01.矩阵理论与方法_预备知识
矩阵入门
a 22 am2 a 2n a mn
看几个具体的线性变换的例子
1.恒等变换
y1 x1 , y x , 2 2 y n xn .
1 1 En 1
2.2.2
称为数 与矩阵A的乘法，简称数乘. 记作： A或A
数与矩阵相乘 a11 a12 a 21 a22 A A am1 am 2
a1n a2 n amn
P (cos cos sin sin , 1
cos sin
sin cos
P1 ( x1 , y1 ) P1 (cos x sin y ,sin x cos y )
x cos y sin
即
y1 x1 0 0, y2 0 x2 0, yn 0 0 xn ,
n
阶单位阵
y1 1 x1 , 2.线性变换 y 2 2 x2 , y n n xn .
即
1 0 0 0 0 2 0 0 n
21 22 31 32
t1 b11 x1 b12 x2 , t2 b21 x1 b22 x2 , t b x b x , 31 1 32 2 3
y2 a21 (b11x1 b12 x2 ) a22 (b21x1 b22 x2 ) a21 (b31 x1 b32 x2 ),
3 = aik bkj ? k 1
定义2.4 设
矩阵论基础知识总结
矩阵论基础知识总结一、引言矩阵论是线性代数的重要分支，广泛应用于数学、物理、工程等领域。
本文将介绍矩阵的基本概念、运算规则、特殊类型矩阵以及矩阵的应用。
二、矩阵的基本概念1. 定义：矩阵是由m行n列的数按照一定的顺序排列而成的矩形数表，常用大写字母表示，如A、B。
2. 元素：矩阵的每个数称为元素，用小写字母表示，如a、b。
一个矩阵的第i行第j列的元素可以表示为a_ij。
3. 阶数：矩阵的行数和列数分别称为矩阵的行数和列数，记作m×n，其中m表示行数，n表示列数。
4. 主对角线：从左上角到右下角的对角线称为主对角线。
三、矩阵的运算规则1. 矩阵的加法：两个相同阶数的矩阵相加，即对应元素相加。
2. 矩阵的数乘：一个矩阵的每个元素都乘以同一个数。
3. 矩阵的乘法：若矩阵A的列数等于矩阵B的行数，则矩阵A与矩阵B的乘积C为一个新的矩阵，其中C的行数等于A的行数，列数等于B的列数。
四、特殊类型矩阵1. 零矩阵：所有元素都为0的矩阵，用0表示。
零矩阵与任何矩阵相加等于其本身。
2. 对角矩阵：主对角线以外的元素都为0的矩阵。
对角矩阵的乘法可以简化为主对角线上元素的乘积。
3. 单位矩阵：主对角线上的元素都为1，其余元素为0的对角矩阵。
单位矩阵与任何矩阵相乘等于其本身。
4. 转置矩阵：将矩阵的行和列互换得到的新矩阵。
5. 逆矩阵：对于方阵A，若存在一个方阵B，使得A与B的乘积等于单位矩阵，则称B为A的逆矩阵。
五、矩阵的应用1. 线性方程组：矩阵可以用于求解线性方程组，通过矩阵的运算可以将线性方程组转化为矩阵方程，从而求解未知数的值。
2. 向量空间：矩阵可以表示向量空间中的线性变换，通过矩阵的乘法可以实现向量的旋转、缩放等操作。
3. 数据处理：矩阵可以用于数据的存储和处理，通过矩阵运算可以实现数据的加工、筛选、聚合等操作。
4. 图像处理：图像可以表示为像素矩阵，通过矩阵运算可以实现图像的平移、旋转、缩放等操作。
矩阵论知识要点范文
矩阵论知识要点范文矩阵论（Matrix theory）是线性代数的一门重要分支，研究的是矩阵的性质、运算以及与线性方程组、线性变换等数学对象之间的关系。
矩阵论在多个领域中都有广泛的应用，如物理学、工程学、计算机科学等。
以下是一些矩阵论的重要知识要点：1.矩阵表示：矩阵由行、列组成，可以表示为一个矩形的数表。
矩阵的大小由行数和列数确定，常用的表示方法是用大写字母表示矩阵，如A、B、C等。
2.矩阵运算：矩阵可以进行加法和乘法运算。
矩阵的加法是对应元素相加，矩阵的乘法是按照一定规则进行计算得到一个新的矩阵。
3.矩阵的转置：矩阵的转置是将矩阵按照主对角线进行镜像变换得到的新矩阵。
对于一个m×n的矩阵，转置后得到一个n×m的矩阵。
4.矩阵的逆：对于一个可逆矩阵A，存在一个矩阵B，满足AB=BA=I，其中I为单位矩阵。
矩阵B称为矩阵A的逆矩阵，记作A^(-1)。
逆矩阵的存在与唯一性为解线性方程组提供了便利。
5.矩阵的秩：矩阵的秩是指矩阵中线性无关的行或列的最大个数。
秩是矩阵的一个重要性质，与矩阵的解空间、零空间等直接相关。
6.矩阵的特征值和特征向量：对于一个n阶矩阵A，如果存在一个非零向量x使得Ax=λx，其中λ为一个常数，则称常数λ为矩阵A的特征值，非零向量x称为对应于特征值λ的特征向量。
矩阵的特征值和特征向量可以用来描述线性变换的性质。
7.矩阵的相似性：如果存在一个可逆矩阵P，使得P^(-1)AP=B，则矩阵B与A相似。
相似矩阵具有一些相似的性质，如秩、迹、特征值等。
8.矩阵分解：矩阵分解是将一个复杂的矩阵表示分解为一些简单矩阵的乘积或和的形式，常见的分解方法有LU分解、QR分解、特征值分解等。
9. 矩阵的迹：矩阵的迹是主对角线上各个元素的和，记作tr(A)。
矩阵的迹与矩阵的特征值、秩等有一定的关系。
10.矩阵方程：矩阵方程是形如AX=B的方程，其中A、B为已知矩阵，X为未知矩阵。
矩阵方程的研究可以帮助解决线性方程组、线性变换等相关问题。
矩阵理论及方法(谢冬秀,雷纪刚,陈桂芝编著)PPT模板
第7章矩阵的广义逆与直积及其应用
7.1矩阵的几种广义逆
01
7.1.1广义逆矩阵的基本概 念
03
7.1.3自反减号逆A<sup></sup><sub>r</sub>
05
7.1.5最小二乘广义逆A<sup></sup><sub>l</sub>
02
7.1.2减号逆
04
7.1.4极小范数广义逆A<sup></sup><sub>m</sub>
01
习题6
06
6.2随机矩 阵与双随 02 机 矩 阵
6 . 5 T o e p l 05 itz矩阵与 Hankel
矩阵
04
6.4广义对 角占优矩阵
6.3M矩
03
阵与 Stieltje
s矩阵
第6章几类特殊矩阵
6.1非负矩阵
6.1.2非负矩 阵谱半径的 界
6.1.1Perron -Frobenius 定理
2.4.3常用的 直接三角分 解法
第2章矩阵的变换与分解
2.5QR分解
2.5.1QR分解的概念
2.5.2QR分解的实际求 法
2.5.3基于QR分解的参 数估计问题
2.5.4矩阵与Hessenberg矩 阵的正交相似问题
04 第3章矩阵范数及其应用
第3章矩阵范数及其应用
3.1向量范数
3.2矩阵范数
06
7.1.6加号逆 A<sup>+</sup>
第7章矩阵的广义逆与直积及其应用
7.2广义逆与线性方程组的解
矩阵理论(完整版)
2
6.
P 范数： || x || p (
| x |
i 1 i
n
p 1/ p
)
1 p
7. 8.
向量序列极限： lim x
k
(k )
a lim xi( k ) ai
k
(i 1, 2,
, n) lim || x( k ) a || 0
nn
， 存 在 可 逆 矩 阵 T C
nn
， 使 得 A T T ， 当 A 正 定 时 ，
H
A T H IT T H T 。
4. 矩阵 A Cr
H
mn
，则有： rank ( A) rank ( A A) rank ( AA ) ； A A、AA 的特征值均为非负实数
3.2 矩阵的谱分解（只适用于方阵）
1. 2. 单纯矩阵：矩阵的代数重数等于几何重数。单纯矩阵可对角化。 正规矩阵：满足 A A AA 的 n 阶复矩阵。正规矩阵是单纯矩阵。
H H
n k A , i j ， Ai En A C nn 是单纯矩阵，则 A 可分解为： A i Ai ， Ai Aj i i 1 0, i j i 1
nn
2 H 2 H
n
n
（b）. 酉不变性：对任一的酉矩阵 U、V P ，有 || A ||m2 || U AV ||m2 || UAV
||2 m2 ，
|| A ||m2 || UA ||m2 || AV ||m2 || UAV ||m2
14. 矩阵范数与向量范数相容：若 || Ax ||a || A ||m || x ||a ，称 || ||m 为与向量范数 || ||a 相容的矩阵范数。 —2—
矩阵知识点归纳范文
矩阵知识点归纳范文矩阵是线性代数中一个重要的概念，具有广泛的应用。
矩阵可以表示一个线性方程组的系数矩阵，也可以用于描述图像处理、网络分析等领域。
以下是矩阵的基础知识点的归纳：1.矩阵的定义与表示：矩阵是一个有序的数表，通常用大写字母表示。
矩阵的元素可以是实数或复数。
矩阵通常用方括号[]或圆括号(表示，不同的元素用逗号或空格隔开。
矩阵的行数与列数分别称为矩阵的阶。
2.矩阵的运算：-矩阵的加法：两个相同阶的矩阵相加，即对应位置的元素相加。
-矩阵的乘法：两个矩阵相乘，第一个矩阵的列数必须等于第二个矩阵的行数。
结果矩阵的行数等于第一个矩阵的行数，列数等于第二个矩阵的列数。
矩阵乘法可以表示为A*B=C。
3.矩阵的转置：矩阵的转置是将原矩阵的行变为列，列变为行。
转置后的矩阵记作A^T。
转置满足以下性质：-(A^T)^T=A-(A+B)^T=A^T+B^T-(k*A)^T=k*A^T4.矩阵的逆：对于一个n阶方阵A，如果存在一个n阶方阵B，使得A*B=B*A=I，其中I是单位矩阵，则称A可逆，B称为A的逆矩阵，记作A^(-1)。
要求A可逆的一个必要条件是A的行列式不等于零。
逆矩阵满足以下性质：-(A^(-1))^(-1)=A-(A*B)^(-1)=B^(-1)*A^(-1)-(k*A)^(-1)=(1/k)*A^(-1)5.矩阵的行列式：矩阵 A 的行列式用 det(A) 表示，是一个数值，用于判断矩阵是否可逆。
行列式满足以下性质：- 如果 A 的其中一行（列）为 0，或者 A 的两行（列）相同，则det(A)=0。
-交换A的两行（列），行列式的值取负。
-如果A的其中一行（列）的元素全部乘以一个非零常数k，行列式的值乘以k。
-将A的其中一行（列）的元素与另一行（列）对应位置的元素相加乘以一个常数k，行列式的值不变。
6.矩阵的秩：矩阵的秩是指矩阵行（列）的最大线性无关组中的向量个数。
秩可以用来判断矩阵的行（列）是否线性相关。
矩阵分析理论的基础知识
矩阵分析理论的基础知识
§1. §2. §3.
线性空间与度量空间
线性空间与内积空间的同构
线性变换
线性变换的矩阵表示 不变子空间与点到子空间的距离
§4 §5
§1
线性空间和度量空间
一、线性空间
1. 数域
定义 1： 若复数的一个非空集合 P 含有非零的数， 且其中任意两数的和、 差、积、商（除数不为 0）仍在这个集合中，则称数集 P 为一个数域
性质1
( , k ) k ( , )
( , ) ( , ) ( , )
( , ) ( , )
性质2
性质3
性质4
设 , V
则有
） ( , )2 ( , ) ( , ) （见 P36 Th1
2. 长度 设 为内积空间V的任一元素，称
<7> 若 与 正交，则，
2
2
2
该性
质可以推广到有限个元素的情形。
§
2 线性空间与内积空间的同构
一、线性空间的同构——线性空间的一种关系（利 用它可以研究线性空间的性质） 1. 定义：设 V1 ， 2 是线性空间P上的两个线性空间， V 若 V1 与 V2 之间有一个一一对应 ，使得对 x, y V1 及 k P 有： ① ( x y) ( x) ( y) ② (k ) k ( ) 则称V1与 V2 同构， 称为从 V1 到 V2 的同构映射，记为：
间, 所谓 V1 与 V2 的和，是指由所有能表示成1 +
2 ，而1 V1 ，2 V2 的向量组成的子集合，记
作 V1 + V2 ，即 V1 + V2 = { | = 1 + 2 , 1 V1 , 2 V2 }
矩阵理论知识点范文
矩阵理论知识点范文矩阵理论是线性代数中的重要内容，应用广泛，在数学、计算机科学、物理学、工程学等领域都有重要的应用。
矩阵理论的核心是对矩阵的性质和运算规则进行研究。
1.矩阵的定义和表示矩阵是一个按照长方形排列的数表，其中的元素可以是任意类型的数，如实数、复数、矢量等。
矩阵可以用方括号[]或者圆括号()来表示，行和列的数量称为矩阵的维数。
例如，一个3行4列的矩阵可以表示为：A=[a11,a12,a13,a14][a21,a22,a23,a24][a31,a32,a33,a34]其中aij代表矩阵A的第i行第j列的元素。
2.矩阵的运算矩阵之间可以进行加法、减法和乘法运算。
矩阵的加法和减法要求矩阵具有相同的维数，即行数和列数相等。
加法运算通过对应位置的元素相加得到新的矩阵，减法运算通过对应位置的元素相减得到新的矩阵。
矩阵的乘法是矩阵理论的核心内容，其运算规则较为复杂。
两个矩阵相乘的条件是第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数。
矩阵相乘的结果是一个新的矩阵，其行数等于第一个矩阵的行数，列数等于第二个矩阵的列数。
矩阵相乘的运算规则是，第一个矩阵的第i行与第二个矩阵的第j列的元素依次相乘，并将乘积相加得到结果矩阵的第i行第j列的元素。
3.矩阵的性质矩阵具有许多重要的性质，其中包括：-矩阵的转置：将矩阵的行和列进行交换，得到的矩阵称为原矩阵的转置矩阵。
-矩阵的迹：矩阵主对角线上元素的和称为矩阵的迹，用Tr(A)表示。
-矩阵的行列式：是一个标量值，用，A，表示，可以用于判断矩阵是否可逆。
-矩阵的逆：对于可逆矩阵A，存在一个矩阵B，使得AB=BA=I，其中I表示单位矩阵。
-矩阵的秩：矩阵的秩是指矩阵的列向量或行向量的最大无关个数。
4.矩阵的特殊类型在矩阵理论中，有一些特殊类型的矩阵具有重要的性质，如：-对角矩阵：主对角线以外的元素都为零的矩阵。
-上三角矩阵：主对角线以下的元素都为零的矩阵。
-下三角矩阵：主对角线以上的元素都为零的矩阵。
矩阵理论知识点整理
欢迎来主页下载---精品文档精品文档三、矩阵的若方标准型及分解λ-矩阵及其标准型定理1 λ-矩阵()λA 可逆的充分必要条件是行列式()λA 是非零常数引理2λ-矩阵()λA =()()n m ij ⨯λa 的左上角元素()λ11a 不为0，并且()λA 中至少有一个元素不能被它整除，那么一定可以找到一个与()λA 等价的()()()nm ij ⨯=λλb B 使得()0b 11≠λ且()λ11b 的次数小于()λ11a 的次数。
引理3任何非零的λ-矩阵()λA =()()nm ij⨯λa 等价于对角阵()()()⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0...0.....d 21λλλr d d ()()()λλλr 21d ,....d ,d 是首项系数为1的多项式，且()()1......3,2,,1,/d 1-=+r i d i i λλ引理4等价的λ-矩阵有相同的秩和相同的各阶行列式因子推论5 λ-矩阵的施密斯标准型是唯一的由施密斯标准型可以得到行列式因子 推论6两个λ-矩阵等价，当且仅当它们有相同的行列式因子，或者相同的不变因子推论7λ-矩阵()λA 可逆，当且仅当它可以表示为初等矩阵的乘积推论8两个()()λλλB A m 与矩阵的-⨯n 等价当且仅当存在一个m 阶的可逆λ-矩阵()λP 和一个n 阶的λ-矩阵()λQ 使得()()()()λλλλQ A P =B精品文档推论9两个λ-矩阵等价，当且仅当它们有相同的初等因子和相同的秩定理10设λ-矩阵()λA 等价于对角型λ-矩阵()()()()⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=λλλλn h h .....21h B ，若将()λB 的次数大于1的对角线元素分解为不同的一次因式的方幂的乘积，则所有这些一次因式的方幂（相同的按照重复的次数计算）就是()λA 的全部初等因子。
行列式因子不变因子初等因子初等因子被不变因子唯一确定但，只要λ-矩阵()λA 化为对角阵，再将次数大于等于1的对角线元素分解为不同的一次方幂的乘积，则所有这些一次因式的方幂（相同的必须重复计算）就为()λA 的全部初等因子，即不必事先知道不变因子，可以直接求得初等因子。
矩阵理论基本知识
矩阵理论的基本概念1.奇异矩阵1)方阵;2)行列式为零,即不可逆矩阵;3)0Ax =有非零解或无解; 非奇异矩阵:1)方阵;2)行列式不为零,即可逆矩阵;3)0Ax =只有零解,因为A 可逆.2.酉矩阵 n 阶复方阵U 的n 个列向量是U 空间的一个标准正交基，则U 是酉矩阵(Unitary Matrix )。
一个简单的充分必要判别准则是：方阵U 的共轭转置乘以H U 等于单位阵，则U 是酉矩阵。
即酉矩阵的逆矩阵与其共轭转置矩阵相等。
酉方阵在量子力学中有着重要的应用。
酉等价是标准正交基到标准正交基的特殊基变换。
酉矩阵的相关性质： 设有A ，B 矩阵（1）若A 是酉矩阵，则A 的逆矩阵也是酉矩阵;（2）若A ，B 是酉矩阵，则AB 也是酉矩阵;（3）若A 是酉矩阵，则|det |1A =;（4）A 是酉矩阵的充分必要条件是，它的n 个列向量是两两正交的单位向量.3.矩阵的奇异值4.矩阵的特征值n 维方阵A 的特征值定义为:使()0A I x λ-=有非零解x 的λ的取值,相应的非零解x 称为λ所对应的特征向量.因为()0A I x λ-=有非零解,其充要条件为||0A I λ-=.这是特征值求解的方法.确定λ后,代入()0A I x λ-=即可求解出相应的特征向量.5.矩阵的秩定义1. 在m n ⨯阶矩阵A 中,任意取k 行和k 列(1min(,))k m n ≤≤交叉点上的元素构成A 的一个k 阶子矩阵,此子矩阵的行列式,称为A 的一个k 阶子式.例如，在阶梯形矩阵中,选定1,3行和3,4列，它们交叉点上的元素所组成的2阶子矩阵的行列式就是矩阵A 的一个2阶子式.定义2. ()ij m n A a ⨯=的不为零的子式的最大阶数称为矩阵A 的秩，记作rA ，或rankA .特别规定零矩阵的秩为零.显然min(,)rA m n ≤,易得:若A 中至少有一个r 阶子式不等于零，且在min(,)r m n ≤时,A 中所有的1r +阶子式全为零,则A 的秩为r . 由定义直接可得n 阶可逆矩阵的秩为n ,通常又将可逆矩阵称为满秩矩阵, det()0A >;不满秩矩阵就是奇异矩阵,det()0A =.定义3. n 阶方阵的行列式 定义4. n 阶方阵A ，其对角线上元素的和称为矩阵的迹，记为1()nii i tr A a ==∑，它与矩阵的特征值之和相等。
研究生矩阵理论知识重点
《矩阵理论》知识重点一．概况1．开课学院（系）和学科：理学院数学系2．课程代码：3．课程名称：矩阵理论4．学时/学分：51学时/3学分5．预修课程：线性代数（行列式，矩阵与线性方程组，线性空间F n，欧氏空间R n，特征值与矩阵的对角化，实对称矩阵与二次型）, 高等数学（一元微积分，空间解析几何，无穷级数，常微分方程）6．适合专业：全校的机、电、材、管理、生命和物理、力学诸大学科类，以及人文学科等需要的专业（另请参看选课指南）。
7．教材/教学参考书：《矩阵理论》，苏育才、姜翠波、张跃辉编，科学出版社，2006《矩阵分析》, R.A. Horn and C.R. Johnson, Cambridge Press (中译本)，杨奇译，机械工业出版社，2005。
《矩理阵论与应用》，陈公宁编，高等教育出版社，1990。
《特殊矩阵》，陈景良，陈向晖，清华大学出版社，2001。
《代数特征值问题》，JH.威尔金森著，石钟慈邓健新译，科学出版社，2001。
二、课程的性质和任务矩阵理论作为一种基本的数学工具，在数学学科与其他科学技术领域诸如数值分析、优化理论、微分方程、概率统计、系统工程等学科都有广泛应用。
电子计算机及计算技术的发展也为矩阵理论的应用开辟了更广阔的前景。
因此，学习和掌握矩阵的基本理论和方法，对于将来从事工程技术工作的工科研究生来说是必不可少的。
通过该门课程的学习，期望学生能深刻地理解矩阵理论的基本知识和数学思想，掌握有关的计算方法及技巧，提高学生的数学素质，提高科研能力，掌握矩阵理论在多元微积分、线性控制系统、微分方程、逼近理论、投入产出分析等领域的许多应用。
三、课程的教学内容和要求矩阵理论的教学内容分为十部分，对不同的内容提出不同的教学要求。
(数字表示供参考的相应的学时数)第一章矩阵代数（复习，2）1 矩阵的运算、矩阵的秩和初等变换、Hermite梯形阵、分块矩阵（2）要求：掌握矩阵的运算及性质，尤其是对矩阵乘法“左行右列”规则的深入理解和融会贯通；熟练掌握利用初等变换求矩阵的秩、Hermite梯形阵等的技巧；理解并掌握分块矩阵的运算技巧与要领。
矩阵知识点完整归纳
a11 增广矩阵为 A = a21 a 31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
d1 d2 d3
矩阵变换： 矩阵变换 1、互换矩阵两行； 2、把某一行同乘（除）以一个非零的数； 3、某一行乘以一个数加到另一行。
一、矩阵的基本概念
Am×n
1、矩阵：矩形数表， 表示m行n列矩阵 aij 2、元素：矩阵中的每一个数， 表示第i行 第j列的元素 3、方矩阵：m=n= 1 aii 4、单位矩阵： 其余元素均为0的方矩阵
二、矩阵变换与解方程组
a11 x + a12 y + a13 z = d1 有方程组 a21 x + a22 y + a23 z = d 2 a x + a y + a z = d 32 33 3 31
cosθ −sinθ sinθ cosθ
关于x轴对称 关于 轴对称
−1 0 0 −1 0 1 1 0
关于原点对称
关于y轴对称 关称
4、矩阵与矩阵的乘法
Am× p B p×n = Cm×n
运算法则： 运算法则：
A+ B = B + A
α A = Aα α ( A + B) = α A + α B
AE = EA = A A( B + C ) = AB + AC ( A + B)C = AC + BC A( BC ) = ( AB)C AB ≠ BA
变换矩阵
几何意义
横坐标变为原来的a倍 横坐标变为原来的 倍 纵坐标变为原来的b倍 纵坐标变为原来的 倍
矩阵论知识要点
证明 必要性显然，下面证明充分性.
设 A = ( aij )m n ，把 A 用列向量表示为
A ( a1 , a 2 , , a n ) ,
a1T a1Ta1 a1Ta2 a1Tan T T T T a2 a2 a1 a2 a2 a2 an T A A (a1, a2 ,, an ) , aT a T a aT a a T a n n n n 1 n 2
序言 • 矩阵论是一门经典的数学学科，也是一门繁 琐的、但有广泛应用价值的数学课程。 • 矩阵理论和方法是现代科技领域中处理有限 维空间形式与数量关系的强有力的不可缺少 的工具。 • 尤其是计算机的普及，更为矩阵论的应用提 供了广阔的应用舞台，如系统工程、控制工 程、最优化方法、管理工程等。
问题一 线性方程组的求解
4) 行列式 |A| 的各元素的代数余子式 Aij 所 构成的方阵
A11 A21 A12 A22 * A A A 2n 1n
叫做方阵 A 的伴随矩阵.
An1 An 2 , Ann
伴随矩阵具有重要性质: AA* = A*A =|A|E.
(1)
( A B) A B ;
H H H
(2) (A)
H
A ;
H
(3)
(4)
( AB) B A ;
H H H
(A ) A
H H
3)设 A (aij ) Cnn ，如果 AH A ，则称 是Hermite矩阵，如果 A 是反Hermite矩阵。
H
A
A ，则称 A
(iii) (A-1)-1 = A; (A)-1 = 1/ A-1 ( 0 );
矩阵论第一章
二、基与维数
设X是数域K上的线性空间, { x1 , x2 ,L , xn } ⊂ X . 相关与无关 若存在不全为零的数 ai ∈ K , i = 1, 2,L , n, 使 则称 { x1 , x2 ,L , xn } 是线性相关的，否则称为线性无关的. 生成空间 设 E ⊂ X , 称
M中元素 的个数
当 A1 = A2 = L = An 时，记A = A1 × A2 ×L × An
n
习惯上：有理数集Q、实数集R、整数集Z、
{ } C = {α α = ( x , x ,L, x ) ,其中x ,L, x ∈ C} R = { A A = ( a ) , a ∈ R} C = { A A = ( a ) , a ∈ C}
矩阵论课件
2013.9
矩阵论简介 矩阵论是线性代数的深入，是用现代数学 的方法对有限维空间的描述与分析；对复杂矩 阵的分析、刻画与处理。 矩阵论不仅是学习数学理论的一个基本工 具，也是工程技术领域处理大量有限维空间形 式与数量关系的强有力工具。因此也是许多研 究方向的博士生入学考试的规定课程。
第一章
=0
故M为R
的子线性空间。
二、基与维数
1 0 0 1 0 0 取e1 = , e2 = , e3 = ∈ M. 0 −1 0 0 1 0 x1 x2 0 0 因为 x1e1 + x2e2 + x3e3 = = x − x 0 0 1 3
是Z到Z的双射；
x11 f4 x21
x12 x22
x13 = ( x11 , x12 , x13 , x21 , x22 , x23 ) x23
是R2×3到R6的双射。
《矩阵论》讲义
第一讲线性空间一、线性空间的定义及性质[知识预备]★集合：笼统的说是指一些事物（或者对象）组成的整体。
集合的表示：枚举、表达式集合的运算：并（），交（）另外，集合的“和”（＋）：并不是严格意义上集合的运算，因为它限定了集合中元素须有可加性。
★数域：一种数集，对四则运算封闭（除数不为零）。
比如有理数域、实数域（R）和复数域（C）。
实数域和复数域是工程上较常用的两个数域。
线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是学习现代矩阵论的重要基础。
1．线性空间的定义：设V是一个非空集合，其元素用zx,,等表示；K是一个数域，y其元素用m,等表示。
如果V满足[如下8条性质，分两类]:k,l（I）在V中定义一个“加法”运算，即当Vx∈，时，有唯一的和y+（封闭性），且加法运算满足下列性质:x∈yV（1）结合律z=+)()(；+y+zxyx+（2）交换律x+；=yyx+（3）零元律存在零元素O，使x+；x=O（4）负元律 对于任一元素V x ∈，存在一元素V y ∈，使O y x =+，且称y 为x 的负元素，记为)(x -。
则有O x x =-+)(。
（II ）在V 中定义一个“数乘”运算，即当K k V x ∈∈,时，有唯一的V kx ∈（封闭性），且数乘运算满足下列性质: （5）数因子分配律 ky kx y x k +=+)(； （6）分配律 lx kx x l k +=+)(； （7）结合律 x kl lx k )()(=；（8）恒等律 x x =1； [数域中一定有1] 则称V 为数域K 上的线性空间。
注意以下几点：1）线性空间是基于一定数域来的。
同一个集合，对于不同数域，就可能构成不同的线性空间，甚至对有的数域能构成线性空间，而对其他数域不能构成线性空间。
2）两种运算、八条性质。
数域K 中的运算是具体的四则运算，而V 中所定义的加法运算和数乘运算则是抽象的、形式的。
3）除了两种运算和八条性质外，还应注意唯一性、封闭性是否满足。
矩阵分析理论的基础知识
前言 1、自我介绍2、矩阵分析理论是在线性代数的基础上推广的3、矩阵分析理论的组成：四部分：基础知识（包括书上的前三章内容）难点：约当标准形与移项式矩阵矩阵分析（第四章：矩阵函数及其应用） 矩阵特征值的估算（第五章） 非负矩阵（第六章）第一部：矩阵分析理论的基础知识§1 线性空间与度量空间一、线性空间：1．数域：Df 1：若复数的一个非空集合P 含有非零的数，且其中任意两数的和、差、积商（除数不为0）仍在这个集合中，则称数集P 为一个数域eg 1：Q （有理数），R （实数），C （复数），Z （整数），N （自然数）中哪些是数域？哪些不是数域？2．线性空间—设P 是一个数域，V 是一个非空集合，若满足：<1> 可加性—指在V 上定义了一个二元运算（加法）即：V ∈∀βα, 经该运算总存在唯一的元素V ∈γ与之对应，称γ为α与β的和，记βαγ+= 并满足：① αββα+=+② )()(γβαγβα++=++ ③ 零元素—＝有θαθααθ+∈∀∈∃Vt s V .④ αβαβθβααβ-+∈∀∈∃＝记的负元素为＝有对V V<2> 数积：（数乘运算）—在P 与V 之间定义了另一种运算。
即V P k ∈∈∀α,经该运算后所得结果，仍为V 中一个唯一确定的元素。
存在唯一确定的元素V ∈δ与之对应，称δ为k 与α的乘积。
记为αδk = 并满足：①αα=⋅1② P l k ∈∀, αα)()(kl l k = ③ P l k ∈∀, αααl k l k +=+)( ④ γβα∈∀, βαβαk k k +=+)(则称V 为数域P 上的线性空间（向量空间）记为)...(∙+P V 习惯上V 中的元素—向量， θ—零向量， 负元素—负向量结论：可以证明，线性空间中的零向量是唯一的，负元素也是唯一的，且有：θα=⋅0 θθ=⋅k αα-=⋅-)1( )(βαβα-+=-eg2：}{阶矩阵是n m A A V ⨯= P —实数域R按照矩阵的加法和数与矩阵的乘法，就构成实数域R 上的线性空间，记为：n m R ⨯ 同样，若V 为n 维向量，则可构成R 上的n 维向量空间n R —线性空间。
矩阵理论与方法
习题7
作者介绍
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精彩摘录
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4.3向量的范数
4.4矩阵的范数
习题4
5.2矩阵序列的极 限
5.1向量序列的极 限
5.3函数矩阵
5.5矩阵的积分
5.4函数矩阵的微 分
习题5
6.2矩阵幂级数
6.1矩阵级数的概 念和性质
6.3矩阵函数展开 成矩阵幂级数
6.4矩阵函数的 一些应用
习题6
7.2广义逆矩阵
7.1广义逆矩阵A-
7.3广义逆矩阵
矩阵理论与方法
读书笔记模板
01 思维导图
03 读书笔记 05 作者介绍
目录
02 内容摘要 04 目录分析 06 精彩摘录
思维导图
本书关键字分析思维导图
矩阵
性质
标准
幂级数
习题
标准形
相似矩阵
矩阵
第章
函数 函数
值
方法
矩阵
酉空间
空间
线性变换
范数
幂级数
内容摘要
本书共分7章。第1章内容是“线性代数“课程的补充和提高；第2章重点介绍矩阵及其标准形、矩阵的约当 标准形及其求法；第3章介绍矩阵五种分解的有关理论及方法；第4章主要介绍矩阵最小多项式与矩阵函数的概念、 性质及求法；第5章在介绍向量序列与矩阵序列的极限、性质及运算的基础上介绍了矩阵的微分与积分；第6章主 要介绍矩阵级数的敛散性、矩阵幂级数及矩阵函数的矩阵幂级数展开；第7章介绍了在实际中有应用价值的广义逆 矩阵。
读书笔记
我就不明白了，书出版了，不就是为了让人看的嘛。 这本书应该是很好的教材，可惜翻译生硬，没有翻译好，如果能看原版可以看原版。 挺多满意的，但是还这本书依旧是国内教科书的典范，框框一堆定义，然后就是性质。
矩阵理论及应用1
由此可证，R 是实数域 R上的线性空间。
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第二节 线性空间
定理1.2.1 线性空间中有惟一的零元素，任一元素也有惟一的负元素。
证明：(1) 零元素的惟一性（采用反正法）
设存在两个零元素01和02，按零元律和加法交换律，有
01＋02＝01＝02＋01＝02 01＝02
• 线性空间 • 线性变换 • 两个重要的线性空间及其线性变换(欧几里
德空间、酉空间；正交变换、酉变换）。
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第一节 预备知识：集合、映射与数域
一、集合及其运算
1、集合的定义和表示
集合：指一类特定事物的全体。 构成集合的事物（或成员）称为集合的元素。
例： 一个代数方程组解的全体组成的集合
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第二节 线性空间
一、线性空间的定义
定义1.2.1 （线性空间）
设 V 是非空集合，其元素用 x、y、z 等表示，并称之为向
量； K 为一数域，其元素用 k、l、m 等表示。在 V 与 K 中
规定了以下两种运算：
（1）规定 V 中任意两元素的加法运算，即对于任意的 x, y V ，有惟
一的 x y020/4/4
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第一节 预备知识：集合、映射与数域
一一映射： 如果映射 f 既为单值映射，又为满映射，则称 f 是集合A 到集 合 B的一一映射（或称为双映射）。
A
B，
例： 恒等映射（或单位映射 ）即为一一映射
IA : a a aA
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数域的相关概念-半群、群
定义：设代数系统V=<A,•>，•为A上的二元运算，若•满足结合 律，则称V为半群。 定义：设<G,∘>是代数系统，∘为二元运算。如果∘可结合，存 在单位元e∈G，且对G中任何元素x，都有x-1∈G，则称G为群。
矩阵理论与方法
第0章 预备知识 庄 伯 金
Bjzhuang@
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1
主要内容
数域相关概念 矩阵的基本概念 行列式的基本概念
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数域的相关概念-二元运算
det( A) aij Aij aij (1)i j M ij
i 1 i 1
n
n
j 1 n
j 1 n
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行列式的基本性质
1.若矩阵的两行（或列）交换位置，则行列式数值不变，符号 相反。 2.若矩阵的某行（或列）为其他行（或列）的标量乘积，则行 列式为0。 3.若矩阵的某行（或列）为其他两行（或两列）的和，则行列 式为0。
A A
H
* T
A
T *
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矩阵的基本运算
矩阵和：两个 m n 矩阵A aij 和 B bij ，其和 A B ， 其元素定义为：
A B ij aij bij Aij aij
n
9.三角（上三角或下三角）矩阵的行列式等于其主对角元素的 乘积。 10.若矩阵
A 可逆，则 det( A1 ) 1 det( A) 。
注：若矩阵行列式不为零，则矩阵可逆，称为非奇异矩阵。
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15
行列式的概念
余子式：矩阵 A 去掉第 i 行和第 j 列之后得到的剩余行列式记 作 M ij ，称为元素 aij 的余子式。 a11 a1 j a1n M ij ai1 aij ain an1 anj ann 代数余子式：将余子式带上符号，称为代数余子式，记作 Aij
Aij (1)i j Mij
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行列式的概念
行列式递归定义：一个 n n 矩阵的行列式等于其任意行（或 列）的元素与其对应代数余子式乘积之和。即
det( A) aij Aij aij 列式为1。
5.任何一个方阵和它的转置矩阵行列式相同。 6.两个矩阵乘积的行列式等于它们的行列式乘积。
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行列式的基本性质
7.给定任意一个常数 ，矩阵的II型初等行（列）变换的行 列式为原来矩阵行列式的 倍。 8.给定任意一个常数 ，则 det( A) det( A) 。
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行列式的概念
定义（递归定义）：一个 n n 正方矩阵 A 的行列式记作 或 det( A) ，其形式定义为：
A
a11 a1n det( A) A an1 ann
若
A a C11，则其行列式的结果为 det( A) a。
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定义：设集合A，函数F:A×A→A称为A上的二元运算，简称 为二元运算。 A上的任意两个元素都可以进行二元运算，且结果唯一； 运算的结果还在A内，即运算在A上封闭。 可以用•, *, ∘等符号表示二元运算，称为算符。 代数常数 单位元：设•为A上的二元运算，元素e∈A，如果对任意的 x∈A，都有e•x=x•e=x，则称e为运算•的单位元或幺元。 零元：设•为A上的二元运算，元素θ∈A，如果对任意的 x∈A，都有θ•x=x •θ=θ，则称θ为运算•的零元。
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数域的相关概念-二元运算
逆元：设•为A上的二元运算，e为•的幺元，对于元素m∈A， 如果存在y∈A，满足y•m=m•y=e，则称y为m的逆元。 运算性质 交换律：设•为集合A上的二元运算，如果对于任意的元素 x,y∈A，都有x•y=y•x成立，则称运算•在A上可交换。 结合律：设•为集合A上的二元运算，如果对于任意的元素 x,y,z∈A，都有(x•y)•z= x•(y•z)成立，则称运算•在A上可 结合。 分配律：设•和*为集合A上的两个二元运算，如果对于任意 的x,y,z∈A，都有x*(y•z)=(x*y)•(x*z)和 (x•y)*z=(x*z)•(y*z)成立，则称运算*对•可分配。
ABij aik bkj
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k 1
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矩阵的基本运算
基本运算规律
矩阵加法满足交换律和结合律；
A B B A,( A B) C A ( B C )
矩阵乘积满足结合律，但不满足交换律；
b1 b bm
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9
矩阵的基本运算
A 的转置记作 A ，为 n m 转置：矩阵 A aij 为 m n 矩阵， 矩阵，其元素定义为：
T
T A ij a ji 共轭：矩阵 A的复数共轭 A* 仍为 m n 矩阵，其元素定义为： * * A a ij ij 共轭转置：矩阵 A 的复共轭转置 A H为 n m 矩阵，其元素定 H * 义为： A a ji ij
初等列变换：令 m n 矩阵 A 的 n 个列向量分别为 a1 ,..., am
I型初等列变换：互换矩阵的任意两列。 II型初等列变换：矩阵一列元素同乘一个非零常数 。
a p aq
ap ap
注：初等列变换只有两种类型。
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定义：
a11 a1n A Cmn A a ij am1 amn 信息与通信工程学院 庄伯金
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矩阵的基本概念
行向量：1 n 矩阵称为行向量。记作 a a1 an 列向量：m 1 矩阵称为列向量。记作
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数域的相关概念-环、域
定义：设<R,+,*>是环 若环中乘法*适合交换律，则称R是交换环。 若环中乘法*存在单位元，则称R是含幺环。 若∀a,b∈R，ab=0⇒a=0∨b=0，则称R是无零因子环。 若R既是交换环、含幺环、也是无零因子环，则称R是整环。 定义：设R是整环，且R中至少含有两个元素，若∀a∈R*=R-{0}， 都有a-1∈R*，则称R是域。 典型的域：有理数域、实数域、复数域
n
m n 矩阵 A 标量积： aij ，是一个标量，标量乘积 A 仍 为 m n 矩阵，其元素定义为： m n 矩阵 A aij 和 r s 矩阵 B bij ，当 n r 矩阵乘积： 时可定义乘积 AB，为 m s 矩阵，其元素定义为：
( AB)C A( BC ), AB BA
矩阵乘法对加法满足分配律。
A( B C ) AB AC ( B C ) A BA CA
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矩阵的初等变换
初等行变换：令 m n 矩阵 A 的 m 个行向量分别为 r1 ,..., rm
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数域的相关概念-环
定义：设<R,+,*>是代数系统，+和*是二元运算，如果满足以 下条件： <R,+>构成交换群； <R,*>构成半群； *运算关于+运算适合分配律。 则称<R,+,*>是一个环。 +运算的单位元记作0，*运算中的单位元记作1。 a*0=0*a=0
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矩阵的基本概念
a11 a1n A am1 amn 称为 m n矩阵，是一个按长方阵列排列的数集。 数集通常为实数集或复数集。可分别记为 a11 a1n A R mn A a ij am1 amn
I型初等行变换：互换矩阵的任意两行。 II型初等行变换：矩阵一行元素同乘一个非零常数 。
rp rq
rp rp
III型初等行变换：将某一行元素同乘一个非零常数后加给另一行。
rp rq rq
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矩阵的初等变换