4.1替换法4.2根匹配法

y n a n 1 y n 1 bn 1 (u n u n 1 ) y n 1 a n y n bn (u n 1 u n )

式中：
2 T T an , bn 2 T 2 T
稳定性：绝对稳定。 精度：同RK2。 计算工作量：介于欧拉法和RK2之间。
1 x / 2 e , x Ts 1 x / 2
x

得：
e
Ts
1 Ts 2 1 Ts 2 , z 1 Ts 2 1 Ts 2
2 z 1 或：s T z 1
双线性替换的性质： （1）双线性替换不影响稳定性，即在s 域里稳定的系统G(s)，通过双线性替换 之后，得到的z传递函数G(z)也一定是 稳定的。 （2）精度：好。
由 ys () y z () 得：
(1 e T ) 2 kz T
（5）附加零点为简单起见，令零点配 在z平面的原点。故：
(1 e T ) 2 ( z 1) z G( z ) T 2 T (z e )
（6）z反变换求差分方程：
y( nT ) 2eT y [( n 1 )T )] e2T y [( n 2 )T ]
第四章 连续系统模型的离散 化处理方法 4.1 替换法
（1）欧拉替换
（2）双线性替换(图斯汀Tustin) 4.2 根匹配法 4.3 频域离散相似法 4.3.1 频域离散相似法基本原理
4.3.2 信号重构的频谱特性分析


直接从s域的传递函数G(s)，根据相似原理得到与 它相匹配的z域的传递函数G(z), 从而导出其差分 模型称作为频域仿真建模方法。 所谓“匹配”，既包括动态性能的匹配也包括稳态 性能的匹配。 离散化处理方法
例1：已知二阶系统传递函数
Y (s) 1 G (s) 2 U ( s ) s 3s 2
用欧拉替换法确定它的z传递函数和差分方程。
（2）双线性替换 （图斯汀（Tustin）替换）
利用派德(Pade)近似公式
当m=1且n=1时，派德近似公式为： 1 x / 2 x e 1 x / 2 取
( n m)
如果利用 z e sT 这一转换关系，在Z平面上一一对 应出零、极点的位置，然后依终值定理求出增益， 则可得G（z），如下：

令：
e
q jT
q j
e piT pi
K z ( z q1 )( z q2 ) ( z qm )( z 1 ) ( z n m ) G( z ) ( z p1 )( z p2 ) ( z pn ) pi' 与 pi 、q 'j 与 q j 满足某种匹配关系； 其中，
z 1 Y ( z) 设 Z[ y(kT)] Y (Z ) 则 y() lim y( KT ) lim k 0 z 1 z
根匹配法的一般步骤如下：
（1）计算G（s）零、极点 q j ( j 1,2m) 和
pi (i 1,2n)
（2）把s平面上的零极点映射到z平面上，即
2 1 T
2 Y ( z ) 1 T
1 z Y ( z ) U ( z ) z 1U ( z )
z逆变换得：
2 2 1 y n 1 y n 1 u n u n 1 T T
e
由
q jT
qj , e
sT
piT
pi
ze
确定G（z）的零、极点。
（3）初步构造一个具有上述零极点的G(z)，暂不考 虑附加零点，Kz待定。 （4）给定输入信号，由终值定理求出连续系统G（s） 的终值及离散系统G（z）的终值，根据终值相等
的原则得出增益Kz。 （5） 确定G(z)的附加零点。


假定系统能写成零、极点形式：
k ( s qi )
m
Y (s) G( s) U ( s)
则系统特性完全由增益k及零、极点 q j ( j 1,2m) 和 pi (i 1,2n) 在s平面上的位置所决定。
(s p )
i i 1
i 1 n
K ( s q1 )( s q 2 ) ( s q m ) ( s p1 )( s p 2 ) ( s p n )
（2）确定G（z）的零、极点：
p1 p2 e , q1 1
T
（3）初步确定G（z）：
k z ( z 1) G( z) ( z e T ) 2
（4）求
kz
设输入为斜坡函数，u（t）＝t，则： 1 Tz U ( s) 2 , U ( z ) s ( z 1) 2 所以：
（3）置换法
置换算式：
1 T z 1 s 2 z 1

例：系统的传递函数为
1 G( s) 1 s
试用置换法求其差分方程。
解：
1 1 z 1 Y ( z) G( z ) 1 2 U ( z) 2 (1 z ) 1 1 z (1 z 1 ) 1 T T (1 z 1 )
所以：
T /
y[(n 1)T ] e
T /
y(nT ) (1 e
T /
)u[(n 1)T ]
例：
s 试用根匹配法，求与之匹配的差 G( s) 2 s 2s 1
分方程
。
解： （1）计算G（s）零、极点：
s G(s) 2 ( s 1)
n＝2，m＝1， p1 p2 1, q1 0
(2)
欧拉替换
1 1 x
当m=0且n=1时，派德近似公式为：
e
x
取 x Ts 可得，eTs 即 z 1 Ts 或 s
1 Ts
z 1 T （1） 由此获得的G(z),在T较大的情况下， 将会使G(z)不稳定。
公式虽然很简单，但是并不实用。 因为若用（1）的关系式代入G(s)，
4.2 根匹配法

根匹配法是快速仿真算法，其基本出发点是：比 较方便的从传递函数G（s）直接推导出与之相匹配的， 并允许较大采样周期的脉冲传递函数G（z），进而求 出差分方程。 所谓匹配的含义是：若G（s）是稳定的，则与之 相应的G（z）也应是稳定的。同时，在相同输入作用 下，由G（s）和G（z）分别求出的系统输出具有相 同的特征，这就要求G（s）和G（z）有相同的极点、 零点和终值。由于零点和极点分别为传递函数分子与 分母之根，故称为根匹配法。
1、 2、 、 nm 是为了实现G(z )的分子分母阶次匹配而设置
K 的零点； z 是根据 G(s)和G(z )的终值相同的条件而确定的增益。
设 L[ y(kT )] Y ( s) 则 y () lim ( s F ( s))（拉氏变 s0 换终值定理）。
（z变换终值定理）。
(1 e T
T
)
2
[ u( nT ) u(( n 1 )T )]
作业：
1 1.用根匹配法求 G ( s ) 的差分模 ( s 1)( s 2)
型。 （加单位阶跃输入） 2.设连续系统传递函数
G( s) Y ( s) / U ( s) k /(s a)
试分别用简单替换法和双线性替换法求其 脉冲传递函数。

ys () lim y (t ) lim s Y ( s) lim s G ( s)U ( s)
t s 0 s 0
1 s lim s 2 1 2 s 0 (1 s) s
y z () lim y (t ) lim y (nT ) lim z 1 z 1 Y ( z ) lim G ( z )U ( z ) t n0 z 1 z 1 z z z 1 k z ( z 1) Tz k zT lim z 1 z ( z e T ) 2 ( z 1) 2 (1 e T ) 2
t s 0 s 0
1 1 lim s 1 s 0 1 s s
z 1 z 1 y z () lim y (t ) lim y (nT ) lim Y ( z ) lim G ( z )U ( z ) t n0 z 1 z 1 z z z 1 kz z kz lim T / z 1 z z e z 1 z e T /
（6） z反变换求差分方程。

例：系统的传递函数为： G ( s )
1 1 s
试用根匹配法求其差分方程。 解： （1）计算G（s）零、极点： G ( s)
1 1/ 1 s s 1 / n 1, m 0 , p1 1 /
T
（2）确定G（z）的零、极点：
p1 e

（3）初步确定G(z)
（4）求 k z :
kz G( z) z e T /
设输入为单位阶跃函数，u(t)=1(t)，则：
1 z U ( s) , U ( z ) s z 1
所以：
ys () lim y (t ) lim s Y ( s ) lim s G ( s )U ( s )

替换法


根匹配法
离散相似法 时域计算法等
4.1 替换法

替换法的基本思想是：

对于给定的函数G(s)，设法找到s域到z域的 某种映射关系，它将s域的变量s映射到Z平面 上，由此得到与连续系统传递函数G(s)相对 应的离散传递函数G(z)。进而根据G(z)由z 一反变换求得系统的时域离散模型——差分方 程，据此便可以进行快速求解。

根据z变换理论，s域到z域的最基本的映射 关系
ze
Ts
1 s ln z T
（其中：T为采样周期）。
两种替换方法
欧拉替换 双线性替换（图斯汀替换）

(1)派德(Pade)近似公式 派德证明，可以用一个有理分式来逼进无理函数
e
来自百度文库
x 即： x e
p ( x) / q ( x)
其中P(x)和q(x)的阶次分别为m和n，不同m和n可 以给出不同的近似表达式。
由 ys () yz () 得
k z 1 e T /
（5）附加零点：设附加零点在原点，得：
(1 e ) z G( z ) T / z e
T /
（6）z反变换求差分方程：
Y ( z ) (1 e ) z G( z ) U ( z) z e T /