电路原理第六章互感电路
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第六章 互感电路
本章内容
1.互感 2.同名端 3.互感电路分析 4.理想变压器
本章教学目的
互感器在电工、电子技术中应用十分广泛， 本章首先介绍互感电路，在此基础上提出理想 变压器基本概念。
本章教学要求
掌握自感、电感、互感的概念；牢固掌握同 名端的流、阻抗交换比的计 算公式。
6.4 理想变压器
变压器由具有互感的线圈组成。 1）理想变压器满足如下条件： ① 变压器没有能量损耗。PL＝PCu+PFe，PCu＝0， 表示变压器铜线损耗为零，即线圈绕组电阻为 零，电导率 ；PFe=0，表示变压器铁芯损耗 为零，即铁芯没有涡流损耗和磁滞损耗。 ② 铁芯导磁率，故线圈间耦合很紧，没有漏磁。
i1
* 1
1′
i2
2’ 2 * 图6-2
图6-1中，W1中流过电流i1时，W1中产生感生 电压正方向如图示，记为uL1。i1产生磁通在W2
中也会产生感生电压，i1增大时，21也增大，由
楞次定律，W2中产生感生电压2端为正，记为 uM2，大小为
uM 2W 2dd 2t1 d d2（t1 6M .2-21）d 1 d1it
解：因为理想变压器不消耗能量，所以电源输 给变压器的功率就等于负载吸收的功率，当理 想变压器入端电阻R’=Ri=10 时变压器吸收最 大功率。根据式6.4-3有
n2 R' 10 1 RL 90 9
即理想变压器匝数比 n W1 1 时，负载获得的
W2 3
功率最大。此时，变压器原线圈电流
I1
RiUSR'
（1）当电流参考方向为流入同名端，互感电压 的参考方向也为流入同名端时，互感电压表达 式前取正号；
（2）当电流参考方向为流入同名端，但互感电 压的参考方向为流出同名端时，互感电压表达 式前取负号； （3）当电流参考方向为流出同名端，但互感电 压的参考方向为流入同名端时，互感电压表达 式前取负号； （4）当电流参考方向为流出同名端，互感电压 的参考方向也为流出同名端时，互感电压表达 式前取正号；
2）变换比n
图6-6（a）为一理想变压器，原副边匝数分别
为W1和W2，电压电流正方向如图I，1和I 2产生
磁通相加，由假设无漏磁，耦合系数k=1， 与
W1和W2全部交1链，W 原1副 边磁链分别为
2 W2
故原副边电压分别为
U1 j，W1 U2 j，W2
U 1 I1W1
I2
W2
U 2
得
U 1 U 2
U
U j L 1 I j M I j L 2 I j M I
M
I ＊
L1 U
＊ L2
U j L 1 I j M I j L 2 I j M I
6.3 互感电路分析
对于含有互感电路的分析，在列写方程时， 只要计入互感电压即可，其余与交流电路分析 方法相同。
例 和6Z.L1，给图定U6-5。电求路：I，1已，I知2，R1列，出R2分，析L1方，程L2。，M，
I1 R1
R2 I2
U
＊ M＊
1
L1
L2
ZL
图６-5
解： U 1R 1 I1j L 1 I1j M I2 (R 1j L 1) I1j M I2
0 R 2 I2 Z L I2 j L 2 I2 j M I1
j M I1 (R 2 Z l j L 2 ) I2
联立求解即可得 I1，I2。
M
I ＊
＊
R L1
U 1
L2
U 2M
U 1
M1 ＊ I1
I R ＊ L1
L2 L3
M2
U 2M
P8.2 写出理想变压器定义式。
P8.3 图中电路，R1=5Ω，R2=10Ω，XL1=31.4Ω， X求L：2=19）4.2UΩ1，，UX M2；=31.4Ω，ZH=20+j10Ω，I2=1 A。 2）电源发出有功功率P1和负载ZH吸收有功功率PH； 3）电路传输效率。
可简记为：同入同出为正，否则为负。
当同名端和正方向不同时，相应方程须相应改 变，如图6-4。
M
I ＊
＊
L1
L2
U
U j L 1 I j M I j L 2 I j M I
M
I ＊
L1 U
＊ L2
U j L 1 I j M I j L 2 I j M I
M
I ＊ L1
＊ L2
3 0.15A 20
通过负载的电流
I2
nI1
0.150 3
.0
5
A
负载端电压
U 2 I2 R L 0 .0 5 9 0 4 .5 V
3）实际变压器不具备理想条件， ， ， 故
必有铜耗和铁损及漏磁。用理想变压器计算结 果与实际值具有一定误差。
本章小结
1.互感电压是由于两个电感之间磁通相互耦合引起的。
W W （126.4n-1）
图6-6（a）
将变压器看成一个网络，由功率守恒及理想变
压器无损耗条件，有 I 1
I2
U 1*I1U 2*I2 0 U
*
I1
*
I2
U 2 U 1
1 n
1
n
U 2
Zl
I 1 I 2
1 n
（6.4-2）
图6-6 （b）
式（6.4-1），（6.4-2）可看成为理想变压器
的定义式。
（6.1（6.1-8）
为耦合系数，表征两个电感之间耦合程度
之强弱。k的最大值为kmax=1，这时漏磁
通
S1， S2为零，磁通全部与两个线圈交链， 称为全耦合。
6.2 同名端
图6-1中i1，i2产生磁场互相加强，把端子1， 2称为同名端，同样，1′，2′也是同名端， 同名端用＊作标记。当一个线圈绕向相反 时，同名端如图6-2。
6.1 互感
两个电感器之间有公共磁通相交链，这两个电
感器就构成耦合电感器，如图6.1所示。设线圈
W1中电流 i1，产生磁通 11= S1+ 21
φ21
w1 φS1
w2
S1–––漏磁通
21–––互磁通
+
*
1
iu1L1－1′
*+ i2uM2 2 2′
图6-1
－
L1
11 i1
W111 i1
称为自感，
（6.1-1）
2.线圈1上的电流i1产生磁通与线圈2相交链的磁链与i1 之比定义为互感。
3.同名端是十分重要的概念，当电流从同名端流入时 产生磁通互相加强。
4.含互感电路的分析必须计及互感电压。
5.理想变压器是一个电压、电流、阻抗变换元件；理 想变压器无能量损耗。
作业8
P8.1 写出图示电路的 U 1， U 2M（频率）。
I1
I2
＊M＊
U 1
L1
L2
ZH U 2
R1
R2
其中规定 I1 ，I2 的方向均为流入端口，如 图6－6。若 I2 的方向为流出端口，则
I1 I 2
1 n
理想变压器可用图6-6（b）来表示。设副边接 上负载Zl，从输入端看去，其输入阻抗为
ZU I11
nU 2 n 1I2
n2IU 22n2Zl
（6.4-3）
当变压器副边负载一定时，常用变压器来变换 阻抗，实现阻抗匹配，在电子技术中经常采用。
例6.2 如图6-7(a)电路，设一信号源的开路电 压US=3V，内阻Ri=10Ω，负载电阻RL=90Ω， 为使负载获得最大功率，接入了一个理想变压 器。求变压器的匝比n=W1/W2和负载的端电压 及通过负载的电流。
I1
I2
＋ －
US
n
Ri R＇
RL
＋ －
US
Ri
R’＝n2RL
（a）
图6-7
（b）
复数形式 同样
U M2＝jMI1（6.2-2） U M1＝jMI2 （6.2-3）
作电路分析时，用符号表示如图6-3。
U．1＝U．L1＋U M1＝ jL1I1jM I2
U 2＝ U L2＋ U M2＝ jL2I2jM I1
I1 *
M
U M1
L1
U M2
I2 * L2
U 1
U 2
图6-3
＊ 由上面分析可知，互感压降是由另一线圈的 电流引起的，与本线圈的电流无关，所以写互感 压降的式子时，只要考虑它的参考方向与引起它 的电流的参考方向对同名端是否一致，如果一致， 则此压降取正号；反之，取负号。具体为：
LS1
W1S1 i1
称为漏电感，简称漏感，
（6.1-2）
M21i121W2i121
（6.1-3）
称为W1对W2的互电感，简称互感。
同样，定义
L2
W222 i2
（6.1-4）
LS2
W2S2 i2
（6.1-5）
M1 2
W11 2 i2
（6.1-6）
可以证明 M12＝M21＝M
7） 定义
k
M
L1L 2
本章内容
1.互感 2.同名端 3.互感电路分析 4.理想变压器
本章教学目的
互感器在电工、电子技术中应用十分广泛， 本章首先介绍互感电路，在此基础上提出理想 变压器基本概念。
本章教学要求
掌握自感、电感、互感的概念；牢固掌握同 名端的流、阻抗交换比的计 算公式。
6.4 理想变压器
变压器由具有互感的线圈组成。 1）理想变压器满足如下条件： ① 变压器没有能量损耗。PL＝PCu+PFe，PCu＝0， 表示变压器铜线损耗为零，即线圈绕组电阻为 零，电导率 ；PFe=0，表示变压器铁芯损耗 为零，即铁芯没有涡流损耗和磁滞损耗。 ② 铁芯导磁率，故线圈间耦合很紧，没有漏磁。
i1
* 1
1′
i2
2’ 2 * 图6-2
图6-1中，W1中流过电流i1时，W1中产生感生 电压正方向如图示，记为uL1。i1产生磁通在W2
中也会产生感生电压，i1增大时，21也增大，由
楞次定律，W2中产生感生电压2端为正，记为 uM2，大小为
uM 2W 2dd 2t1 d d2（t1 6M .2-21）d 1 d1it
解：因为理想变压器不消耗能量，所以电源输 给变压器的功率就等于负载吸收的功率，当理 想变压器入端电阻R’=Ri=10 时变压器吸收最 大功率。根据式6.4-3有
n2 R' 10 1 RL 90 9
即理想变压器匝数比 n W1 1 时，负载获得的
W2 3
功率最大。此时，变压器原线圈电流
I1
RiUSR'
（1）当电流参考方向为流入同名端，互感电压 的参考方向也为流入同名端时，互感电压表达 式前取正号；
（2）当电流参考方向为流入同名端，但互感电 压的参考方向为流出同名端时，互感电压表达 式前取负号； （3）当电流参考方向为流出同名端，但互感电 压的参考方向为流入同名端时，互感电压表达 式前取负号； （4）当电流参考方向为流出同名端，互感电压 的参考方向也为流出同名端时，互感电压表达 式前取正号；
2）变换比n
图6-6（a）为一理想变压器，原副边匝数分别
为W1和W2，电压电流正方向如图I，1和I 2产生
磁通相加，由假设无漏磁，耦合系数k=1， 与
W1和W2全部交1链，W 原1副 边磁链分别为
2 W2
故原副边电压分别为
U1 j，W1 U2 j，W2
U 1 I1W1
I2
W2
U 2
得
U 1 U 2
U
U j L 1 I j M I j L 2 I j M I
M
I ＊
L1 U
＊ L2
U j L 1 I j M I j L 2 I j M I
6.3 互感电路分析
对于含有互感电路的分析，在列写方程时， 只要计入互感电压即可，其余与交流电路分析 方法相同。
例 和6Z.L1，给图定U6-5。电求路：I，1已，I知2，R1列，出R2分，析L1方，程L2。，M，
I1 R1
R2 I2
U
＊ M＊
1
L1
L2
ZL
图６-5
解： U 1R 1 I1j L 1 I1j M I2 (R 1j L 1) I1j M I2
0 R 2 I2 Z L I2 j L 2 I2 j M I1
j M I1 (R 2 Z l j L 2 ) I2
联立求解即可得 I1，I2。
M
I ＊
＊
R L1
U 1
L2
U 2M
U 1
M1 ＊ I1
I R ＊ L1
L2 L3
M2
U 2M
P8.2 写出理想变压器定义式。
P8.3 图中电路，R1=5Ω，R2=10Ω，XL1=31.4Ω， X求L：2=19）4.2UΩ1，，UX M2；=31.4Ω，ZH=20+j10Ω，I2=1 A。 2）电源发出有功功率P1和负载ZH吸收有功功率PH； 3）电路传输效率。
可简记为：同入同出为正，否则为负。
当同名端和正方向不同时，相应方程须相应改 变，如图6-4。
M
I ＊
＊
L1
L2
U
U j L 1 I j M I j L 2 I j M I
M
I ＊
L1 U
＊ L2
U j L 1 I j M I j L 2 I j M I
M
I ＊ L1
＊ L2
3 0.15A 20
通过负载的电流
I2
nI1
0.150 3
.0
5
A
负载端电压
U 2 I2 R L 0 .0 5 9 0 4 .5 V
3）实际变压器不具备理想条件， ， ， 故
必有铜耗和铁损及漏磁。用理想变压器计算结 果与实际值具有一定误差。
本章小结
1.互感电压是由于两个电感之间磁通相互耦合引起的。
W W （126.4n-1）
图6-6（a）
将变压器看成一个网络，由功率守恒及理想变
压器无损耗条件，有 I 1
I2
U 1*I1U 2*I2 0 U
*
I1
*
I2
U 2 U 1
1 n
1
n
U 2
Zl
I 1 I 2
1 n
（6.4-2）
图6-6 （b）
式（6.4-1），（6.4-2）可看成为理想变压器
的定义式。
（6.1（6.1-8）
为耦合系数，表征两个电感之间耦合程度
之强弱。k的最大值为kmax=1，这时漏磁
通
S1， S2为零，磁通全部与两个线圈交链， 称为全耦合。
6.2 同名端
图6-1中i1，i2产生磁场互相加强，把端子1， 2称为同名端，同样，1′，2′也是同名端， 同名端用＊作标记。当一个线圈绕向相反 时，同名端如图6-2。
6.1 互感
两个电感器之间有公共磁通相交链，这两个电
感器就构成耦合电感器，如图6.1所示。设线圈
W1中电流 i1，产生磁通 11= S1+ 21
φ21
w1 φS1
w2
S1–––漏磁通
21–––互磁通
+
*
1
iu1L1－1′
*+ i2uM2 2 2′
图6-1
－
L1
11 i1
W111 i1
称为自感，
（6.1-1）
2.线圈1上的电流i1产生磁通与线圈2相交链的磁链与i1 之比定义为互感。
3.同名端是十分重要的概念，当电流从同名端流入时 产生磁通互相加强。
4.含互感电路的分析必须计及互感电压。
5.理想变压器是一个电压、电流、阻抗变换元件；理 想变压器无能量损耗。
作业8
P8.1 写出图示电路的 U 1， U 2M（频率）。
I1
I2
＊M＊
U 1
L1
L2
ZH U 2
R1
R2
其中规定 I1 ，I2 的方向均为流入端口，如 图6－6。若 I2 的方向为流出端口，则
I1 I 2
1 n
理想变压器可用图6-6（b）来表示。设副边接 上负载Zl，从输入端看去，其输入阻抗为
ZU I11
nU 2 n 1I2
n2IU 22n2Zl
（6.4-3）
当变压器副边负载一定时，常用变压器来变换 阻抗，实现阻抗匹配，在电子技术中经常采用。
例6.2 如图6-7(a)电路，设一信号源的开路电 压US=3V，内阻Ri=10Ω，负载电阻RL=90Ω， 为使负载获得最大功率，接入了一个理想变压 器。求变压器的匝比n=W1/W2和负载的端电压 及通过负载的电流。
I1
I2
＋ －
US
n
Ri R＇
RL
＋ －
US
Ri
R’＝n2RL
（a）
图6-7
（b）
复数形式 同样
U M2＝jMI1（6.2-2） U M1＝jMI2 （6.2-3）
作电路分析时，用符号表示如图6-3。
U．1＝U．L1＋U M1＝ jL1I1jM I2
U 2＝ U L2＋ U M2＝ jL2I2jM I1
I1 *
M
U M1
L1
U M2
I2 * L2
U 1
U 2
图6-3
＊ 由上面分析可知，互感压降是由另一线圈的 电流引起的，与本线圈的电流无关，所以写互感 压降的式子时，只要考虑它的参考方向与引起它 的电流的参考方向对同名端是否一致，如果一致， 则此压降取正号；反之，取负号。具体为：
LS1
W1S1 i1
称为漏电感，简称漏感，
（6.1-2）
M21i121W2i121
（6.1-3）
称为W1对W2的互电感，简称互感。
同样，定义
L2
W222 i2
（6.1-4）
LS2
W2S2 i2
（6.1-5）
M1 2
W11 2 i2
（6.1-6）
可以证明 M12＝M21＝M
7） 定义
k
M
L1L 2