考点41 圆的方程(讲解)(解析版)

考点41 圆的方程

【思维导图】

【常见考法】

考点一 圆的方程

1．圆心为()3,1，半径为5的圆的标准方程是 。 【答案】()()2

2

3125x y -+-=

【解析】∵所求圆的圆心为()3,1，半径为5，∴所求圆的标准方程为：()()2

2

3125x y -+-=，

2．已知点()3,6A ，()1,4B ，()1,0C ，则ABC ∆外接圆的圆心坐标为 【答案】()5,2

【解析】线段AB 中点坐标为()2,5，线段AB 斜率为64

131

-=-，所以线段AB 垂直平分线的斜率为1-，故线段AB 的垂直平分线方程为()52y x -=--，即7y x =-+.

线段AC 中点坐标为()2,3，线段AC 斜率为

60331-=-，所以线段AC 垂直平分线的斜率为1

3

-，故线段AC 的垂直平分线方程为()1

323y x -=--，即11133

y x =-+.

由7

5111233y x x y y x =-+⎧=⎧⎪

⇒⎨⎨

==-+⎩⎪⎩

.所以ABC ∆外接圆的圆心坐标为()5,2. 3．方程x 2

＋y 2

＋ax ＋2ay ＋2a 2

＋a －1＝0表示圆，则a 的范围是 【答案】－2

2

3

【解析】由题意可得圆的标准方程2

2

23()()12

4a x y a a a +++=--

，由23

104

a a -->解得223a -<<.

考法二 点与圆的位置 关系

1．点()1,1在圆()2

211x y +-=的（ ）

A ．圆上

B ．圆内

C ．圆外

D ．无法判定

【答案】A

【解析】将点()1,1的坐标代入圆()2

211x y +-=的方程即()2

21111+-=，∴点()1,1在圆()2

211x y +-=上，

2．经过点(1,2)A 可做圆2

2

240x y mx y ++-+=的两条切线，则m 的范围是（ ）

A

．(,(23,)-∞-+∞

B ．(5,(23,)--+∞

C

．(,)-∞-⋃+∞

D ．(5,(22,)--+∞

【答案】B

【解析】圆2

2

240x y mx y ++-+=，即为222

()(1)324m m x y -+-=

-，2304

m ∴-

>⇒m <

-m >由题意知点A 在圆外，14440m ∴++-+>，解得5m >-．

所以5m -<

<-m >故选B

3．若坐标原点在圆2

2

2

22240x y mx my m +-++-=的内部，则实数m 的取值范围是（ ）

A ．()1,1- B

．⎛ ⎝⎭

C

．(

D

．(

【答案】D

【解析】把原点坐标代入圆的方程得:222002020240m m m +-⨯+⨯+-<

解得：m <本题正确选项：D

考法三 直线与圆

1．已知直线0x y +=与圆22

(1)()2x y b -+-=相切，则b = 。

【答案】3-或1

=∴|1|2b +=∴13b b ==-或

2．已知定点()00,P x y 在单位圆221x y +=内部，则直线001x x y y +=与圆22

1x y +=的位置关系

是 。 【答案】相离 【解析】

()00,p x y 在圆221x y +=的内部22

001x y ∴+<

因为圆心为(0,0)，半径为r

，所以圆心到直线的距离1d r =

>=∴直线与圆相离，

3．圆2

2

28130+--+=x y x y 的圆心到直线10ax y ++=的距离为1，则a = 。 【答案】125

-

【解析】因为2

2

28130+--+=x y x y 可转化为()()2

2

144x y -+-=，所以圆的圆心为()1,4，半径为

2，

因为圆心到直线10ax y ++=的距离为1，所以2411

1

a a ，解得125

a =-

， 4．圆2

2

28130+--+=x y x y 截直线10ax

y +-=所得的弦长为a = 。 【答案】43

-

【解析】圆2

2

28130+--+=x y x y ,即()()22

144x y -+-=

，则由垂径定理可得点到直线距离为

1

= ，根据点到直线距离公式可知1d =

=,化简可得()2231a a +=+ 解得

43

a =-

5．已知不全为0的实数a ，b ，c 满足2b a c =+，则直线0ax by c -+=被曲线22220x y x y +--=截得的弦长的最小值为（ ）．

A B ．1

C ．

D ．2

【答案】D 【解析】

2b a c =+∴直线0ax by c -+=过定点(1,2)A ,

因为2

2

220x y x y +--=，所以22

(1)(1)2x y -+-=

因此当圆心(1,1)C 与(1,2)A 连线垂直直线0ax by c -+=时，直线0ax by c -+=被曲线

22220x y x y +--=截得的弦长最小，此时最小值为212==⨯=

故选：D

6．已知O 为坐标原点，点P 在单位圆上，过点P 作圆C ：2

2

(4)(3)4x y -+-=的切线，切点为Q ，则

PQ 的最小值为（ ）

A B ．C ．2 D ．4

【答案】B

【解析】根据题意，圆2

2

:(4)(3)4C x y -+-=，其圆心(4,3)C ，半径2r ，

过点P 作圆2

2:(4)(3)4C x y -+-=的切线，切点为Q ，

则||PQ =，当||PC 最小时，||PQ 最小，

又由点P 在单位圆上，则||PC 的最小值为||114OC -==，则||PQ 的最小值为

=；

故选：B ．

考法四 圆与圆

1．若圆()()2

2

1:221C x y ++-=，()()2

2

2:2516C x y -+-=，则1C 和2C 的位置关系是（ ） A ．外离 B ．相交

C ．内切

D ．外切

【答案】D

【解析】可知，圆1C 的圆心为()12,2C -，半径为11r =，圆2C 的圆心()22,5C ，半径为24r =，

12125C C r r =

==+，因此，圆1C 与圆2C 外切.故选：D.

2．若圆22

1:4C x y +=与圆222:680C x y x y m +--+=外切，则实数m =（ ）

A ．24-

B ．16-

C ．24

D ．16

【答案】D