等离子体物理-5单粒子轨道理论

导向中心近似 导向中心近似时的弱变化场 弱不均匀磁场的等效外力 平行于磁场的等效力 垂直于磁场的等效力 梯度漂移 磁矩不变性与磁镜场 曲率漂移
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2011年4月17日
单粒子轨道理论
弱不均匀磁场的等效外力
在导向中心处将磁场展开：
f ( x, y ) = f (a, b) + f x '(a, b)( x − a) + f y '(a, b)( y − b) + ......
×B
(B × C) × A = ( A • B)C − ( A • C)B
q ( vD × B ) × B = q ⎡ ⎣( v D • B ) B − ( B • B ) v D ⎤ ⎦ = −F⊥ × B
vD =
F×B qB 2 F⊥ qB
或 vD =
2011年4月17日
单粒子轨道理论
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附加力为电场力时的漂移
B ≈ B0 + ( r0 ⋅∇ ) B 0
粒子运动速度：
B0 + B1
v = ω c × r0 + v1
粒子运动方程：
v0 + v1
回旋频率
ωc
−
qB m
q q⎡ dv q ⎡ ⎤ × + ≈ v B v0 × ( r0 ⋅∇ ) B 0 ⎤ = v × B0 + v × ( r0 ⋅∇ ) B 0 ( 0) ⎦ ⎦ m m⎣ dt m ⎣
带电粒子在均匀恒定磁场中的运动
q>0
B
＋
q<0
－
B
左手螺旋
右手螺旋 合成运动 电子回旋频率
B
B
f ce ( GHz )
ωce 2π
28B ( T )
回旋运动的时间尺度
ω c −1
q>0
2011年4月17日
回旋运动的空间尺度
rc
q<0
单粒子轨道理论 9
带电粒子在均匀恒定磁场中的运动
另一种推导方法
dv q = v×B dt m
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单粒子轨道理论
导向中心近似
回旋运动通常是磁场中粒子的基本运动，通常我们可以将回旋运动 与其它运动分离 一般运动
= 回旋运动 +
导向中心的运动
导向中心近似：不考虑时空尺度较小的回旋运动，用导向中心代表 粒子 外场变化时，回旋运动受影响，若在回旋运动的时间空间尺度中， 外场相对变化小，则回旋运动近似是完整的，粒子的运动可以近似 用导向中心代表，将场的变化对回旋运动的影响归结为对导向中心 运动的修正 导向中心近似：对回旋运动平均
0
B r =0
0
r0 ：回旋运动位矢
或：
( r0 ⋅∇ ) B 0
B0
粒子回旋运动的轨道内，磁场的相对变化值为小量 缓变磁场 或：
1 ∂B ωc ∂t r =0
0
B r =0
0
1 ∂B ωc ∂t 0
B0
粒子回旋运动的周期内，磁场的相对变化值为小量
2011年4月17日
单粒子轨道理论
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带电粒子在非均匀磁场中的漂移
回旋运动
等效外力
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单粒子轨道理论
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弱不均匀磁场的等效外力
q ⎡v0 × ( r0 ⋅∇ ) B 0 ⎤ ⎣ ⎦
回旋轨道平均（导向中心近似）：
等效外力
F = q ⎡v0 × ( r0 ⋅∇ ) B 0 ⎤ ⎣ ⎦
v0 = − qB 0 × r 0 m
ωc
q2 ⎡ = r0 ⋅ ∇ ) B 0 ⎤ × ( B0 × r0 ) ( ⎦ m ⎣
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2011年4月17日
单粒子轨道理论
带电粒子在均匀恒定磁场中的运动
B
运动方程
⎛• ⎞ m r = q ⎜ r× B ⎟ ⎝ ⎠
••
i r
•
v z
d ⎛1 2⎞ ⎛• ⎞ • m r ir = ⎜ mv ⎟ = q ⎜ r× B ⎟ir = 0 dt ⎝ 2 ⎝ ⎠ ⎠
•• •
••
q ⎛• ⎞ B z = ⎜ r× B ⎟i = 0 m⎝ ⎠ B
碰撞频繁
集体效应
粒子间的 相互作用 可忽略
流体近似
近似
统计物理 动力论
近似
单粒子近似
2011年4月17日
单粒子轨道理论
2
概述
单粒子轨道理论的基本假定 忽略带电粒子之间的相互作用 忽略带电粒子的运动对所施加电磁场的影响
2011年4月17日
单粒子轨道理论
3
单粒子轨道理论
概述 带电粒子在均匀恒定磁场中的运动 等离子体的抗磁性 附加均匀恒定非磁性力场中的漂移运动 带电粒子在非均匀磁场中的漂移 非均匀电场的影响 缓变电场的影响 漂移运动总结
单粒子轨道理论
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带电粒子在均匀恒定磁场中的运动
⎡ ⎛ ⎞⎤ ⎡ ⎛ ⎞ ⎤ ⎛ v⊥ ⎞ v⊥ v⊥ ⎢ x − ⎜ x0 − sin α ⎟ ⎥ + ⎢ y − ⎜ y0 − cos α ⎟ ⎥ = ⎜ ⎟ ωc ωc ⎠⎦ ⎣ ⎝ ⎠⎦ ⎝ ωc ⎠ ⎣ ⎝
2 2 2
粒子轨道是以
{
x0 −
y0 −
*
v ⊥ = v ⊥∗ + v D
与仅有均匀恒定磁场中的 螺旋运动类似 求解vD 从以速度vD运动的 坐标系中观察到的结果
在固定坐标系中，带电粒子还有一个以大小和方向都不变的速度vD 进行的横向漂移；
2011年4月17日
单粒子轨道理论
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附加均匀恒定非磁性力场中的漂移运动
q ( v D × B ) + F⊥ = 0
单粒子轨道理论
概述 带电粒子在均匀恒定磁场中的运动 等离子体的抗磁性 附加均匀恒定非磁性力场中的漂移运动 带电粒子在非均匀磁场中的漂移 非均匀电场的影响 缓变电场的影响 漂移运动总结
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2011年4月17日
单粒子轨道理论
概述
常规流体 稠密
水的分子数 密度 1029m-3
等离子体
同步加速器 密度极低
Xi’an Jiaotong University
研究生课程
电弧等离子体物理基础及应用
Fundamentals and Applications of Arc Plasma
史宗谦 教授 贾申利 教授 zqshi@mail.xjtu.edu.cn sljia@mail.xjtu.edu.cn
2011.3~2011.6
1 2 mv = W = 常数 2
1 m ( v⊥ 2 + v 2 ) = 常数 2
v⊥ = 常量
动能守恒
z = v = 常量
2011年4月17日
•
单粒子轨道理论
5
带电粒子在均匀恒定磁场中的运动
••
x = ωc y y = −ω c x
•
•
A × B = ( Ay Bz − Az By )x 0 + ( Az Bx − Ax Bz )y 0 + ( Ax By − Ay Bx )z 0
z = v t + z0
运动平面上
2
z = v t + z0
2 2
⎡ ⎛ ⎞⎤ ⎡ ⎛ ⎞ ⎤ ⎛ v⊥ ⎞ v⊥ v⊥ ⎢ x − ⎜ x0 − sin α ⎟ ⎥ + ⎢ y − ⎜ y0 − cos α ⎟ ⎥ = ⎜ ⎟ ωc ωc ⎠⎦ ⎣ ⎝ ⎠⎦ ⎝ ωc ⎠ ⎣ ⎝
2011年4月17日
F×B vD = qB 2
F = Eq
v DE
E×B = B2
电漂移速度
vDE
E⊥ = B
电漂移运动的物理解释
i
B
+ E
vDE
e
电漂移速度与粒子种类无关 ,等离子体整体漂移 电漂移运动垂直于磁场 电漂移运动垂直于电场，平均而言电场的垂直分量对粒子不作功
2011年4月17日
单粒子轨道理论
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附加力为电场力时的漂移
⎛ qB ⎞ v = v0 − ⎜ ⎟× r ⎝ m⎠ v0 + ω c × r
d⎛ q ⎞ v − r × B ⎜ ⎟=0 dt ⎝ m ⎠
回旋频率
ωc
−
qB m
⎧v = v0 ⎨ ⎩v⊥ = v0⊥ + ω c × r 重新选择 r 的原点
= ωc × r
2011年4月17日
单粒子轨道理论
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单粒子轨道理论
概述 带电粒子在均匀恒定磁场中的运动 等离子体的抗磁性 附加均匀恒定非磁性力场中的漂移运动 带电粒子在非均匀磁场中的漂移 非均匀电场的影响 缓变电场的影响 漂移运动总结
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2011年4月17日
单粒子轨道理论
等离子体的抗磁性
B
电流大小的 时间平均值
| q | q2 B = I= 2π 2π m
ωc
磁耦极子
qB0 − m
ωc
ωc
v⊥
v⊥
sin α
为中心的圆 拉莫尔圆
cos α
圆的半径
v⊥ m rc = = qB ωc
v⊥
拉莫尔半径 回旋半径
圆心轨迹
⎛ ⎞ v⊥ v⊥ rG = ⎜ x0 − sin α , y0 − cos α , v t + z0 ⎟ ωc ωc ⎝ ⎠
单粒子轨道理论
引导中心
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v⊥ , v ,α , x0 , y0 , z0
初始条件
单粒子轨道理论
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带电粒子在均匀恒定磁场中的运动
⎛v x=⎜ ⊥ ⎝ ωc
⎛ v⊥ y=⎜ ⎝ ωc
⎞ ⎟⎡ ⎣ sin (ω c t + α ) − sin α ⎤ ⎦ + x0 ⎠
⎞ ⎟⎡ ⎣ cos (ω c t + α ) − cos α ⎤ ⎦ + y0 ⎠
I
μ
回旋运动是逆磁的 与电荷正负无关 等离子体是 逆磁介质
B感
2011年4月17日
单粒子轨道理论
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单粒子轨道理论
概述 带电粒子在均匀恒定磁场中的运动 等离子体的抗磁性 附加均匀恒定非磁性力场中的漂移运动 带电粒子在非均匀磁场中的漂移 非均匀电场的影响 缓变电场的影响 漂移运动总结
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2011年4月17日
v ⊥ = v ⊥∗ + v D
伽利略变换
2011年4月17日
单粒子轨道理论
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附加均匀恒定非磁性力场中的漂移运动
dv ⊥ = q ( v ⊥ × B ) + F⊥ m dt
如果 q ( v D × B ) + F⊥ = 0
dv ⊥* = q ( v ⊥* × B ) + q ( v D × B ) + F⊥ m dt m dv ⊥ = q ( v ⊥* × B ) dt
2011年4月17日
单粒子轨道理论
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单粒子轨道理论
概述 带电粒子在均匀恒定磁场中的运动 等离子体的抗磁性 附加均匀恒定非磁性力场中的漂移运动 带电粒子在非均匀磁场中的漂移 非均匀电场的影响 缓变电场的影响 漂移运动总结
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单粒子轨道理论
带电粒子在非均匀磁场中的漂移
导向中心近似 导向中心近似时的弱变化场 弱不均匀磁场的等效外力 平行于磁场的等效力 垂直于磁场的等效力 梯度漂移 磁矩不变性与磁镜场 曲率漂移
单粒子轨道理论
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附加均匀恒定非磁性力场中的漂移运动
将F分解 垂直于磁场的力F⊥ 平行于磁场的力F||
F||仅使粒子产生一个沿磁力线方向的匀加速度运动
dv dt
主要考虑F⊥的影响
=
F m
dv ⊥ = q ( v ⊥ × B ) + F⊥ m dt
假定vD为常量
dv m = q ( v × B ) + F 垂直分量 dt
⎛• ⎞ m r = q ⎜ r× B ⎟ ⎝ ⎠
••
百度文库
••
ωc =
••
z =0
qB m
拉莫尔（角）频率 回旋（角）频率
⎛ v⊥ ⎞ x = ⎜ ⎟⎡ sin (ω c t + α ) − sin α ⎤ + x0 ⎣ ⎦ ⎝ ωc ⎠ ⎛ v⊥ ⎞ cos (ω c t + α ) − cos α ⎤ + y0 y = ⎜ ⎟⎡ ⎣ ⎦ ⎝ ωc ⎠ z = v t + z0
带电粒子在均匀恒定磁场和电场中的运动
z
B E|| y
E⊥
2011年4月17日
x
单粒子轨道理论
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附加力为重力时的漂移
F×B vD = qB 2
F = mg
v Dg
m g×B = q qB 2
重力漂移速度与粒子种类相关，正负离子漂移方向相反，有电荷分 离的趋势，因此，有产生电场和电流的可能性 重力本身对等离子体的影响总可以忽略，重力漂移是指非电力产生 的漂移 在漂移运动中，电场力、非电场力的表现与常识相反 电漂移与电荷性质无关，非电场力漂移反而有关
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单粒子轨道理论
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带电粒子在非均匀磁场中的漂移
导向中心近似 导向中心近似时的弱变化场 弱不均匀磁场的等效外力 平行于磁场的等效力 垂直于磁场的等效力 梯度漂移 磁矩不变性与磁镜场 曲率漂移
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2011年4月17日
单粒子轨道理论
导向中心近似时的弱变化场
弱不均匀磁场
( r0 ⋅∇ ) B r =0
I
μ
磁矩大小
磁矩方向 右手螺旋
I × S = Iπ rc 2
q2 B 2 B µ=− π rc B 2π m
B感
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单粒子轨道理论
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等离子体的抗磁性
B
q2 B 2 B µ=− π rc 2π m B
v⊥ m rc = qB
mv⊥ 2 B µ=− 2B B
W⊥ B µ=− B B
均匀恒定磁场中 μ为常量
单粒子轨道理论
附加均匀恒定非磁性力场中的漂移运动
在均匀恒定磁场中，附加均匀恒定的力场
带电粒子的运动仍可被描写为绕一个动点(引导中心)的回转，但引导中 心除了有沿着磁场方向的运动以外，由于附加力场的存在，它将出现 垂置于磁场方向的运动，这部分运动叫做粒子的漂移（drift）
B
F
vD
2011年4月17日