大一函数的极限ppt课件

a 3 .
作业
P32 5；7
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证略 已知
即 0,
当
时, 有
当 A > 0 时, 取正数
(< 0)
( A)
则在对应的邻域
上
( 0)
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定理 2 . 若在 的某去心邻域内 f (x) 0 , 且
则 A 0.
( f (x) 0)
(P30推论1)
(A 0)
思考: 若定理 2 中的条件改为 f (x) 0,是否必有 A 0?
lim f (x) lim (x 1) 1
x0
x0
lim f (x) lim (x 1) 1
x0
x0
显然 f (0 ) f (0 ) , 所以 lim f (x) 不存在 .
x0
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二、自变量趋于无穷大时函数的极限
定义2 . 设函数
大于某一正数时有定义, 若
0, X 0,
0, X 0, 当 x X 时, 有 f (x) A
几何意义 : 直线 y = A 仍是曲线 y = f (x) 的渐近线 .
例如，
1
1
都有水平渐近线 y 0;
1 x
x
又如，
都有水平渐近线 y 1.
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内容小结
1. 函数极限的" " 或" X " 定义及应用
第四节 函数的极限
第一章
自变量变化过程的六种形式:
本节内容 :
一、自变量趋于有限值时函数的极限 二、自变量趋于无穷大时函数的极限
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一、自变量趋于有限值时函数的极限
1.
时函数 f (x) 以A为极限的定义
(1) 当x与x0充分靠近(但 要多近就能有多近.
)时, f (x)与A可以任意靠近,
xx0
lim f (x) lim f (x) A
xx0
xx0
( P30 定理2 )
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例5. 设函数
f
(
x)
x 0
1, ,
x 1 ,
x0 x0 x0
y
y x 1
1
o 1
x
y x 1
讨论 x 0 时 f (x) 的极限是否存在 .
解: 利用定理 3 . 因为
(2) 要f (x)与A多靠近,只须x与x0靠近(但 后, 就能多靠近.
)到一定程度
(3) 要| f (x)-A|多小,只须| x-x0 |小到一定程度后(但
)
就能有多小.
(4)
使得当 0 x x0 时,
f (x) A
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定义1 . 设函数 在点 的某去心邻域内有定义 ,
x2 1 2
x 1
因此
lim x2 1 2 x1 x 1
时 , 必有
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当
时
结论记住！
(P29 例5)
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2. 保号性定理
定理1 . 若
且 A > 0 , 则存在 (A<0)
f (x) 0. (P30 性质3) ( f (x) 0)
若 0, 0,当 0 x x0 时, 有 f (x) A
则称常数 A 为函数 当
时的极限, 记作
lim f (x) A 或
xx0
即
当
几何解释:
时, 有
y
A
A
A
y f (x)
这表明:
极限存在 函数局部有界
x0 x0 x
(P30 性质2)
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例1. 证明
y sin x
证: sin x 0 1
0.05
x
x
x
-60 -40 -20 -0.05
x 20 40 60
-0.1
故 0, 欲使
即
-0.15
取X 1,
就有
因此
注:
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两种特殊情况 :
lim f (x) A
x
0, X 0, 当 f (x) A
时, 有
2. 函数极限的性质: 保号性定理 Th1 Th2
思考与练习
与左右极限等价定理 Th3
1.
若极限 lim
x x0
f
( x) 存在,
是否一定有 lim
x x0
f (x)
f (x0 )
例3
？
2. 设函数 f (x)
a x2 , x 1 且 lim f (x) 存在, 则 2x 1, x 1 x1
不能! 如
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3. 左极限与右极限
左极限 :
f
(x0 )
lim
xx0
f
(x)
A
0, 0, 当 x ( x0 , x0 )
时, 有
右极限 :
f
(x0 )
lim
xx0
f
(x)
A
0, 0, 当 x ( x0 , x0 )
定理 3 .
时, 有
lim f (x) A
(P28 例3)
证:
f (x) A
故 0, 对任意的 0, 当
时,
总有 因此
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例2. 证明
证:
0, 欲使
只要
取 , 则当0 x x0 时 , 必有
因此
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例3. 证明
(P29 例4)
证: f (x) A
故 0, 取 , 当
则称常数
A 为函数
时的极限, 记作
lim f (x) A
x
x X 或x X
A f (x) A
几何解释:
y
A
A
A
X o
X
直线 y = A 为曲线
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的水平渐近线
y f (x) x
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例6. 证明
lim sin x 0. (P27 例1) x x
y
0.15 0.1