《物理光学》§5-2-3-4基尔霍夫衍射理论

1
ik exp(ikz1 ) ~ ~ (x − x1 )2 + ( y − y1 )2 dx1dy1 E( x, y) = E( x1, y1 ) exp iλz1 ∫∫ 2z1 ∑
[
]
2z1
z1
2z1
x2 + y2 xx1 + yy1 ≈ z1 + − 2z1 z1
§5－3基尔霍夫衍射公式的近似
(
)
x exp(ikz1 ) ik 2 2 ~ y ~ E(x, y) = exp x + y ∫∫ E(x1, y1 ) exp− i2π λz x1 + λz y1 dx1dy1 iλz1 2z1 1 ∞ 1
或
(
)
图5－8给出了菲涅耳衍射区和夫琅和费衍射 区的示意图，对应的衍射图具有不同的性质， 后面将分别讨论。
菲涅耳衍射将过渡到夫琅和费衍射。 此时，得到夫琅和费衍射的计算公式：
ik 2 ~ ik exp(ikz1 ) ~ E( x, y) = exp x + y2 ∫∫ E( x1, y1 ) exp− [xx1 + yy1 ]dx1dy1 iλz1 2z1 ∑ z1
此为菲涅耳近似 此为菲涅耳近似。 菲涅耳近似。 此条件看到的衍射现象为菲涅耳衍射，此 时观察屏所处的区域为菲涅耳衍射区。
§5－3基尔霍夫衍射公式的近似
将此r 将此r表达式代入傍轴近似后的基尔霍夫公 式，得： 菲涅耳衍射的计算公式： 三、夫琅和费近似： 夫琅和费近似： 在菲涅耳衍射区更远的地方，放置观察屏 (x12 + y12 )max ≺≺ π 当z1很大，使得： k 2z1 2 2 x2 + y2 xx1 + yy1 x1 + y1 则r=z + (可忽略) − +
2 12

C
∑ K
z1
P0 E
式中(x 式中(x1,y1)、(x, y)分别是孔径上任一点Q和观 y)分别是孔径上任一点Q 察屏上考察点P 察屏上考察点P的坐标值。 对于上式作二项式展开，得：
§5－3基尔霍夫衍射公式的近似
1 ( x − x )2 + ( y − y )2 1 (x − x )2 + ( y − y )2 2 1 1 1 1 r = z1 1+ − +⋯ 2 2 z1 z1 2 8
二、基尔霍夫衍射理论
(2)在不透明屏右侧∑1上， (2)在不透明屏右侧∑ 假定（1）（2）称为基尔霍夫边界条件 假定（1）（2）称为基尔霍夫边界条件： 基尔霍夫边界条件： (3)对于∑2 当R→∞时，可不考虑∑2的贡献。 对于∑ 时，可不考虑∑ 菲涅耳－ 菲涅耳－基尔霍夫公式
→ → → cos n, r - cos n, A exp(ikl ) exp(ikr ) ~ E(P) = ∫∫ iλ l r 2 ∑
~ Aexp(ikR) exp(ikr) dE(P) = cK(θ ) dσ R r
→
S
Σ
r
P
＇ Σ Z＇
一、惠更斯－菲涅尔原理 惠更斯－
或： 3.菲涅耳假设：当时=0 ，倾斜因子K有最大 3.菲涅耳假设 菲涅耳假设：当时 ，倾斜因子K 值，随着 值，随着增加 ，K()减小。 K( 当≥π/2时， K() =0。 /2时， K( =0。 4.存在的问题： 4.存在的问题： 没有给出K( 没有给出K()、Χ的形式，实际上很难进行 定量计算，后来的基尔霍夫衍射理论解决了 定量计算，后来的基尔霍夫衍射理论解决了 此问题。 此问题。
1
1
z
2 1

3.夫琅和费近似： 3.夫琅和费近似：
x2 + y2 xx1 + yy1 r = z1 + − 2z1 z1
ik exp(ikz1 ) ~ ~ 2 2 E(x, y) = ∫∫ E(x1, y1 )exp2z1 (x − x1 ) + ( y − y1 ) dx1dy1 iλz1 ∑
∂E ∂n
→ →
∑ ∂n
'
→
∂n
→
∑ ∂n
'
→
∂n
→
2.菲涅耳－基尔霍夫公式 2.菲涅耳－ 菲涅耳 基尔霍夫假定： Aexp(ikl) ~ E(Q) = (1)在孔径∑上 (1)在孔径∑
~ ∂E(Q)
l 1 exp(ikl) → → = Acos n, l ik − → l l ∂n
2 2 ~ ~ I1 = E1 (P) 和 2 = E2 (P) I
§5－3 基尔霍夫衍射公式的近似
一、傍轴近似： 傍轴近似： 菲涅耳近似： 二、 菲涅耳近似： 夫琅和费近似： 三、夫琅和费近似：
§5－3基尔霍夫衍射公式的近似
应用基尔霍夫公式来计算衍射问题，由于被 积函数的形式比较复杂，因此，一般对其作 一些近似处理。 傍轴近似： 一、傍轴近似： 对：垂直入射于无限大不透明屏上孔径∑ 对：垂直入射于无限大不透明屏上孔径∑上 y y 的单色平面波。 P x Q 如图所示： C P z 有cos(n, l ) = cosπ = −1 ∑
与惠更斯－菲涅耳原理的表达式相同
三、Babinet原理 Babinet原理
互补屏：两个衍射屏，其一的通光部分正好对 应另一的不透光部分，反之亦然。 两个互补屏单独产生的衍射场的复振幅之和等 于没有屏时的复振幅。此即为Babinet原理。 于没有屏时的复振幅。此即为Babinet原理。 ~ ~ ~ 表达式： E(P) = E1 (P) + E2 (P) ~ 即：在 E(P) = 0的那些点， 两个互补屏单独产生的强度相等。
1 1
x
1+ cosθ K(θ ) = 2
1
0
K
E
§5－3基尔霍夫衍射公式的近似
若 衍射孔径的线度比观察屏到孔径的距离 小得多，且观察屏上的考察范围也比观察屏到 孔径的距离小得多，则有傍轴近似： 孔径的距离小得多，则有傍轴近似 傍轴近似： （1）取 cos(n, r ) = cosθ = 1 y K(θ ) = 1 y 则倾斜因子 x P r Q （2）由于上述条件， C P z 使孔径范围内的 ∑ K 任一点Q,到观察 任一点Q,到观察 E 屏上考察点P的距离r 屏上考察点P的距离r变化不大，则可取
当z1大到使第三项以后各项对位相k ·r的作 大到使第三项以后各项对位相k 用远小于π 用远小于π时，第三项以后各项即可忽略。 可只取前两项表示r 可只取前两项表示r 1 ( x − x1 )2 + ( y − y1 )2 即
r = z1 1+ 2 z
2 1

夫琅和费衍射装置： 一、夫琅和费衍射装置： 2 2 x1 + y1 由夫琅和费近似条件，k 2z1 1 2 知 2
z1 ≻≻
≺≺ π
(x λ
1
+ y1
)
对于λ=600nm的光波，当 对于λ=600nm的光波，当 (x + y ) 2 2 2 z1>>330m，当 (x1 + y1 )max = 2(mm) >>330m，当 z1>>33m
光的衍射内容回顾
一、惠更斯－菲涅尔原理 二、基尔霍夫衍射理论 三、Babinet原理 三、Babinet原理
一、惠更斯－菲涅尔原理 惠更斯－
惠更斯原理： 惠更斯原理： 内容：“ 内容：“波前上的每一个面元都可以看作 是一个次级扰动中心，它们能产生球面子 波”，并且：“后一时刻的波前的位置是 ，并且：“ 所有这些子波前的包络面” 所有这些子波前的包络面” 作用：利用惠更斯原理，可以说明衍射的 存在； 存在的问题：不能确定光波通过衍射屏后 沿不同方向传播的振幅，因而也就无法确 定衍射图样中的光强分布。
1 1 1 0
x
§5－3基尔霍夫衍射公式的近似
则可取 但复指数中的r 但复指数中的r不可替代。 则菲涅耳－基尔霍夫公式可写为
→ → → → cos n, r - cos n, l A exp(ikl ) exp(ikr ) ~ dσ E(P) = ∫∫ iλ l 2 r ∑ A ~ exp(ikr ) A ~ = ∫∫ E(Q) K(θ )dσ = ∫∫Σ E(Q) exp(ikr)dσ iλ r iλz1 ∑
一、惠更斯－菲涅尔原理 惠更斯－
惠更斯－菲涅耳原理 惠更斯－ 1.内容：“波前上任何一个未受阻挡的点 1.内容：“ 都可以看作是一个频率（或波长）与入射 波相同的子波源；在其后任何地点的光振 动，就是这些子波叠加的结果。” 动，就是这些子波叠加的结果。” Z 2.表达式： 2.表达式： R Q θ
§5－4矩孔和单缝的 夫琅和费衍射
§5－4矩孔和单缝的夫琅和费衍射
衍射系统由光源，衍射屏和接收屏组成， 通常按它们相互间距离的大小，将衍射分 为两类（与前述两种近似相对应）： 一类是光源和接收屏（或两者之一）距离 衍射屏有限远；此为菲涅耳衍射。（1818年） 衍射屏有限远；此为菲涅耳衍射。（1818年） 另一类是光源和接收屏都距离衍射屏无穷 远，此为夫琅和费衍射，1821－1822年， 远，此为夫琅和费衍射，1821－1822年， 两种衍射的区分是从理论计算上考虑的。
1 1 ≈ r z1
§5－3基尔霍夫衍射公式的近似
菲涅耳近似： 二、 菲涅耳近似： 对于具体的衍射问题，还可作更精确近似： 为此取坐标系如图5 为此取坐标系如图5－7所示 y y x P 则 r Q 2 2 12 2 r = [z1 + (x − x1 ) + ( y − y1 ) ]
1 1
x
x − x 2 y − y 1 1 + = z1 1+ z z 1 1
~ ~ exp(ikr) K(θ )dσ E(P) = c∫∫ E(Q) ∑ r
二、基尔霍夫衍射理论
1.亥姆霍兹－基尔霍夫积分定理 1.亥姆霍兹－ 亥姆霍兹 标量衍射理论：孤立地把E 标量衍射理论：孤立地把E看作标量场，并用 曲面上的E 曲面上的E 和 值表示面内任一点的值 。 ~ ~ ~ ~ ~ ∂E ~ ∂G ~ ∂E ~ ∂G ~ ~ 表达式： G − E dσ = 4πE(P) ⇒ E(P) = 1 G − E dσ ∫∫ 4π ∫∫
→
~ ~ ∂E E= → =0 ∂n
l dσ
§5－2基尔霍夫衍射理论
1 令 c= ： iλ A p(i ) ex kl ~ E(Q) = l cos(n , r) − cos(n , l ) K(θ ) = 2
上式可写为
~ ~ exp(ikr ) E(P) = c ∫∫ E(Q) K(θ )dσ r ∑
§5－4矩孔和单缝的夫琅和费衍射
基尔霍夫衍射公式的近似： 1 1 1.傍轴近似：入射光垂直孔径面 K(θ ) = 1, ≈ 1.傍轴近似：入射光垂直孔径面 r z1 2.菲涅耳近似 ： 1 (x − x ) + ( y − y ) 2.菲涅耳近似
2 2
r = z1 + 1 2
4.菲Biblioteka Baidu耳衍射公式： 4.菲涅耳衍射公式：
[
]
§5－4矩孔和单缝的夫琅和费衍射
5.夫琅和费衍射公式： 5.夫琅和费衍射公式：
~ E( x, ik exp(ikz1 ) ~ 2 2 y) = exp x + y ∫∫ E( x1, iλz1 2z1 ∑
(
)
ik [xx1 + yy1 ]dx1dy1 y1 ) exp− 2z1
§5－4矩孔和单缝的夫琅和费衍射
菲涅耳衍射是普遍的，夫琅和费衍射是菲涅耳 衍射的特例，但其计算相对简单，特别是对于 简单形状孔径的衍射，通常能够以解析形式求 出积分。 另外，它还是光学仪器中最常见的衍射现象。 菲涅耳－基尔霍夫衍射公式：
ex (i ) ex (i ) cos(n, r) - cos(n, l ) p kl p kr dσ ∫∫ l r 2 ∑ ex (i ) p kr ~ K(θ )dσ = c ∫∫ E(Q) r ∑ A ~ E(P) = iλ c= 1 , iλ A p(i ) ex kl ~ E(Q) = , l cos(n, r) - cos(n, l ) K(θ ) = 2