辅助角公式_教案
辅助角公式(高一必修四新授课)
两角和与差的正弦、余弦、正切公式的化归
-辅助角公式
教学目标：
知识与技能：熟练利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式化归以及辅助角公式的应用。
过程与方法：讲练结合法
情感、态度及价值观：会用联系变化的观点看待事物，增强解决问题的能力。
教学重点：熟练掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式和辅助角公式的应用。
教学难点：在应用辅助角公式进行化归求值的过程中，涉及两角和与差的正弦、余弦、正切公式的使用。
教学过程：
一、讲解新知：
课本6、化简
解：原式
解：原式
解：原式
知识点讲解：
辅助角公式：
有原式
或原式
其中，叫辅助角。
或
二、当堂训练：
课本6、化简
课本13、化简
答案：课本6、化简原式
课本13、化简原式原式
原式原式
三、课堂小结
四、课后作业。
8.2.2辅助角公式教学设计-2023-2024学年高一下学期数学人教B版(2019)必修第三册
§8.2.2 辅助角公式一、教学内容分析一般地，三角式sin cos a b αα±(0)ab ≠可通过添设辅助角，利用三角变换知识转化为22)a b αϕ+±，即本课所要讲解的辅助角公式．辅助角公式的作用是把两个同角的正弦、余弦三角式化为一个三角式的形式，从而起到化简三角式的作用．这个公式为日后继续研究三角比的问题提供了一个强有力的工具，是教材三角章节的重要拓展内容．逆推和构造是数学的重要思想方法，理解和掌握辅助角公式的来龙去脉是为后续其他三角公式的研究奠定基础．二、教学目标1． 掌握辅助角公式的推导和辅助角的意义；2． 应用辅助角公式和其他三角恒等式解决某些三角问题；3． 通过构造应用，培养思维的创造性、激发学习兴趣．【教学重点】辅助角公式的推导．【教学难点】辅助角公式的应用．三、教学方式PPT,小组讨论探究式学习.四、教学过程【问题探究】在前面的学习中，我们已经掌握了两角和角的正、余弦公式，那么如果我们逆向应用这一公式会得到什么启示？探究一、证明：√32sin x +12cos x =sin(x +π6)，并思考是否任意的asinx +bcosx 都可转化为Asin(x +φ)形式？【设计意图】探究一以小组讨论展开，三分钟左右时间讨论，并请同学展示小组探究结果。
通过这个简单的证明题，将学生的思路打开，有对公式进行逆向应用的思路，从而对探究二做好铺垫。
当然，这个题的证明方式是多样的。
总结：通过探究一让同学们意识到一个复杂的具有两种三角函数的计算式子可以转化为只有一种三角函数（sin x 或cos x ）的更为简洁的式子计算，从而减少了计算难度，更重要的是转化为只有一种三角函数式子又回归到前面学习过的重要的正弦型、余弦型函数（Asin(ωx +φ)、Acos(ωx +φ)），从而研究其性质。
探究二、√22sin 75°+√22cos 75°= √2 2sin 75°−√22cos 75°= 那么sin 75°+cos 75° = sin 75°−cos 75° = 猜想sin α+cos α = sin α−cos α=【设计意图】探究二对于前四个空，大部分同学都能算出来，用前面学习的两角和差的正、余弦公式即可，但对于后两空过渡到任意角，难度增大，大部分同学可能一脸茫然无从下手。
高中数学辅助角公式教案
高中数学辅助角公式教案
一、教学目标
1. 了解辅助角的概念和性质；
2. 掌握辅助角的相关公式和求解方法；
3. 能够运用辅助角公式解决相关问题。
二、教学重点
1. 辅助角的概念和性质；
2. 辅助角公式的掌握；
3. 辅助角公式的应用。
三、教学内容
1. 辅助角的概念和性质；
2. 正弦、余弦、正切、余切辅助角公式；
3. 应用举例与练习。
四、教学过程
1. 辅助角的概念和性质
- 引导学生理解辅助角的概念和性质，解释其在三角函数计算中的作用；- 讲解辅助角的意义和使用方法，引导学生积极思考和互动。
2. 正弦、余弦、正切、余切辅助角公式
- 介绍正弦、余弦、正切、余切辅助角公式的推导和应用；
- 指导学生掌握辅助角公式的应用方法，举例演练解题过程。
3. 应用举例与练习
- 给出一些具体的应用题目，让学生运用所学知识解题；
- 带领学生讨论解题思路和方法，及时纠正错误，加深理解。
五、教学反馈
1. 对学生的练习情况进行检查和评价；
2. 总结学生在辅助角公式运用中存在的问题，并指导学生进行巩固练习；
3. 鼓励学生积极参与课堂讨论和练习，提高解题能力。
六、课后作业
1. 完成课堂练习题和实践题；
2. 针对学生出现的问题进行针对性的练习；
3. 鼓励学生自主学习，准备下节课分享心得。
七、教学效果评估
1. 学生掌握辅助角概念、公式和应用的情况；
2. 学生能否熟练运用辅助角公式解题；
3. 学生对辅助角公式的理解和运用能力。
以上为高中数学辅助角公式教案范本，具体教学内容和安排可根据实际情况进行调整和完善。
辅助角公式及应用导学案
=_________________________________
________________________________
________________________________
________________________________
（2）
（3）-
变式训练：求 的最小正周期，最大值，最小值。
________________________________
二、新课探究
引例：例1、求证：
一般地, 是否可以化为一个角的三角函数形式呢?
合作探究：例2、化 为一个角的一个三角函数的形式.
尝试练习：将以下各式化为只含有正弦的形式，即化为 的形式
（1） （2）
（3） （4） （5）
三、公式应用
（1）
辅助角公式及应用导学案
课题：
辅助角公式及应用
学习目标：
1、能推导出辅助角公式的一般形式2、会将asinx+bcosx（a、b均不为零）化为只含有一个正弦的三角函数形式3、运用辅助角公式灵活解决综合题目
重点：
辅助角公式的掌．
难点：
辅助角公式的熟练运用
学习方法：启发式，探究式、讨论法
一、复习引入
两角和与差的正弦公式
辅助角公式及应用课件
利用代数方法推导
总结词
通过代数方法，我们可以将三角函数问 题转化为代数问题，从而推导出辅助角 公式。
VS
详细描述
利用代数方法，我们可以将三角函数问题 转化为代数问题。通过设置方程并求解， 我们可以得到辅助角公式的一般形式。这 种方法需要一定的代数基础和技巧，但适 用范围较广，可以处理各种复杂的三角函 数问题。
等。
在三角函数求值中的应用
辅助角公式可以用于求解某些特定类型的三角函数值，例如求正弦、余弦或正切值 。
通过使用辅助角公式，可以将复杂的三角函数问题转化为更易于解决的形式，从而 快速准确地找到答案。
辅助角公式还可以用于求解一些特殊角度的三角函数值，例如30度、45度或60度等 。
在三角函数图像变换中的应用
辅助角公式及应用课 件
汇报人：
202X-01-04
目录
CONTENTS
• 辅助角公式简介 • 辅助角公式的推导 • 辅助角公式的应用 • 辅助角公式的注意事项 • 辅助角公式的扩展 • 习题与解答
01
辅助角公式简介
辅助角公式的定义
辅助角公式是三角函数中用于将一个复杂的三角函数式转化 为易于处理的形式的公式。它通过引入一个辅助角，将原函 数表示为简单三角函数的组合。
辅助角公式可以用于对三角函 数图像进行平移、伸缩或翻转 等变换操作。
通过使用辅助角公式，可以将 图像变换问题转化为数学表达 式，从而更方便地进行图像处 理和操作。
辅助角公式还可以用于研究三 角函数图像的性质和特点，例 如周期性、对称性或极值点等 。
04
辅助角公式的注意 事项
公式的适用范围
适用角度范围
公式的误差分析
近似误差
辅助角公式在应用过程中会产生近似误差，主要来源于将复杂的 三角函数转化为简单的三角函数。
辅助角公式_教案
辅助角公式1、复习•引入 两角和与差的正弦公式()sin αβ+=_________________________________()sin αβ-=_________________________________ 利用公式展开sin 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭=_____________________反之,αα化简为只含正弦的三角比的形式，则可以是αα=_____________________________ 尝试：将以下各式化为只含有正弦的形式，即化为)sin(βα+A ()0A >的形式（11cos 2αα+ （2）sin αα 2、例题例１、试将以下各式化为)sin(βα+A ()0A >的形式.（11cos 2αα- （2）ααcos sin +（3αα （4）ααcos 4sin 3-例2、试将以下各式化为)sin(βα+A （),[,0ππβ-∈>A ）的形式.（1）sin cos αα-（2）ααsin cos - （3）cos αα-例3、若sin(50)cos(20)3x x +++=，且0360x ≤<，求角x 的值。
例42)cos()12123x x ππ+++=，且 02x π-<<，求sin cos x x -的值。
4、思考 （1）公式()sin cos a b αααβ++中角β如何确定?（2）能否会将ααcos sin b a +（a 、b 不全为零）化为只含有余弦的一个三角比的形式？5、练习(1)3cos 66ππαα⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ =________________（化为)sin(βα+A ()0A >的形式） (2) 、关于x的方程12sin x x k =有解，求实数k 的取值范围。
(3)、已知46sin 4m x x m-=-，求实数m 的取值范围。
(4)、利用辅助角公式化简：()sin801cos50︒︒︒ （1）1sin cos 22αα+； （2cos αα+；（3）5sin 12cos αα+二、公式sin cos ))a xb x x x x ϕ+=+=+其中辅助角ϕ由cos sin ϕϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ϕ的终边经过点(,)a b 三、公式应用1. 试将以下各式化为sin()A αϕ+（ 0,[0,2)[,)A ϕπϕππ>∈∈-或 ）的形式：（1）sin cos αα+； （2）sin cos αα-+；（3）sin cos αα--； （4）sin cos αα-；（5）3sin 4cos αα+； （6）3sin 4cos αα-；（7）3sin 4cos αα-+； （8）3sin 4cos αα--2. 2)cos()12123x x ππ+++=，且 02x π-<<，求sin cos x x -的值。
辅助角公式
学之导教育中心教案学生: 黄毅 授课时间: 5.5 课时: 2 年级: 高一 教师： 廖课 题 和函数教学构架一、 知识回顾 二、错题再现 三、知识新授 四、小结与预习 教案内容 一、 知识回顾1、倍角公式2、两角和差的正、余弦、正切二、错题再现1、求下列各式的值 (1)︒+︒︒-︒15sin 15cos 15sin 15cos （2）tan18°+tan42°+3tan18°tan42°2、结合二倍角公式，填空:（1）_____sin cos 44=-αα (2)_______4cos =α_______=_______=(3) 21cos 28π-3、52cos5cosππ的值等于（ ）A 、 41 B 、 21 C 、2 D 、 4本次内容掌握情况 总结教 师 签 字学 生 签 字三、知识新授（一）和函数公式 例1、化简（1）13cos sin 22x x-（2）3sin cos x x +（3）2（sinx-cosx ） （4）2cos 6sin x x -练1、（1）sinx+cosx (2)2(sin cos )x x - (3)26sin()cos()4444x x ππ-+-(4)31sin cos 22αα-(5)(6)2sin 6cos αα+（二）和函数的综合应用例1、函数22cos sin 2y x x =+的最小值是___________练1、已知函数.,2cos32sin R x x x y ∈+=（1）求y 取最大值时相应的x 的集合；3sin 2cos 2αα+（2）该函数的图象经过怎样的平移和伸变换可以得到)(sin R x x y ∈=的图象.2、y=sinxcosx+x 2cos 3图像的一个对称中心是？3、f(x)=sin 2x+2sinxcosx+3cos 2x,求f(X)的最小值及取最小值时，x 的取值。
求f(x)的单调区间。
高三数学辅助角公式
2.3辅助角公式及其应用————[重点难点了然于胸]—————[落实数学学科素养]————1、能逆用βα+S ，βα-S ，βα+C ，βα-C 化简三角函数式，并总结出“辅助角”公式。
2、会利用“辅助角”公式化简三角函数式。
3、掌握形如函数x b x a x f cos sin )(+=)0(≠ab 的图像与性质。
重点：1、“辅助角”公式的推导及其应用。
2、函数x b x a x f cos sin )(+=图像与性质。
难点：“辅助角”公式的推导及xb x a y cos sin +=图像与性质。
一、阅读教材P148“三角函数的叠加及其应用”部分【复习导入】1、两角和与差的余弦公式公式特征：同名积异号连，余余正正，余在前。
2、两角和与差的正弦公式公式特征：异名积同号连，正余余正，正两边。
3、两角和与差的正切公式公式特征：子同母异符号连，楼上隔开两正间（谐“切”），楼下一人积两间（谐“切”）。
思考：正用和、差角公式，可以把βα±的三角函数转化为α，β的三角函数，从而可由α，β的三角函数值求得βα±的三角函数；如果逆用公式，是不是可以将三角函数式化简？问题1：如何将下列三角函数式化简？（1）=+x x sin 30cos cos 30sin 00；（2）=-x x cos 45cos sin 45sin 00；（3）=-x x cos 23sin 21或；（4）=+x x cos sin 3或；（5）=-x x cos sin 或。
问题2：如何将x b x a cos sin +)0(≠ab 化简？分析：x b x a cos sin +)cos sin (222222x ba b x ba ab a ++++=由于1)()(222222=+++b a b ba a ，所以，引入辅助角ϕ，使得22cos ba a +=ϕ，22sin ba b +=ϕ，所以，x b x a cos sin +)cos sin sin (cos 22x x b a ϕϕ++=)sin(22ϕ++=x b a （其中ab=ϕtan ）。
辅助角公式
学案
一、知识回顾：
两角和与差的正余弦公式：
二、新课探究：
1、利用和差角公式计算下列各式的值：
练习：
2、求证：cos2sin()
6
π
ααα
=+
3、将sin cos
a x
b x
+化为一个角的正弦形式。
P(a,b)总有一个角φ的终边经过点P ，设
由三角函数定义可知： b= a=
辅助角公式推导
对于一般形式ααcos sin b a +（a 、b 不全为零），如何将表达式化简为只含有正弦的三角比形式 其中辅助角φ
由
cos __________
sin ___________
φφ== 确定，即辅助角φ（通常02φπ≤≤）
的终边经过点P (,)a b
------------------我们称上述公式为辅助角公式，其中角φ为
辅助角。
4、 将下列各式化为一个角的正弦形式
5、
求函数sin y x x =+的周期、最大值与最小值。
课堂检测： 思考：
6、求函数44sin cos cos y x x x x =+-的最小正周期、最大值与最小值；并写出该函数在[0,]π上的单调递增区间。
高中数学新北师大版精品教案《辅助角公式专题》
第三章 三角恒等变形 第2节 两角和与差的三角函数之辅助角（又称合一）公式sin cos sin()a b A θθθϕ+=+【】专题教学设计 梧州高级中学数学组 周勇辅助角公式是三角变换中最重要的公式，在解决三角函数问题过程中具有广泛地应用，由于公式的推导理解和灵活运用有一定的难度，所以需要进行专题的讲解。
根据内容特点，我做出如下的教学设计。
一、学习目标1、知识与技能1掌握辅助角公式的推导过程，认识辅助角公式的作用和意义。
2利用辅助角公式进行简单的三角函数变形和求值，能解决某些简单的三角函数问题。
2、过程与方法以问题链为导学方式来帮助学生完成本节内容的学习，着重抓住学生的思维发展过程，先引导学生复习两角和差的正余弦公式并通过具体实例训练逆向使用，从中启发学生认真观察、类比、思考，深入挖掘得出辅助角公式并进行理论推导和证明，体会公式的作用和意义，并学会模仿使用公式和灵活运用。
3、情感目标与价值观通过让学生历练数学问题解决的思维发展过程，让学生体会辅助角公式的产生是自然的，方法是多样的，结果是简洁的，感受到思维的快乐和数学的美感。
【学习重点】辅助角公式的推导。
【学习难点】辅助角公式的应用。
【学法指导】通过个人自主探究和小组互相讨论，激发学生学习兴趣。
二、学习内容与过程：情景设置：（一）复习引入，公式巩固sin()αβ+=sin cos cos sin αβαβ+ sin()αβ-=sin cos cos sin αβαβ-cos()αβ+=cos cos sin sin αβαβ- cos()αβ-=cos cos sin sin αβαβ+请分析上述公式形式特点，得出其记忆口诀（左复右单，正同名异，余异名同）。
设计意图：通过复习回顾公式，一方面归纳出公式形式上的特点来巩固和帮助学生记忆公式，另一方面为后续逆向使用公式提供必要铺垫。
情景设置：（二）问题探究，观察思考1.请利用正余弦和差公式进行展开：sin()6πθ+=1cos 22θθ+2请将下面式子化为只含正弦名称的三角函数形式：1sin 2θθ+=sin()3πθ+ 设计意图：通过以上两个具体实例帮助学生从正向和逆向使用公式，增强思维的互逆性，另外特别训练学生的观察能力。
《辅助角公式》 导学案
《辅助角公式》导学案一、学习目标1、理解辅助角公式的推导过程。
2、掌握辅助角公式的形式和特点。
3、能够熟练运用辅助角公式进行三角函数的化简、求值和证明。
二、学习重难点1、重点（1）辅助角公式的推导。
（2）辅助角公式的应用。
2、难点辅助角公式中辅助角的确定。
三、知识回顾1、两角和与差的正弦、余弦公式（1）＼（＼sin(＼alpha ＋＼beta) ＝＼sin\alpha\cos\beta ＋＼cos\alpha\sin\beta\）（2）＼（＼sin(＼alpha ＼beta) ＝＼sin\alpha\cos\beta ＼cos\alpha\sin\beta\）（3）＼（＼cos(＼alpha ＋＼beta) ＝＼cos\alpha\cos\beta ＼sin\alpha\sin\beta\）（4）＼（＼cos(＼alpha ＼beta) ＝＼cos\alpha\cos\beta ＋＼sin\alpha\sin\beta\）2、同角三角函数的基本关系（1）＼（＼sin^2\alpha ＋＼cos^2\alpha ＝ 1\）（2）＼（＼tan\alpha ＝＼frac{＼sin\alpha}｛＼cos\alpha}＼）四、辅助角公式的推导对于形如\（a\sin x ＋ b\cos x\）的式子，我们可以通过三角函数的和角公式将其化为一个角的三角函数形式。
＼＼begin{align}a\sin x ＋ b\cos x ＆＝＼sqrt{a^2 ＋ b^2}＼left(＼frac{a}｛＼sqrt{a^2 ＋ b^2}｝＼sin x ＋＼frac{b}｛＼sqrt{a^2 ＋ b^2}｝＼cosx\right)＼＼＼end{align}＼令\（＼cos\varphi ＝＼frac{a}｛＼sqrt{a^2 ＋ b^2}｝＼），＼（＼sin\varphi ＝＼frac{b}｛＼sqrt{a^2 ＋ b^2}｝＼），则：＼begin{align}a\sin x ＋ b\cos x ＆＝＼sqrt{a^2 ＋ b^2}＼left(＼cos\varphi\sin x ＋＼sin\varphi\cos x\right)＼＼＆＝＼sqrt{a^2 ＋ b^2}＼sin(x ＋＼varphi)＼end{align}＼其中\（＼varphi\）称为辅助角，＼（＼tan\varphi ＝＼frac{b}｛a}＼）。
辅助角公式教案范文
辅助角公式教案范文一、辅助角公式的原理（300字）具体来说，我们可以通过以下几种方法引入辅助角：1.两角和与两角差公式：利用三角函数中的和差公式，将一个角的三角函数表示成两个角的三角函数的和或差。
2.导出辅助角：通常情况下，我们可以通过其中一种变换或运算，得到一个较为简单的三角函数表达式，该表达式中采用了其他角的三角函数。
二、辅助角公式的应用（400字）1.化简复杂表达式：辅助角公式可以将一个复杂的三角函数表达式转化成若干个较为简单的三角函数的和或差的形式，从而便于进行计算和简化。
2.求解三角方程：在解三角方程时，有时候需要将方程中的三角函数表达式进行化简，而辅助角公式可以在一定程度上帮助我们简化方程并求解。
3.凑公式：在一些特定的数学问题求解中，我们需要凑公式，使用辅助角公式可以将复杂的表达式转化成一些常见的三角函数表达式，使问题求解更加方便。
三、辅助角公式的示例（500字）1.例题一正弦和余弦的辅助角公式已知点P(x, y)在单位圆上，且点P的x坐标为cosθ，y坐标为sinθ。
求证：cos(π/2-θ)=sinθ。
解析：由已知条件，将点P转化成极坐标(r, θ)的形式，即r=1，θ=arccosx。
而根据极坐标与直角坐标之间的关系可知，cosθ=x，sinθ=y。
我们有：cos(π/2-θ)=cos(π/2-arccosx)=sin(arccosx)=y=sinθ所以，证毕。
2.例题二正切的辅助角公式已知点P(x, y)在单位圆上，且点P的x坐标为cosθ，y坐标为sinθ。
求证：tanθ=sinθ/cosθ。
解析：由已知条件，将点P转化成极坐标(r, θ)的形式，即r=1，θ=arccosx。
而根据极坐标与直角坐标之间的关系可知，cosθ=x，sinθ=y。
我们有：tanθ=sinθ/cosθ=y/x由已知条件x=cosθ可以得到：tanθ=sinθ/cosθ所以，证毕。
3.例题三和差角的辅助角公式求证：tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)。
辅助角公式及应用课件
复数方法是一种有效的推导辅助角公式的方法。通过将三角函数表示为复数形式，我们 可以利用复数的基本运算规则和三角函数的性质来推导辅助角公式。这种方法能够直观 地揭示辅助角公式的内在逻辑和数学结构，有助于深入理解辅助角公式的应用和推广。
CHAPTER 03
辅助角公式的应用
在三角函数化简中的应用
详细描述
三角函数的和差化积公式是推导辅助角公式的关键工具之一。通过利用这些公式，我们可以将两个或多个三角函 数的和或差转化为单一的三角函数形式，从而简化问题。例如，我们可以将正弦函数和余弦函数的和或差转化为 正切函数或余切函数，进一步推导出辅助角公式。
利用三角函数的倍角公式推导
总结词
通过三角函数的倍角公式，我们可以将一个角的三角函数值转化为两个角之和或差的三角函数值，从 而推导出辅助角公式。
辅助角公式及应用课件
CONTENTS 目录
• 辅助角公式简介 • 辅助角公式的推导 • 辅助角公式的应用 • 辅助角公式的扩展 • 辅助角公式的注意事项
CHAPTER 01
辅助角公式简介
辅助角公式的定义
01
辅助角公式是三角函数中用于将 一个复杂的三角函数式转化为简 单三角函数式的一组公式。
02
误差大小
误差的大小取决于角度、参数的选择 以及使用的近似方法。
THANKS
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辅助角公式的局限性
近似性
辅助角公式通常基于近似 计算，因此结果的精度可 能受到限制。
适用性
辅助角公式可能不适用于 某些特定问题或复杂情况 。
计算复杂性
对于一些复杂问题，辅助 角公式的计算可能较为繁 琐。
辅助角公式的误差分析
误差来源
误差控制
金典教案-辅助角公式（精编文档）.doc
⾦典教案-辅助⾓公式（精编⽂档）.doc【最新整理，下载后即可编辑】辅助⾓公式sin cos )a b θθθ?+=+教学应注意的的⼏个问题在三⾓函数中，有⼀种常见⽽重要的题型，即化sin cos a b θθ+为⼀个⾓的⼀个三⾓函数的形式，进⽽求原函数的周期、值域、单调区间等.为了帮助学⽣记忆和掌握这种题型的解答⽅法,教师们总结出公式sin cos a b θθ+)θ?+或sin cos a b θθ+cos()θ?-,让学⽣在⼤量的训练和考试中加以记忆和活⽤.但事与愿违,半个学期不到,⼤部分学⽣都忘了,教师不得不重推⼀遍.到了⾼三⼀轮复习,再次忘记,教师还得重推!本⽂旨在通过辅助⾓公式的另⼀种⾃然的推导,体现⼀种解决问题的过程与⽅法,减轻学⽣的记忆负担;同时说明“辅助⾓”的范围和常见的取⾓⽅法,帮助学⽣澄清⼀些认识;另外通过例⼦说明辅助⾓公式的灵活应⽤,优化解题过程与⽅法;最后通过例⼦说明辅助公式在实际中的应⽤,让学⽣把握辅助⾓与原⽣⾓的范围关系,以更好地掌握和使⽤公式.⼀.教学中常见的的推导⽅法教学中常见的推导过程与⽅法如下1.引例例1α+cos α=2sin （α+6π）=2cos （α-3π）. 其证法是从右往左展开证明,也可以从左往右“凑”,使等式得到证明,并得出结论:可见, α+cos α可以化为⼀个⾓的三⾓函数形式.⼀般地,asin θ+bcos θ是否可以化为⼀个⾓的三⾓函数形式呢?2.辅助⾓公式的推导例2 化sin cos a b θθ+为⼀个⾓的⼀个三⾓函数的形式.解: asin θ+bcos θsin θcos θ),①则asin θ+bcos θθcos ?+cos θsin ?)θ+?),(其中tan ?=b a ) ②=sin ?,则asin θ+bcos θθsin ?+cos θcos ?s(θ-?),(其中tan ?=a b ) 其中?的⼤⼩可以由sin ?、cos ?的符号确定?的象限,再由tan ?的值求出.或由tan ?=b a 和(a,b)所在的象限来确定. 推导之后,是配套的例题和⼤量的练习.但是这种推导⽅法有两个问题:⼀是为什么要令=cos ?=sin ??让学⽣费解.⼆是这种 “规定”式的推导,学⽣难记易忘、易错!⼆.让辅助⾓公式sin cos a b θθ+)θ?+来得更⾃然能否让让辅助⾓公式来得更⾃然些?这是我多少年来⼀直思考的问题.2009年春.我⼜⼀次代2008级学⽣时,终于想出⼀种与三⾓函数的定义衔接⼜通俗易懂的教学推导⽅法.⾸先要说明，若a=0或b=0时，sin cos a b θθ+已经是⼀个⾓的⼀个三⾓函数的形式，⽆需化简.故有ab ≠0. 1.在平⾯直⾓坐标系中,以a 为横坐标,b 为纵坐标描⼀点P(a,b)如图1所⽰,则总有⼀个⾓?,它的终边经过点P.设由cos ?=a r =. 所以asin θ+bcos θsin θcos θ)θ?+.(其中tan ?=b a ) 2.若在平⾯直⾓坐标系中,以b 为横坐标,以a 为纵坐标可以描点P(b,a),如图2所⽰,则总有⼀个⾓?的终边经过点P(b,a),设OP=r,则r=.由三⾓函数的定义知sin ?=a r, cos ?=b rasin θ+bcos θsin cos ?θ?θ+s()θ?-. (其中tan ?=a b) 例3cos θθ+为⼀个⾓的⼀个三⾓函数的形式. 解:在坐标系中描点P(设⾓?的终边过点P,则OP∴cos θθ+=2cos ?sin θ+2sin ?cos θ=2sin(θ?+).tan ?=3. 26k π?π=+,cos θθ+=2sin(6πθ+).经过多次的运⽤,同学们可以在教师的指导下,总结出辅助⾓公式asinθ+bcosθ=(sinθ+cosθ)=)θ?+,(其中tan?=ba).或者asinθ+bcosθ=(sinθ+cosθ)=))我想这样的推导,学⽣理解起来会容易得多,⽽且也更容易理解asinθ+bcosθ凑成sinθcosθ)的道理,以及为什么只有两种形式的结果.例4化sinαα-为⼀个⾓的⼀个三⾓函数的形式.解法⼀:点(1,-)在第四象限.OP=2.设⾓?过P点.则sin2=-,1cos2=.满⾜条件的最⼩正⾓为53π,52,.1sin2(sin cos)2(sin cos cos sin)22552sin()2sin(2)2sin().33kααααα?α?α?αππαπ∴-=-=+=+=++=+解法⼆:点P(-,1)在第⼆象限,OP=2,设⾓?过P点.则1sin2=,cos2=-.满⾜条件的最⼩正⾓为56π,52,.6k k Z1sin2(sin cos)2(sin sin cos cos)22552cos()2cos(2)2cos().66kααααα?α?α?αππαπ∴-=-=+=-=--=-三.关于辅助⾓的范围问题由sin cos)a bθθθ?+=+中,点P(a,b)的位置可知,终边过点P(a,b)的⾓可能有四种情况(第⼀象限、第⼆象限、第三象限、第四象限).设满⾜条件的最⼩正⾓为1?,则12k ??π=+.由诱导公式(⼀)知1sin cos ))a b θθθ?θ?+=+=+．其中1(0,2)?π∈，1tan b a ?=，1?的具体位置由1sin ?与1cos ?决定，1?的⼤⼩由1tan b a=决定．类似地，sin cos )a b θθθ?+=-，?的终边过点Ｐ（ｂ，ａ），设满⾜条件的最⼩正⾓为2?，则22.k ??π=+由诱导公式有2sin cos cos())a b θθθ?θ?+=-=-，其中2(0,2)?π∈，2tan a b ?=，2?的位置由2sin ?和2cos ?确定，2?的⼤⼩由2tan a b ?=确定．注意：①⼀般地，12??≠；②以后没有特别说明时，⾓1?（或2?）是所求的辅助⾓．题是，并不是每次都要化为1sin cos )a b θθθ?+=+的形式或2sin cos )a b θθθ?+=-的形式．可以利⽤两⾓和与差的正、余弦公式灵活处理．例５化下列三⾓函数式为⼀个⾓的⼀个三⾓函数的形式．cos αα-；（２）sin()cos()6363ππαα-+-．解：1cos sin cos )222(sin cos cos sin )2sin()666ααααπππααα-=-=-=-（２）sin()cos()63631[sin()cos()]32323[sin()cos cos()sin ]333332sin()33ππααππααππππααπα-+-=-+-=-+-=-在本例第（１）⼩题中，a =1b =-，我们并没有取点．也就是说，当a 、b 中⾄少有⼀个是负值时．我们可以取Ｐ（a ，b ），或者Ｐ（b ，a ）．这样确定的⾓1?（或2?）是锐⾓，就更加⽅便．例6 已知向量(cos(),1)3a x π=+,1(cos(),)32=+,求函数()h x =2a b b c ?-?+的最⼤值及相应的x 的值.解:21()cos ()sin()cos()23233h x x x x πππ=+--+++ =21cos(2)1233sin(2)2232x x ππ++-++ =1212cos(2)sin(2)2323xx ππ+-++=22cos(2)sin(2)]22323x x ππ+-++=11cos(2)2212x π++ max ()2.2h x ∴=+这时111122,.1224x k x k k Z ππππ+==-∈. 此处,若转化为两⾓和与差的正弦公式不仅⿇繁,⽽且易错,请读者⼀试.五.与辅助⾓有关的应⽤题与辅助⾓有关的应⽤题在实际中也⽐较常见,⽽且涉及辅⾓的范围,在相应范围内求三⾓函数的最值往往是个难点.例7 如图3,记扇OAB 的中⼼⾓为45?,半径为1,矩形PQMN 内接于这个扇形,求矩形的对⾓线l 的最⼩值.解:连结OM,设∠AOM=θ.则MQ=sin θ,OQ=cos θ,OP=PN=sin θ. PQ=OQ-OP=cos sin θθ-.222l MQ PQ =+=22sin (cos sin )θθθ+-=31(sin 2cos 2)2θθ-+ =13sin(2)22θ?-+,其中11tan 2?=,1(0,)2π?∈,11arctan 2?=. 04πθ<<,111arctan 2arctan .222πθ?∴<+<+ 2min322l ∴=-,min 12l -=. 所以当11arctan 422πθ=-时, 矩形的对⾓线l 的最⼩值为12-.θ N B M A Q P O 图3。
辅助角公式通用课件
随着数学与其他学科的交叉融合 ，辅助角公式将会在更多领域发
挥其重要的作用。
未来研究的方向与展望
对于辅助角公式的深入研究，可以进一步探索其与其他数学知识的联系 和区别，促进数学知识的系统化。
可以尝试推广辅助角公式，将其应用于更广泛的数学问题中，以拓展数 学的应用领域。
可以结合现代数学技术和方法，研究辅助角公式的计算方法和算法，提 高其计算效率和精度。
角）的三角函数值。
辅助角公式在解决三角函数问题 时具有广泛的应用，可以简化计
算过程，提高解题效率。Fra bibliotek辅助角公式的推导过程涉及到三 角函数的诱导公式和和差公式等 基础知识，需要学生熟练掌握。
辅助角公式的应用前景展望
随着数学教育的普及和提高，辅 助角公式将会被更广泛地应用于
解决实际问题中。
在物理、工程、经济等领域，辅 助角公式也有着广泛的应用前景 ，可以用于解决各种涉及三角函
实际应用案例
通过实际应用案例，可以深入理解辅助角公式的应用场景和优势，如物理、工 程、经济等领域的问题解决。
05 辅助角公式的习题与解答
辅助角公式的常见习题
习题1
01
已知角α的终边在第二象限，求α的集合。
习题2
02
已知sinα=-√3/2，求α在哪个象限。
习题3
03
已知cosα=1/2，求α的值。
02 辅助角公式的推导与证明
三角函数的和差化积公式
三角函数的和差化积公式是三角函数 中非常重要的公式之一，它可以将两 个三角函数的和差形式转化为积的形 式，从而简化计算。
这个公式在解决三角函数问题时非常 有用，可以大大简化计算过程。
具体来说，对于任意两个角度α和β， 三角函数的和差化积公式为： sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ。
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辅助角公式2010-4-7
一、教学目标
1、会将ααcos sin b a +（a 、b 不全为零）化为只含有正弦的一个三角比的形式
2、能够正确选取辅助角和使用辅助角公式
二、教学重点与难点 辅助角公式的推导与辅助角的选取
三、教学过程
1、复习•引入 两角和与差的正弦公式
()sin αβ+=_________________________________
()sin αβ-=_________________________________ 口答：利用公式展开sin 4πα⎛⎫
+ ⎪⎝⎭=_____________________ 反之,
αα
化简为只含正弦的三角比的形式，则可以是αα=_____________________________ 尝试：将以下各式化为只含有正弦的形式，即化为)sin(βα+A ()0A >的形式
（1
1cos 2
αα+ （2
）sin αα 2、辅助角公式•推导
对于一般形式ααcos sin b a +（a 、b 不全为零），如何将表达式化简为只含有正弦的三角比形式？
sin cos ))
a b αααααβ+=+
其中辅助角β
由cos sin ββ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
β（通常πβ20<≤）的终边经过点(,)a b
------------------我们称上述公式为辅助角公式，其中角β为辅助角。
3、例题•反馈
例１、试将以下各式化为)sin(βα+A ()0A >的形式.
（11cos 2
αα- （2）ααcos sin +
（3αα （4）ααcos 4sin 3- 例2、试将以下各式化为)sin(βα+A （),[,0ππβ-∈>A ）的形式.
（1）sin cos αα- （2）ααsin cos - （3）cos αα- 例3、若sin(50)cos(20)3x x +++=，且0360x ≤<，求角x 的值。
例42)cos()12123x x π
π
+++=，且 02
x π-<<，求sin cos x x -的值。
4、小结•思考 （1）公式()sin cos a b αααβ++中角β如何确定?
（2）能否会将ααcos sin b a +（a 、b 不全为零）化为只含有余弦的
一个三角比的形式？
5、作业布置
(1)3cos 66ππαα⎛⎫⎛⎫
+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ =________________（化为)sin(βα+A ()0A >的形式）
(2) 、关于x 的方程12sin x x k =
有解，求实数k 的取值范围。
(3)、已知46sin 4m x x m
-=-，求实数m 的取值范围。
(4)、利用辅助角公式化简：()
sin801cos50︒
︒︒ 四、教学反思。