薛定谔方程数值解法

Hale Waihona Puke Baidu满足当
x 时， (x。) 但0是，当
时即，C1只(=x有x) 对0。于0 这个波函的数波称函为方数程，E(5.E11.7)式，的
本征波函数。
图5.2 图5.1.2 不同能量E对应的波函数
对E > E1的情况。由C1的表达式(5.1.14)和
(5.1.15)式可知，C1<0，因此在 x 时，
(5.1.7)式的本征波函数和能量本征值。
V0 A=0
En
E3 E2 E1 X=W
图5-4 一维方势阱内粒子的能级
我们进一步分析图5.1.2和图5.1.3中的波函
数。波函数通过 x 轴的交点称为结点。在 图5.1.2中能量E小于E1的的波函数没有结 点，能量E大于E1的波函数有一个结点。在 图5.1.3中能量E小于E2的波函数有一个结 点，能量E大于E2的波函数有两个结点。
第五章 薛定谔方程数值解法
量子力学的基本方程是薛定谔方程
ih H t
(5.0.1)
其中 h / 2 , h 为普朗克常数；H为粒子的
哈密顿量；为波函数，用来描述粒子的微观运 动状态，一般是空间位置和时间的函数。
H可表示为
H 2 2 U 2m
(5.0.2)
其中 2 是拉普斯算符，U是势能。薛定谔方
(5.1.12)
同时，在 x 0 处，波函数的一次导数是连
续 的 ， 对 (5.1.9) 式 和 (5.1.11) 式 求 导 数 后 ，
有
(0) r2C0 r2
(0) r1 A1
可解得
A1
r2 r1
(5.1.13)
同理，利用在势阱的另一边 X W处，波函数 和它的一次导数都连续，得到
f (t) ceiEt / h
其中c为任意常数。粒子的波函数 可表示成
(x, t) (x)eiEt / h (5.1.5)
这就是定态波函数，其中常数c已经包括在 (x)
中。
几率密度为
| (x,t) |2 | (x) |2
与时间无关。
所以，求解薛定谔方程(5.0.1)式变为求解(5.1.4)式，
即
h2 d 2 (U (x) E)
2m dx2
(5.1.6)
上式与时间无关，称定态薛定谔方程。
为简单起见，我们令 1, m 1 ，于是
(5.1.6)式变为
2
d 2
dx2
(U (x) E)
(5.1.7)
所以，现在解薛定谔方程是不难的。
先来考察波函数的一般性质。
在方势阱内：
d 2
dx2
(5.1.10) (5.1.11)
其中j = 0，表示势阱左边的波函数，j = 1，
表示势阱右边的波函数。
左边有： ( x) C0er2x D0er2x
右边有： ( x) C1er2x D1er2x
可以利用边界条件来确定系数A1，B1， C 0，C 1，D0 和D 1。
因为在 x 时，波函数要有物理意
波函数向下发散。对E < E1的情况，C1 > 0，
当
x 时，波函数向上发散。
对第二个本征值E2，同样可存在E值大于、 等于和小于E2的三种情况，如图5.1.3所示。
图5.1.3 本征值为 E2时不同能量 E对应的波函数
由上述讨论可知，粒子的能量只能取得某些
分裂的值，如图5.1.4所示。E的值与势阱的参数 V0和W有关，我们的中心问题是求解薛定谔方程
r12
(5.1.8)
r 其中 r1 E V0 。因为 V0 E 0 。所
以 1是实数。
方程(5.1.8)式的解是
(x) A1 sin r1x B1 cos r1x
其中A1和B1是待定常数。
(5.1.9)
在方势阱外：
d 2
dx2
r2
其中 r2 E 。
它的一般解为
(x) Cjer2x Djer2x
满足 x 时， (x) 为零，必须要
求C1=0。这就对E的取值进行了限制，不能
取任意值，只能取某些确定值，才能保证
C1=0的要求。
能量本征值的确定：
我们用图解来说明上面的情况。
设E1是能量本征值。对能量E可能有三种情况：
E < E1，E = E1，E > E1。我们画出波函数，
如图5.1.2所表示。由图可见，这3个波函数都
由于势能和时间无关，属于定态问题。考虑一 维问题，故薛定谔方程(5.0.1)式可简化。为此 设
(x) f (t)
(5.1.2)
代入(5.0.1式，用分离变数法，可得
i df Ef
和
dt
h2 d 2 U (x) E
2m dx2
其中E为波函数的本征值。
(5.1.3) (5.1.4)
由(5.1.3)式，直接可得
令(5.1.15-1)=(5.1.15-2)，建立 C1和 D1
满足的另一个方程式。
由此解得 C1 和 D1 为
C1
1 2
e r2W
(W )
(W r2
)
D1
1 2
e r2W (W )
(W r2
)
(5.1.16)
由上面过程可见，C 0和D 0的值完全确定了 A1，B1，C1和D1的值，结果完全确定了波 函数。一般情况下C1的值不一定为零。为了
义必须有 (x) 0 。所以，可以得到： C1 0 和 D0 0 。
注意：对于任意的E值，C1 0 和 D0 0 的要求
不可能同时得到满足。
下面求势阱内的波函数。
在 X 0 处（即左边界），波函数是连续的，
根据(5.1.9)式和(5.1.11)式，有
(0) C0 1 (0) B1 1
程是一个偏微分方程，我们要同时求本征值
和本征波函数。现在我们考虑几种特殊情况
下，对薛定谔方程进行计算机求解。
§5.1 一维方势阱的计算机求解
考虑一维空间的粒子运动，它的势能U具有
如下性质
U V00
0 X W X 0, X W
(5.1.1)
如图5.1.1所示:
V0 A=0 X=W
图5.1.1 方势阱
由此推广到一般规律：若 a 和 b 是薛定谔方程 的两个解（不一定是本征波函数），而相应的能
(W )
r2 r1
sin Wr1
cosWr1
(5.1.14-1)
(W ) C1er2W D1er2W
(5.1.14-2)
令(5.1.14-1)=(5.1.14-2)，建立 C1 和 D1 满
足的一个方程式。
(W ) r2 cosWr1 r1 sinWr1 (5.1.15-1) (W ) r2C1er2W r2 D1er2W (5.1.15-2)