坐标系内三角形面积的求法
空间直角坐标系的三角形面积公式(二)
空间直角坐标系的三角形面积公式(二)
空间直角坐标系的三角形面积公式
1. 三角形的面积公式
在平面直角坐标系中，我们可以使用行列式的方法来求解三角形的面积。
三角形ABC的三个顶点的坐标分别为A(x1, y1, z1)，B(x2, y2, z2)，C(x3, y3, z3)，则三角形的面积可以使用以下公式计算：S = 1/2 * |(x1-x3)(y2-y3)-(x2-x3)(y1-y3)|
其中，|…|表示求绝对值，计算得出的面积S为正值。
2. 例子
假设有一个三角形ABC，其三个顶点的坐标分别为A(1, 2, 3)，B(4, 5, 6)，C(7, 8, 9)。
我们可以使用上述公式来计算该三角形的面积。
将坐标代入公式中，有：
S = 1/2 * |-9)|
= 1/2 * |-6**(-7)|
= 1/2 * |-24+21|
= 1/2 * |-3|
=
因此，该三角形的面积为。
总结
空间直角坐标系的三角形面积公式是通过行列式计算得出。
根据给定的三个顶点的坐标，我们可以使用该公式来求解三角形的面积。
平面直角坐标系中三角形面积的求法
平面直角坐标系中三角形面积的求法大家好，今天我们来聊聊一个看似复杂但其实挺简单的数学问题：如何在平面直角坐标系中求三角形的面积。
听起来有点儿抽象？没关系，我们一步步来，保证让你觉得简单又有趣。
1. 理解坐标系中的三角形1.1 三角形的基本概念首先，啥是三角形呢？说白了，三角形就是由三条线段围成的形状。
这个形状在平面直角坐标系中，大家都知道坐标系嘛，就是有一条横轴和一条纵轴交汇的那种图。
三角形的三个角，两个角在坐标轴上，一个角在坐标轴的另一边。
1.2 坐标系中的点我们得知道三角形的三个点在坐标系中的位置。
这些点通常是这样的格式：(x_1, y_1)，(x_2, y_2)，(x_3, y_3)。
每个点的坐标就像是它在地图上的位置，告诉你它在“横向”和“纵向”的位置。
2. 计算三角形面积的方法2.1 使用坐标公式那么，如何计算这些点围成的三角形的面积呢？其实有个特别简单的公式，你只需要记住。
假设三角形的三个顶点分别是(x_1, y_1)，(x_2, y_2)，和(x_3, y_3)。
面积的公式是：[ text{面积} = frac{1}{2} left| x_1(y_2 y_3) + x_2(y_3 y_1) + x_3(y_1 y_2) right| ]。
听起来有点绕，其实不难！这个公式就像是一个“秘密武器”，帮助你轻松找到三角形的面积。
2.2 公式的由来这公式的由来其实跟几何学的基础知识有关。
它通过计算三角形的三个顶点之间的距离，间接地得出三角形的实际面积。
想象一下，我们是在一个“棋盘”上，用这个公式去找出“三角形”占据的“格子”的数量。
明白了吧？3. 举个例子3.1 实际计算我们来做个实际的例子吧。
假设你有一个三角形，它的三个顶点坐标分别是(1, 1)，(4, 1)，和(2, 5)。
按照刚才的公式，你可以代入这些数值来计算：[text{面积} = frac{1}{2} left| 1(1 5) + 4(5 1) + 2(1 1) right|。
平面直角坐标系三角形面积割补法
平面直角坐标系三角形面积割补法
平面直角坐标系三角形的面积可以使用割补法来计算。
割补法是一种计算几何图形面积的方法，特别适用于计算不规则图形的面积。
在平面直角坐标系中，我们可以利用坐标点的位置关系来计算三角形的面积。
首先，我们假设三角形的顶点分别为A(x1, y1), B(x2, y2)和C(x3, y3)。
然后，我们可以利用以下公式来计算三角形的面积：
S = |(x1(y2 y3) + x2(y3 y1) + x3(y1 y2))/2|。
其中，S表示三角形的面积，|...|表示取绝对值。
这个公式实际上是利用向量叉乘的方法来计算三角形的面积，具体推导过程可以参考向量的叉乘定义和性质。
另外，割补法还可以通过将三角形划分为多个简单形状的组合来计算面积。
例如，我们可以将三角形划分为一个矩形和两个三角形，然后分别计算这些简单形状的面积，最后将它们相加即可得到原三角形的面积。
除了割补法，我们还可以使用海伦公式或者行列式的方法来计算三角形的面积。
海伦公式适用于已知三边长度的情况，而行列式的方法则可以通过顶点坐标直接计算面积。
总之，平面直角坐标系三角形的面积割补法是一种简单而有效的计算方法，通过合理的划分和计算可以得到准确的结果。
希望这些信息能够帮助你理解如何使用割补法来计算三角形的面积。
已知三角形三顶点坐标求三角形面积
已知三角形三顶点坐标求三角形面积三角形是初中数学中最基础的图形之一，它由三条边和三个顶点组成。
在平面直角坐标系中，我们可以通过已知三角形三个顶点的坐标来求解三角形的面积。
我们需要确定三角形的三个顶点的坐标。
假设三角形的三个顶点分别为A(x1, y1)，B(x2, y2)，C(x3, y3)。
接下来，我们可以利用向量的方法来求解三角形的面积。
我们可以将向量AB和向量AC表示为：AB = (x2 - x1, y2 - y1)AC = (x3 - x1, y3 - y1)然后，我们可以通过向量的叉积来求解三角形的面积。
向量的叉积公式为：AB × AC = |AB| × |AC| × sinθ其中，|AB|和|AC|分别表示向量AB和向量AC的模长，θ表示向量AB和向量AC之间的夹角。
由于我们已知向量AB和向量AC的坐标，因此可以通过向量的叉积公式来求解三角形的面积。
具体计算过程如下：AB × AC = (x2 - x1, y2 - y1) × (x3 - x1, y3 - y1)= (x2 - x1) × (y3 - y1) - (y2 - y1) × (x3 - x1)因此，三角形的面积为：S = 1/2 × |AB × AC| = 1/2 × |(x2 - x1) × (y3 - y1) - (y2 - y1) × (x3 - x1)|通过这个公式，我们可以很方便地求解已知三角形三个顶点坐标的面积。
需要注意的是，如果三角形的面积为负数，则表示三个点不在同一条直线上，否则三个点在同一条直线上。
通过向量的叉积公式，我们可以很方便地求解已知三角形三个顶点坐标的面积。
这个方法不仅简单易懂，而且计算精度高，是求解三角形面积的常用方法之一。
如何求平面直角坐标系中三角形的面积
如何求平面直角坐标系中三角形的面积平面直角坐标系中的三角形，根据其位置的不同，我们可以将其分为两大类：第一类，三角形有边在坐标轴上或与一条坐标轴平行；第二类，三角形中没有边在坐标轴上或与一条坐标轴平行。
下面，我们就这两种情况来分析平面直角坐标系中三角形面积求法。
先看第一种情况：①三角形有边在坐标轴上如图，△ABC 三个顶点坐标分别为A(-2,0),B(4,0),C(3,4),求△ABC 的面积。
很明显，可以直接利用三角形面积公式求解：S △ABC =h AB ••21=4621⨯⨯=12②三角形的一边与一条坐标轴平行如图，△ABC 三个顶点坐标分别为A(-1,2),B(-1,-1),C(2,4),求△ABC 的面积。
这种情形，与①相比，只需利用顶点坐标求出底边AB 长及AB 边上的高h 的值，再代入三角形面积公式求解即可：S △ABC =h AB ••21=293321=⨯⨯以上①与②是坐标系中求三角形面积问题的基础。
位置无此特殊性的三角形可转化为该情况后再求解。
再看第二种情况：三角形中没有边在坐标轴上或与一条坐标轴平行。
例1：已知△ABC 三个顶点的坐标分别为：A(1,2)，B(4,6)，C(2,21)，求这个三角形的面积。
分析：如果用三角形面积公式进行求解，知道点的坐标，容易求得线段的长度，底的问题解决了，但底边上的高呢？有点麻烦。
我们不妨试试下面的方法。
分别过点A 、B 、C 作x 轴、y 轴的平行线，则所求三角形的面积S △ABC =S 矩形BDEF -S △ADB -S △AEC -S △BCF =4172112212312143212113=⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯过点C 作y 轴的平行线交AB 边于点M ，将原三角形化作有边与一条坐标轴平行的问题来解决。
易知所求三角形面积S △ABC =S △AMC +S △BMC =)(2121212121h h MC h MC h MC +••=••+••=PQ MC ••21 其中，线段PQ 的长度可由A 、B 两点的横坐标求得，线段MC 的长度需知道点M 与点C 的纵坐标，所以，接下来主要是求得点M 的坐标的问题。
坐标系内三角形面积的求法
坐标系内三角形面积的求法平面直角坐标系内三角形面积的计算问题，是一类常见题型，也是坐标系内多边形面积计算的基础，那么如何解决这类问题呢？一、三角形的一边在坐标轴上例1如图1,三角形ABC的三个顶点的坐标分别是A(4,0),B(-2,0),C(2,4),求三角形ABC的面积.ffl 1分析：要求三角形的面积，需要分别求出底边及其高•由图1可知，三角形ABC的边AB在x轴上，容易求得AB的长，而AB边上的高，恰好是C点到x 轴的距离，也就是C 点的纵坐标的绝对值.解：因为A(4,0),B(-2,0),所以AB=4-(-2)=6.因为C(2,4),所以C点到x轴的1距离，即AB边上的高为4,所以三角形ABC的面积为1 6 4 12.2二、三角形有一边与坐标轴平行例1如图2,三角形ABC三个顶点的坐标分别为A(4，1)，B(4, 5)，C(-1，2)，求三角形ABC的面积.H 2分析：由A(4, 1)，B(4, 5)两点的横坐标相同，可知边AB与y轴平行，因而AB的长度易求.作AB边上的高CD，则D点的横坐标与A点的横坐标相同，也是4,这样就可求得线段CD的长，进而可求得三角形ABC的面积.解：因为A, B两点的横坐标相同，所以边AB // y轴，所以AB=5-1=4.作AB边上的高CD，则D点的横坐标为4,所以CD=4- (-1) =5,所以三角形ABC1 的面积为-4 5 10.2三、坐标平面内任意三角形的面积例3如图3,在直角坐标系中，三角形ABC的顶点均在网格点上.其中A点坐标为（2,-1）,则三角形ABC的面积为_______________ 方单位.H 3分析：本题中三角形ABC的任何一边都不在坐标轴上或与坐标轴平行，因此直接运用三角形的面积公式不易求解•可运用补形法，将三角形补成长方形，从而把求一般三角形面积的问题转化为求长方形面积与直角三角形面积的问题.解：由题意知，B（4, 3），C（1,2）.如图4,过点A作x轴的平行线，过点C 作y轴的平行线，两线交于点E.过点B分别作x轴、y轴的平行线，分别交EC 的延长线于点D，交EA的延长线于点FJ则长方形BDEF的面积为3M=12，三1i角形BDC的面积为-1 3 1.5,三角形CEA的面积为-1 3 1.5，三角形2 21ABF的面积为-2 4 4.所以三角形ABC的面积为：长方形BDEF的面积-2（三角形BDC的面积+三角形CEA的面积+三角形ABF的面积）=12-（1.5+1.5+4）=5 （平方单位）.图4。
坐标系中如何求三角形的面积
坐标系中如何求三角形的面积
问题描述
在平面直角坐标系中，给定三角形的三个顶点坐标 A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3,
y3)，如何通过坐标计算出这个三角形的面积呢？
基本原理
要计算三角形的面积，我们可以利用向量的知识来求解。
设向量AB为向量a，向量AC为向量b。
则向量a的坐标为 (x2 - x1, y2 - y1)，向量b的坐标为 (x3 - x1,
y3 - y1)。
具体步骤
1.计算向量a和向量b的叉乘，即 a × b = x1y2 + x2y3 + x3y1 - x1y3 -
x2y1 - x3y2。
2.三角形的面积等于叉乘结果的绝对值的一半，即 area = |a × b| / 2。
3.最终得出的结果即为这个三角形的面积。
例子
例子：
假设三角形ABC的三个顶点坐标为A(1, 2), B(4, 5), C(3, 7)。
计算过程如下：
向量a = AB = (4 - 1, 5 - 2) = (3, 3)
向量b = AC = (3 - 1, 7 - 2) = (2, 5)
叉乘结果为 a × b = 15 + 42 + 33 - 17 - 45 - 32 = 5 + 8 + 9 - 7 - 20 - 6 = -1
三角形的面积为 area = |-1| / 2 = 0.5
所以，三角形ABC的面积为0.5。
结论
通过向量的方法，我们可以方便地在坐标系中计算三角形的面积。
这种方法简
单直观，可以很好地应用于实际问题中。
平面直角坐标系内三角形面积的再探究
平面直角坐标系内三角形面积的再探究平面直角坐标系内任意三角形的面积可以通过不同方法来计算，其中最常用的方法是通过三个顶点坐标计算。
在这篇文章中，我将详细介绍三角形面积的计算方法，并且探究一些特殊情况下的计算方法。
我们先来复习一下基本的三角形面积计算公式。
假设三角形的三个顶点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）和（x3，y3）。
根据公式，三角形的面积可以通过以下公式来计算：面积 = 0.5 * |x1*(y2-y3) + x2*(y3-y1) + x3*(y1-y2)|这个公式的推导过程较为复杂，我将在下文中为大家详细解释。
我们可以将三角形平移到原点，这样第一个顶点的坐标就变为(0,0)。
然后，我们可以找到两个向量A和B，其中A是第二个顶点到原点的向量，B是第三个顶点到原点的向量。
那么根据向量的叉积公式，我们可以得到以下等式：面积= 0.5 * |A × B|其中A × B表示向量A和向量B的叉积。
根据叉积的定义，我们可以计算出A × B的x分量和y分量分别为：(0 - x2) * y3 - x3 * (0 - y2) = x2 * y3 - x3 * y2。
我们可以得到以下公式：这就是我们之前提到的三角形面积计算的公式。
接下来，我们将考虑一些特殊情况下的计算方法。
如果三角形是一个直角三角形，那么我们可以使用勾股定理来计算面积。
假设三角形的直角顶点在原点，那么根据勾股定理，我们可以得到以下公式：其中a和b分别表示另外两个顶点的坐标。
这个公式非常简单，只需要计算两个顶点的坐标乘积的绝对值的一半即可。
如果三角形是一个等腰三角形，那么我们可以使用底边乘以高的方法来计算面积。
假设三角形的顶点坐标分别为（0，0），（a，0）和（b，h），其中a表示底边的长度，h表示高的长度。
那么我们可以得到以下公式：同样的，这个公式也非常简单，只需要计算底边长度乘以高的长度的绝对值的一半即可。
直角坐标系三角形面积公式(一)
直角坐标系三角形面积公式(一)
直角坐标系三角形面积公式
1. 直角坐标系下的三角形面积公式
直角坐标系下，给定三角形的三个顶点坐标为A(x1, y1)，B(x2, y2)，C(x3, y3)，可以使用以下公式计算三角形的面积：
S=1
2
|x1(y2−y3)+x2(y3−y1)+x3(y1−y2)|
其中，S代表三角形的面积。
2. 解释和示例
解释
直角坐标系下的三角形面积公式是通过计算三角形的顶点坐标和三角形三边之间的关系来求解的。
公式中的|x|代表取绝对值，确保计算结果永远为正值。
示例
假设有一个直角三角形，其三个顶点坐标为A(0, 0)，B(3, 0)，C(0, 4)，我们可以使用直角坐标系三角形面积公式计算其面积：将顶点坐标代入公式，计算过程如下：
S=1
2
|0⋅(0−4)+3⋅(4−0)+0⋅(0−0)|
S=1
2
|12|
S=6
因此，该直角三角形的面积为6平方单位。
通过这个示例，我们可以看出直角坐标系三角形面积公式的实际
应用，它可以帮助我们方便且准确地计算直角坐标系下的任意三角形
的面积。
总结
直角坐标系三角形面积公式是一种常用的计算三角形面积的方法。
通过给定三角形的顶点坐标，我们可以使用该公式计算三角形的面积。
这个公式在实际应用中非常方便，可以帮助我们解决各种与三角形面
积相关的问题。
坐标系中三角形的面积公式
坐标系中三角形的面积公式给定三个顶点的坐标A(x1,y1)，B(x2,y2)和C(x3,y3)，可以使用以下公式计算三角形的面积：面积=，(x1(y2-y3)+x2(y3-y1)+x3(y1-y2))/2这个公式实际上是利用向量叉乘来计算的。
向量的叉乘是一个向量运算，它的结果是一个向量。
对于两个向量A=(x1,y1)和B=(x2,y2)，它们的叉乘结果等于A和B确定的平行四边形的面积。
因此，三角形的面积等于它的任意两边所确定的平行四边形的面积的一半。
考虑三角形ABC，我们可以先计算两个向量AB和AC，然后计算这两个向量的叉乘，最后取这两个向量叉乘的模长的一半即可得到三角形的面积。
具体步骤如下：1.计算向量AB的分量：AB=(x2-x1,y2-y1)。
2.计算向量AC的分量：AC=(x3-x1,y3-y1)。
3.计算向量AB和AC的叉乘：AB×AC=(x2-x1)(y3-y1)-(x3-x1)(y2-y1)。
4.计算叉乘的模长：，AB×AC，=√[(x2-x1)(y3-y1)-(x3-x1)(y2-y1)]²。
5.三角形的面积等于叉乘的模长的一半：面积=，AB×AC，/2需要注意的是，这个公式适用于无论顶点的坐标是否为整数、是否为正数、是否为负数的情况。
因为计算的是叉乘的模长，所以结果总是非负数。
下面以实际的例子来说明如何使用这个公式来计算一个三角形的面积。
假设我们有一个三角形ABC，其中A点的坐标为A(1,2)，B点的坐标为B(4,6)，C点的坐标为C(7,1)。
我们可以按照上述步骤计算三角形ABC的面积。
1.计算向量AB的分量：AB=(4-1,6-2)=(3,4)。
2.计算向量AC的分量：AC=(7-1,1-2)=(6,-1)。
3.计算向量AB和AC的叉乘：AB×AC=(3)(-1)-(6)(4)=-3-24=-274.计算叉乘的模长：，AB×AC，=√[(-3)(-3)-(-24)(-24)]²=√[9-576]²=√567²=5675.三角形的面积等于叉乘的模长的一半：面积=，AB×AC，/2=567/2=283.5因此，三角形ABC的面积为283.5平方单位。
直角坐标系中求三角形面积的方法
面积问题直角坐标系中求三角形面积的方法：1．如图：已知直线AB:y=-2x+6与x轴、y轴相较于A点、B点；(1)求△AOB的面积；(2)已知D点的横坐标为1、D点的纵坐标为为1，求△COD的面积；(3)已知直线l:y=x-2与AB相交于点E,与y轴交于点F,求两直线与y轴围成的面积；2．如图在平面直角坐标系xOy中，函数y= （x＞0）的图象与一次函数y=kx﹣k的图象的交点为A（m，2）．（1）求一次函数的解析式；（2）设一次函数y=kx﹣k的图象与y轴交于点B，若点P是x轴上一点，且满足△PAB的面积是4，直接写出P点的坐标．3.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）三点，其顶点为D，对称轴是直线l，l与x轴交于点H．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求△PBC周长的最小值；（3）如图（2），若E是线段AD上的一个动点（E与A、D不重合），过E点作平行于y 轴的直线交抛物线于点F，交x轴于点G，设点E的横坐标为m，△ADF的面积为S．①求S与m的函数关系式；②S是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm．动点M，N从点C同时出发，均以每秒1cm的速度分别沿CA、CB向终点A，B移动，同时动点P从点B出发，以每秒2cm 的速度沿BA向终点A移动，连接PM，PN，设移动时间为t（单位：秒，0＜t＜2.5）．（1）当t为何值时，以A，P，M为顶点的三角形与△ABC相似？（2）是否存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值？若存在，求S的最小值；若不存在，请说明理由．。
坐标三角形面积公式推导过程
坐标三角形面积公式推导过程1. 坐标三角形的定义。
- 在平面直角坐标系中，由三角形三个顶点的坐标来确定的三角形称为坐标三角形。
设A(x_1,y_1)，B(x_2,y_2)，C(x_3,y_3)为三角形ABC的三个顶点。
2. 坐标三角形面积公式推导（行列式法）- 我们可以利用行列式来推导坐标三角形的面积公式。
- 三角形ABC的面积S=(1)/(2)<=ftbegin{array}{ccc}x_1y_11 x_2y_21x_3y_31end{array}right的绝对值。
- 推导过程如下：- 已知向量→AB=(x_2 - x_1,y_2 - y_1)，向量→AC=(x_3 - x_1,y_3 - y_1)。
- 根据向量叉乘求三角形面积的原理，三角形ABC的面积S =(1)/(2)|→AB×→AC|。
- 对于二维向量→a=(m,n)，→b=(p,q)，它们的叉积→a×→b=mq - np（这里的叉积结果是一个标量）。
- 所以→AB×→AC=(x_2 - x_1)(y_3 - y_1)-(x_3 - x_1)(y_2 - y_1)。
- 展开可得：- →AB×→AC=x_2y_3 - x_2y_1 - x_1y_3+x_1y_1-(x_3y_2 - x_3y_1 -x_1y_2+x_1y_1)- 进一步整理得→AB×→AC=x_1y_2 + x_2y_3+x_3y_1 - x_1y_3 - x_2y_1 - x_3y_2。
- 而(1)/(2)<=ftbegin{array}{ccc}x_1y_11 x_2y_21 x_3y_31end{array}right展开为：- (1)/(2)[x_1(y_2 - y_3)-y_1(x_2 - x_3)+(x_2y_3 - x_3y_2)]- 进一步展开(1)/(2)(x_1y_2 - x_1y_3 - y_1x_2 + y_1x_3+x_2y_3 - x_3y_2)- 整理后得到(1)/(2)(x_1y_2 + x_2y_3+x_3y_1 - x_1y_3 - x_2y_1 -x_3y_2)，与(1)/(2)|→AB×→AC|结果相同。
专题06 直角坐标系中三角形面积的相关问题(解析版)
专题06 直角坐标系中三角形面积的相关问题(解析版)直角坐标系中三角形面积的相关问题(解析版)在直角坐标系中，三角形是几何学的基本形状之一，它由三条线段组成，其中两条线段是边，第三条线段是斜边。
本文将探讨直角坐标系中三角形的面积计算方法和与面积相关的问题。
1. 三角形的面积计算方法三角形的面积计算方法有多种，其中最常用的是海伦公式和鞋带公式。
(1) 海伦公式海伦公式适用于任意三角形，包括不是直角三角形。
假设三角形的边长分别为a、b、c，则该三角形的面积S可以通过以下公式计算：S = √(p × (p - a) × (p - b) × (p - c))其中，p为半周长，p = (a + b + c) / 2。
(2) 鞋带公式鞋带公式适用于直角三角形，即一个角度为90度的三角形。
假设直角三角形的两条直角边分别为a和b，斜边的长度为c，则该三角形的面积S可以通过以下公式计算：S = (a × b) / 22. 直角坐标系中三角形的面积计算在直角坐标系中，我们可以通过三个顶点的坐标来计算三角形的面积。
假设三角形的顶点分别为A(x1, y1)、B(x2, y2)和C(x3, y3)，则该三角形的面积S可以通过以下公式计算：S = 0.5 × |x1(y2 - y3) + x2(y3 - y1) + x3(y1 - y2)|3. 相关问题解析在直角坐标系中，三角形的面积与许多相关问题息息相关。
下面将讨论一些常见的问题。
(1) 判定三角形类型可以通过计算三角形的边长或角度来判定三角形的类型。
例如，若三条边的长度满足a^2 + b^2 = c^2，则该三角形为直角三角形；若三条边的长度均相等，则该三角形为等边三角形。
(2) 三角形的位置关系根据三个顶点的坐标，可以判断三角形的位置关系。
例如，若三角形的三个顶点均在x轴上或y轴上，则该三角形为退化三角形；若三角形的某一个内角为180度，则该三角形为直线。
数学北师大版八年级上册坐标系中三角形面积的求法
三 坐标系中任意三角形
• 如图，三角形AOB中，A,B两点的坐标分别 为A(2,4),B(6,2),求三角形AOB的面积.
拓展练习
如图2：已知抛物线y=x2-2x+3与直线y=2x相交于A、B， 抛物线与y轴相交于C点，求ΔABC的面积。
• 解：由 得点A的坐标为（1，2）， 点B的坐标为（3，6）；抛物线与y轴交点C的 坐标为（0，3）如图2，由 B、 。 A、 ＝ = C AC 三点的坐 ， 3 ＝ = CB ， 标可知，AB= ＝2 ，BC= ＝3 ，AC= ＝ 。 • ∵ AC2+BC2=AB2， • ∴ ΔABC为直角三角形，并且∠BCA=900， ∴ SΔABC= AC· BC= × ×3 =3。
y C
B O 图1
A
x
• 二、三角形有一边与坐标轴平行
例2 如图2，三角形ABC三个顶点的坐标分别 为A（4，1），B（4，5），C（-1，2）， 求三角形ABC的面积.
y
C
B
D A
O
x
图2
• 解：因为A，B两点的横坐标相同，所以边 AB∥y轴，所以AB=5-1=4. 作AB边上的高 CD，则D点的横坐标为4，所以CD=4-（-1） =5，所以三角形ABC的面积为10 .
2 ＝
=
AB
点的坐标
讨论交流 交流讨论
如图，抛物线的顶点A坐标为（1，4）,且经过 点B(-1，0）.根据以上条件你能获得哪些信息？
y
A(1,4)
3
B
C
-1
D
O
3
x
x 1
（1）连结BC，BD，CD.则S△BCD= 6 . （2）在抛物线上是否存在一点P，使S△PBD=S△CBD， 若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由. （3） 若 3S△PBD=4 S△CBD，
坐标系中三角形面积求法
《坐标系中三角形面积求法》
在数学中，求坐标系中三角形的面积有多种方法。
一种方法是利用三角形的底和高来求面积。
如果三角形的三个顶点坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)，可以先求出三角形的底边长和高。
比如，以线段AB 为底，那么底边长可以通过两点间距离公式求出。
高可以通过点 C 到直线AB 的距离来求。
然后根据三角形面积公式S = 1/2×底×高，即可求出三角形的面积。
另一种方法是利用向量的叉积来求面积。
设向量AB=(x2 - x1,y2 - y1)，向量AC=(x3 - x1,y3 - y1)，则三角形ABC 的面积S = 1/2×|AB×AC|，其中向量叉积的模可以通过计算得到。
例如，在一个坐标系中，有一个三角形的三个顶点坐标分别为A(1,2)、B(3,4)、C(5,6)。
我们可以用第一种方法来求面积。
先求出线段AB 的长度，根据两点间距离公式可得AB = √[(3 - 1)²+(4 - 2)²]=2√2。
然后求点 C 到直线AB 的距离。
直线AB 的方程可以通过两点式求出，设直线AB 的方程为y = kx + b，将A、B 两点坐标代入可得k = 1，b = 1，即直线AB 的方程为y = x + 1。
点C 到直线AB 的距离可以根据点到直线的距离公式求出，d = |5 - 6 + 1|/√(1²+(-1)²)=√2。
最后根据三角形面积公式可得S = 1/2×2√2×√2 = 2。
点坐标计算三角形面积
点坐标计算三角形面积点坐积计算三角形面积在数学和计算机图形学中,经常需要计算三角形的面积。
如果已知三角形的三个顶点坐标,我们可以使用向量几何的方法来计算三角形的面积。
具体步骤如下:1. 给定三角形的三个顶点坐标 (x1,y1)、(x2,y2) 和 (x3,y3)。
2. 计算向量 v1 = (x2 - x1, y2 - y1) 和 v2 = (x3 - x1, y3 - y1)。
这两个向量分别表示三角形的两条边。
3. 计算叉积 |v1 × v2| = |(x2 - x1)(y3 - y1) - (x3 - x1)(y2 - y1)|。
这个值的绝对值就是三角形面积的两倍。
4. 三角形的面积 = |v1 × v2| / 2。
用代码表示,可以写成如下函数:```pythondef triangle_area(x1, y1, x2, y2, x3, y3):v1 = (x2 - x1, y2 - y1)v2 = (x3 - x1, y3 - y1)cross_product = v1[0] * v2[1] - v1[1] * v2[0]area = abs(cross_product) / 2return area```这个函数接受三个顶点的坐标作为输入,返回三角形的面积。
示例用法:```pythonarea = triangle_area(0, 0, 3, 0, 0, 4)print(f"三角形面积为: {area}") # 输出: 三角形面积为: 6.0```这里我们计算了一个直角三角形的面积,顶点坐标分别为 (0,0)、(3,0) 和 (0,4)。
根据公式,面积确实为 6 平方单位。
使用向量几何计算三角形面积的方法不仅简洁高效,而且可以应用于任何三角形,包括钝角三角形和锐角三角形。
它还可以推广用于计算任意多边形的面积。
(完整)平面直角坐标系中三角形面积的求法(例题及对应练习)
例析平面直角坐标系中面积的求法我们常常会遇到在平面直角坐标系中求三角形面积的问题.解题时我们要注意其中的解题方法和解题技巧。
现举例说明如下。
一、有一边在坐标轴上例1 如图1，平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为（－3，0），（0，3），(0，－1），你能求出三角形ABC的面积吗？分析：根据三个顶点的坐标特征可以看出，△ABC的边BC在y 轴上，由图形可得BC＝4，点A到BC边的距离就是A点到y轴的距离,也就是A点横坐标的绝对值3，然后根据三角形的面积公式求解。
解：因为B（0,3),C（0，—1）,所以BC=3—（—1）=4。
因为A（-3，0),所以A点到y轴的距离，即BC边上的高为3，二、有一边与坐标轴平行例2 如图2，三角形ABC三个顶点的坐标分别为A（4，1），B（4,5），C（-1，2）,求三角形ABC的面积.分析：由A（4，1），B（4，5）两点的横坐标相同，可知边AB与y轴平行，因而AB的长度易求.作AB边上的高CD，则D点的横坐标与A点的横坐标相同，也是4，这样就可求得线段CD的长,进而可求得三角形ABC的面积.解:因为A,B两点的横坐标相同，所以边AB∥y轴，所以AB=5-1=4. 作AB边上的高CD，则D点的横坐标为4，所以CD=4-（—1）=5，所以=。
三、三边均不与坐标轴平行例3 如图2,平面直角坐标系中，已知点A（-3，-1）,B（1，3），C（2，—3），你能求出三角形ABC的面积吗?分析：由于三边均不平行于坐标轴，所以我们无法直接求边长，也无法求高，因此得另想办法。
根据平面直角坐标系的特点，可以将三角形围在一个梯形或长方形中，这个梯形（长方形)的上下底(长)与其中一坐标轴平行，高（宽）与另一坐标轴平行。
这样，梯形（长方形）的面积容易求出，再减去围在梯形（长方形)内边缘部分的直角三角形的面积，即可求得原三角形的面积。
解：如图，过点A、C分别作平行于y轴的直线,与过点B平行于x轴的直线交于点D、E，则四边形ADEC为梯形.因为A（—3，—1），B（1，3）,C(2，-3），所以AD＝4，CE=6，DB=4，BE=1，DE＝5。
三角形面积公式坐标系
三角形面积公式坐标系一、三角形面积公式在平面直角坐标系中的相关知识。
1. 已知三角形三个顶点坐标求面积。
- 设三角形三个顶点坐标分别为A(x_1,y_1)，B(x_2,y_2)，C(x_3,y_3)。
- 三角形面积公式为S = (1)/(2)<=ft| x_1(y_2 - y_3)+x_2(y_3 - y_1)+x_3(y_1 - y_2)right|。
- 推导过程：- 我们可以通过向量的叉积来推导这个公式。
向量→AB=(x_2 - x_1,y_2 - y_1)，向量→AC=(x_3 - x_1,y_3 - y_1)。
- 两个向量叉积的模|→AB×→AC|=|(x_2 - x_1)(y_3 - y_1)-(x_3 - x_1)(y_2 - y_1)|。
- 而三角形面积S=(1)/(2)|→AB×→AC|，经过展开化简就可以得到S =(1)/(2)<=ft| x_1(y_2 - y_3)+x_2(y_3 - y_1)+x_3(y_1 - y_2)right|。
2. 特殊情况。
- 当三角形有一边平行于坐标轴时：- 例如，若AB边平行于x轴（即y_1 = y_2），此时三角形面积S=(1)/(2)| AB|×| y_3 - y_1|，其中| AB|=| x_2 - x_1|。
- 若AB边平行于y轴（即x_1 = x_2），此时三角形面积S=(1)/(2)| AB|×| x_3 - x_1|，其中| AB|=| y_2 - y_1|。
3. 应用示例。
- 例：已知三角形三个顶点A(1,2)，B(3,4)，C(5,1)，求三角形面积。
- 解：根据公式S=(1)/(2)<=ft|1×(4 - 1)+3×(1 - 2)+5×(2 - 4)right|- 先计算式子内部的值：1×(4 - 1)+3×(1 - 2)+5×(2 - 4)=1×3+3×(- 1)+5×(-2)=3 - 3 - 10=-10。
初中数学坐标系内三角形面积的求法学法指导
初中数学坐标系内三角形面积的求法学法指导王竞进我们常常会遇到在坐标平面内求三角形面积的问题。
解题时我们要注意其中的解题方法和解题技巧。
现举例说明如下。
一. 三角形的两个顶点在坐标轴上例1. 如图1，已知A （-1，0），B （4，0），C （-3，3），求ABC ∆的面积。
分析：由于点A 、B 都在x 轴上，因此，我们可以AB 作为三角形的底边，过点C 作x CD ⊥轴，垂足为D ，再根据坐标的意义分别求出AB 的长和AB 边上的高CD 的长，即可解决问题。
解：过点C 作x CD ⊥轴，垂足为D 。
如图2。
因为A （-1，0），B （4，0），所以514AB =+=。
又因为C （-3，3），所以点C 到x 轴的距离为3，即AB 边上的高CD 的长为3。
所以2153521S ABC =⨯⨯=∆。
点悟：当三角形的两个顶点同时在x 轴（或y 轴）上时，求面积的关键就是求出另一个顶点到x 轴（或y 轴）的距离，这个距离就等于这个点的纵坐标（或横坐标）的绝对值。
例2. 如图3，已知A （0，2），B （3，0），C （4，3）。
求ABC ∆的面积。
分析：由于点A 、B 分别在y 轴、x 轴上，点C 是坐标平面内的一点，要求这样的三角形的面积，可把它看成是从一个规则的四边形中减去一个或几个三角形。
解：过点C 分别作y CE ⊥轴、x CD ⊥轴，垂足分别为E 、D 。
如图4。
因为C （4，3），所以1234S CEOD =⨯=四边形。
又因为A （0，2），B （3，0），C （4，3），所以 233121S ,33221S ,21421S BCD AOB ACE =⨯⨯==⨯⨯==⨯⨯=∆∆∆。
211233212S S S S S BCD AOB ACE CEOD ABC =---=---=∆∆∆∆四边形。
点悟：当三角形的两个顶点分别在x 轴、y 轴上时，求面积往往采用割补法。
二. 三角形有一边平行于坐标轴例3. 如图5，已知A （-3，-2），B （3，-2），C （-2，2），求ABC ∆的面积。
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坐标系内三角形面积的求法
平面直角坐标系内三角形面积的计算问题，是一类常见题型，
也是坐标系内多边形面积计算的基础，那么如何解决这类问题呢？
一、三角形的一边在坐标轴上
例 1 如图1，三角形ABC 的三个顶点的坐标分别是A(4,0),B (-2,0),C (2,4),求三角形ABC 的面积．
分析：要求三角形的面积，需要分别求出底边及其高.由图1可知，三角形ABC 的边AB 在x 轴上，容易求得AB 的长，而AB 边上的高，恰好是C 点到x 轴的距离，也就是C 点的纵坐标的绝对值.
解：因为A(4,0),B(-2,0),所以AB=4-（-2）=6.因为C(2,4),所以C 点到x 轴的距离，即AB 边上的高为4，所以三角形ABC 的面积为
12462
1
=⨯⨯. 变式1：如图，求△DEC 的面积．
如图12-1，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的
三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平
宽”(a )，中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高(h )”.我们
可得出一种计算三角形面积的新方法：ah S ABC 2
1
=∆，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.
二、三角形有一边与坐标轴平行
例1 如图2，三角形ABC 三个顶点的坐标分别为A （4，1），B （4，5），C （-1，2），求三角形ABC 的面积．
分析：由A （4，1），B （4，5）两点的横坐标相同，可知边AB 与y 轴平行，因而AB 的长度易求.作AB 边上的高CD ，则D 点
的横坐标与A 点的横坐标相同，也是4，这样就可求得线段CD 的长，进而可求得三角形ABC 的面积.
图2
图1
图12-1
解：因为A ，B 两点的横坐标相同，所以边AB ∥y 轴，所以AB=5-1=4. 作AB 边上的高CD ，则D 点的横坐标为4，所以CD=4-（-1）=5，所以三角形ABC 的面积为10542
1
=⨯⨯.变式2：如图，求△ABC 的面积．
三、坐标平面内任意三角形的面积
例3 如图3，在直角坐标系中，三角形ABC 的顶点均在网格点上.其中A 点坐标为（2，-1），则三角形ABC 的面积为______平方单位.
分析：本题中三角形ABC 的任何一边都不在坐标轴上或与坐标轴平行，因此直接运用三角形的面积公式不易求解.可运用补形法，
将三角形补成长方形，从而把求一般三角形面积的问题转化为求长方形面积与直角三角形面积的问题.
解：由题意知，B （4，3），C(1,2).如图4，过点A 作x 轴的平行线，过点C 作y 轴的平行线，两线交于点E.过点B 分别作x 轴、y 轴的平行线，分别交EC 的延长线于点D ，交EA 的延长线于点F.则长方形BDEF 的面积为3×4=12，三角形BDC 的面积为
5.1312
1
=⨯⨯, 三角形CEA 的面积为5.13121=⨯⨯，三角形ABF 的面积为4422
1=⨯⨯.所以三角形ABC 的面积为： 长方形BDEF 的面积 - （三角形BDC 的面积+三角形CEA 的面积 + 三角形ABF 的面积）=12－(1.5+1.5+4)=5
（平方单位）.
四、坐标系内多边形面积计算
图3
图4
例4在如图所示的平面直角坐标系中，四边形ABCD的各顶点的坐标分别为A（0,0），B （12,0），C（8,6），D（2,4），试求这个四边形的面积．
分析：本题四边形ABCD的一边AB在x轴上，C、D两点的纵坐标的绝对值恰是它们到x 轴的距离，因此，分别过C、D两点向x轴作垂线段，可把四边形分割成两个直角三角形和一个直角梯形．。