2.1 不等式的性质与证明

1 3
0
2 5

1 3
．
图 2 －2
新知识应用
2.1.1 不等式与实数的大小
例题1 比较下列各组中两个实数的大小：
3 4 （1 ） - , - ; 5 7
2 3 æ 4ö 4 3 4 ´5- 7´ 3 1 =- <0 , 解：（1）因为 - - ç- ÷ = - = 5 è 7ø 7 5 35 35
分析：> ，因为 a > 0 > b，所以
1 a 0, 1 b 0 ，所以
1 1 > ； a b
新知识应用
2.1.2 不等式的性质
●（3）设 x > y，则 x( x - y ) _______ y ( x - y ) .
●分析：> ，因为 x > y ，所以 x - y > 0，根据不等式的
性质3得 x( x - y ) > y( x - y) .
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2.1.2 不等式的性质
例题5 选择题 （1）已知 a > b, c > d，那么（ ）;
A. a - c > b - d
不等号的方向不变．
（2） 性质1、性质2中的大于号改为小于号，性质仍旧 成立．
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2.1.2 不等式的性质
例如：（1）如果 x > y ，则 x + 3 > y + 3, x - 5 > y - 5.
（2）如果 x < y ，则 x + 3 < y + 3, x - 5 < y - 5 . 性质3（乘法法则） 如果 a 如果 a
c ( a b ) (b c )
, 又 a b， b c ，
即 a b 0， b c 0 , 所以 a
b b c 0,
所以 a c 0 , 即a
c
.
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2.1.2 不等式的性质
性质2 (加法法则) 如果 a > b，那么 a + c > b + c. 证明：因为 (a + c) - (b + c) = a - b , 又 a > b , 即 a - b > 0 , 所以 a + c > b + c . 说明：（1） 不等式的两边同时加上(或减去)同一个实数，
（2） 3.8 , 3 1
所以 - 3 < - 4 ;
5 7
（2）因为 3.8 - 3 1 = 3.8 - 3.5 = 0.3 > 0 ,
2
所以 3.8 > 3 .
1 2
新知识应用
2.1.1 不等式与实数的大小
跟踪练习1 比较下列各组中两个实数的大小：
（1）
2 3 5 6 ;
（2）4 3 <
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2.1.2 不等式的性质
说明：如果不等式两边同乘以一个正数，那么不等号的 方向不变；如果同乘以一个负数，那么不等号的方向改变． 例如：（1）如果 x > y ，则 2 x > 2 y, - 5x < -5 y . （2）如果 a > 0，则 4a > 2a； 如果 a < 0，则 4a < 2a .
观察与思考
2.1.1 不等式与实数的大小
1．提出问题 尝试回忆如何比较以下各组数的大小： （1） 和
3 2 3 4
； （2 ） 1 2
和 10
2．解决问题
通过利用观察两个数的差的符号，来比较它们的大小.
因为
1
2 3 3 4 0 ，1 2 1 2 1
1
，所以得到结论： 0 2 0 3
b | c |;
0 ，所
分析： 填 > ， 根据不等式的性质3，因为 c 以 | c |> 0， 又因为 a b ，所以 a | c |> b | c | ；
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2.1.2 不等式的性质
1 1 ●（3）若 x < y < 0，那么 _______ . x y
●分析：填 > ，因为 x < y < 0 ，所以 xy > 0 ．由性质3，
例题2 比较下列各组中代数式的大小： （1） 2 x - 3 , 2 x - 5 2 x - 1 ; （2）( x + 2)(3x - 5) , (2 x - 7)( x + 2) . 解：（1）因为 2 x
4x
2
(
) (
2
)(
)
3 2 x 5 2 x 1
2
).
新知识应用
2.1.2 不等式的性质
例题4 用不等号“ <”、“> ”填空：
（1）如果 m < 0，那么-3m _______ -2m ;
分析：填 >， 根据不等式的性质3，若 -3 < -2且
m < 0 ，则 -3m > -2m；
（2）如果 a
b , c 0 ，则 a | c | _______
2
4 x 1 2 x 9 (3 x 1 0 x 7 )
x 2x 2

2
2
2
x
1 1 0 ,
2所以对任意ຫໍສະໝຸດ 数 x ，有(2x - 3) > (3x - 7) ( x - 1) .
2
课外作业
2.1.1 不等式与实数的大小
（1）读书部分： 复习教材 中§2.1.1的内容； （2）书面作业： 修改课堂 练习并完成学习手册第21页中 强化练习1－3 .
b , c 0 ，那么 ac < bc .
b , c 0 ，那么 ac > bc ;
证明：因为 ac - bc = (a - b)c , 又 a > b , 即 a - b > 0 , 所以当 c > 0 时， (a - b)c > 0，即 ac > bc ； 当 c < 0 时， (a - b)c < 0，即 ac < bc.
新知识学习
2.1.1 不等式与实数的大小
（2）比较法 对任意两个实数 a 和 b ，它们具有如下的基本性质：
a b 0 a b ；（ 图2－2（1）） a b 0 a b ；（ 图2－2（2）） a b 0 a b ；（ 图2－2（3））
例如：
2 5
3x
2
2
x 10 (2 x
2
3x 14)
x 4x 4

x 2 0 ,
2
所以对任意实数 x ，有
( x 2 )(3 x 5 ) ( 2 x 7 )( x 2 ) .
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2.1.1 不等式与实数的大小
跟踪练习2 比较下列各组中两个代数式的大小：
（1）( x + 3) ( x - 2) , ( x - 4) ( x + 5) ; （2） (2 x - 3)2 , (3x - 7)( x - 1) . 解：（1）因为 x 3 x 2 - x 4 x 5
x
2
x 6 (x
2
x 20)
5
4 .7 .
2 æ 5ö 5 2 5- 2´ 4 1 = = = >0 , 解：（1）因为 ç ÷ 3 è 6ø 6 3 6 6
所以

2 3

5 6
;
3 （2）因为 4 - 4.7 = 4.6 - 4.7 = -0.1 < 0 , 5
所以 4
3 5
< 4 .7 .
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2.1.1 不等式与实数的大小
2.1.2 不等式的性质 揭示新知识
上节课我们讲了比较两个不等式可以用作差的方法， 那不等式具有什么性质呢？
这就是我们即将要研究的2.1.2不等式的性质．
观察与思考
2.1.2 不等式的性质
1．提出问题
如果甲学生的年龄比乙学生的年龄大，乙学生的年龄 比丙学生的年龄大，那么甲学生与丙学生的年龄谁大？
2
3 4
,
2
. 1
0
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2.1.1 不等式与实数的大小
1．不等式的概念
含有不等号 ( ,
, , , ) 的式子，叫做不等式．
例如： 1
3 ， 3 5 ， 2 x 3 7 等．
2．比较实数的大小 （1）利用数轴 数轴上的任意两点，右边的点对应的实数比左边的点 对应的实数大．
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2.1.2 不等式的性质
2．不等式的推论 推论1 如果 a + b > c，那么 a > c - b . 例如：如果 2 x - 3 > 0 ，则 2 x > 3 . 推论2 如果 a > b，且 c > d ，那么a + c > b + d . 例如：如果 x > 8, y > 7 ，则 x + y > 15 . 推论3 如果 a > b > 0，且 c > d > 0， 那么 ac > bd. 例如：如果 5 > 4, 9 > 6，则 5 ´ 9 > 4 ´ 6 .
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2.1.2 不等式的性质
例题3 判断题（正确的打“√”，错误的打“ ×”） （1）若 x < y ，则 x 2 < y 2 ( ); b （2）若 ax < b，则 x < ( ); a （3）若 xy < 0 ，则 x 0 , y 0 (
);
●（4）若 a > b, c > d，则 a - d > b - c (
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2.1.1 不等式与实数的大小
说明：实数与数轴上的点之间可以建立一一对应关 系，数轴上的点 M 从左向右移动，所对应的实数就从小 到大变化．
图2－1
例如：如图 2 1 所示，点 B 位于点 A 的右边，则点
B 对应的实数比 A 点对应的实数大，即 2 1 ．同样有：
3 0， 1 2 等．
第2章 不等式
2.1
不等式的性质与证明
不等式的解法 不等式的应用
2.2
2.3
2.1 不等式的性质与证明
不等式与实数的大小 不等式的性质 不等式的证明
本 节 要 点
2.1.1 2.1.2 2.1.3
2.1.4
不等式的性质与证明习题课
2.1.1 不等式与实数的大小 揭示新知识
根据我们之前学习数学的经验，研究的多数是相等关 系，但是在实际的生活中，我们会发现，相等关系是很少 数的，而不等关系则很普遍的，能举出生活中不等关系的 例子吗？ 比如说“世界上没有两片相同的树叶”，“我们人的 脸、手、大脑、内脏等也是左右不完全对称”． 这就是我们即将要学习的2.1不等式．
).
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2.1.2 不等式的性质
分析：（1）×；（根据不等式的推论3） （2）×；（根据不等式的性质 3） （3）×；（根据实数运算的符号法则 ）
●（4）√；由 c > d 可得 - d > -c（不等式的性质 3），
因为 a > b ，所以 a + (-d ) > b + (-c)，即 a - d > b - c （推论2）.
得
1 1 x y < ，即 < . y x xy xy
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2.1.2 不等式的性质
跟踪练习4 用不等号“ <”或“> ”填空： （1）设 a > b ，则 -4a _______ -4b ;
分析：<，根据不等式的性质3，若 a > b 且 -4 < 0，
则 -4a < -4b；
1 1 （2）设 a > 0 > b ，那么 _______ ; b a
12 x 9 (4 x
2
12 x 5)
4 0 ,
所以对任意实数 x ，有
2 x 3
2

2x
5 2 x 1 .
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2.1.1 不等式与实数的大小
（2）( x + 2)(3x - 5) , (2 x - 7)( x + 2) . 解：（2）因为 x 2 3 x 5 2 x 7 x 2
2．解决问题
我们很容易就得知甲学生的年龄比丙学生的年龄．这 个不等关系可以传递，不等式还有其他性质吗？ 3．归纳小结 这个不等关系可以传递，不等式还有其他性质吗？这 就是我们即将研究的不等式的性质．
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2.1.2 不等式的性质
1．不等式的性质 性质1 (传递性) 如果 a b， b c ，那么 a c . 证明：因为 a
14 0 ,
所以对任意实数 x ，有
( x + 3) ( x - 2) > ( x - 4) ( x + 5) .
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2.1.1 不等式与实数的大小
（2） (2 x - 3)2 , (3x - 7)( x - 1) .
解：（2）因为 ( 2 x - 3) - (3x - 7) ( x - 1)
新知识应用
2.1.2 不等式的性质
跟踪练习3 判断题（正确的打“√”，错误的打“ ×”）
（1）若 a > b ，则 ac 2 > bc2 ( ); 5 （2）若 6 x > 5，则 x > ( ); 6 （3）若 a > b, c > d，则 a - c > b - d (
分析：（1）×；（根据不等式的性质 3） （2）√；（根据不等式的性质 3） （3）×；（例题3（4））