坐标系内三角形面积的求法

坐标系内三角形面积的求法

平面直角坐标系内三角形面积的计算问题，是一类常见题型，

也是坐标系内多边形面积计算的基础，那么如何解决这类问题呢？

一、三角形的一边在坐标轴上

例 1 如图1，三角形ABC 的三个顶点的坐标分别是A(4,0),B (-2,0),C (2,4),求三角形ABC 的面积．

分析：要求三角形的面积，需要分别求出底边及其高.由图1可知，三角形ABC 的边AB 在x 轴上，容易求得AB 的长，而AB 边上的高，恰好是C 点到x 轴的距离，也就是C 点的纵坐标的绝对值.

解：因为A(4,0),B(-2,0),所以AB=4-（-2）=6.因为C(2,4),所以C 点到x 轴的距离，即AB 边上的高为4，所以三角形ABC 的面积为

12462

1

=⨯⨯. 变式1：如图，求△DEC 的面积．

如图12-1，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的

三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平

宽”(a )，中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高(h )”.我们

可得出一种计算三角形面积的新方法：ah S ABC 2

1

=∆，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.

二、三角形有一边与坐标轴平行

例1 如图2，三角形ABC 三个顶点的坐标分别为A （4，1），B （4，5），C （-1，2），求三角形ABC 的面积．

分析：由A （4，1），B （4，5）两点的横坐标相同，可知边AB 与y 轴平行，因而AB 的长度易求.作AB 边上的高CD ，则D 点

的横坐标与A 点的横坐标相同，也是4，这样就可求得线段CD 的长，进而可求得三角形ABC 的面积.

图2

图1

图12-1

解：因为A ，B 两点的横坐标相同，所以边AB ∥y 轴，所以AB=5-1=4. 作AB 边上的高CD ，则D 点的横坐标为4，所以CD=4-（-1）=5，所以三角形ABC 的面积为10542

1

=⨯⨯.变式2：如图，求△ABC 的面积．

三、坐标平面内任意三角形的面积

例3 如图3，在直角坐标系中，三角形ABC 的顶点均在网格点上.其中A 点坐标为（2，-1），则三角形ABC 的面积为______平方单位.

分析：本题中三角形ABC 的任何一边都不在坐标轴上或与坐标轴平行，因此直接运用三角形的面积公式不易求解.可运用补形法，

将三角形补成长方形，从而把求一般三角形面积的问题转化为求长方形面积与直角三角形面积的问题.

解：由题意知，B （4，3），C(1,2).如图4，过点A 作x 轴的平行线，过点C 作y 轴的平行线，两线交于点E.过点B 分别作x 轴、y 轴的平行线，分别交EC 的延长线于点D ，交EA 的延长线于点F.则长方形BDEF 的面积为3×4=12，三角形BDC 的面积为

5.1312

1

=⨯⨯, 三角形CEA 的面积为5.13121=⨯⨯，三角形ABF 的面积为4422

1=⨯⨯.所以三角形ABC 的面积为： 长方形BDEF 的面积 - （三角形BDC 的面积+三角形CEA 的面积 + 三角形ABF 的面积）=12－(1.5+1.5+4)=5

（平方单位）.

四、坐标系内多边形面积计算

图3

图4

例4在如图所示的平面直角坐标系中，四边形ABCD的各顶点的坐标分别为A（0,0），B （12,0），C（8,6），D（2,4），试求这个四边形的面积．

分析：本题四边形ABCD的一边AB在x轴上，C、D两点的纵坐标的绝对值恰是它们到x 轴的距离，因此，分别过C、D两点向x轴作垂线段，可把四边形分割成两个直角三角形和一个直角梯形．