一阶线性非齐次微分方程

一阶线性非齐次微分方程一、线性方程

方程

dy dx

P x y Q x

+=

()()

1

叫做一阶线性微分方程(因为它对于未知函数及其导数均为一次的)。

如果

Q x()≡0，则方程称为齐次的；

如果

Q x()不恒等于零，则方程称为非齐次的。

a)首先，我们讨论1式所对应的齐次方程

dy dx

P x y

+=

()0

2

的通解问题。

分离变量得dy

y

P x dx =-()

两边积分得ln()ln y P x dx c

=-+

⎰

或

y c e P x dx

=⋅-⎰()

其次，我们使用所谓的常数变易法来求非齐次线性方程1的通解。

将1的通解中的常数c换成的未知函数u x()，即作变换

y u e P x dx

=⋅-⎰()

两边乘以得P x y uP x e P x dx ()()()

⋅=-⎰

两边求导得dy

dx

u e uP x e

P x dx P x dx ='-

-⎰-⎰

()()

()

代入方程1得

'=-⎰u e Q x P x dx ()() ， '=⎰u Q x e P x dx ()()

u c Q x e dx

P x dx =+⎰⎰()()

于是得到非齐次线性方程1的通解 []y e c Q x e dx

P x dx P x dx =⋅+-⎰⎰⎰()()()

将它写成两项之和 y c e e Q x e dx P x dx P x dx P x dx =⋅+⋅--⎰⎰⎰⎰()()()()

【例1】求方程 dy dx y x x -+=+21

132()

的通解。 解：]23)1([1212dx e x c e y dx x dx x ⎰⎰++⋅⎰=+-+--

]

23)1([22)1(ln )1(ln dx e x c e x x +-+⎰⋅++⋅= =+⋅++-⎰()[()]x c x dx 1121

2

=+⋅++()[()]x c x 12121

2

由此例的求解可知，若能确定一个方程为一阶线性非齐次方程，求解它只需套用公式。