弹性力学 复习资料(全) 同济大学

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弹性力学
第三章 应变分析
1、点的运动： u ui ei ； 2、★Cauchy 应变张量 ε ：描述微线段的相对伸长的夹角变化，刻画任一点处的变形状态。 几何方程： ε (u u) ，即 ij
1 2 1 ui, j u j ,i 2
x xy xz 11 12 13 ★9 个应力分量（6 个独立）表示一点的应力状态： ij yx y yz 21 22 23 zx zy z 31 32 33
第六章
弹性力学的边值问题及其性质
把弹性力学问题转变为数学问；叠加原理和解的唯一性原理；以位移为未知量的边值问题和 以应力为未知量的边值问题；圣维南原理。 1、弹性力学边值问题： 在弹性体 V 中，位移、应变和应力需要满足下列控制方程： i 3个平衡(运动)方程： ji , j f i u 1 ij ui , j u j ,i 6个几何方程： 2 6个应力应变方程： ij ij 2 ij 15 个独立方程，15 个未知数，方程组是封闭的。这是偏微分方程组，需要边界条件。 弹性力学的边界条件： （应力边界）上 t ji n j Ti , 在S
应力边界条件：
ni ui , j u j ,i n j Ti
6、★应力解法：对单连通物体，以应力为未知量的应力边界问题可归结为： 1 2 σ 1 1 f I f f 0 在V 中
σ f 0 σ n T 在V 中 在S 上
x xy fx 0 y x 平衡方程： yx y f 0 y y x
f x f y 0 x y
应力协调方程的简化： 2 x y 1 1 式中，二维 Laplace 算子： 2

E 是杨氏弹性模量， 是泊松比。则有关系式： 3 2 E E E , 或 , 2 2 1 1 1 2
★用应力表示应变有： ij
1 ij ij E E
i
指标形式： ij ,kl eikp e jlq 0
第四章
应力分析
1、外力：体力和面力。体力是作用在物体内部点上的外力，如重力、离心力，量纲为 [力][长度]-3。面力是外部介质或物体通过接触点作用在物体表面的力，量纲为 [力][长度]-2 2、应力张量：
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第八章 平面问题的极坐标解答
4、主应力：应力矢量与微分面垂直，只有正应力而无剪应力。 ★主应力 是应力张量 σ 的特征值： σ n n 。其中 n 是 σ 的特征矢量。 x xy xz l y yz m 0 yx zx zy z n
u v 1 u v ， y ， xy x y 2 y x
1 x x 1 y E1 1 物理方程： y y 1 x E1 1 1 xy xy E1
3、平衡方程和运动方程：
x yx zx fx 0 x y z xy y zy 张量记法 f y 0 ji , j f i 0 ★静力学条件下的应力平衡方程： x y z xz yz z fz 0 x y z
x
2 2 2 xf , yf , 。 x y y xy y 2 x 2 xy y x xy
附、平面问题的三种常用解法 解法一：直接解法
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1 x E x y 1 物理方程： y y x ，其余方程的简化与 7.1 相同。 E 1 xy E xy f f 应力协调方程的简化： 2 x y 1 x y 0 x y
第五章
线性弹性本构关系
不考虑热效应，且只讨论在小变形情况下适用的线性弹性本构关系——广义胡克定律。 1、应变能密度和本构关系： ★格林公式 ij
W ，其中 W 是应变能，指外力在准静态过程中所做的功全部转化为由 ij
于变形而储存在弹性体内的能量。 2、广义胡克定律： ij Eijkl kl ，其中 Eijkl 为一个四阶张量，称为弹性系数或弹性模量张量。 4、各向同性弹性体：材料沿所有方向的弹性性质都是相同的，在数学上，即应力应变关系 的分量形式与坐标系无关。 令 C12 , C11 C12 / 2 ，称为 Lame（拉梅）系数
1 三个不变量： J 2 ii jj ij ij 1 2 2 3 31 ，体积应变就是第一不变量。 2 J det ε 1 2 3 3 4、★应变协调方程： ε 0 注： ei x ，旋度 curlu u ei u j e j u j ,i eijk e k i x
3 I1 2 I 2 I 3 0 I1 ii 1 2 3 1 I 2 ii jj ij ij 1 2 2 3 3 1 2 I 3 det σ 1 2 3 5、★最大切应力： n 1 3 2
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第七章 平面问题的直角坐标解答
1、平面应变问题： u u x, y ，v v x, y ，w 0 等截面柱形物体；柱体所受的体积力和侧面所受的面力都平行于 Oxy 平面，且它们的分 布沿 z 方向不变。 几何方程： x
u 1 u v x , xy x 2 y x v 1 v w y , yz y 2 z y w 1 w u z , zx z 2 x z
在同一坐标系中，正面正向为正，负面负向为正。 X v x l yx m zx n
张量记法 n Ti ni ji n j X i ， ★任意微分面上的应力分量： Yv xy l y m zy n 2 n T 2 n Z v xz l yz m z n
3、平面问题的统一求解方程 平面应变问题和平面应力问题在本质上是两类完全不同的问题，但是在数学上是完全相 同的问题，统称为弹性力学平面问题。 当体积力为常量时，7.1 和 7.2 的应力协调方程都简化为： 2 x y 0 上式以及平衡方程、应力边界条件都和弹性常数无关。 4、应力函数 寻找一个满足双调和方程 2 2 0 的应力函数 ，其应力解答为： 2 2 2 x 2 , y 2 , xy ，该应力解答还必须满足应力边界条件。 注：当体积力为常量时，对应的势函数可取 xf x yf y ，此时，应力可表示为：
2 2 x 2 y 2
边界条件：如果整个柱体的侧面上都已知表面力，则边界条件为
z zx zy 0 2、平面应力问题： x , y 和 xy 仅是x, y的函数
n T
在s 上
考察的弹性体是厚度 h 比截面 A 的特征尺寸小得多的弹性柱体；物体所受的外力和 z 轴 垂直，且沿 z 方向不变，在 z h 的表面上，不受外力作用。
应变分量的几何意义： 11 x 表示 x 方向的正应变， 12 xy 表示角度变化的一半。 3、主应变：若某方向的微线段变形后方向不变，则该方向称为应变主方向，主方向的正 应变称为主应变。 ε n n ，应变主方向 n 就是应变张量 ε 的主方向，主应变 就是应变张量的特征值。 应变张量的特征方程： 3 J1 2 J 2 J 3 0 J1 ii 1 2 3
用 n 表示 n 方向的无穷段线段的相对伸长： n n ε n ij ni n j 某点处任意两条微线段之间的夹角变化量： sin (1 2 ) cos 2n ε m 2 ij ni m j 应变张量 ε 二阶对称张量，只有六个独立的分量。有时把 11 , 22 , 33 写成 x , y , z ，称为 正应变分量；把 12 , 23 , 31 写成 xy , yz , zx ，成为剪应力分量。 几何方程的分量形式：
在上述边值问题中，有 6 个位置函数，6 个方程，在边界上的每一点有 6 个边界条件。
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7、圣维南原理：又称局部影响原理。若在物体的一小部分上作用一个平衡力系，则该平衡 力系在物体内所产生的应力分布，仅局限于该力系作用区域的附近，在离 该区域的相当远处，这种影响便急剧减少。 8、★补充：应力边界条件的写法
ui ui , 在S（位移边界）上 u
3、叠加原理：基本方程和边界条件都是线性的，叠加原理成立。对于大变形问题、材料非 线性问题和边界条件非线性的小变形问题，叠加原理不成立。 4、解的存在性和唯一性：逆解法和半逆解法。 5、★位移解法：以位移作为基本未知函数，在基本方程中消去应变张量和应力张量，可导 出仅用位移表示的方程组。 ,i 2ui fi 0 Lame Navier方程：
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★用应变表示应力有：
x 2 x y 2 y
yz 2 yz zx 2 zx
z 2 z ij ij 2 ij xy 2 xy