Chapt3高分子材料的断裂力学基础

试样厚度
裂纹端部的屈服条件
温度
形变速率
老化过程
3.2 非线性断裂及表征
LEFM较好的解析了脆性高分子材料如PS、PMMA和玻璃 化温度以下弹性体的破坏，适用于小形变和小范围屈服条件下 的破坏。 对延性塑料、橡胶和热塑性弹性体等材料的应力-应变曲 线是非线性的，在裂纹端部发生较大范围的屈服或粘弹损耗， 因此需要塑性断裂理论和非平衡态高弹性理论来解析其行为。
平面应力状态
平面应变状态
E为杨氏模量，μ为泊松比
KIc的测试方法 大多参照ASTM标准加以适当修正而制定，其核心是确 保小范围屈服条件。
常用的几种试样类型有： 单边缺口（SENT）、三点弯曲（SENB）、紧凑拉伸（CT）
三点弯曲（SENB）
单边缺口（SENT） 紧凑拉伸（CT）
SENT计算公式：
断裂力学研究裂纹扩展的方法： 应力分析法：认为裂纹扩展的临界状态是由裂纹前端
的应力场强度达到某临界值而决定的，表征参数为应力 强度因子K；
能量分析法：认为驱动裂纹扩展的原动力是裂纹扩展
时释放出来的应变能，其表征参数是能量释放率G和J 积分。
3.1 线弹性断裂及表征
线弹性断裂理论（LEFM）适用描述应力-应变遵循虎 克定律材料的断裂行为，主要研究无机非金属材料和金属 材料的脆性断裂。 对高分子材料的脆性断裂，多数情况下会在裂纹前端 部产生一定程度的塑性屈服区，若此区域很小，且不会改 变整体材料的线弹性响应的本质时，也可LEFM来描述其破 坏行为。
KIc值越大，使材料扩展的外应力就越大，即材料抵抗 裂纹扩展的阻力就大，故称为断裂韧性。 由此可得材料断裂判据表达式：
K I ≥ K Ic
裂纹端部塑性区和小范围屈服
裂纹前端应力场具有奇异性，实际上不可能，因为裂 纹端部应力集中大于材料的屈服应力时就要产生屈服应变 而产生一个塑性屈服区，使应力得到松弛。显然，裂纹端 部塑性区范围大小对高分子材料的断裂特性有很大影响。
根据加载方式及裂纹和试样几何参数间关系，应力强 度因子K的通式可写成
K I , II . III = σ πa y I , II . III
其中，y是与裂纹和试样几何形状及加载方式有关的稽 核校正因子，常表示为裂纹长度和试样宽度的无量纲的多 项式。
断裂韧性
K I = σ πa y I
KI和外加载荷以及裂纹长度有关。 随应力增大，KI亦增大，大到足以使裂纹前端材料分 离时裂纹开始扩展，此时即临界状态的应力强度因子称为 断裂韧性，记为KIc
注意：
高分子材料的测试方法沿用金属材料相关标准时，由 于其粘弹性特点而会影响数据的重现性和可靠性，应该严 格测试方法和条件，认真分析测试结果和影响因素。
引入切口的方法 对试样尺寸的约束条件
2、能量释放率
断裂实质上是固体材料产生新的自由表面积 的一种过程，它是通过裂纹扩展而产生的。
因此为了使裂纹扩展，必须向裂纹端部提供 断裂所要求的总够能量。
小范围屈服产生的塑性区是由于裂纹端部应力集中而 产生的剪切屈服或银纹化屈服。 按照材料屈服准则，可通过应力分析，提出一些理论 修正和模型，对塑性区进行定量描述：
Irwin修正 Dugdale模型
Dugdale模型
该模型在高分子材料的断裂研究中应用较多，它把裂纹端部的塑性区 看作类似银纹结构，塑性区局限于裂纹的延伸方向上，呈狭带状。
对线弹性断裂，当裂纹扩展面积为ΔA时，定义能量释放率G为
G= ∂ 1 ∂ (W − U e ) (W − U e ) = ∂A B ∂a
其中
∂A = B∂a
B为试样厚度； a为裂纹长度
可见，G表征了裂纹扩展形成单位新表面积时材料内 部应变能的减少，在等温等压条件下，实质上就是Gibbs 自由能，单位为kJ/m2，代表单位厚度上的裂纹扩展力， 是一种广义能量力，也称为断裂韧性。
⎢σ xx ⎥ ⎢ ⎥ KI τ xy ⎥ = ⎢ (2πr )1/ 2 ⎢σ ⎥ ⎣ yy ⎦
θ 3θ ⎤ ⎡ ⎢1 − sin 2 sin 2 ⎥ ⎢ ⎥ θ θ 3θ ⎥ cos ⎢sin sin ⎥ 2⎢ 2 2 ⎢ θ 3θ ⎥ ⎢1 + sin sin ⎥ ⎢ 2 2⎥ ⎣ ⎦
对于裂纹端部任一点P，其坐标r、θ是已知道 的，则该点应力的大小完全有KI决定，其值大裂纹端 部各点应力就大，因此称之为应力强度因子，下标 表示张开型裂纹，量纲为MPa*m1/2。 r 0 ,全部应力趋于无穷大，即裂纹尖端应力 场具有奇异性。
第三章 高分子材料的断裂力学基础
主要内容
• 线弹性断裂及表征 • 非线性断裂及表征 • 断裂表面的形貌表征
断裂力学认为材料的破坏行为是由微观-细 观-宏观多层次下，多种破坏机制相耦合而发生 和发展的。 灾难性断裂行为是由微细观损伤发展为裂纹 并扩展至完全破坏的过程。 其基本研究内容是裂纹的引发和裂纹扩展的 条件和规律性。
K I = y I σ πa a a a a ⎤ ⎡ y I = ⎢1.12 − 0.231( ) + 10.55( ) 2 − 21.72( ) 3 + 30.39( ) 4 ⎥ W为试样宽度且a/w≤0.6 w w w w ⎦ ⎣
SENB计算公式：
K I = yI Ps bw3 / 2 a a a a a ⎤ ⎡ y I = ⎢2.9( )1/ 2 − 4.6( ) 3 / 2 + 21.8( ) 5 / 2 − 37.6( ) 7 / 2 + 38.7( ) 9 / 2 ⎥ w w w w w ⎦ ⎣
1、J积分及应用
J积分是塑性断裂理论的核心，可解析裂纹端 部处于较大范围屈服状态时材料的断裂特征。 利用J积分表征增韧高分子材料的破坏行为比 较普遍。
Βιβλιοθήκη Baidu
J积分的概念及物理意义
如果把弹塑性变看作为理想化的非线弹性，其应变能 密度w可表述为：
w = ∫ 0 σ ij dε ij
w仅为应变ε的函数，与在应变空间中如何达到ε的路 径无关，且不发生卸载。
θ 3θ ⎤ ⎡ 1 − sin sin ⎥ ⎢ 2 2 ⎥ ⎢ θ θ 3θ ⎥ cos ⎢sin sin ⎥ 2 2⎢ 2 ⎢ θ 3θ ⎥ ⎢1 + sin sin ⎥ ⎥ ⎢ 2 2⎦ ⎣
⎧0 （平面应力状态） ⎣σ zz ⎦ = ⎨μ (σ + σ ) xx yy （平面应变状态） ⎩
当θ=0时，剪切应力分量τxy=0，裂纹面是纯 Ｉ型裂纹情况下的主平面。
K Ic = σ c πac y I
11 10
s 2y2/10-2 (MPa)2
9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 0 200 400 600 800
-1
KIc=1.05 MPa * m
1/2
1000
1200
1/a (m )
PS试样KIc求算σ2y2~1/a
KI与KIc的区别：
两者物理意义不同 KI是裂纹前端应力强度的度量，和裂纹大小、形状以 及外加载荷有关。 KIc却是材料阻止宏观裂纹扩展的度量，与和裂纹大 小、形状无关，也与外加载荷无关。是材料的本征参数， 只和材料的成分、热处理及加工工艺有关。
GI =
σ πa
2
E
对于Griffith强度破坏，材料断裂时的临界能量释放率定义为
GIc = 2γ
其物理意义与KIc一样，都是描述材料抵抗裂纹扩展 能力的本征参数，故也称之为断裂韧性。 显然，材料线弹性断裂判据的能量表达式为
GI ≥ GIc
GIc = 2γ
上述关系式只对理想脆性断裂过程成立，其中 反映 的是次价键的破裂能。而高分子材料脆断产生的新表面往往 涉及主价键的破裂，就是说 GIc > 2γ ，此时 GI = G0 。 参数GI与KI都是描述材料线弹性断裂的物理量，两者关系为：
根据能量释放率定义，裂纹临界扩展时，断裂韧性为
∂ (W − U e ) Pc2 dc = ( ) GIc = ∂A 2 B da
∂ (W − U e ) P dc GIc = = ( ) 2 B da ∂A
2 c
上式是实验测定GIc的基础，通过实验测试数个除裂纹 长度有微小差别而其他条件完全相同的试样的柔量，则可确 定da/dc，作出c-a函数曲线，即可求出GIc值。 G值与载荷、裂纹几何形状、材料结构和应力（应 变）状态有关。 对于含有半长为a的中心裂纹的无穷大平板，可推算出
假定试样尺寸如下: 宽度为D 厚度为B 裂纹长度为a 产生的塑性区长度为l
屈服类型可分为: L<<a,l<<D, L<<B：塑性区可忽略，线弹性断裂
L<D-a：裂纹端部产生小范围屈服。对于硬质塑料来说， 多数属于该情况，线弹性断裂理论仍适用，但有时需要对 塑性区进行修整
L<D-a：裂纹端部产生较大范围屈服，属于非线性断裂理 论范畴。
II型：滑开型；在平行于裂纹面的剪切力作用下裂 纹滑开扩展；
III型：撕开型；裂纹面上下错开，裂纹沿原来的方向扩展。
也可能出现上述三种类型的混合，但以I型裂纹是最 为常见的低应力下材料破坏的主要形式，是断裂力学 实验研究的主体。
以裂纹的尖端部作为原点引入极坐标
在P(r,θ)处的微体积元,利用弹性力学的方 法，可求出上述三种裂纹扩展类型的裂纹端部区域 的应力场的近似解
1、应力强度因子与断裂韧性 应力强度因子 考虑一个带有裂纹的各向同性线弹性平板，在平均应力作用 下，裂纹前端的应力场分析。 实际外力作用的不同，裂纹扩展的类型也不同，可简化为 I型：张开型 II型：滑开型 III型：撕开型 混合型
I型：张开型；正应力与裂纹面垂直，裂纹端部张 开，扩展方向与应力方向垂直；
若厚度为B的试样在线弹性条件下，裂纹未 扩展 前，载荷P与施力点位移Δ存在如下关系
Δ = CP
C为柔量
对应于裂纹长度 ∂a 扩展引起的 ∂Δ ，外加载荷做的功为
1 1 ∂W ≈ P∂Δ + ∂P∂Δ = ( P + ∂P)∂Δ 2 2
而弹性储能的变化为
1 1 ∂U e ≈ ( P + ∂P )(Δ + ∂Δ ) − PΔ 2 2
K σ ij = f (θ ) 1 / 2 ij (2πr )
其中 K为应力强度因子，是与裂纹大小、裂纹扩展类型 及环境条件有关的常数； fij(θ)是角度θ的无量纲函数。
对于张开型（I型）裂纹，裂纹端部区域各点 的应力分量为
⎢σ xx ⎥ ⎢ ⎥ KI τ xy ⎥ = ⎢ (2πr )1/ 2 ⎢σ ⎥ ⎣ yy ⎦
P为载荷，s为跨距， S=4w；b为厚度
CT计算公式：
K I = yI P bw1/ 2 a a a a a ⎡ ⎤ y I = ⎢29.6( )1/ 2 − 185.5( ) 3 / 2 + 655.7( )5 / 2 − 101.7( ) 7 / 2 + 638.9( ) 9 / 2 ⎥ w w w w w ⎦ ⎣
平面应力状态： 平面应变状态：
K I2 GI = E K I2 GI = (1 − μ 2 ) E
3、影响断裂韧性的因素
KIc和GIc是材料的本征性能参数，除了与高分子材料的 微观结构和细观结构有关外，还与下列因素有关系： 初始裂纹 试样厚度 裂纹端部的屈服条件 温度 形变速率 老化过程
初始裂纹
当裂纹扩展时，作为热力学封闭系统，根据热力学第 一定律：环境对系统做功ΔW（应变能）等于系统势能 ΔU（可逆弹性能）和系统的动能ΔK以及新增自由表面 积所需要的能量ΔWS之和。
ΔW = ΔU e − ΔK + ΔWs
由于裂纹扩展可看作准静态过程， ΔK约等于0，则上式变为
ΔW − ΔU e = ΔWs
ε ij
J积分的概念
由此Rice在研究金属材料时提出了J积分的概念，其理 论根据是裂纹端部的应力-应变场具有单值性，可由一个从 裂纹自由表面下的任一点开始，围绕裂纹端部，终止于裂 纹自由表面的任意一点的任意回路表示，这一线积分称为J 积分。
J积分具有与积分路线无关的特性，表征了向裂纹区域 的能量输入。考虑单位厚度的二维裂纹，其数学定义为：
在平面应力状态下,假设长度为2a的内裂纹首先弹性的 扩展为2c的裂纹,且在R区域内,当所加应力等于材料的屈 服应力时,可使裂纹重新闭合,此时R区域便是小范围塑性 区。其数值解为
Φ称为裂纹张开位移（COD：crack opening displacement）,定义为弹塑性区交界处的裂纹面的张开位 移，可理解为原始裂纹尖端处的张开位移。 在小范围屈服条件下,可Φ由下式求算