方程组
5
112
55
y x
y x
=-
⎧
⎪
⎨
=--
⎪⎩
得
13
6
17
6
x
y
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=-
⎪⎩
，则M1（
13
6
，﹣
17
6
）；
作直线BC上作点M1关于N点的对称点M2，如图2，则∠AM2C=∠AM1B=2∠ACB，设M2（x，x﹣5），
∵3=13
+ 6
2
x
∴x=23
6
，
∴M2（23
6，﹣
7
6
）.
综上所述，点M的坐标为（13
6
，﹣
17
6
）或（
23
6
，﹣
7
6
）．
点睛：本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、等腰直角的判定与性质和平行四边形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题．
7．若三个非零实数x，y，z满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数x，y，z构成“和谐三组数”．
(1)实数1，2，3可以构成“和谐三组数”吗？请说明理由；
(2)若M(t，y1)，N(t+1，y2)，R(t+3，y3)三点均在函数y＝k
x
(k为常数，k≠0)的图象上，且这
三点的纵坐标y1，y2，y3构成“和谐三组数”，求实数t的值；
(3)若直线y＝2bx+2c(bc≠0)与x轴交于点A(x1，0)，与抛物线y＝ax2+3bx+3c(a≠0)交于B(x2，y2)，C(x3，y3)两点．
①求证：A，B，C三点的横坐标x1，x2，x3构成“和谐三组数”；
②若a＞2b＞3c，x2＝1，求点P(c
a
，
b
a
)与原点O的距离OP的取值范围．
【答案】(1)不能，理由见解析；(2)t的值为﹣4、﹣2或2；(3)①证明见解析；
≤OP
＜2
且OP≠1． 【解析】
【分析】
（1）由和谐三组数的定义进行验证即可；
（2）把M 、N 、R 三点的坐标分别代入反比例函数解析式，可用t 和k 分别表示出y 1、y 2、y 3，再由和谐三组数的定义可得到关于t 的方程，可求得t 的值；
（3）①由直线解析式可求得x 1＝﹣c b
，联立直线和抛物线解析式消去y ，利用一元二次方程根与系数的关系可求得x 2+x 3＝﹣b a ，x 2x 3＝c a
，再利用和谐三数组的定义证明即可；②由条件可得到a+b+c ＝0，可得c ＝﹣(a+b)，由a ＞2b ＞3c 可求得
b a 的取值范围，令m ＝b a
，利用两点间距离公式可得到OP 2关于m 的二次函数，利用二次函数的性质可求得OP 2的取值范围，从而可求得OP 的取值范围．
【详解】
（1）不能，理由如下：
∵1、2、3的倒数分别为1、
12、13， ∴12+13≠1，1+12≠13，1+13≠12
， ∴实数1，2，3不可以构成“和谐三组数”； （2）∵M(t ，y 1)，N(t+1，y 2)，R(t+3，y 3)三点均在函数
k x (k 为常数，k≠0)的图象上， ∴y 1、y 2、y 3均不为0，且y 1＝
k t ，y 2＝1k t +，y 3＝3k t +， ∴11y ＝t k ，21y ＝1t k +，3
1y ＝3t k +， ∵y 1，y 2，y 3构成“和谐三组数”，
∴有以下三种情况： 当11y ＝21y +31y 时，则t k ＝1t k ++3t k
+，即t ＝t+1+t+3，解得t ＝﹣4； 当21y ＝11y +31y 时，则1t k +＝t k +3t k
+，即t+1＝t+t+3，解得t ＝﹣2； 当31y ＝11y +21y 时，则3t k +＝t k +1t k
+，即t+3＝t+t+1，解得t ＝2； ∴t 的值为﹣4、﹣2或2；
（3）①∵a 、b 、c 均不为0，
∴x 1，x 2，x 3都不为0，
∵直线y ＝2bx+2c(bc≠0)与x 轴交于点A(x 1，0)，
∴0＝2bx 1+2c ，解得x 1＝﹣c b
， 联立直线与抛物线解析式，消去y 可得2bx+2c ＝ax 2+3bx+3c ，即ax 2+bx+c ＝0，
∵直线与抛物线交与B(x 2，y 2)，C(x 3，y 3)两点，
∴x 2、x 3是方程ax 2+bx+c ＝0的两根，
∴x 2+x 3＝﹣b a ，x 2x 3＝c a
， ∴21x +31x ＝2323x x x x +＝b a c a
-＝﹣b c ＝11x ， ∴x 1，x 2，x 3构成“和谐三组数”；
②∵x 2＝1，
∴a+b+c ＝0，
∴c ＝﹣a ﹣b ，
∵a ＞2b ＞3c ， ∴a ＞2b ＞3(﹣a ﹣b)，且a ＞0，整理可得253a b b a >⎧⎨
>-⎩，解得﹣35＜b a ＜12， ∵P(c a ，b a
)， ∴OP 2＝(
c a )2+(b a )2＝(a b a --)2+(b a )2＝2(b a )2+2b a +1＝2(b a +12)2+12， 令m ＝b a ，则﹣35＜m ＜12且m≠0，且OP 2＝2(m+12)2+12
， ∵2＞0，
∴当﹣35＜m ＜﹣12时，OP 2随m 的增大而减小，当m ＝﹣35时，OP 2有最大临界值1325，当m ＝﹣
12时，OP 2有最小临界值12， 当﹣
12＜m ＜12时，OP 2随m 的增大而增大，当m ＝﹣12时，OP 2有最小临界值12，当m ＝
12时，OP 2有最大临界值52， ∴12≤OP 2<52
且OP 2≠1， ∵P 到原点的距离为非负数，
∴2≤OP ＜102
且OP≠1． 【点睛】
本题为二次函数的综合应用，涉及新定义、函数图象的交点、一元二次方程根与系数的关系、勾股定理、二次函数的性质、分类讨论思想及转化思想等知识．在(1)中注意利用和谐三数组的定义，在(2)中由和谐三数组得到关于t 的方程是解题的关键，在(3)①中用a 、b 、c 分别表示出x 1，x 2，x 3是解题的关键，在(3)②中把OP 2表示成二次函数的形式是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，特别是最后一问，难度很大．
8．如图，已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的对称轴为直线1x =-，且抛物线与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，其中(1,0)A ，(0,3)C .
（1）若直线y mx n =+经过B 、C 两点，求直线BC 和抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴1x =-上找一点M ，使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小，求出点M 的坐标；
（3）设点P 为抛物线的对称轴1x =-上的一个动点，求使BPC ∆为直角三角形的点P 的坐标.
【答案】（1）抛物线的解析式为223y x x =--+，直线的解析式为3y x =+.（2）
(1,2)M -；（3）P 的坐标为(1,2)--或(1,4)-或317(+-或317()--. 【解析】
分析：（1）先把点A ，C 的坐标分别代入抛物线解析式得到a 和b ，c 的关系式，再根据抛物线的对称轴方程可得a 和b 的关系，再联立得到方程组，解方程组，求出a ，b ，c 的值即可得到抛物线解析式；把B 、C 两点的坐标代入直线y=mx+n ，解方程组求出m 和n 的值即可得到直线解析式；
（2）设直线BC 与对称轴x=-1的交点为M ，此时MA+MC 的值最小．把x=-1代入直线y=x+3得y 的值，即可求出点M 坐标；
（3）设P （-1，t ），又因为B （-3，0），C （0，3），所以可得BC 2=18，PB 2=（-1+3）2+t 2=4+t 2，PC 2=（-1）2+（t-3）2=t 2-6t+10，再分三种情况分别讨论求出符合题意t 值即可求出点P 的坐标．
详解：（1）依题意得：1
203b a a b c c ⎧-=-⎪⎪++=⎨⎪=⎪⎩
，解得：123a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，
∴抛物线的解析式为223y x x =--+.
∵对称轴为1x =-，且抛物线经过()1,0A ，
∴把()3,0B -、()0,3C 分别代入直线y mx n =+，
得303m n n -+=⎧⎨=⎩，解之得：13
m n =⎧⎨=⎩， ∴直线y mx n =+的解析式为3y x =+.
（2）直线BC 与对称轴1x =-的交点为M ，则此时MA MC +的值最小，把1x =-代入直线3y x =+得2y =，
∴()1,2M -.即当点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小时M 的坐标为()1,2-. （注：本题只求M 坐标没说要求证明为何此时MA MC +的值最小，所以答案未证明MA MC +的值最小的原因）.
（3）设()1,P t -，又()3,0B -，()0,3C ，
∴218BC =，()2222134PB t t =-++=+，()()222213610PC t t t =-+-=-+， ①若点B 为直角顶点，则222BC PB PC +=，即：22184610t t t ++=-+解得：2t =-，
②若点C 为直角顶点，则222BC PC PB +=，即：22186104t t t +-+=+解得：4t =，
③若点P 为直角顶点，则222PB PC BC +=，即：22461018t t t ++-+=解得： 13172
t =，23172t -=. 综上所述P 的坐标为()1,2--或()1,4-或317⎛+- ⎝⎭或317⎛-- ⎝⎭
. 点睛：本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数（二次函数和一次函
数）的解析式、利用轴对称性质确定线段的最小长度、难度不是很大，是一道不错的中考压轴题．
9．已知：如图，抛物线y ＝ax 2+bx +3与坐标轴分别交于点A ，B （﹣3，0），C （1，0），点P 是线段AB 上方抛物线上的一个动点．
（1）求抛物线解析式；
（2）当点P 运动到什么位置时，△PAB 的面积最大？
（3）过点P 作x 轴的垂线，交线段AB 于点D ，再过点P 作PE ∥x 轴交抛物线于点E ，连接DE ，请问是否存在点P 使△PDE 为等腰直角三角形？若存在，求点P 的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）y ＝﹣x 2﹣2x +3 （2）（﹣
32，154） （3）存在，P （﹣2，3）或P （5172
-+，53172-+） 【解析】
【分析】
（1）用待定系数法求解；（2）过点P 作PH ⊥x 轴于点H ，交AB 于点F ，直线AB 解析式为y ＝x +3，设P （t ，﹣t 2﹣2t +3）（﹣3＜t ＜0），则F （t ，t +3），则PF ＝﹣t 2﹣2t +3﹣（t +3）＝﹣t 2﹣3t ，根据S △PAB ＝S △PAF +S △PBF 写出解析式，再求函数最大值；（3）设P （t ，﹣t 2﹣2t +3）（﹣3＜t ＜0），则D （t ，t +3），PD ＝﹣t 2﹣3t ，由抛物线y ＝﹣x 2﹣2x +3＝﹣（x +1）2+4，由对称轴为直线x ＝﹣1，PE ∥x 轴交抛物线于点E ，得y E ＝y P ，即点E 、P 关于对称轴对称，所以2
E P x x +＝﹣1，得x E ＝﹣2﹣x P ＝﹣2﹣t ，故PE ＝|x E ﹣x P |＝|﹣2﹣2t |，由△PDE 为等腰直角三角形，∠DPE ＝90°，得PD ＝PE ，再分情况讨论：①当﹣3＜t≤﹣1时，PE ＝﹣2﹣2t ；②当﹣1＜t ＜0时，PE ＝2+2t
【详解】
解：（1）∵抛物线y ＝ax 2+bx +3过点B （﹣3，0），C （1，0）
∴933030a b a b -+=⎧⎨++=⎩ 解得：12a b =-⎧⎨=-⎩
∴抛物线解析式为y ＝﹣x 2﹣2x +3
（2）过点P 作PH ⊥x 轴于点H ，交AB 于点F
∵x ＝0时，y ＝﹣x 2﹣2x +3＝3
∴A （0，3）
∴直线AB 解析式为y ＝x +3
∵点P 在线段AB 上方抛物线上
∴设P （t ，﹣t 2﹣2t +3）（﹣3＜t ＜0）
∴F （t ，t +3）
∴PF ＝﹣t 2﹣2t +3﹣（t +3）＝﹣t 2﹣3t
∴S △PAB ＝S △PAF +S △PBF ＝12PF •OH +12PF •BH ＝12PF •OB ＝32（﹣t 2﹣3t ）＝﹣32（t +32）2+278
∴点P 运动到坐标为（﹣
32
，154），△PAB 面积最大 （3）存在点P 使△PDE 为等腰直角三角形
设P （t ，﹣t 2﹣2t +3）（﹣3＜t ＜0），则D （t ，t +3）
∴PD ＝﹣t 2﹣2t +3﹣（t +3）＝﹣t 2﹣3t
∵抛物线y ＝﹣x 2﹣2x +3＝﹣（x +1）2+4
∴对称轴为直线x ＝﹣1
∵PE ∥x 轴交抛物线于点E
∴y E ＝y P ，即点E 、P 关于对称轴对称 ∴2
E P x x +＝﹣1 ∴x E ＝﹣2﹣x P ＝﹣2﹣t
∴PE ＝|x E ﹣x P |＝|﹣2﹣2t |
∵△PDE 为等腰直角三角形，∠DPE ＝90°
∴PD ＝PE
①当﹣3＜t ≤﹣1时，PE ＝﹣2﹣2t
∴﹣t 2﹣3t ＝﹣2﹣2t
解得：t 1＝1（舍去），t 2＝﹣2
∴P （﹣2，3）
②当﹣1＜t ＜0时，PE ＝2+2t
∴﹣t 2﹣3t ＝2+2t
解得：t 1517-+，t 2517--（舍去） ∴P 517-+5317-+ 综上所述，点P 坐标为（﹣2，3517-+5317-+）时使△PDE 为等腰直角
三角形．
【点睛】
考核知识点：二次函数的综合.数形结合分析问题，运用轴对称性质和等腰三角形性质分析问题是关键.
10．已知，m ，n 是一元二次方程x 2+4x +3=0的两个实数根，且|m |＜|n |，抛物线y =x 2+bx +c 的图象经过点A （m ，0），B （0，n ），如图所示．
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）设（1）中的抛物线与x 轴的另一个交点为抛物线的顶点为D ，求出点C ，D 的坐标，并判断△BCD 的形状；
（3）点P 是直线BC 上的一个动点（点P 不与点B 和点C 重合），过点P 作x 轴的垂线，交抛物线于点M ，点Q 在直线BC 上，距离点P 为
2个单位长度，设点P 的横坐标为t ，△PMQ 的面积为S ，求出S 与t 之间的函数关系式．
【答案】（1）223y x x =--；（2）C （3，0），D （1，﹣4），△BCD 是直角三角形；
（3）2213(03)2213(03)2
2t t t S t t t t ⎧-+⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩＜＜＜或＞ 【解析】
试题分析：（1）先解一元二次方程，然后用待定系数法求出抛物线解析式；
（2）先解方程求出抛物线与x 轴的交点，再判断出△BOC 和△BED 都是等腰直角三角形，从而得到结论；
（3）先求出QF=1，再分两种情况，当点P 在点M 上方和下方，分别计算即可． 试题解析：解（1）∵2+430x x +=，∴11x =-，23x =-，∵m ，n 是一元二次方程
2+430x x +=的两个实数根，且|m|＜|n|，∴m=﹣1，n=﹣3，∵抛物线223
y x x =--的图象经过点A （m ，0），B （0，n ），∴10{3b c c -+==-，∴2{3
b c =-=-，∴抛物线解析式为223y x x =--；
（2）令y=0，则2230x x --=，∴11x =-，23x =，∴C （3，0），
∵223y x x =--=2(1)4x --，∴顶点坐标D （1，﹣4），过点D 作DE ⊥y 轴，∵OB=OC=3，∴BE=DE=1，∴△BOC 和△BED 都是等腰直角三角形，∴∠OBC=∠DBE=45°，∴∠CBD=90°，∴△BCD 是直角三角形；
（3）如图，∵B （0，﹣3），C （3，0），∴直线BC 解析式为y=x ﹣3，∵点P 的横坐标为t ，PM ⊥x 轴，∴点M 的横坐标为t ，∵点P 在直线BC 上，点M 在抛物线上，∴P （t ，t ﹣3），M （t ，223t t --），过点Q 作QF ⊥PM ，∴△PQF 是等腰直角三角形，
∵PQ=2，∴QF=1． ①当点P 在点M 上方时，即0
＜t ＜3时，PM=t ﹣3﹣（223t t --）=23t t -+，∴S=12
PM×QF=21(3)2t t -+=21322t t -+，②如图3，当点P 在点M 下方时，即t ＜0或t ＞3时，PM=223t t --﹣（t ﹣3）=23t t -，∴S=
12PM×QF=12（23t t -）=21322t t -． 综上所述，S=2213 (03)22{13 (03)22
t t t t t t t 或-+<<-．
考点：二次函数综合题；分类讨论．
11．在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx c =++过点(1,0)A -，(3,0)B ，与y 轴交于点C ，连接AC ，BC ，将OBC V 沿BC 所在的直线翻折，得到DBC △，连接OD ． （1）用含a 的代数式表示点C 的坐标．
（2）如图1，若点D 落在抛物线的对称轴上，且在x 轴上方，求抛物线的解析式．
（3）设OBD V 的面积为S 1，OAC V 的面积为S 2，若
1223
S S =，求a 的值．
【答案】（1）(0,3)C a -； (2) 抛物线的表达式为：252535555y x x =-
++； (3) 22a =-22a =【解析】
【分析】
（1）根据待定系数法，得到抛物线的表达式为：()2(1)(3)23y a x x a x x =+-=--，即可求解；
（2）根据相似三角形的判定证明CPD DQB V V ∽，再根据相似三角形的性质得到CP PD CD DQ BQ BD
==，即可求解； （3）连接OD 交BC 于点H ，过点H 、D 分别作x 轴的垂线交于点N 、M ，由三角形的面积公式得到1223S S =，29m DM =，11299
m HN DM OC ===，而22
899m HN ON BN ⎛⎫=⨯== ⎪⎝⎭，即可求解． 【详解】
（1）抛物线的表达式为：()
2(1)(3)23y a x x a x x =+-=--，即3c a =-，则点(0,3)C a -；
（2）过点B 作y 轴的平行线BQ ，过点D 作x 轴的平行线交y 轴于点P 、交BQ 于点Q ， ∵90CDP PDC ︒∠+∠=，90PDC QDB ︒∠+∠=，
∴QDB DCP ∠=∠，
设：(1,)D n ，点(0,3)C a -，
90CPD BQD ︒∠=∠=，
∴CPD DQB V V ∽， ∴CP PD CD DQ BQ BD ==，
其中：3CP n a =+，312DQ =-=，1PD =，BQ n =，3CD a =-，3BD =， 将以上数值代入比例式并解得：5a =±
， ∵0a <，故5a =-， 故抛物线的表达式为：252535555y x x =-
++； （3）如图2，当点C 在x 轴上方时，连接OD 交BC 于点H ，则DO BC ⊥，
过点H 、D 分别作x 轴的垂线交于点N 、M ，
设：3OC m a ==-，
11322OBD S S OB DM DM ∆==
⨯⨯=， 2112OAC
S S m ∆==⨯⨯，而1223S S =， 则29m DM =，11299
m HN DM OC ===， ∴1193BN BO ==，则18333
ON =-=， 则DO BC ⊥，HN OB ⊥，
则BHN HON ∠=∠，则tan tan BHN HON ∠=∠， 则2
2899m HN ON BN ⎛⎫=⨯== ⎪⎝⎭
， 解得：62m =±（舍去负值）， |3|62CO a =-=， 解得：22a =-（不合题意值已舍去）， 故：22a =-．当点C 在x 轴下方时，同理可得：22a =；故：22a =-或22a =
【点睛】
本题考查的是二次函数综合运用、一次函数、三角形相似、图形的面积计算，其中（3）用
几何方法得出：22
899m HN ON BN ⎛⎫=⨯== ⎪⎝⎭，是本题解题的关键．
12．如图，抛物线25(0)y ax bx a =+-≠经过x 轴上的点A （1，0）和点B 及y 轴上的点C ，经过B 、C 两点的直线为y x n =+．
①求抛物线的解析式．
②点P 从A 出发，在线段AB 上以每秒1个单位的速度向B 运动，同时点E 从B 出发，在线段BC 上以每秒2个单位的速度向C 运动．当其中一个点到达终点时，另一点也停止运动．设运动时间为t 秒，求t 为何值时，△PBE 的面积最大并求出最大值．
③过点A 作AM BC ⊥于点M ，过抛物线上一动点N （不与点B 、C 重合）作直线AM 的平行线交直线BC 于点Q ．若点A 、M 、N 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点N 的横坐标．
【答案】①265y x x =-+-；②当2t =时，△PBE 的面积最大，最大值为22③点
N 的横坐标为：4或
5412+或5412
． 【解析】
【分析】 ①点B 、C 在直线为y x n =+上，则B （﹣n ，0）、C （0，n ），点A （1，0）在抛物线
上，所以250505a b an bn n +-=⎧⎪+-=⎨⎪=-⎩
，解得1a =-，6b =，因此抛物线解析式：
265y x x =-+-；
②先求出点P 到BC 的高h
为sin 45)BP t ︒=-
，于是211(4)2(2)2222
PBE S BE h t t t ∆=⋅=⨯-⨯=-+2t =时，△PBE 的面积最
大，最大值为
③由①知，BC 所在直线为：5y x =-，所以点A 到直线BC
的距离d =N 作x 轴的垂线交直线BC 于点P ，交x 轴于点H ．设()
2,65N m m m -+-，则(,0)H m 、(,5)P m m -，易证△PQN
为等腰直角三角形，即NQ PQ ==4PN =，Ⅰ．4NH HP +=，所以265(5)4m m m -+---=解得11m =（舍去），24m =，Ⅱ．4NH HP +=，()25654m m m ---+-=
解得152
m =
，252m =（舍去），Ⅲ．4NH HP -=，()265[(5)]4m m m --+----=
，解得152m =
（舍
去），2m =
【详解】
解：①∵点B 、C 在直线为y x n =+上，
∴B （﹣n ，0）、C （0，n ），
∵点A （1，0）在抛物线上， ∴250505a b an bn n +-=⎧⎪+-=⎨⎪=-⎩
，
∴1a =-，6b =，
∴抛物线解析式：265y x x =-+-；
②由题意，得，
4PB t =-，2BE t =，
由①知，45OBC ︒∠=，
∴点P 到BC 的高h
为sin 45)BP t ︒=
-，
∴211(4)2(2)2222
PBE S BE h t t t ∆=⋅=⨯-⨯=-+
当2t =时，△PBE 的面积最大，最大值为
③由①知，BC 所在直线为：5y x =-，
∴点A 到直线BC 的距离
d =
过点N 作x 轴的垂线交直线BC 于点P ，交x 轴于点H ．
设()2,65N m m m -+-，则(,0)H m 、(,5)P m m -，
易证△PQN 为等腰直角三角形，即NQ PQ ==
∴4PN =，
Ⅰ．4NH HP +=，
∴265(5)4m m m -+---=
解得11m =，24m =，
∵点A 、M 、N 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，
∴4m =；
Ⅱ．4NH HP +=，
∴()25654m m m ---+-=
解得152
m =，252m =， ∵点A 、M 、N 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，
5m >，
∴52
m =， Ⅲ．4NH HP -=， ∴()265[(5)]4m m m --+----=，
解得152
m =，252m =， ∵点A 、M 、N 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，
0m <，
∴m =， 综上所述，若点A 、M 、N 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，点N 的横坐标为：4或
52+或52
． 【点睛】
本题考查了二次函数，熟练掌握二次函数的性质、平行四边形的判定与性质是解题的关键．
13．如图1，已知一次函数y=x+3的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，抛物线
2y x bx c =-++过A 、B 两点，且与x 轴交于另一点C ．
（1）求b 、c 的值；
（2）如图1，点D 为AC 的中点，点E 在线段BD 上，且BE=2ED ，连接CE 并延长交抛物线于点M ，求点M 的坐标；
（3）将直线AB 绕点A 按逆时针方向旋转15°后交y 轴于点G ，连接CG ，如图2，P 为△ACG 内以点，连接PA 、PC 、PG ，分别以AP 、AG 为边，在他们的左侧作等边△APR ，等边△AGQ ，连接QR
①求证：PG=RQ ；
②求PA+PC+PG 的最小值，并求出当PA+PC+PG 取得最小值时点P 的坐标．
【答案】（1）b=﹣2，c=3；（2）M （125-，5125
）；（3）①证明见解析；②PA+PC+PG 的最小值为19P 的坐标（﹣
919123）． 【解析】
试题分析：（1）把A （﹣3，0），B （0，3）代入抛物线2y x bx c =-++即可解决问题．
（2）首先求出A 、C 、D 坐标，根据BE=2ED ，求出点E 坐标，求出直线CE ，利用方程组求交点坐标M ．
（3）①欲证明PG=QR ，只要证明△QAR ≌△GAP 即可．②当Q 、R 、P 、C 共线时，PA+PG+PC 最小，作QN ⊥OA 于N ，AM ⊥QC 于M ，PK ⊥OA 于K ，由
sin ∠ACM=AM AC =NQ QC
求出AM ，CM ，利用等边三角形性质求出AP 、PM 、PC ，由此即可解决问题．
试题解析：（1）∵一次函数y=x+3的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，∴A （﹣3，0），B （0，3），∵抛物线2y x bx c =-++过A 、B 两点，∴3{930c b c =--+=，解得：2{3
b c =-=，∴b=﹣2，c=3． （2），对于抛物线223y x x =--+，令y=0，则2230x x --+=，解得x=﹣3或1，∴
点C 坐标（1，0），∵AD=DC=2，∴点D 坐标（﹣1，0），∵BE=2ED ，∴点E 坐标。