河海大学弹性力学徐芝纶版第六章
河海大学弹性力学徐芝纶版 第六章
(b)
0 0 1 μ 2
其中D为弹性矩阵，对于平面应力问题是:
1 E D μ 2 1 μ 0 μ 1 0 (c )
第六章 用有限单元法解平面问题
应用的方程
虚功方程:
(δ* )T F
y
Fiy ,vi*
i
Fjy , v* j
j
其中:
A
(ε* )T ζdxdyt
第六章 用有限单元法解平面问题
基本物理量
基本物理量： 体力: f ( f x 面力: f ( f x
f y )T 。
fy) 。
T
T
T
位移函数: d (u ( x, y ) , v( x, y )) 。 应变: ε (ε x ε y γxy ) 。 应力:
ζ (σ x σ y τ xy )T 。
T
结点位移列阵: δ (ui vi u j v j ) 。 T 结点力列阵: F ( Fix Fiy Fjx Fjy ) 。
第六章 用有限单元法解平面问题
应用的方程
FEM中应用的方程：
几何方程:
u v u v T ε( ) x y x y
(a)
物理方程: ζ Dε
(a) 桁架
(b) 深梁（连续体）
第六章 用有限单元法解平面问题
结构离散化
弹力研究的对象，是连续体（图（b）)。
将连续体变换为离散化结构:即将连续体划分 为有限多个、有限大小的单元，并使这些单元仅 在一些结点处用绞连结起来，构成所谓‘离散化 结构’。
(a) 桁架
(b) 深梁（连续体）
第六章 用有限单元法解平面问题
(c)
第六章 用有限单元法解平面问题
弹性力学徐芝纶6-3位移模式与解答的收敛性
求出α1, α2, …, α6 , 可得位移分量：
1 2 xi 3 yi ui 4 5 xi 6 yi vi
u N i ui N j u j N m um v N i vi N j v j N m vm
1 x y 1 x i yi 1 xj yj 1 x m ym 1 x i yi 1 xj yj
Nm
形函数Nm 的性质 在 i 点(x=xi , y=yi)，得： 在 j 点(x=xj , y=yj)，得： 在 m 点(x=xm , y=ym)，得：
1
(Nm )i＝0 (Nm )j＝0 (Nm )m＝1 在 im 和 jm 两边的中点： N m 1 2 在三角形 ijm 的形心： N m 1 由中值定理，同样得： 3 A N ds 1 im u N i ui N j u j N m um N dxdy m m 2 3 v N i vi N j v j N m vm im A
1 x y 1 xj yj 1 x m ym 1 x i yi 1 xj yj 1 x m ym
在 j 点(x=xj , y=yj)：
1 2 x j 3 y j u j 4 5 x j 6 y j v j
在 m 点(x=xm , y=ym)：
Ni
u 1 2 x 3 y v 4 5 x 6 y
与式(2-9)相比：
2 2 5 3 5 3 v 4 6 y x x 2 2
u 1 2 x
5 3
y
5 3
y
u u0 y 3 u0 1 v0 4 5 v v0 x 2
徐芝纶编《弹性力学简明教程》第四版__全部章节课后答案详解
弹性力学简明教程（第四版）课后习题解答徐芝纶第一章绪论【1-1】试举例说明什么是均匀的各向异性体，什么是非均匀的各向同性体？【分析】均匀的各项异形体就是满足均匀性假定，但不满足各向同性假定；非均匀的各向异性体，就是不满足均匀性假定，但满足各向同性假定。
【解答】均匀的各项异形体如：竹材，木材。
非均匀的各向同性体如：混凝土。
【1-2】一般的混凝土构件和钢筋混凝土构件能否作为理想弹性体？一般的岩质地基和土质地基能否作为理想弹性体？【分析】能否作为理想弹性体，要判定能否满足四个假定：连续性，完全弹性，均匀性，各向同性假定。
【解答】一般的混凝土构件和土质地基可以作为理想弹性体；一般的钢筋混凝土构件和岩质地基不可以作为理想弹性体。
【1-3】五个基本假定在建立弹性力学基本方程时有什么作用？【解答】（1）连续性假定：假定物体是连续的，也就是假定整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙。
引用这一假定后，物体的应力、形变和位移等物理量就可以看成是连续的。
因此，建立弹性力学的基本方程时就可以用坐标的连续函数来表示他们的变化规律。
完全弹性假定：假定物体是完全弹性的，即物体在对应形变的外力被去除后，能够完全恢复原型而无任何形变。
这一假定，还包含形变与引起形变的应力成正比的涵义，亦即两者之间是成线性关系的，即引用这一假定后，应力与形变服从胡克定律，从而使物理方程成为线性的方程，其弹性常数不随应力或形变的大小而变。
均匀性假定：假定物体是均匀的，即整个物体是由同一材料组成的，引用这一假定后整个物体的所有各部分才具有相同的弹性，所研究物体的内部各质点的物理性质都是相同的，因而物体的弹性常数不随位置坐标而变化。
各向同性假定：假定物体是各向同性的，即物体的弹性在所有各个方向都相同，引用此假定后，物体的弹性常数不随方向而变。
小变形假定：假定位移和变形是微小的。
亦即，假定物体受力以后整个物体所有各点的位移都远远小于物体原来的尺寸，而且应变和转角都远小于1。
弹性力学课程大纲
《弹性力学》课程教学大纲一、课程基本信息二、课程目标（一）总体目标：培养学生掌握弹性力学的基本概念、基本原理和基本方法，了解弹性体简单的计算方法和有关求解思想，提高分析问题和计算问题的能力，为学习有关专业课题的学习和研究奠定力学基础。
基本要求包括：通过本课程学习使学生进一步理解体力、面力、应力、应变和位移等的基本概念。
掌握平面应力问题和平面应变问题的特点。
理解弹性力学中的基本假定，熟悉弹性力学平面问题的基本方程，了解按应力求解和按位移求解基本方程的推导步骤。
能正确写出边界条件，能正确应用圣维南原理。
了解平面问题逆解法和半逆解法的基本思路，掌握薄板静力学和动力学的研究思路。
通过实例，理解位移单值条件和孔边应力集中等概念。
了解弹性力学空间问题的基本内容和求解框架。
使学生在理论力学和材料力学等课程的基础上,进一步系统地学习变形体力学的基本概念和研究方法，加深学生的力学理论基础，培养学生的力学分析和计算的能力，并且能够将专业知识应用于解决车辆复杂工程问题，并且能够针对车辆复杂工程问题进行力学分析与解决方案设计，还可以将计算得到的数据转化成信息，通过分析与解释数据，得到合理有效的结论。
（二）课程目标：课程目标1：使学生在理论力学和材料力学等课程的基础上,进一步系统地学习变形体力学的基本概念和研究方法，加深学生的力学理论基础，培养学生的力学分析和计算的能力，并且能够将专业知识应用于解决车辆复杂工程问题。
课程目标2：使学生了解非杆件结构中常用的计算方法和有关问题的解答，为学习专业课程进一步打下良好的理论基础，能够针对车辆复杂工程问题进行力学分析与解决方案设计。
课程目标3：学生能够将计算得到的数据转化成信息，通过分析与解释数据，得到合理有效的结论。
（三）课程目标与毕业要求、课程内容的对应关系表1：课程目标与课程内容、毕业要求的对应关系表三、教学内容第一章绪论1.教学目标（1）熟练掌握弹性力学的基本假定、体力、面力、应力、应变和位移的基本概念；（2）掌握记号和符号的有关规定。
弹塑性力学部分习题
第六章 弹性力学平面问题的直 坐标系解答
§6-1平面问题的分类
§6-2平面问题的基本方程和边界条件
§6-3平面问题的基本解法
§6-4多项式应力函数运用举例
2018/10/7
8
第七章弹性力学平面问题的极坐 标系解答
§7-1平面极坐标下的基本公式 §7-2轴对称问题 §7-3轴对称应力问题——曲梁 的纯弯曲 §7-4圆孔的孔边应力集中问题 §7-5曲梁的一般弯曲 §7-6楔形体在楔顶或楔面受力
弹塑性力学
第 六 章 弹性力学平面问题的直角坐标系解答 第 七 章 弹性力学平面问题的极坐标系解答 第 八 章 等截面直杆的扭转 第 九 章 空间轴对称问题 第 十 章 弹性力学问题的能量原理 第 十一 章 塑性力学基础知识
2018/10/7
1
参考书目
1.徐芝纶， 弹性力学：上册 .第三版,高等教育
w k x, y
其中 k 为待定常数，(x‚y)为待定函数， 试写出应力分量的表达式和位移法方程。
2018/10/7
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题1-6 半空间体在自重 g 和表面均布压力 q 作用下的位移解为 u = v = 0,
1 g 2 2 w q h z h z 2G 2
2018/10/7
在 V上
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题1-4 等截面柱体在自重作用下，应力解为
x=y=xy=yz=zx=0 , z=gz，试求位移。
z l y
Fbz g
x
x
2018/10/7
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题1-5 等截面直杆（无体力作用），杆轴 方向为 z 轴,已知直杆的位移解为
u kyz
v kxz
弹性力学讲义(徐芝纶版)-PPT
换，
E
1
E
2
,
。 1
边界条件
边界条件--应用极坐标时，弹性体的 边界面通常均为坐标面，即：
常数，或 常数,
故边界条件形式简单。
平面应力问题在极坐标下的基本方程
1
f
0
1
2
f
0
4 1
u
,
1
u
u
,
u
1
u
u
。
1 E
(
),
1 E
(
),
x ρ x φ x
Φ y
Φ ρ
ρ y
Φ φ
φy .
一阶导数
而
cos,
x
sin , x
sin;
y
y
cos 。
代入，即得一阶导数的变换公式,
Φ cosφ Φ sin Φ (cosφ sinφ )Φ
x
ρ ρ φ
ρ ρ φ
，
(e)
Φ sinφ Φ cos Φ (sinφ cosφ )Φ。
σ x σ ρ cos2 φσφsin2 φ2τ ρφ cosφsinφ,
而
σ
x
2Φ y 2
2Φ ρ2
sin
2
φ(
1 ρ
Φ ρ
1 ρ2
2Φ ρ2
)cos2
φ
2[ ( 1 Φ )]cosφsinφ, ρ ρ
比较两式的 cos2 φ,sin2 φ,cosφsinφ 的系数，便 得出 σ ρ,σφ,τ ρφ 的公式。
2(1 E
)
。
4 2
物理方程
物理方程
对于平面应变问题，只须将物理方程作如下 的变换即可。
弹性力学及有限元
2
3
第一章 绪 论
§1–1 弹性力学的研究对象
§1–2 弹性力学中的几个基本概念
§1–3 弹性力学中的基本假设 §1–4 有限元分析的基本思想
4
在未知领域 我们努力探索 在已知领域 我们重新发现
5
初中物理－力学
高中物理－力学
大学物理－力学
的形式和尺寸并选择适宜的材料提供必
要的理论基础和计算方法。
9
结构力学的研究对象、内容和任务
对象——杆件系统（结构）
梁、刚架、桁架、组合结构和拱
内容——结构的组成规律、特性和外来因素作用
下的内力、位移及其分布规律。 任务——校核结构是否具有所需的强度、刚度和
稳定性，并寻求和改进它们的计算方法 以实现安全和经济的最优化。 三部分——静力学、动力学和稳定学。
c
p y l xy m y n zy pz l xz m yz n zy
b
P
y
25
x
a
正负号规定：
正面：外法向方向和坐标轴正向一致的面 负面：外法向方向和坐标轴正向反向的面
正面上应力沿坐标轴正向为正 负面上应力沿坐标轴负向为正
i j
+ + + + －
+
力学，包括固体力学和流体力学中的许多学科，弹
性力学仅是其中的一个分支。
35
2) 线性完全弹性：引起物体变形的外力除去后物体能
恢复原状（完全弹性），应变与引
起该应变的应力分量之间的关系服
从胡克定律（线性），弹性常数与
应力、应变大小无关，无需考虑应
力历史。 完全弹性：弹性极限以下 线性弹性：比例极限以下 该假定使本构关系（物理方程）成线性方程。 线性关系的Hooke定律是弹性力学特有的规律，是弹性力 36 学区别于连续介质力学其它分支的标识。
弹性力学第6章：用有限元法解平面问题(徐芝纶第五版)
Ni (ai bi x ci y) / 2A。 (i, j, m)
第六章 用有限单元法解平面问题
应变
应用几何方程，求出单元的应变列阵 ：
ε ( u v v u )T x y x y
ui
1 2A
b0i ci
0 ci bi
bj 0 cj
0 cj bj
bm 0 cm
0
vi
cm bm
于单元，称为结点力，以正标向为正。
Fi (Fix Fiy T
－－单元对结点的 作用力，与 Fi 数值 相同,方向相反，作 用于结点。
Fiy vi
Fix i
ui
Fiy
y v j Fjy i
Fix
j
uj
F jx
vm Fmy
um
m Fmx
o
x
第六章 用有限单元法解平面问题
求解方法
（5）将每一单元中的各种外荷载，按虚功 等效原则移置到结点上，化为结点荷 载，表示为
第六章 用有限单元法解平面问题
FEM的概念
§6-2 有限单元法的概念
FEM的概念，可以简述为：采用有限自由度的离 散单元组合体模型去描述实际具有无限自由度的 考察体，是一种在力学模型上进行近似的数值计 算方法，其理论基础是分片插值技术与变分原理。
FEM的分析过程：
1.将连续体变换为离散化结构； 2.单元分析； 3.整体分析。
第六章 用有限单元法解平面问题
FEM
第六章 用有限单元法解平面问题
概述 1.有限元法（Finite Element Method）
简称FEM，是弹性力学的一种近似解法。 首先将连续体变换为离散化结构，然后再利用 分片插值技术与虚功原理或变分方法进行求解。
弹性力学徐芝纶版
应变张量是一个二阶对称张量，用于描述物体在应力作用下的形变状态，包括大 小和方向的变化。
几何方程与应变协调方程
几何方程
几何方程描述了应变与位移之间的关 系，是弹性力学的基本方程之一。
应变协调方程
应变协调方程是一组方程，用于保证 应变张量的连续性和无间断性，是解 决弹性力学问题的重要工具之一。
03
应变分析
应变的定义与分类
应变的定义
应变是描述物体形状改变的物理量， 表示物体在应力作用下的形变程度。
应变的分类
根据不同的分类标准，应变可以分为 多种类型，如线应变和角应变、单值 应变和非单值应变等。
主应变与应变张量
主应变
在应变张量中，有三个相互垂直的主轴，对应三个主应变，表示物体在三个方向 上的形变程度。
弹性力学徐芝纶版
• 绪论 • 应力分析 • 应变分析 • 弹性本构关系 • 弹性力学问题的解法 • 弹性力学的应用实例
01
绪论
弹性力学简介
弹性力学
一门研究弹性物体在外力作用 下变形和内力的学科。
弹性力学的基本概念
物体在外力作用下发生变形， 变形与外力成正比，且在去掉 外力后恢复原状。
弹性力学的研究对象
研究物体在动态过程中受到的力，主要考察物体 的振动和波传播。
稳定性问题
研究物体在受到外力作用下的稳定性，主要考察 物体的失稳和屈曲。
求解方法概述
解析法
通过数学公式和定理求解弹性力学问题，得到精确解。适用于简单 问题和理论分析。
近似法
利用近似公式和数值计算方法求解弹性力学问题，得到近似解。适 用于复杂问题和实际工程。
通过实验测定材料的弹性模量和泊松比，结 合广义胡克定律，可以推导出各向同性材料 的弹性本构关系。这些关系式是弹性力学中 求解问题的基本方程，可用于分析各种弹性 力学问题。
弹性力学课件-弹性力学简明教程电子教案简介与目录
分法和有限元法。
2021/3/18
2
作者简介
徐芝纶教授（1911—1999），中国科学院资
深院士，著名的力学家和教育家。徐芝
纶编著的力学教材被我国工科院校广泛
采用，为培养科技人才起到了重要的作
用。徐芝纶在基础板梁的科研工作中作
出了许多重大成果，并为在我国引进、推广、研究有限单
元法作出了突出贡献。徐芝纶一生为人正直、品德高尚，
行文件将其解包。
本教案制作过程中还用到photoshop7.0，acdsee6.0，
autocad2002等软件，用户可以根据自己的需要利用相应的软件
进行修改——其中文字修改可以直接在powerpoint中进行，为保
证效果建议使用officexp系列软件或office2002以上版本的软件
进行修改；图形大部分是由autocad2002版本的软件制作的，用
编者
2021/3/18
二零零六年六月16
相信梦想是价值的源泉，相信眼光决定未来的一 切，相信成功的信念比成功本身更重要，相信人 生有挫折没有失败，相信生命的质量来自决不妥
协的信念。
谢谢观看
2021/3/18
17
性力学简明教程电子教案（正本））和打包后的教案（弹性力
学简明教程电子教案（副本） ）两种形式。其中powerpoint教
案使用officexp中的powerpoint软件编制而成；为防止与用户的
office版本不同，特意另外提供打包形式的教案，该部分包含该
教案的播放器用户在使用时，可以双击弹力教案副本中的可执
2021/3/18
11
第六章 用有限元法解平面问题 第七章 空间问题的基本理论 第八章 空间问题的解答 第九章 薄板弯曲问题 附录：关于提高课堂教学质量的文章
弹性力学第六章--有限元
6.2 Basic Concepts about Finite Element Method 6.2 有限单元法的概念
有限单元法的计算模型 • 1.The continuum structure is idealized as a structure consisting of a number of individual elements connected only at nodal points. 连续的结构理想化为仅由在结点相连的 单元组成。 单元组成。
徐汉忠第一版2000/7 弹性力学第六章有限元 2
Introduction-1 导引 导引-1
• The finite element method is an extension of the analysis techniques (matrix method) of ordinary framed structures. 有限元法是刚架结构分析技术的扩充。 有限元法是刚架结构分析技术的扩充。 • The finite element method was pioneered in the aircraft industry where there was an urgent need for accurate analysis of complex airframes. 有限元法首先应用于飞机工业。 有限元法首先应用于飞机工业。
徐汉忠第一版2000/7
弹性力学第六章有限元
5
Introduction-4
• In a continuum structure , a corresponding natural subdivision does not exist so that the continuum has to be artificially divided into a number of elements before the matrix method of analysis can be applied. 连续结构不存在自然的单元， 连续结构不存在自然的单元，须人为划分为单 元
弹性力学主要内容及参考书目《弹性力学》
弹性力学的主要章节内容
第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章 第八章 第九章 第十章 第十一章 第十二章 绪 论 平面问题的基本理论 平面问题的直角坐标解答 平面问题的极坐标解答 平面问题的复变函数解答 温度应力的平面问题 平面问题的差分解 空间问题的基本理论 空间问题的解答 等截面直杆的扭转 能量原理与变分法 弹性波的传播
教材与主要参考书
教材： 《弹性力学》（上册，第三版）
徐芝纶 编 高等教育出版社 （Timoshenko）编 科学出版社 同济大学出版社 清华大学出版社
参考书：《弹性理论》 铁木辛柯
பைடு நூலகம்
《弹性力学》 吴家龙 编
《弹性理论基础》 陆明万等 编 《弹性力学学习方法及解题指导》
王俊民 编 徐秉业 编 同济大学出版社 机械工业出版社
《弹性与塑性力学》（例题与习题）
弹性力学徐芝纶课后习题及答案
弹性力学徐芝纶课后习题及答案弹性力学是固体力学的重要分支，对于工程技术领域有着广泛的应用。
徐芝纶先生所著的弹性力学教材备受推崇，而课后习题则是巩固知识、加深理解的重要环节。
下面我们将对部分典型的课后习题及其答案进行详细的探讨。
首先，来看一道关于平面应力问题的习题。
题目给出了一个矩形薄板，在其边界上受到特定的力和约束条件，要求计算板内的应力分布。
对于这道题，我们首先需要根据已知条件确定边界条件。
假设矩形薄板的长为 a，宽为 b，在 x 方向上受到均匀分布的拉力 T，在 y 方向上受到均匀分布的压力 P，并且在四个边上有相应的位移约束。
根据弹性力学的基本方程，我们可以列出平衡方程、几何方程和物理方程。
通过联立这些方程，并结合边界条件，采用适当的求解方法，如应力函数法，逐步推导出应力的表达式。
经过一系列的计算和推导，最终得到板内的应力分布为：在 x 方向上的应力σx ＝ T ／ b P y ／ b，在 y 方向上的应力σy ＝ P，剪应力τxy ＝ 0。
接下来，再看一道关于应变能的习题。
题目要求计算一个受扭转的圆柱体的应变能。
对于这道题，我们首先要了解圆柱体扭转时的应力和应变分布情况。
根据弹性力学的理论，圆柱体扭转时，横截面上只有剪应力存在，且剪应力沿半径方向呈线性分布。
然后，通过积分计算出单位体积的应变能，再乘以圆柱体的体积，即可得到整个圆柱体的应变能。
经过计算，圆柱体的应变能表达式为：U ＝π G L （R^4 r^4) ／ 8，其中 G 为剪切模量，L 为圆柱体的长度，R 为圆柱体的外半径，r 为圆柱体的内半径。
下面是一道关于应力集中的习题。
题目给出了一个带有圆孔的平板，在板的边缘受到拉伸载荷，要求分析孔边的应力集中现象。
对于这类问题，我们需要运用圣维南原理和应力集中系数的概念。
首先，根据平板的受力情况，计算出无孔时的均匀应力。
然后，通过弹性力学的理论分析，得出孔边的应力分布表达式。
经过计算，发现孔边的应力显著增大，最大应力出现在孔边的某些位置。
河海大学 弹性力学
切应力
fx fy
fx fy
x y
xy
未 正应变
知
x
y
量 切应变
xy
空间问题
fx fy fz
fx fy fz
x y z xy yz zx
x y z
xy yz zx
位移 u v u v w
量纲 L-2MT-2 L-1MT-2 L-1MT-2 L-1MT-2 量纲一
变形状态假定
小变形假定的应用： a.简化平衡条件：考虑微分体的平衡 条件时，可以用变形前的尺寸代替变形后 的尺寸。
b.简化几何方程：在几何方程中，由于
( , ) ( , )2 ( , )3 , 可略去 ( , )2
等项,使几何方程成为线性方程。
版社，2006 S.Timoshenko & Goodier J.《Theory of Elasticity》
清华大学出版社, 2004 徐芝纶编《Applied Elasticity》，高等教育出版社，
1991
Give me a fish and I will eat today, Teach me to fish and I will eat for a life time.
由应力与形变之间的物理关系, 建立物理方 程 (Physical equations)；
第三节 弹性力学中的基本假定
研究方法
在边界S面上:
在给定面力的边界 s上，建立应力边
界条件(Stress boundary conditions);
在给定约束的边界 上su，建立位移边界条
件(Displacement boundary conditions)。
徐芝纶编《弹性力学简明教程》第四版,全部章节课后答案详解
弹性力学简明教程（第四版）课后习题解答徐芝纶第一章绪论【1-1】试举例说明什么是均匀的各向异性体，什么是非均匀的各向同性体？【分析】均匀的各项异形体就是满足均匀性假定，但不满足各向同性假定；非均匀的各向异性体，就是不满足均匀性假定，但满足各向同性假定。
【解答】均匀的各项异形体如：竹材，木材。
非均匀的各向同性体如：混凝土。
【1-2】一般的混凝土构件和钢筋混凝土构件能否作为理想弹性体？一般的岩质地基和土质地基能否作为理想弹性体？【分析】能否作为理想弹性体，要判定能否满足四个假定：连续性，完全弹性，均匀性，各向同性假定。
【解答】一般的混凝土构件和土质地基可以作为理想弹性体；一般的钢筋混凝土构件和岩质地基不可以作为理想弹性体。
【1-3】五个基本假定在建立弹性力学基本方程时有什么作用？【解答】（1）连续性假定：假定物体是连续的，也就是假定整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙。
引用这一假定后，物体的应力、形变和位移等物理量就可以看成是连续的。
因此，建立弹性力学的基本方程时就可以用坐标的连续函数来表示他们的变化规律。
完全弹性假定：假定物体是完全弹性的，即物体在对应形变的外力被去除后，能够完全恢复原型而无任何形变。
这一假定，还包含形变与引起形变的应力成正比的涵义，亦即两者之间是成线性关系的，即引用这一假定后，应力与形变服从胡克定律，从而使物理方程成为线性的方程，其弹性常数不随应力或形变的大小而变。
均匀性假定：假定物体是均匀的，即整个物体是由同一材料组成的，引用这一假定后整个物体的所有各部分才具有相同的弹性，所研究物体的内部各质点的物理性质都是相同的，因而物体的弹性常数不随位置坐标而变化。
各向同性假定：假定物体是各向同性的，即物体的弹性在所有各个方向都相同，引用此假定后，物体的弹性常数不随方向而变。
小变形假定：假定位移和变形是微小的。
亦即，假定物体受力以后整个物体所有各点的位移都远远小于物体原来的尺寸，而且应变和转角都远小于1。
弹性力学(徐芝纶版)PPT演示课件
绪论
第二节
弹性力学中的几个基本概念
例：正的应力
切应力的 互等性：
yz zy
zx xz
xy yx
E 24
第一章
绪论
第二节
弹性力学中的几个基本概念
材料力学(mechanics of materials)
弹性力学(theory of elasticity )：研究的范围更广，如 叶轮、地基，堤坝、桥梁等实体。（非杆状物体）
E
7
第一章
绪论
第一节 弹性力学的内容
E
8
第一章
绪论
第一节 弹性力学的内容
E
9
第一章
绪论
第一节 弹性力学的内容
E
10
第一章
E
16
第一章
绪论
第一节 弹性力学的内容
思考题
1. 弹性力学和材料力学相比，其研究对象有什么区别？
2. 弹性力学和材料力学相比，其研究方法有什么区别？ 3. 试考虑在土木、水利工程中有哪些非杆件和杆系的结构？
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第一章
绪论
第二节
弹性力学中的几个基本概念
§ 1－ 2
外力
弹性力学中的几个基本概念
—其他物体对研究对象（弹性体）的作用力。
—截面上某一点处，单位截面面积上的内力值。
F p A0 A lim
量纲：ML-1T -2 .
x 向正应力， x 轴的面上沿 表示： σ x —垂直于
xy
y x 轴的面上沿 —垂直于
向切应力。
符号：应力成对出现，坐标面上的应力以正面正向，负面负 向为正；正面负向，负面正向为负。
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第一章
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第六章 用有限单元法解平面问题
对工程问题，力学研究涉及到工程简化、物理模型和 力学分析，而解决力学问题的三大支柱为实验手段，理论 分析和计算手段。
用计算手段解决力学问题（计算力学） 是计算机科学、计算数学和力学学科交叉、 相互渗透的产物。一般认为计算力学始于 有限元方法的出现。
数值计算方法是计算力学的核心内容，它是解决工程实 际力学问题的有效手段，已被学术界和工程界广泛认可作 为一种力学状态的分析工具。近几十年来数值方法发展迅 速，相继出现了：
简史
1956年，特纳等人提出了FEM。
20世纪50年代，平面问题的FEM建立，并应用 于工程问题。
1960年提出了FEM的名称。 20世纪60年代后，FEM应用于各种力学问题和 非线性问题，并得到迅速发展。
1970年后，FEM被引入我国，并很快地得到应用 和发展。
第六章 用有限单元法解平面问题
导出方法
4. FEM的主要导出方法 应用静力方法或变分方法导出。
5.本章介绍平面问题的FEM
仅叙述按位移求解的方法。 且一般都以平面应力问题来表示。
第六章 用有限单元法解平面问题
§6-1 基本量和基本方程的 矩阵表示
采用矩阵表示,可使公式统一、简洁， 且便于编制程序。
本章无特别指明，均表示为平面应力 问题的公式。
第六章 用有限单元法解平面问题
概述 第一节 基本量及基本方程的矩阵表示 第二节 有限单元法的概念 第三节 单元的位移模式与解答的收敛性 第四节 单元的应变列阵和应力列阵 第五节 单元的结点力列阵与劲度矩阵 第六节 荷载向结点移置 单元的结点荷载列阵
第六章 用有限单元法解平面问题
第七节 结构的整体分析结点平衡方程组 第八节 解题的具体步骤 单元的划分 第九节 计算成果的整理 第十节 计算实例 第十一节 应用变分原理导出有限单元法的基本方程 例题
第六章 用有限单元法解平面现问有题 的数值分析方法
变分法（Variational Method） 有限差分法（Finite Difference Method, FDM） 有限元法（Finite Element Method, FEM） 边界元法（Boundary Element Method, BEM） 无限元法（Infinite Element Method, IEM） 刚体弹簧模型或刚性有限元法（Rigid-Spring Model RBSM ） 界面应力元模型（Interface Stress Element Model, ISEM） 离散元法（Distinct Element Method, DEM） 关键块理论（Key Block Theory, KBT） 非连续变形分析(Discontinuous Deformation Analysis, DDA) 无单元法（Meshless Element –Free Method） 流形方法（Manifold Method, MM） 广义有限元法（Generalized Finite Element Method, GFEM） 混合数值方法（Mixed Numerical Method）
第六章 用有限单元法解平面问题
应用的方程
FEM中应用的方程：
几何方程:
ε (u v u v )T x y x y
(a)
物理方程: σ Dε
(b)
其中D为弹性矩阵，对于平面应力问题是:
1 μ 0
D
E 1 μ2
μ
0
1 0
1
0
μ
(c)
2
将连续体变换为离散化结构:即将连续体划分 为有限多个、有限大小的单元，并使这些单元仅 在一些结点处用绞连结起来，构成所谓‘离散化 结构’。
(a) 桁架
第六章 用有限单元法解平面问题
应用的方程
虚功方程:
(δ* )T F
y
Fiy ,vi*
(ε* )T σdxdyt A
i
Fix ,ui*
其中:
Fjy , v*j j
Fjx ,u*j
δ* --结点虚位移; o
图6-1
x
ε* --对应的虚应变。
在FEM中，用结点的平衡方程代替平衡
微分方程，后者不再列出。
第六章 用有限单元法解平面问题
FEM的概念
§6-2 有限单元法的概念
FEM的概念，可以简述为：采用有限自由度 的离散单元组合体模型去描述实际具有无限自由 度的考察体，是一种在力学模型上进行近似的数 值计算方法。
其理论基础是分片插值技术与虚功原理或变分原理。
FEM的分析过程：
1.将连续体变换为离散法解平面问题
结构离散化
1. 结构离散化－－将连续体变换为离散化结构
结构力学研究的对象是离散化结构。如桁架， 各单元（杆件）之间除结点铰结外，没有其他联
系（图（a））。
(a) 桁架
(b) 深梁（连续体）
第六章 用有限单元法解平面问题
结构离散化
弹力研究的对象，是连续体（图（b）)。
第六章 用有限单元法解平面问题
基本物理量：
基本物理量
体力: f ( fx f y )T。
面力: f ( fx f y )T。
位移函数: d (u(x, y),v(x, y))T。
应变: ε (εx εy γxy )T 。 应力: σ (σx σ y τxy )T 。 结点位移列阵: δ(ui vi u j v j)T 。 结点力列阵: F (Fix Fiy Fjx Fjy)T 。
第六章 用有限单元法解平面问题
简史
（2）对同一类问题，可以编制出通用程序， 应用计算机进行计算。
（3）只要适当加密网格，就可以达到工程 要求的精度。
3. FEM简史
FEM是上世纪中期才出现，并得到迅速发展 和广泛应用的一种数值解法。
1943年柯朗(德国著名数学家 )第一次提出 了FEM的概念。
第六章 用有限单元法解平面问题
第六章 用有限单元法解平面问题
FEM
第六章 用有限单元法解平面问题
概述
1.有限元法（Finite Element Method-FEM）
简称FEM，是弹性力学的一种近似解法。 首先将连续体变换为离散化结构，然后再利用 分片插值技术与虚功原理或变分方法进行求解。
2. FEM的特点
（1）具有通用性和灵活性。