高等代数-矩阵方法

0 D
E − BD −1 E 0
列消法阵： E −1 −D C 至于行列式的计算，这里就不重复做了. A B 例 2、对分块矩阵 ，设 A, D 均可逆，则有 C D 0 E
E −CA−1
0 A B E − A−1 B A 0 = −1 E C D 0 E 0 D − CA B
A 0 B D − CA−1 B = A ⋅ D − CA−1 B = A( D − CA−1 B) = AD − ACA−1 B = AD − CAA−1 B = AD − CB
所以 A C 这个结果类似于二阶矩阵的乘法. A B 若将 化为准下三角矩阵，这里类似于上面方法简化讨论： C D 引入列消法阵： B D = AD − CB
BA = ( β1 , β 2 ,⋯ , β m )(aij ) m×n = ( a11β1 + a21β 2 + ⋯ + am1β m ,⋯ , a1n β1 + a2 n β 2 + ⋯ + amn β m )
表明 BA 的列向量组能由 B 的列向量组线性表出，或说， BA 的任何一个列向量 都是 B 的列向量组的线性组合，且它们的组合系数是 B 对应列的分量；
a3
a1 a2 A3 = b1 b2 5c + 2b + a 5c + 2b + a 1 1 2 2 2 1
第四步： A3 的第二行乘以 4，得
b3 5c3 + 2b3 + a3
a3
a1 a2 Fra Baidu bibliotek A4 = 4b1 4b2 5c + 2b + a 5c + 2b + a 1 1 2 2 2 1
0 = C − CA−1 ⋅ A
故只需第一行右乘 −CA−1 往第二行加即可. 先对单位矩阵作这样的初等变换，得 E −1 −CA 这个矩阵叫做行消法阵，这是因为： E −1 −CA 将 C 消去了. 因为
E 0
−1
0 E
0 A B A B = −1 E C D 0 D − CA B
P (i, j ) A ：交换 A 的第 i 行与第 j 行； AP (i, j ) ：交换 A 的第 i 列与第 j 列； P (i (c)) A ：将 A 的第 i 行乘以 c ； AP (i (c)) ：将 A 的第 i 列乘以 c ； P (i, j (k )) A ：将 A 的第 i 行加上第 j 行的 k 倍； AP (i, j (k )) ：将 A 第 j 列加上第 i 列的 k 倍.
2 0 0 知道这个一般性理论后，现在回头看例子，由于 B = 3 4 0 ，故 1 2 5 2α1 a1 a2 BA = 3α1 + 4α 2 = 4b1 + 3a1 4b2 + 3a2 α + 2α + 5α 5c + 2b + a 5c + 2b + a 1 1 2 2 2 1 2 3 1
A C B D
= AD − CB .
综上所述，恒有
A C B D
= AD − CB .
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连续性理论适合于一般的结论对可逆的情况容易解决而不可逆的情况不容 易解决的不可逆的情况. 下面用分块矩阵法和连续性理论方法探讨 AB 与 BA 的特征值的关系. 不妨设 A 为 m × n 矩阵， B 为 n × m 矩阵. 分块矩阵法： 分块矩阵法： 法一） ：注意有：
−CA
E
= 1 ，所以
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A B E = C D −CA−1
0 A B E ⋅ = −1 E C D −CA
0 A B A B = E C D 0 D − CA−1 B
B A 而 是准上三角矩阵，故有 −1 0 D − CA B
从右往左看， 这是因为先作的初等行变换对应的初等矩阵在后作的初等行变换对 应的初等矩阵的右边.， B 是由单位矩阵 E 连续作六次初等行变换的来的， A 右 乘 B ，即 BA 表示了对 A 连续作了对应的六个初等行变换： 第一步： A 的第三行乘以 5 ，得
a1 a2 A1 = b1 b2 5c 5c 2 1
到这， 我们很容易看出， 要对矩阵 A 作一个初等行 （列） 变换， 就相当于 A 右 （左） 乘一个对单位矩阵作同样的初等变换后得到的矩阵即可. 我们知道，任何一个可逆矩阵都可表为一系列初等矩阵之积，那么矩阵 A 左 (右)乘一个可逆矩阵就相当于对 A 的列作相应的一系列的初等列（行）变换.
a1 例 1：设 A = b1 c 1
a3 b3 5c3
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第二步： A1 的第三行加上第二行的 2 倍，得
a2 a1 A2 = b1 b2 5c + 2b 5c + 2b 1 2 2 1
第三步： A2 的第三行加上第一行，得
b3 5c3 + 2b3
a3
a1 a2 A6 = 4b1 + 3a1 4b2 + 3a2 5c + 2b + a 5c + 2b + a 1 1 2 2 2 1
第二种理解法：分块矩阵的乘法 分块矩阵的乘法一般性理论： 设 A = (aij ) m×n , B = (bij ) s×m ，
4b3 + 3a3 5c3 + 2b3 + a3
Em 0
A 0 0 AB 0 = B 0 En B 0 A 0 0 = En B BA
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方法小结
一、分块矩阵 从初等矩阵说起， P (i, j ) 表示交换单位矩阵 E 的第 i 行（列）与第 j 行（列） 得到的初等矩阵； P(i (c)) 表示单位矩阵 E 的第 i 行（列）乘以数 c 得到的初等矩 阵； P(i, j (k )) 表示单位矩阵 E 的第 i 行加上第 j 行的 k 倍，也表示单位矩阵 E 的 第 j 列加上第 i 列的 k 倍所得到的初等矩阵.
第五步： A4 的第二行加上第一行的 3 倍，得
4b3 5c3 + 2b3 + a3
a3
a1 a2 A5 = 4b1 + 3a1 4b2 + 3a2 5c + 2b + a 5c + 2b + a 1 1 2 2 2 1
第六步： A5 的第一行乘以 2，得
4b3 + 3a3 5c3 + 2b3 + a3
∵ AC = CA
0 A B A B = −1 E C D 0 D − CA B
∴
A B E = C D −CA−1
0 A B E ⋅ = −1 E C D −CA
0 A B A B = E C D 0 D − CA−1 B
= A ⋅ D − CA−1 B = A( D − CA−1 B ) = AD − ACA−1 B = AD − CAA−1 B = AD − CB
若 A 不可逆，若 A 为幂零矩阵，则 A 的特征值只有 0，所以 ∀ε > 0 ，ε E + A 可逆.
∵ AC = CA ∴ (ε E + A)C = C (ε E + A) ，利用 A 可逆的情况的结论可得
a2 b2 c2
a3 2 0 0 b3 ， B = 3 4 0 . 1 2 5 c3
第一种理解法：初等变换法
2 1 1 1 1 1 B= 1 3 1 4 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 5
εE + A B
C D
= (ε E + A) D − CB
上式两端显然是关于 ε 的连续函数，对上式令 ε → 0 ，可得
A C B D
= AD − CB .
若 A 不是幂零矩阵，则 A 必有非零特征值，设 λ1 , λ2 ,⋯ , λs ( s < n) 为 A 的所有非零 特征值，并设 δ = min { λ1 , λ2 ,⋯ , λs } ，则 ∀ε ∈ (0, δ ) ， ε E + A 可逆. 用上面方法同样可得
上面两个等式两边同时取行列式可得
λ n λ Em − AB = λ m λ En − AB
若 λ ≠ 0 ，则 λ Em − AB = 0 等价于 λ En − AB = 0 ，故
AB 与 BA 有相同的非零特征值（包括重数）
或说
AB 与 BA 的特征值之差 m − n 个 0.
0 0 法二） ：考虑分块矩阵： B 0 因为
E − A−1 B E 0 E − A−1 B A B A − A−1 BC = E C D C 0
可得 A B = AD − A−1 BCD C D 若要以 D 得到最简化的结果，还得要求 D 可逆和 BD = DB ，得 行消法阵：
这两种方法得到了同一个结果. 再说分块矩阵的初等变换：
A B A B 对分块矩阵 . ，不妨设 A 可逆， AC = CA ，计算 C D C D
4b3 + 3a3 5c3 + 2b3 + a3
a3
思路， 对这样的分块矩阵的计算行列式的问题需要把分块矩阵化成准上三角或准 A B 下三角矩阵. 在这里化成准上三角矩阵. 为了将 化成准上三角矩阵，必 C D 须将 C 的位置化为 0 ，由 A 可逆可知，可以用第一行（块行）去消 C ，由于
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E − BD −1 A B E −1 E C D −D C 0
0 A − BD −1C = E 0
0 D
类似地，若 A 可逆， D 是否可逆未知或不可逆，只能得到前者；若 D 可逆， A 是 否可逆未知或不可逆，只能得到后者. 二、连续性理论 例如东北大学 2002 年真题的最后一题中的方法就是连续性理论： 设 A, B, C , D 均为 n 阶方阵，且 AC = CA . 求证： A B = AD − CB . C D 证明：若 A 可逆，则 E −1 −CA
Em 0
和
− A λ Em λ En B
A λ Em − AB 0 = λ En En λ B A λ Em = En 0 λ En − BA A
0 λ Em Em − B λ En B
a3
α1 α 对 A 按行分块： A = 2 ，对 B 按列分块： B = ( β1 , β 2 ,⋯ , β m ) ⋮ αm
那么
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α1 b11α1 + b12α 2 + ⋯ + b1mα m α 2 b21α1 + b22α 2 + ⋯ + b2 mα m BA = (bij ) s×m = ⋮ ⋮ α m bs1α1 + bs 2α 2 + ⋯ + bsmα m 表明 BA 的行向量组能由 A 的行向量组线性表出，或说， BA 的任何一个行向量 都是 A 的行向量组的线性组合，且它们的组合系数是 B 对应行的分量；