第3章4_迭代法求自由振动频率和振型

1 φ1 = 3 .3386 6 .1812
λ1 = 12 = λ × 32m 3EI ω1
λ = 43.4178
ω1 = 0.0465 EI
m
二、高阶频率和主振型的迭代计算
基于柔度法的迭代结果，振型向量总是收敛于最低振型的。 基于柔度法的迭代结果，振型向量总是收敛于最低振型的。 当需要求高阶频率ω2ω3…ωn和相应的振型φ2φ3…φn时， 则需要滤型，即把低阶的振型分量清除掉。 则需要滤型，即把低阶的振型分量清除掉。 — 如当要求第r+1阶振型向量φ 须在振型向量中， 阶振型向量 r+1，须在振型向量中，滤掉 个振型分量，再进行迭代， 前面所有的r个振型分量，再进行迭代，这样就使振型收敛 振型了。 于第r+1振型了。 振型了 n φ T Mφ j ηj = 一般振型 Y = η1φ1 + η 2φ 2 + ... + η nφ n = ∑ η iφ i 中滤掉第一振型分量，则余下的振型向量为： 从φ中滤掉第一振型分量，则余下的振型向量为：
第四节 迭代法求自由振动 频率和振型
一、基本频率和主振型的计算 二、高阶频率和主振型的迭代计算
一、基本频率和主振型的计算
在工程中感兴趣的是体系的最低的几个频率和振型。 在工程中感兴趣的是体系的最低的几个频率和振型。它们 引起的振幅比较大。 引起的振幅比较大。 计算自由振动频率常常是利用柔度法的公式进行迭代。 计算自由振动频率常常是利用柔度法的公式进行迭代。 1 可得： 由公式 FM − 12 I X = 0 可得： FMX = 2 X ω ω 1 用标准化振型向量φ来代替 来代替X， 用标准化振型向量 来代替 ，则: FMφ = 2 φ ω Dφ = λφ 令动力矩阵: 则上式化为： 令动力矩阵 D=FM ，λ = 12 则上式化为：
ω 用迭代法对该式反复进行迭代，就可求出体系的最低频率ω1和相 用迭代法对该式反复进行迭代， 应的振型φ1。 方法：首先假定一个振型向量的初始值。通常各元素均为1。 方法：首先假定一个振型向量的初始值。通常各元素均为 。将此 初始向量代入上式的左端，计算结果经过标准化就获得φ1的第一次 初始向量代入上式的左端，计算结果经过标准化就获得 近似值；如此反复迭代， 近似值；如此反复迭代，如果这两个向量中的各元素对应的数值 已非常接近，则停止计算。就可收敛于最低频率ω 和振型φ 已非常接近，则停止计算。就可收敛于最低频率 1和振型 1的精 确值。 确值。
1]的最低阶频率和振型 例3.4：用迭代法解[例 3-1]的最低阶频率和振型 3.4：用迭代法解[
[例 3-1] 悬臂梁上作用 个质量分别为 m1=m2=m, m3=0.5m 例 悬臂梁上作用3个质量分别为 的质点,梁的 为常数，试求此体系的自振频率和振型。 的质点 梁的EI为常数，试求此体系的自振频率和振型。 梁的 为常数 [解] (1) 求柔度矩阵及质量矩阵： 解 求柔度矩阵及质量矩阵：
φ
= Q 1φ
Q 称为一阶滤型矩阵。 称为一阶滤型矩阵。
二、高阶频率和主振型的迭代计算
令： D 2 = DQ 1 = D −
D φ1φ1 M
Tபைடு நூலகம்
M1
=D −
λ1φ1φ1 M
T
M1
就是求第二振型时需用的，经过滤型处理的动力矩阵。 D2就是求第二振型时需用的，经过滤型处理的动力矩阵。
D2φ2 = λ2φ2
(0 )
(1)
1 2 5 4 1 40.8182 (1) 5 16 14 3.1818 = 136.091 = 40.18123.3341 = λφ(2) Dφ1 = 1 6.1670 8 28 27 5.7273 251.7275 (3) (2) 次迭代： 代入公式左侧， 第3次迭代：将D1和 φ1 代入公式左侧，再标准化后得 φ1 次迭代
(3) 1 代入公式左侧得
(4) 1
D φ1
( 4)
43 .4178 1 (5) = 144 .9544 = 43 .4178 3 .3386 = λφ1 268 .3732 6 .1812
次迭代： 第3次迭代：将D1和 φ 次迭代
12
4
1 2 3
M2
f12 = f21 = 160 3EI f13 = f31 = 256 3EI
8
1
4
2 3
M3
把求得的系数代入柔度矩阵F：
64 3EI F = 160 3EI 256 3EI 256 3EI 2 5 8 896 = 5 16 28 32 3EI 3EI 1728 8 28 54 3EI 32m D1 = FM = (2)计算动力矩阵D： 计算动力矩阵 (2)计算动力矩阵 ： 3EI 160 3EI 512 3EI 896 3EI
进行迭代计算， 用D2 来代替公式 Dφ = λφ 中的矩阵D进行迭代计算，就可 求出第2 阶振型向量φ2及相应的频率ω2。 以此类推， 动力矩阵为： 以此类推，当求第r+1阶的振型向量φr+1时，动力矩阵为： 阶的振型向量
D r +1 = D r − λ r φ r φ rT M
Mr
则： Dr +1φr +1 = λr +1φr +1
进行迭代计算， 用Dr+1来代替公式 Dφ = λφ 中的矩阵D进行迭代计算，就 阶振型向量 可求出第r+1阶振型向量φr+1及相应的频率ωr+1。
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可分别在1、 、 点作用 可分别在 、2、3点作用 单位力，画出弯矩图， 单位力，画出弯矩图，利 用图乘法就可以求出各柔 度系数值fij。
4m m
1
m
2
0.5m
3
(a)
4m
4m
4
1 2 3
f11 = 64 , 3EI f33 = 1728 3EI
f22 = 512 3EI
M 1
8
f23 = f32 = 896 3EI
(2) 1
代入公式左侧， 代入公式左侧，再标准化后得 φ
(3) 1
43.3385 1 (3) (2) Dφ1 = 144.6836 = 43.33853.3385 = λφ1 267.8638 6.1807
次迭代： 第4次迭代：将D1和 φ 次迭代 φ ; 43 .4153 1 (3) (4) D φ1 = 144 .9458 = 43 .4153 3 .3386 = λφ1 268 .3569 6 .1812 (4) (5) 次迭代： 第5次迭代：将D1和 φ1 代入公式左侧得 φ1 ; 次迭代
φ2 = φ − η1φ1 = φ − φ1 φ1 Mφ
T
i =1
M
j
1 M1 左乘一阶滤型矩阵， 任一振型向量φ左乘一阶滤型矩阵，就从φ中清除掉其中的一阶振 型分量。如每次迭代时再乘以Q 型分量。如每次迭代时再乘以 1，则结果必然收敛于第二振型φ2。
令： Q 1 = I −
φ1φ1T M
M1
φ1φ1T M = I − M1
(3) 1 代入公式左侧得
(4) 1
D φ1
( 4)
43 .4178 1 (5) = 144 .9544 = 43 .4178 3 .3386 = λφ1 268 .3732 6 .1812
(4) 已非常接近，可停止迭代; φ1 和 φ1(5) 已非常接近，可停止迭代; 则
φ1
=
{1
1
1}
T
次迭代： 代入公式左侧， 第1次迭代：将D1和 φ1 代入公式左侧，再标准化后得 φ1 ; 次迭代 1 2 5 4 1 11 (0) 5 16 14 1 = 35 = 113.1818 = λφ1(1) Dφ1 = 5.7273 8 28 27 1 63 (2) (1) 次迭代： 代入公式左侧， 第2次迭代：将D1和 φ1 代入公式左侧，再标准化后得 φ1 次迭代
质量矩阵M： 质量矩阵 ：
1 0 0 M = 0 1 0 m 0 0 0 .5 2 5 4 5 16 14 8 28 27
提出， 把系数 32m 提出，取
3EI
f11 = 64 , 3EI f33 = 1728 3EI
f22 = 512 3EI
43.3385 1 (3) (2) Dφ1 = 144.6836 = 43.33853.3385 = λφ1 267.8638 6.1807
次迭代： 第4次迭代：将D1和 φ 次迭代 φ ; 43 .4153 1 (3) (4) D φ1 = 144 .9458 = 43 .4153 3 .3386 = λφ1 268 .3569 6 .1812 (4) (5) 次迭代： 第5次迭代：将D1和 φ1 代入公式左侧得 φ1 ; 次迭代
f23 = f32 = 896 3EI
2 5 4 D = 5 16 14 8 28 27
f12 = f21 = 160 3EI f13 = f31 = 256 3EI
（3） 假设初始振型向量 ： 进行迭代： （4）根据公式 Dφ = λφ ） 进行迭代： 迭代
(0 )