趋势面分析法

一、趋势面分析法

(2007-03-06 14:45:57)

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下面将就趋势面分析、克里金、形函数法三种算法作简单介绍，以后将进一步整理一些资料，介绍更多优秀的实用算法。

一、趋势面分析法

趋势面分析法是针对大量离散点信息，从整体插值角度出发，来进行趋势渐变特征分析的最简单的方法。趋势面分析一般是采取多项式进行回归分析。趋势面通常应用多项式回归，主要是因为多项式回归的求解比较简单，通常可以得到显示的数学解答。回归方法采用最小二乘法原理，其本质就是对回归函数在某个区间上的极值求取。

M阶N项多项式趋势面基本可以表示以下形式：

要注意在上式中，是参变量，但不是每个参变量都是独立参变量。

在实际分析中，M一般取1，2，3。一般来说来M不取超过3以上的高阶,主要基于两方面，一是高阶求解相对复杂，二是高级很难赋予物理意义。N取多参变量在生产实践中是很常见的。

对于任何一组离散型数据，多项式趋势面到底取多少阶和多少个参变量，有一个临界限制：就是不管你取多少阶和多少个参变量，只要待求趋势面中的独立参变量总数小于或者等于已知离散控制点的数量就可以。

事实上，趋势面分析并不限制只取多项式趋势面，可以取任何函数构成的趋势面，如以下形式：

上式为任意函数，为待求参变量。在实际应用中，即使碰到了用一般多项式趋势面解决不了的拟合问题，往往也不采取以上方法，因为其求取复杂和费时。通常做法是大致估算出其函数形式，将原始数据进行相应转换，然后再采取多项式趋势面方法来进行分析和求解。

在空间分析中，最简单的趋势面分析函数大致有以下一些类型。

1、空间趋势平面模型。数学函数如下所示：

2、简单二次曲面模型。数学函数如下所示：

或

3、复杂二次曲面模型。数学函数如下所示：

所谓趋势面，顾名思义只是从趋势上来进行拟合，严格意义说它是平滑函数。一般趋势面不经过原始数据点，除非趋势面中待求参变量的个数与已知离散控制点所确定的线性不相关方程组的个数相等。

趋势面分析中另一个重要特性就是揭示了分析区域中不同于总趋势的最大偏离部分。这个特性是非常重要的，因为在生产实践中，取样往往存在很多人为因素和非人为因素的影响，通过趋势面分析可以找出这种与整体格格不入的信息特征，然后按照一定的准则进行剔除，然后再分析求解最佳趋势结果。常用的

剔除准则是采用方差来进行判断，从几何意义上说，就是已知点到趋势平面的垂直距离。

趋势面分析的好坏结果，是可以用统计量采用F分布来进行检验的。检验统计量公式如下：

式中U为回归平方和，S为残差平方和），N为多项式变量的项数，P为样本资料的数目。当F＞Fa 时，则趋势面拟合显著，否则不显著。

在日常的工作、试验分析中，1阶N项多项式在趋势面拟合中应用非常广，这个结果是很容易推导的，下面给出其简单结果。

趋势面表达式为：

式中为待求参变量，其由以下方程求解：

式中为P个已知样本中第K个样本的值。