自动控制原理 第7章 离散系统 题库习题
第七章自动控制原理 黄坚 课后答案
答案： (
7-12已知系统的结构图如图所示，试求系统的临界稳定放大倍数K。
答案：（a） ；(b) 。
7-13已知系统结构图如图所示，采样间隔为T=1s，试求取开环脉冲传递函数G (z)、闭环脉冲传递函数 及系统的单位阶跃响应c (t)。
答案：
， ，
。
7-15闭环采样系统结构如题7-13图所示，采样周期T=0.5s。要求：
(3)z
(4) 40z
答案：
(1)不稳定；（2）不稳定；（3）稳定；（4）不稳定
7-8单位负反馈离散系统开环脉冲传递函数如下，试判断系统稳定性。
（1）
(2)
答案：（1）不稳定；（2）稳定。
7-9已知带有采样开关的R-C电路如图所示，其中 ，试求其输出c(kT)。
答案： ( )
7-10已知系统的脉冲传递函数为
初始条件：y(0)=1, y(1)=1
答案：
（1） ；
（2） 。
7-5求图所示系统的脉冲传递函数。
答案：
(a) ；(b) ；
(c) ；(d) 。
6-6求图所示系统在单位阶跃信号作用时的输出z变换C(z)。
答案：
7-7已知离散系统的闭环特征方程式如下，试判别系统的稳定性。
（1）45z
(2)(z+1)(z+0.5)(z+2)统的误差系数及其相应的稳态误差；
(3)试求当输入 时，系统的稳态误差。
答案：
（1）系统稳定；
（2） ； ； ；
（3） 。
7-17已知采样系统结构如图所示，其中 ， 。求在单位阶跃函数 作用下系统的输出响应。
答案：
7-1求下列函数的z变换。
（1） （2）
胡寿松《自动控制原理》课后习题及详解(线性离散系统的分析与校正)【圣才出品】
第 7 章 线性离散系统的分析与校正 7-1 试根据定义 确定下列函数的 和闭合形式的 E（z）： 解：（1）由题意可得
令
，可得：
（2）将
展成部分分式得：
其中，
则有
经采样拉氏变换得：
令
，可得：
。
7-2 试求下列函数的 z 变换：
将 z 1 代入到 D z ，得
1 由劳斯稳定判据可知使系统稳定的 K 值取值范围是 0 K 1.6631。
解：（1）对输入 对 作 z 变换得： 则有： 用幂级数法可得
图 7-3 开环离散系统 作 z 变换得：
所以
（2）由题可知： 且有
则 所以
。
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7-14 试判断下列系统的稳定性： （1）已知闭环离散系统的特征方程为
解：（1）由题可知
图 7-4 离散系统
z 域特征方程为： 特征值为： 由于 z1 1，因此闭环系统不稳定。
将 z 1 代入到 D z ，得 特征方程为：
1 特征值为： 由于 2 0 ，故闭环系统不稳定。 （2）特征方程为
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则有：
。
7-9 设开环离散系统如图 7-1 所示，试求开环脉冲传递函数 G（z）。
解：系统 a
图 7-1 开环采样系统
系统 b
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7-10 试求图 7-2 闭环离散系统的脉冲传递函数 Φ（z）或输出 z 变换 C（z）。
(仅供参考)自动控制原理第七章习题答案
第七章 线性离散系统的分析与校正7-1 试根据定义∑∞=-*=0)()(n nTs e nT e s E确定下列函数的)(s E *和闭合形式的)(z E ：⑴ t t e ωsin )(=；⑵ ))()((1)(c s b s a s s E +++=，b a ≠，c a ≠，c b ≠。
解：Ts e z =；⑴ )()sin()(0z E enT s E n nTs==∑∞=-*ω；1)cos(2)sin(21}{21)(20+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=-=-∞=--∑z T z z T e z z e z z j e e e j z E T j T j n nTsjwnT jwnT ωωωω。
⑵ ))()((1))()((1))()((1)(c s c b c a b s b c b a a s a c a b s E +--++--++--=； ∑∑∑∞=--∞=--∞=--*--+--+--=000))((1))((1))((1)(n nTs cnT n nTsbnT n nTs anT e e c b c a e e b c b a e e a c a b s E ； ))()(())()(())()(()(cTbT aT e z c b c a ze z b c b a z e z a c a b z z E ------+---+---=； 记))()((c b c a b a ---=∆，∆-=b a k 1，∆-=ca k 2，∆-=cb k 3；))()(()()()()(3)(2)(12321cTbT aT T c b T c a T b a aT bT cT e z e z e z ze k e k e k z e k e k e k z E ---+-+-+-------+-++-=。
7-2 采样周期为T ，试求下列函数的Z 变换：⑴ n a nT e =)(； ⑵ t e t t e 32)(-=；⑶ 3!31)(t t e =； ⑷ 21)(ss s E +=；⑸ )1(1)(2+-=-s s e s E sT 。
自动控制原理第7章离散系统题库习题
⾃动控制原理第7章离散系统题库习题7-1已知下列时间函数()c t ，设采样周期为T 秒，求它们的z 变换()C z 。
（a ）2()1()c t t t = （b ）()()1()c t t T t =- （c ）()()1()c t t T t T =-- （d ）()1()atc t t te -=（e ）()1()sin atc t t et ω-= （f ）()1()cos atc t t te t ω-=7-2已知()x t 的拉⽒变换为下列函数，设采样周期为T 秒，求它们的z 变换()X z 。
（a ）21()C s s = （b ）()()aC s s s a =+（c ）2()()aC s s s a =+（d ）1()()()()C s s a s b s c =+++（e ）2221()()C s s s a =+（f ）()1()1sT C s e s-=-7-3求下列函数的z 反变换。
（a ）0.5(1)(0.4)zz z --（b ）2()()T T zz e z e ----（c ）22(1)(2)z z z ++7-4已知0k <时，()0c k =，()C z 为如下所⽰的有理分式120121212()1nn nn b b z b z b z C z a z a z a z------++++=++++L L 则有0(0)c b =以及[]1()()nk i i c kT b a c k i T ==--∑式中k n >时，0k b =。
（a ）试证明上⾯的结果。
（b ）设23220.5()0.5 1.5z z C z z z z +-=-+-应⽤（a ）的结论求(0)c 、()c T 、(2)c T 、(3)c T 、(4)c T 、(5)c T 。
7-5试⽤部分分式法、幂级数法和反演积分法，求下列函数的z 反变换：（a ）10()(1)(2) zE z z z =--（b ）1123()12z E z z z ----+=-+（c ）2()(1)(31)zE z z z =++（d ）2()(1)(0.5)zE z z z =-+7-6⽤z 变换法求下⾯的差分⽅程(2)3(1)2()0,(0)0,(1)1x k x k x k x x ++++===并与⽤迭代法得到的结果(0)x 、(1)x 、(2)x 、(3)x 、(4)x 相⽐较。
自动控制原理 第七章 第二讲 离散系统的稳定性分析
—
1 − e −Ts s
K s( s + 1)
C(s)
解：系统的开环传递函数为 Tz 1 (1 − e−T )z G(z) = (1 − z −1 )Z 2 = (1 − z −1 ) − 2 s (s + 1) (z − 1) (z − 1)(z − e−T ) 把T=0.1代入化简得 代入化简得
整理后可得 Routh表为 表为 0.158Kω2+1.264ω+(2.736-0.158K)=0 w2 0.158K 2.736-0.158K w1 1.264 w0 2.736-0.158K
要使系统稳定, 必须使劳斯表中第一列各项大于零, 要使系统稳定 必须使劳斯表中第一列各项大于零 即 0.158K＞0 和 2.736-0.158K＞0 ＞ ＞ 所以使系统稳定的K值范围是 ＜ ＜ 所以使系统稳定的 值范围是0＜K＜17.3。 值范围是 。 结论2： 一定 一定， 越大 系统的稳定性就越差 越大, 稳定性就越差。 结论 ：T一定，K越大 系统的稳定性就越差。
(1) 单位阶跃输入时 r(t)=1(t) (2) 单位斜坡输入时 r(t)=t (3) 单位加速度输入时 r(t)=t2/2
z R( z ) = z −1
z →1
K p = lim[1 + G ( z )]
Tz R( z ) = ( z − 1) 2
K v = lim( z − 1)G ( z )
π T π ω =− 0 T
Im z平平
π j T
ω=
0
σ
π
－1
ω ＝0 1 Re
－jT
2 、离散系统稳定的充要条件： 离散系统稳定的充要条件 稳定的充要条件：
自动控制原理(第三版)第七章线性离散系统分析与设计
要点二
离散系统稳态误差的计算方法
离散系统稳态误差的计算方法包括解析法和仿真法，其中 解析法是通过求解差分方程得到稳态误差，仿真法则是通 过模拟系统的动态过程得到稳态误差。
05
线性离散系统的控制器设计
离散系统的状态反馈控制
01
状态反馈控制
通过测量系统的状态变量，并利 用这些信息来产生控制输入，以 实现系统的期望性能。
THANKS
感谢观看
01
离散系统响应的分类
离散系统的响应可以根据不同的标准进行分类，如根据时间响应可以分
为瞬态响应和稳态响应，根据系统参数可分为超调和调节时间等。
02
离散系统响应的数学模型
离散系统的数学模型通常采用差分方程或状态方程表示，通过求解这些
方程可以得到系统的响应。
03
离散系统响应的分析方法
离散系统响应的分析方法包括时域分析和频域分析，其中时域分析主要
基于系统的输出方程和性能指标，通过设计适当的观测器来估计状 态变量，并利用这些估计值来设计输出反馈控制器。
输出反馈控制的局限性
对于非线性系统和不确定性可能存在较大的误差，并且对于状态变 量的测量可能存在噪声和延迟。
离散系统的最优控制
最优控制
01
通过优化性能指标来选择控制策略，以实现系统性能的最优化。
自动控制原理(第三版)第七章 线性离散系统分析与设计
• 线性离散系统概述 • 线性离散系统的数学模型 • 线性离散系统的稳定性分析 • 线性离散系统的动态性能分析
• 线性离散系统的控制器设计 • 线性离散系统设计案例分析
01
线性离散系统概述
定义与特点
胡寿松《自动控制原理》(第6版)笔记和课后习题(含考研真题)详解2
6-2 设单位反馈 统 开环 函 为
试设计 联 前校正装置， 统满
（1） 角裕度r≥45°；
（2） 单位
入下 态 差
下 标：
（3）截止频率ωc≥7.5rad／s。
解： 开环
取
则开环 函 为：
令
，解得校正前
rad/s
则校正前 角裕度为：
不 合题 要求，
前校正。
取
rad/s，可得：
，可得：
则 前校正环节 校正后 统开环 其 角裕度为
统性能得：
3．某 反馈 统开环 函
合要求。
（1）求 统 角裕度 幅 裕度。
（2） 角裕度
联 前校正 联滞后校正 主要特点。为 统
，试分 统应
联 前校正还 联滞后校正?
[
技 2009 ]
解：（1）求截止频率与
裕度：
求幅 裕度：
（2）要 节 校正。
统 角裕度
，
前校正，则需要校正环
不合
前校正，可以
联滞后
为 习重点， 此，本 分也就没
考 题。
第二部分 课后习题
第6章 线性系统的校正方法
6-1 设 单位反馈 火炮
统，其开环 函 为
若要求 统最 2°，试求：
出速度为12°/s， 出位置
许 差小
（1） 满 上 幅 裕度；
标 最小K ，计 该K 下 统
角裕度
（2） 前
前校正网络
计 校正后 统 能影。
角裕度 幅 裕度，
解：（1） 题可
则 统 特征表 式为
统特征 为：
令
，则
则
可得：
所以 统 状态 应为
（2）求 统 出范 最小 刻t
《自动控制原理》第七章 离散控制系统
式中， ( z ) 称为离散信号e* (t ) 的z变换，记为 E( z) Z[e* (t )] E
7.3.2 z变换的方法
常用的求取离散函数的z变换方法有级数求和法、部分分式法和留数计算法。
1.级数求和法
根据z变换的定义，将连续信号 e(t ) 按周期 T 进行采样，级数展开可得
教学难点
离散时间函数的数学表达式及采样定理， 线性常系数差分方程与脉冲传递函数，采 样控制系统的时域分析，采样控制系统的 频域分析。
概述：
近年来，随着脉冲技术、数字式元器件、数字计算机，特别是微处理器
的迅速发展，数字控制器在许多场合取代了模拟控制器，比如微型数字 计算机在控制系统中得到了广泛的应用。离散系统理论的发展是非常迅 速的。 因此，深入研究离散系统理论，掌握分析与综合数字控制系统的基 础理论与基本方法，从控制工程特别是从计算机控制工程角度来看，是 迫切需要的。
图7-3 信号复现过程
7.1.2 数字控制系统
数字控制系统是一种以数字计算机为控制器去控制具有连续工作状态的 被控对象的闭环控制系统。 其原理方框图如图7-4所示。
图7-4 数字控制系统方框图
过程分析：A/D转换器将连续信号转换成数字序列，经数字控制器处理后生 成离散控制信号，再通过D/A转换器转换成连续控制信号作用于 被控对象。
第7章 离散控制系统
教学重点
了解线性离散系统的基本概念和基本定理，把握 线性连续系统与线性离散系统的区别与联系； 熟练掌握Z变换的方法、Z变换的性质和Z反变换； 了解差分方程的定义，掌握差分方程的解法； 了解脉冲传递函数的定义，熟练掌握开环与闭环 系统脉冲传递函数的计算方法； 与线性连续系统相对应，掌握线性离散系统的时 域和频域分析方法和原则。
自动控制原理第7章 离散控制系统
b(t )
H (s)
图7.5 数字控制系统的简化框图
2019/2/19
7
数字控制系统较之一般的连续控制系统具有如下一 些优点： 能够保证足够的计算精度； 在数字控制系统中可以采用高精度检测元件和执 行元件，从而提高整个系统的精度； 数字信号或脉冲信号的抗干扰性能好，可以提高 系统的抗干扰能力； 可以采用分时控制方式，提高设备的利用率，并 且可以采用不同的控制规律进行控制； 可以实现一些模拟控制器难以实现的控制律，特 别对复杂的控制过程，如自适应控制、最优控制、 智能控制等，只有数字计算机才能完成。
2019/2/19
9
7.2.1 采样过程及其数学描述
将连续信号通过采样开关(或采样器)变换成离 散信号的过程称为采样过程。相邻两次采样的时间 间隔称为采样周期T。 采样频率：f s 1/ T 采样角频率： s 2 /T 采样可分为：
等速采样:采样开关以相同的采样周期T动作，又 称为周期采样 多速采样:系统中有n个采样开关分别按不同周期 动作 随机采样:采样开关动作是随机的 本章仅限于讨论等速同步采样过程。
j t xj ( ) xt () e d t
1 X( s ) Xs ( j k s) T k
*
2019/2/19
(7-7)
15
X ( j )
max
2max
(a)
o
max
图7.7 连续信号及离散信号的频谱
式中ω s=2π/T为采样频率，X(s)为x(t)的拉氏变 换。若X*(s)的极点全都位于s左平面，可令s=jω ， 求得x*(t)的傅氏变换为
离散控制系统最常见形式是数字控制系统。图 7.4是数字控制系统的结构图。图中用于控制的计算 机D工作在离散状态，被控对象G(s)工作在模拟状态。
自动控制原理例题详解 线性离散控制系统的分析与设计考试题及答案
2007一、（22分）求解下列问题：1. （3分）简述采样定理。
解：当采样频率 叽 大于信号最高有效频率 的2倍时，能够从采样信号 e （t ）中完满地恢复原信号 e （ t ）。
（要点：S ）。
2. （3分）简述什么是最少拍系统。
解：在典型输入作用下， 能以有限拍结束瞬态响应过程， 拍数最少，且在采样时刻上无稳态 误差的随动系统。
3. （3分）简述线性定常离散系统稳定性的定义及充要条件。
解：若系统在初始扰动的影响下，其输出动态分量随时间推移逐渐衰减并趋于零，则称 系统稳定。
稳定的充要条件是：所有特征值均分布在Z 平面的单位圆内。
4. （3分）已知X （z ）如下，试用终值定理计算x （x ）。
X （沪-1）二十0.5）解：经过验证（Z-1）X （z ）满足终值定理使用的条件，因此,xD =i z m(z-1)x(z)=i z m Z 2_；+05=2。
5. (5 分)已知采样周期 T =1 秒，计算 G(z) = Z [G h (s)G 0(s)]。
_Js1 解:©(zUzC—tmUT-亠)=(z j )(1—e) s s + 1z-1 z-e6. （5分）已知系统差分方程、初始状态如下:c(k +2) —6c(k +1) + 8c(k) =1(k),试用Z 变换法计算输出序列c （k ），k > 0。
解：二 — +(z-1)(z 2-6z+8)3(z —1) 2(z —2) 6(z-4)1 k kc(k) =—{2 -3x2k + 4k }, k>06二、（10分）已知计算机控制系统如图1所示，采用数字比例控制D （z ） = K ， 其中K>0。
设采样周期T=1s ，e ，=0.368。
1—e 1GgW s (s + 1)(s + 2)z 2-(1 + e 」)zc(0)=c(1)=0。
z 2C(z)-6C(z)+8C (z) = R(z)zzC(z) =注意，这里的数字控制器D（z）就是上课时的G c（z）。
第七章自动控制原理
采样定理给出了选择采样周期T的依据。
7.2.2 信号复现及零阶保持器
▪ 信号复现 将数字信号转换复原成连续信号的过程称信号复现。该装置称 为保持器或复现滤波器。
▪ 零阶保持器 零阶保持器是最简单也是工程中使用最广泛的保持器。零
阶保持器的输入输出特性可用下图描述。
e*(t)
eh(t)
e*(t) 零阶保持器 eh(t)
n0
n0
采样信号的拉氏变换
E * (s) L[e* (t)] e(nT )e nTS
n0
例 e(t)=eat,试写出e*(t)表达式。
解：e (t ) e anT (t nT ) n0
物理意义：可看成是单位理想脉冲串T (t) 被输入信号e(t)进行
调制的过程，如下图所示
在图中，T(t)为载波信号；e(t)为调制信号； e*(t)为
n0
z z 1
两端对z求导数，得
(n)z n1
n0
1 (z 1)2
两边同乘(-Tz)，得单位斜坡信号的z变换
nT z n
Tz
,( z 1)
n0
(z 1)2
(5) 指数函数 e(t)=e-at(a为实常数〕，则
E( Z ) e anT z n n0
1 e aT z 1 e 2aT z 2 e 3aT z 3 (*)
(s ) s o s
1/ Ts Fs ()
o TS
t
s om s
3. 采样定理（香农定理）
如果采样器的输入信号最高角频率为ωmax， 则只有当采样频率ωs≥2ωmax,才可能从采样信号
中无失真地恢复出连续信号。
s 2 max
其中
s
:
自动控制原理考试试题第七章习题与答案
第七章非线性控制系统分析练习题及答案7-1设一阶非线性系统的微分方程为xx3 x试确定系统有几个平衡状态，分析平衡状态的稳定性，并画出系统的相轨迹。
解令x0得3(21)(1)(1)0xxxxxxx系统平衡状态x e0,1,1其中：x0：稳定的平衡状态；ex1,1：不稳定平衡状态。
e计算列表，画出相轨迹如图解7-1所示。
x-2-11301312x-600.3850-0.38506x112010211图解7-1系统相轨迹可见：当x(0)1时，系统最终收敛到稳定的平衡状态；当x(0)1时，系统发散；x(0)1 时，x(t);x(0)1时，x(t)。
注：系统为一阶，故其相轨迹只有一条，不可能在整个x~x平面上任意分布。
7-2试确定下列方程的奇点及其类型，并用等倾斜线法绘制相平面图。
(1)xxx0(2) x1x2xx122xx12解（1）系统方程为1:xxx0(x0):xxx0(x0)令xx0，得平衡点：x e0。
系统特征方程及特征根：132:ss10,sj(稳定的焦点)1,2222:ss10,s1.618,0.618(鞍点)1,2xf(x,x)xx, d xdxxxxdx dx 1xx,1xxx11I:1(x0)1II:1(x0)计算列表-∞-3-1-1/301/313∞x0:11-1-2/302-∞-4-2-4/3-1x0:11-1-4/3-2-4∞20-2/3-1用等倾斜线法绘制系统相平面图如图解7-2（a）所示。
2图解7-2（a）系统相平面图（2）xxx112①x22xx②12由式①：x2x1x1③式③代入②：(x1x1)2x1(x1x1)即x12x1x10④令x1x10得平衡点：x e0由式④得特征方程及特征根为2.4142ss2101,2（鞍点）0.414画相轨迹，由④式xx 11 d x1dxx12x1x1x 1 x1 2计算列表322.53∞11.52=1/(-2)∞210-1-2∞用等倾斜线法绘制系统相平面图如图解7-2（b）所示。
最新自动控制原理考试试题第七章习题及答案
自动控制原理考试试题第七章习题及答案------------------------------------------作者xxxx------------------------------------------日期xxxx第七章 非线性控制系统分析练习题及答案7-1 设一阶非线性系统的微分方程为3x x x+-= 试确定系统有几个平衡状态，分析平衡状态的稳定性，并画出系统的相轨迹。
解 令 x =0 得-+=-=-+=x x x x x x x 321110()()()系统平衡状态x e =-+011,,其中：0=e x ：稳定的平衡状态；1,1+-=e x ：不稳定平衡状态。
计算列表，画出相轨迹如图解7-1所示。
可见：当x ()01<时，系统最终收敛到稳定的平衡状态；当x ()01>时，系统发散；1)0(-<x 时，x t ()→-∞; 1)0(>x 时，x t ()→∞。
注：系统为一阶，故其相轨迹只有一条，不可能在整个 ~x x 平面上任意分布。
7-2 试确定下列方程的奇点及其类型，并用等倾斜线法绘制相平面图。
(1) x xx ++=0 (2) ⎩⎨⎧+=+=2122112x x x x x x解 （1） 系统方程为x -2 -1 -13 0 131 2 x -6 0 0.385 0 -0.385 0 6x 11 2 0 1 0211图解7-1 系统相轨迹⎩⎨⎧<=-+II >=++I )0(0:)0(0:x x x x x x x x令0x x ==，得平衡点：0e x =。
系统特征方程及特征根：21,221,21:10,()2:10, 1.618,0.618()s s s s s s I II ⎧++==-±⎪⎨⎪+-==-+⎩稳定的焦点鞍点(, ) , , x f x x x x dxdxxx x dx dx x x x x x==--=--==--=-+=ααβ111⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-=>--=)0(11:II )0(11:I x x βαβα计算列表用等倾斜线法绘制系统相平面图如图解7-2（a ）所示。
自动控制原理随堂练习
自动控制原理第一章绪论当前页有10题，你已做10题，已提交10题，其中答对10题。
1.闭环系统的特点不包含下列哪项（）。
A．负反馈 B．控制精度较低C．可减少或消除偏差 D．适应性好答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：B问题解析：2.系统采用负反馈形式连接后，则 ( )。
A．一定能使闭环系统稳定B．系统动态性能一定会提高C．一定能使干扰引起的误差逐渐减小，最后完全消除D．需要调整系统的结构参数，才能改善系统性能答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：D问题解析：3.自动控制系统中测量被控量并进行信号转换，再反馈到输入端的元件是（）。
A．比较元件 B．校正元件C．测量反馈元件 D．执行元件答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C问题解析：4.火炮自动瞄准系统的输入信号是任意函数，这就要求被控量高精度地跟随给定值变化，这种控制系统叫（）。
A.恒值调节系统B.离散系统C.随动控制系统D.数字控制系统答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C问题解析：5.随动系统对（）要求较高。
A.快速性B.稳定性C.准确性D.振荡次数答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：A问题解析：6.衡量系统稳态精度的重要指标时（）A．稳定性 B．快速性 C．准确性 D．安全性答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：C问题解析：7.自动控制系统的主要特征是（）。
A．在结构上具有负反馈通路，以求得偏差信号B．由偏差产生控制作用以便纠正偏差C．系统开环D．控制的目的是减少或消除偏差答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：ABD问题解析：8.自动控制系统按照不同的分类原则有不同的分类结果，下列系统哪些是按照同一原则进行分类的（）。
A．连续系统 B．程序控制系统C．恒值控制系统 D．随动系统答题： A. B. C. D. （已提交）参考答案：BCD问题解析：9.自动控制系统按描述元件的动态方程分（）。
自动控制原理考研经典例题解析第7章
第七章 线性离散系统的分析与校正例7-1 复合控制离散系统如图7-1所示。
试求出系统的闭环脉冲传递函数)()(z R z C 或输出的z 函数)(z C 。
图7-1 例7-1图解：分析：若系统输入端的)(1s G 环节含有零、极点，而输入信号)(t r 未经采样就输入该环节，因此该系统不存在)(t r 为输入的闭环脉冲传递函数)()(z R z C ，但仍可得到输出信号的z函数)(z C 。
在采样开关和系统输出端处可得⎩⎨⎧-⋅-=+⋅=)()()()()()()()()(303213032z H G RG z H G G z E z RG z E z G RG z G G z E z C 消除中间变量)(z E 。
最后得[])(1)()()()()(323013230z H G G z H G RG z RG z G G z G RG z C +-+=注意：因离散系统中既有连续信号也有离散信号，因此，连续系统结构图等效变换法则不能直接套用于离散系统。
一般可由采样开关处的变量写出对应的方程组，并求解得到系统的输出z 函数或脉冲传递函数。
)()()1(])1[(kT y ekT e eT k y RCT RCT --+-=+例7-2 离散控制系统如图7-2所示，试求其脉冲传递函数表达式。
图7-2 例7-2图解：开环脉冲传递函数为 ])([)1(]1[)(1a s s K Z zas K seZ z G Ts+-=+⋅-=--)()1(])(11[)1(1aTaT ez e aK a s a asZ z K -----⋅=+--=闭环脉冲传递函数为aTaTaTeaK aK ez e aKz G z G z ----+--=+=Φ)1()(1)()(例7-3 数字控制系统如图7-3所示，试计算0)(=t r ，)(1)(t t n =，1)(1-=z z K z D 时的稳态输出。
图7-3 例7-3图解：首先要导出以干扰为输入，)(t y 为输出的脉冲传递函数，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+=-)()(1)(11)(z Y z D s e s N s s Y Ts代入ss N 1)(=,上式两端求Z 变换，有)()()1(1)1()1(1)(1z Y z D s s Z z s s Z z Y ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=-)()1(1)1(1)1(1)(1z D s s Z z s s Z z Y ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=-而))(1()1()1(1TTe z z ze s s Z -----=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+，所以TTe z e s s Z z-----=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-1)1(1)1(1于是 )]()1())[(1()1()(z D e ez z ez z Y TTT----+---=代入1)(1-=z z K z D ，得TTTTez e eK z ez z Y ----++--+-=)]1()1([)1()(12)(z Y 的表达式中，已包含了干扰作用量，采用终值定理计算)(∞Y ，所有的极点必须在单位圆内。
自动控制原理第7章习题及答案
习题7-1下面的微分方程代表了线性定常系统，请写出它们对应的状态空间表达（a ）)(5)()(4)(22t r t c dtt dc dt t c d =++（b ）)()()()(4)(5)(02233t r d c t c dtt dc dt t c d dt t c d t =++++⎰ττ （c ）dtt dr t r t c dt t c d dt t c d )(4)()()(2)(2233+=++ 7-2 已知线性定常系统的状态方程为：Ax x =.，其中（1）⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=2010A (2) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=0110A (3)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=010100010A 试求系统统的状态转移矩阵At e答案：（1）⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=--tt Ate e e2205.05.01 （2）⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=t t t t e Atcos sin sin cos （3）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--+-+-=------)(5.0)(5.00)(5.0)(5.001)(5.0)(5.01t t t t t t t t t t t t Ate e e e e e e e e e e e e 7-3 已知系统的状态方程为：u x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=103210.，初始条件为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=10)0(x ，试求单位阶跃收入时系统的时间响应x(t)答案：（1）求状态转移矩阵 先求出预解矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++-+++-+-+++-++=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡++++-+++++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=---)2(2)1(1)2(2)1(2)2(1)1(1)2(1)1(2)2)(1()2)(1(2)2)(1(1)2)(1()3(321)(11s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s A sI对上式进行拉式反变换，即可定出：⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+---=--------t t t t t t t t At2222e 2e e 2e 2e e e e 2e（2）求系统的时间响应()0022()2()()2()22()2()()2()022()e e ()d 002e e e e 2e e e e d 112e 2e e 2e 2e 2e e 2e 0.50.5tAt A t t t t t t t t t t t t t t t t t t t tx t x Bu e e ττττττττττττ---------------------------=+⎡⎤⎡⎤----⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-+-+-+-+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦⎰⎰7-4 已知矩阵：（1）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=t t t t t sin cos 0cos sin 0001)(ϕ （2）⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+=-t t t t t t t e e e e e e e t 222222)(ϕ 试问：它们可能是某个系统的状态转移矩阵吗？为什么？答案：I =)0(ϕ时才是状态转移矩阵，所以上述两个矩阵均不是某个系统的状态转移矩阵。
大连理工自动控制原理本科第7章习题
1习题7-1 已知采样器的采样周期为T 秒，连续信号为(1) x(t)=te –at (2) x(t)=e -at sin ωt (3) x(t)=t 2cos ωt (4) x(t)=ta 4t求采样的离散输出信号x *(t)及离散拉氏变换x *(s)。
7-2 求下列函数的Z 变换(1) x(kt)=1-e -akT (2) x(kt)=e -aktcos ωk T (3) x(t)=t 2e -5t (4) x(t)=tsin ωt (5) G(S)=)(a s s k + (6) G(S)=)2)(1(1++s s s(7) G(s)=2)1(1ss seT S+-- (8) G(S)=)1(5+-s s eTS7-3 求下列函数x(z)的原函数 (1) X(Z)=)5)(1(6++z z z(2) X(Z)=11+z(3) X(Z)=2)2)(1(++z z z(4) X(Z)=)1)(6.0(2--z z z7-4 求题图T=1秒。
Y(Z)s1题图7-1 题7-4的采样系统7-5 题 图7-2所示的采样系统采样周期T=1秒。
求 （1） 系统的脉冲传递函数G （Z ）=)()(Z R Z Y（2） 当输入r （t ）=1（t ）时，求y*(t)y*(t)r (t) y (t)题图7-2 题7-5的采样系统7-6 对题图7-2所示采样系统计算T=0.1秒，T=0.5秒时采样系统的输出y*（t ）。
7-7 求题图7-3所示系统的脉冲传递函数。
y*(t)r (t) y (t) 题图7-3 题7-7所示采样系统7-8 求题图7-4所示系统脉冲传递函数或输出Z 变换表达式。
y*(t)r (t) y (t)题图7-4 题7-8所示采样系统7-9 求题图7-5所示采样系统输出的Z 变换表达式Y （Z ）。
y*(t) r (t) y (t)题图7-5 题7-9所示采样系统7-10 已知采样系统如题图7-6，采样周期T=0.5秒 （1） 判别系统稳定性。
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7-1已知下列时间函数()c t ，设采样周期为T 秒，求它们的z 变换()C z 。
（a ）2()1()c t t t = （b ）()()1()c t t T t =- （c ）()()1()c t t T t T =-- （d ）()1()atc t t te -=（e ）()1()sin atc t t et ω-= （f ）()1()cos atc t t te t ω-=7-2已知()x t 的拉氏变换为下列函数，设采样周期为T 秒，求它们的z 变换()X z 。
（a ）21()C s s= （b ）()()aC s s s a =+（c ）2()()aC s s s a =+（d ）1()()()()C s s a s b s c =+++（e ）2221()()C s s s a =+（f ）()1()1sT C s e s-=-7-3求下列函数的z 反变换。
（a ）0.5(1)(0.4)zz z --（b ）2()()T Tzz e z e ---- （c ）22(1)(2)z z z ++7-4已知0k <时，()0c k =，()C z 为如下所示的有理分式120121212()1nn nn b b z b z b z C z a z a z a z------++++=++++ 则有0(0)c b =以及[]1()()nk i i c kT b a c k i T ==--∑式中k n >时，0k b =。
（a ）试证明上面的结果。
（b ）设23220.5()0.5 1.5z z C z z z z +-=-+-应用（a ）的结论求(0)c 、()c T 、(2)c T 、(3)c T 、(4)c T 、(5)c T 。
7-5试用部分分式法、幂级数法和反演积分法，求下列函数的z 反变换： （a ）10()(1)(2)zE z z z =--（b ）1123()12z E z z z----+=-+ （c ）2()(1)(31)zE z z z =++ （d ）2()(1)(0.5)zE z z z =-+7-6用z 变换法求下面的差分方程(2)3(1)2()0,(0)0,(1)1x k x k x k x x ++++===并与用迭代法得到的结果(0)x 、(1)x 、(2)x 、(3)x 、(4)x 相比较。
7-7求传递函数为（a ）1()Ts e aG s s s a --=+（b ）1()()Ts e aG s s s s a --=+的部件的脉冲传递函数。
7-8试应用终值定理确定下列函数的终值。
（a ）112()(1)Tz E z z --=- （b ）2()(0.8)(0.1)z E z z z =--7-9图中()h G s 为零阶保持器的传递函数，即1()Tsh e G s s--=试证明()1()C z E z =图 习题7-9图7-10一阶保持器的输入输出波形如图所示。
在一阶保持器中，当(1)kT t k T ≤<+时，输出是前两个采样时刻采样值((1))x k T -和()x kT 外推得到的直线，即[]()()((1))(),(1)t kTy t x kT x k T x kT kT t k T T-=--+≤<+图 习题7-10图假设输入()x t 是0t =时的单位脉冲函数，绘制一阶保持器的输出波形，求一阶保持器的传递函数。
7-11设开环离散系统如图所示，试求开环脉冲传递函数()G z 。
（a ）（b ）图 习题7-11图7-12试求图闭环离散系统的脉冲传递函数()z Φ或()C z 。
（a ）（b ）（c ） 图 习题7-12图7-13设有单位反馈误差采样的离散系统，连续部分传递函数为21()(5)G s s s =+ 输入()1()r t t =，采样周期1T =秒。
试求： （a ）输出z 变换()C z 。
（b ）采样瞬时的输出响应()c t *。
（c ）输出响应的终值()c ∞。
7-14试判断下列系统的稳定性。
（a ）已知闭环离散系统的特征方程为()(1)(0.5)(2)0D z z z z =+++=（b ）已知闭环离散系统的特征方程为432()0.20.360.80D z z z z z =++++=（c ）已知误差采样的单位反馈离散系统，采样周期1T s =，开环传递函数222.57()(1)G s s s =+7-15采样系统如图所示，采样周期0.5T =秒。
图 习题7-15图（a ）绘制0K >时系统的闭环根轨迹图，求分离点坐标。
（b ）根据闭环根轨迹图，求系统稳定时K 的取值范围。
7-16离散时间系统如图所示，采样周期1T =秒，试确定 （a ）求系统的开环脉冲传递函数 （b ）求系统稳定时K 的取值范围。
（b ）当1K =，()1()r t t t =时，求系统的稳态误差1ss e 。
()e k ()e k图 习题7-16图7-17采样系统如图所示，采样周期1T =秒。
图 习题7-17图（a ）求闭环脉冲传递函数。
（2）设0b =，求使闭环特征根在z 平面原点时k 和a 的取值。
（3）求此时系统阶跃响应和稳态误差。
7-18采样系统如图所示，采样周期0.69T =秒（0.5Te-=）。
求()D z 使闭环脉冲传递函数21()z z Φ=图 习题7-18图7-19离散时间控制系统如图所示，其中采样周期0.2T s =，2()12r t t t=++。
图 习题7-19图（a ）求系统的开环脉冲传递函数和闭环脉冲传递函数()()E z R z 。
（b ）确定闭环系统为稳定时K 的取值范围。
（c ）求系统的稳态误差。
7-20已知离散系统如图所示，采样周期0.25T =秒。
当()2r t t =+时，要使稳态误差小于0.1，求K 的值。
图 习题7-20图7-21某离散时间系统如图所示，图中采样周期1T =秒，控制算法()D z 的差分方程描述为()(1)()u k u k e k =-+。
图 习题7-21图（a ）求使系统为稳定的K 的取值范围。
（b ）求当1K =，()r t t =时系统的稳态误差。
（c ）为使系统的阶跃响应是单调无振荡的，K 的取值范围等于多少7-22采样控制系统如图所示，采样周期1T =秒，数字调节器()D G z 为PI 调节器，即()1i D p k zG z k z =+-图 习题7-22图（a ）试写出被控对象的脉冲传递函数和系统的开环脉冲传递函数。
（b ）为使1,20.70.4z j =±成为系统闭环的一对共轭极点，给出应满足的条件。
（c ）应用（b ）中给出的条件求出p k 和i k 的具体取值。
7-23脉冲传递函数120121120121m m m m mn n n n nb z b z b z b z b a z a z a z a z a ------++++++++++分母多项式的阶次与分子多项式的阶次之差n m -称为它的相对阶次。
一个离散环节如果它当前拍的输出只是当前拍和过去拍输入，以及过去拍输出的函数，这个环节就称为是因果的。
显然，当脉冲传递函数的相对阶数0n m -≥，它代表的环节就是因果的。
实际中被控对象的脉冲传递函数都是因果的。
在图所示的采样控制系统中，设串联调节器()G z 和反馈调节器()H z 都是因果的，试证明系统闭环脉冲传递函数的相对阶数总大于等于被控对象[]00()()G z Z G s =的相对阶数。
图 习题7-23图7-24采样控制系统如图所示，采样周期1T =秒，试设计数字调节器()D z ，实现 （a ）阶跃输入下的最小拍控制。
（b ）斜坡输入下的最小拍控制。
（c ）抛物线输入下的最小拍控制。
（d ）最小拍设计只适用于被控对象的脉冲传递函数为最小相位的情况，用根轨迹的方法说明其原因。
图 习题7-24图7-25 被控对象环节如图所示。
图 习题7-25图（a ）试求它的脉冲传递函数。
（b ）给定采样周期0T >、0a >几组参数值，验证（a ）中得到的脉冲传递函数的零点都是在单位圆内的。
（c ）证明对于任意的0T >、0a >，（b ）中的结论总是对的。
7-26采样控制系统如图所示，采样周期1T =秒。
（a ）试设计数字调节器()D z 使闭环脉冲传递函数1()z zΦ=。
（b ）对（a ）中得到的设计，求脉冲传递函数()()()U U z z R z Φ=，说明系统响应阶跃输入是有纹波的。
（c ）重新设计()D z ，使系统响应阶跃输入是无纹波的。
图 习题7-26图。