各个维度中的库仑定律

参考文献
1、北师大物理系电磁学课堂讲义，寇谡鹏 2、http://zh.wikipedia.org/zh-cn/%E5%BC%A6%E8%AE%BA
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关键词
库仑定律、高斯定理、维度、方向度
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各个维度中的库仑定律
二维情况
物理系 张睿骁
在三维空间中，库仑定律为
点电荷周围的电场强度为
⇀
F
=
1 4πϵ0
q1q2 r2
r^
⇀
E
=
1 4πϵ0
q r2
r^
它满足高斯定理，即
⇀⇀
∯ E · dS
=
∯
1 4πϵ0
∑q r2
r^
·
⇀
dS
∑q dS = 4πϵ0 ∯ r2
π
kn−1
=
kn
·
2
∫
−π2
cosn−2θdθ
这个积分用 Mathematica 算出，为
kn−1
=
kn
·
√πΓ(n
− 2
Γ(n2)
1)
即
kn
=
kn−1
·
Γ(n2)
√πΓ(n
− 2
1)
由递推公式可推出
n
kn = k2 · ∏
k=3
Γ (2k)
√πΓ
(k
− 2
1)
=
Γ(n2) 2πn⁄2ϵ0
由此得到 n 维空间中的库仑定律为
真空中点电荷的电荷量 q 与这个点电荷产生的在空间各个方向的场强的某种“和”之比为ϵ0， 其中这个“和”与空间的维度无关。
这正是高斯定理所阐释的内容。则根据这一点，每个“方向”分得的场强，比如一维中，就
是q/2ϵ0。 所以我猜想这里的“2”，包括二维中的“2π”、三维中的“4π”以及四维中的“2π2”，是某
各个维度中的库仑定律
作者：
张睿骁 北师大物理系 09 级
200911141029
各个维度中的库仑定律
物理系 张睿骁
摘要
根据三维空间中的库仑定律来推测二维中的库仑定律的形式，利用高斯定理来确定其中的系 数。在这一过程中会发现二维空间中的点电荷可以当做三维中无限长带电直导线在二维空间中的 投影来看待，这为计算四维及更高维度空间中的库仑定律提供了方法——n 维空间中的点电荷可 以当做 n+1 维空间中无限长带电直导线在 n 维空间中的投影。这样，在假定高斯定理对于所有维 度中的电场都成立的前提下，便可以计算出四维空间中的情况，并由此找出在更高维空间中的递 推公式，再藉此深入分析维度的性质，包括维度与方向的联系等。
dθ
dEr
=
k
dq (corsθ)3
cosθ
=
kλ r2
cos2θdθ
π
E
=
∫
dEr
=
kλ r2
∫−2π2
−cos2θdθ
π 2
=
πkλ 2r2
根据类比，有
E
=
1 4πϵ0
λ r2
=
πkλ 2r2
即
k
=
1 2π2ϵ0
则四维中点电荷场强为
E
=
1 2π2ϵ0
q r3
即库仑定律在四维中的形式为
⇀
F
=
1 2π2ϵ0
∑q = 4πϵ0 ∯ dΩ
∑q = ϵ0
这里我们发现，电场强度满足高斯定律的直接原因是它与 r 的平方严格呈反比。而这一点直
接来自三维空间的性质——能量扩散的包络面是二维的，面积与 r 的平方呈正比。所以在一维中，
不难想象，它会与 r 的一次方呈正比。故假设，在二维空间中E ∝ q，即E = k q。假设高斯定理在
维空间中的投影（如图 1 所示）。
三维中无限长带电直导线
二维中的点电荷 图1
由此我们不难想到，三维中的点电荷一定也是四维中无限长带电直导线在三维中的投影。下 面我们不妨来推导一下四维空间中的库仑定律。
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各个维度中的库仑定律
四维情况
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物理系 张睿骁
考虑一根四维中的无限长带电直导线，它周围的电场强度应当与三维中点电荷周围电场强度 的形式类似，即为
r
r
二维中有和三维中一样的形式，则
⇀ ⇀ ∑q ∮ E · dln = ϵ0
易求出k = 1 ，故二维空间中的电场强度为
2πϵ0
⇀
E
=
1 2πϵ0
q r
r^
注意到这个形式与三维空间中无限长带电直导线周围电场强度[1]
1λ E = 2πϵ0 r 极为相似。为了解释这种相似，我们不妨认为二维中的点电荷就是三维中无限长带电直导线在二
1λ E = 4πϵ0 r2 由此不难推出四维中点电荷的场强公式。 首先根据上一节中的讨论，它必与 r 的立方呈反比，即
q E = k r3 那么引入无限长带电直导线（图 2）

������������
P
������
������������
������
图2
dq
=
λdl
=
λr cos2θ
F(n)
=
Γ(n2) 2πn⁄2ϵ0
Qq rn−1
物理系 张睿骁
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各个维度中的库仑定律
一点讨论与猜想
物理系 张睿骁
这里我们注意到 n=1 的情况
1 k1 = 2ϵ0
q E = 2ϵ0
在一维空间中，只存在两个方向——前、后，所以这里分母中有一个 2。这样一来，ϵ0这个真 空介电常数变得“名副其实”起来。不妨这样理解ϵ0：
q1q2 r3
r^
继续这一过程，即利用 n 维中的点电荷可以看做 n+1 维中无限长带电直导线的投影这一点， 我们可以很快找到更高维度中的库伦定律。
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各个维度中的库仑定律
更高维度的情况
从上一节的讨论中我们得知，我们可以导出任意维度中的库仑定律。 设在 n 维空间中，库仑定律为如下形式
Qq F(n) = kn rn−1 根据上一节对于无限长带电直导线的推导，可知
种表示空间里“方向的数量”的参数。定义 n 维空间的“方向度”为
2πn⁄2 dn = Γ(n2)
按照以往对维度的理解，维数越高说明方向越多。但方向度似乎在暗示并不如此。 比如，明显地，
nl⟶ im∞dn = 0
事实上，方向度在维度是 8 的时候最大，为 π4/3。或许这正说明 8 维空间是很特殊的？空间 中的方向膨胀到这里便不再增加，或许这正是我们所处的空间的维度？也就是说我们生活在 9 维 的时空之中，这与弦论所预言的十维或十一维的时空还有差距[2]。大概这套“方向度”的理论还 需要改进（大概“方向度”和弦论两者都需要~）……