刚度矩阵和柔度矩阵
弹性力学 本构方程 刚度矩阵 柔度矩阵
弹性力学本构方程刚度矩阵柔度矩阵弹性力学本构方程刚度矩阵柔度矩阵中文名称:弹性力学英文名称:theory of elasticity其他名称:弹性理论定义:研究弹性体在荷载等外来因素作用下所产生的应力、应变、位移和稳定性的学科。
所属学科:水利科技(一级学科) ;工程力学、工程结构、建筑材料(二级学科) ;工程力学(水利)(三级学科)弹性力学也称弹性理论，主要研究弹性体在外力作用或温度变化等外界因素下所产生的应力、应变和位移，从而解决结构或机械设计中所提出的强度和刚度问题。
在研究对象上，弹性力学同材料力学和结构力学之间有一定的分工。
材料力学基本上只研究杆状构件;结构力学主要是在材料力学的基础上研究杆状构件所组成的结构，即所谓杆件系统;而弹性力学研究包括杆状构件在内的各种形状的弹性体。
弹性力学是固体力学的重要分支，它研究弹性物体在外力和其它外界因素作用下产生的变形和内力，也称为弹性理论。
它是材料力学、结构力学、塑性力学和某些交叉学科的基础，广泛应用于建筑、机械、化工、航天等工程领域。
弹性体是变形体的一种，它的特征为:在外力作用下物体变形，当外力不超过某一限度时，除去外力后物体即恢复原状。
绝对弹性体是不存在的。
物体在外力除去后的残余变形很小时，一般就把它当作弹性体处理。
弹性力学的发展大体分为四个时期。
人类从很早时就已经知道利用物体的弹性性质了，比如古代弓箭就是利用物体弹性的例子。
当时人们还是不自觉的运用弹性原理，而人们有系统、定量地研究弹性力学，是从17世纪开始的。
发展初期的工作是通过实践，探索弹性力学的基本规律。
这个时期的主要成就是R.胡克于1678年发表的弹性体的变形与外力成正比的定律，后来被称为胡克定律。
第二个时期是理论基础的建立时期。
这个时期的主要成就是，从1822,1828年间，在A.-L?柯西发表的一系列论文中明确地提出了应变、应变分量、应力和应力分量概念，建立了弹性力学的几何方程、平衡(运动)微分方程，各向同性和各向异性材料的广义胡克定律，从而为弹性力学奠定了理论基础。
力学柔度矩阵
力学柔度矩阵力学柔度矩阵是描述材料在受力作用下变形程度的重要工具。
它可以用来计算材料的弹性特性以及应力-应变关系。
在本文中，我们将探讨力学柔度矩阵的概念、计算方法以及其在工程领域中的应用。
力学柔度矩阵是一个3x3的矩阵，分别代表材料在x、y、z三个方向上的柔度。
该矩阵描述了材料受力后的变形情况，可以用于计算应力-应变关系。
柔度矩阵的推导基于胡克定律和线弹性理论。
根据胡克定律，应力与应变之间的关系可以表示为：σ = C * ε其中，σ是应力矢量，C是刚度矩阵，ε是应变矢量。
刚度矩阵C 是柔度矩阵的逆矩阵，两者之间存在以下关系：C = S^-1其中，S是柔度矩阵。
柔度矩阵的计算方法有多种。
一种常用的方法是通过实验测量得到材料的应力和应变数据，然后根据应力-应变关系求解柔度矩阵。
另一种方法是根据材料的几何形状和材料参数，利用解析解或数值方法计算柔度矩阵。
柔度矩阵在工程领域中有广泛的应用。
首先，它可以用于计算材料的弹性模量和剪切模量，从而评估材料的力学性能。
其次，柔度矩阵可以用于分析结构的应力分布和变形情况，帮助工程师设计更加稳定和可靠的结构。
此外，柔度矩阵还可以用于计算材料的热膨胀系数和热应力分布，对热力学问题的分析具有重要意义。
在实际工程中，柔度矩阵的计算通常是基于有限元分析方法进行的。
有限元分析是一种数值计算方法，将复杂的结构分割成许多小的单元，通过求解单元上的方程组得到整个结构的应力和变形情况。
在有限元分析中，柔度矩阵被用作材料的弹性特性输入，从而得到准确的结构响应。
力学柔度矩阵是描述材料力学特性的重要工具。
它可以用于计算材料的弹性模量、剪切模量和应力-应变关系。
柔度矩阵的计算方法有多种，常用的是基于实验数据或有限元分析。
在工程领域中，柔度矩阵被广泛应用于结构分析和设计中。
通过深入理解和应用柔度矩阵，工程师可以更好地评估材料的性能和结构的稳定性，从而提高工程项目的质量和安全性。
结构的刚度计算范文
结构的刚度计算范文一、结构的刚度概述结构的刚度是指结构在受到外力作用时产生的抗力，并且具有阻碍形变的能力。
在结构分析和设计中，刚度通常通过刚度矩阵或柔度矩阵来描述。
刚度矩阵可以通过结构的几何参数和材料参数来求解，从而得到结构的刚度信息。
二、结构的刚度计算方法1.刚度法刚度法是通过建立结构的刚度方程系统进行刚度计算的一种方法。
首先，将结构划分为单元，建立每个单元的刚度矩阵。
然后，根据单元的拓扑关系和约束条件，将单元刚度矩阵组装成整个结构的刚度矩阵。
最后，通过求解刚度方程组，得到结构的位移和应力分布。
刚度法适用于各种结构类型的刚度计算，但对于复杂结构，单元的建立和刚度矩阵的组装较为复杂。
2.弹性力学方法弹性力学方法是通过应力—应变关系，计算结构的刚度和应力分布的一种方法。
根据结构的材料特性和受力情况，可以得到材料的弹性模量和泊松比等参数。
然后，通过应力—应变关系，将结构的受力情况转化为应变和位移，进而计算结构的刚度和变形。
弹性力学方法适用于线性弹性材料的刚度计算，但对于非线性和超弹性材料，需要考虑材料的非线性特性和应变硬化等因素。
3.有限元方法有限元方法是一种将结构离散为有限个单元，通过单元间的刚度关系计算整个结构的刚度的方法。
首先，将结构按照一定的离散规则划分为单元，建立每个单元的刚度矩阵。
然后，根据单元的连接关系和约束条件，将单元刚度矩阵组装成整个结构的刚度矩阵。
最后，通过求解刚度方程组，得到结构的位移和应力分布。
有限元方法适用于各种结构类型的刚度计算，具有较高的计算精度和灵活性。
4.渐进弹性力学方法渐进弹性力学方法是通过渐进弹性力学原理，计算结构的刚度和应力分布的一种方法。
渐进弹性力学方法利用结构的渐进响应行为和应力局部化现象，通过运用变体原理和渐进流行度原理，建立线弹性刚度与载荷关系的微分方程组，并通过求解微分方程组得到结构的刚度和变形。
三、刚度计算的工程应用结构的刚度计算在工程设计中具有广泛的应用。
多自由度振动体系的刚度矩阵和柔度矩阵的关系
多自由度振动体系的刚度矩阵和柔度矩阵的关系多自由度振动体系的刚度矩阵和柔度矩阵是描述系统动力学性质的重要工具。
本文将详细探讨这两个矩阵之间的关系，以及它们在动力学分析中的应用。
先来看一下多自由度振动体系的定义。
一个多自由度振动体系由多个具有自由度的质点组成，这些质点可以在空间中以不同的方式运动。
对于一个包含n个自由度的系统，其运动状态可以由n个广义坐标表示。
这些广义坐标的变化随时间的导数称为广义速度，而广义速度的变化随时间的导数称为广义加速度。
在动力学分析中，我们需要知道系统中各个自由度的变化方式，即广义坐标如何随时间变化。
为了推导出系统的振动方程，我们需要引入两个重要的概念：刚度和柔度。
刚度是描述系统对应力或应变的响应程度的物理量。
对于一个弹簧系统，刚度越大，弹簧对作用力的响应越强，相应的系统振动频率也越高。
在多自由度振动体系中，可以用刚度矩阵来描述系统的刚度性质。
柔度是描述系统对形变的响应程度的物理量。
对于一个弹性材料，柔度越大，材料对形变的响应越强，相应的系统振动频率也越低。
在多自由度振动体系中，可以用柔度矩阵来描述系统的柔度性质。
那么刚度矩阵和柔度矩阵之间的关系是什么呢？首先，我们需要理解刚度和柔度与位移之间的关系。
根据胡克定律，刚度和位移之间呈线性关系。
对于一个自由度振动体系，有如下表达式：F = kx式中，F是作用在系统上的外力，k是系统的刚度，x是位移。
这表明，位移与系统的刚度成正比。
同样地，柔度和位移之间也呈线性关系，但是比例系数的倒数。
对于一个自由度振动体系，有如下表达式：x = F/c式中，c是系统的柔度。
这表明，位移与系统的柔度成反比。
接下来，我们将讨论多自由度振动体系中刚度矩阵和柔度矩阵的关系。
考虑一个具有n个自由度的振动体系，其刚度矩阵为K，柔度矩阵为C。
如果我们取系统的位移为一个n维列向量x，广义力为一个n维列向量f，那么系统的运动方程可以表示为：M*dx^2/dt^2 + C*dx/dt + K*x = f式中，M是系统的质量矩阵。
几个基本常数弹性模量-泊松比-应力应变曲线
全应力-应变曲线测量岩石的应力应变曲线一般可以有两中试验机：一种是，柔性试验机，使用这种试验机测量时，容易发发生“岩爆”现象，导致试验中不能得到峰值以后的应力应变信息。
另种是，刚性试验机，这种试验机刚度比较高，有“让压”的特点，就不会有“岩爆”现象发生，可以得到全应力-应变曲线用以研究岩石破裂的性质。
刚度矩阵的物理意义：单元刚度矩阵的物理意义，一句话概括说来就是各个节点在广义力的作用下节点的位移变化量。
强度是零件的抗应力程度，反映的是什么时候断裂，破损等刚度反映的是变形大小，就是零件受力后的变形。
刚度矩阵和柔度矩阵的物理意义:一般将刚度矩阵记为[D]，柔度矩阵为[C]，二者互为逆矩阵。
[C]矩阵中任一元素Cij的物理意义为：当微小单元体上仅作用有j方向的单位应力增加，而其他方向无应力增量时，i方向的应变增量分量就等于Cij。
[D]矩阵中任一元素Dij的物理意义为：要使微小单元体只在j方向发生单位应变，而其他方向不允许发生应变，则必须造成某种应力组合，在这种应力组合中，i方向应力分量为Dij。
对于各向异性材料，[D]和[C]都是非对称矩阵，从机理上来说是合理的，然而它给数学模型带来复杂性，也增加了有限元计算的困难。
从工程实用的角度来考虑，往往忽略这种非对称性，而处理为对称矩阵。
物理概念：氏模量和泊松比在弹性围大多数材料服从虎克定律，即变形与受力成正比。
纵向应力与纵向应变的比例常数就是材料的弹性模量E，也叫氏模量。
而横向应变与纵向应变之比值称为泊松比μ，也叫横向变性系数，它是反映材料横向变形的弹性常数。
氏模量(Young's modulus)是表征在弹性限度物质材料抗拉或抗压的物理量，它是沿纵向的弹性模量。
1807年因英国医生兼物理学家托马斯·(ThomasYoung, 1773-1829) 所得到的结果而命名。
根据胡克定律，在物体的弹性限度，应力与应变成正比，比值被称为材料的氏模量，它是表征材料性质的一个物理量，仅取决于材料本身的物理性质。
第2组-实验9 柔度矩阵和刚度矩阵测定实验方案
位移
Байду номын сангаас
刚度法（1 点） 实验次数 位移 X/mm 1 2 3 平均值
1.04 0.76 0.75 0.850
力
力
F11/mm F21/mm
79 72 69 73.333 -68 -108 -117 -97.667
刚度法（2 点） 实验次数 位移 X/mm 1 2 3 平均值
0.91 1.02 1.06 0.997
力
力
F12/mm F22/mm
-96 -105 -117 -106.000 192 221 243 218.667
(二) 计算方法 1. 柔度法
11=X11/F1=1.627/60=0.02712 21=X21/F1=0.790/60=0.01317 12=X12/F2=0.993/82=0.01211 22=X22/F2=0.823/82=0.01004
实验 9 刚度矩阵与柔度矩阵的测定
一、实验目的 （1）了解刚度矩阵和柔度矩阵； （2）验正[k]=[ ]-1。 二、实验原理 柔度系数是单位力在产生力方向的位移； 刚度系数是单位位移在产生位移方向的力。 三、实验模型
1
F1
F2
2
四、实验仪器 千分表、双层钢架、力传感器、螺旋蜗杆 五、实验步骤 （一）测定柔度矩阵 1、在 1 处单独施加一个水平力 F，用力传感器测出，用千分表 测得 1 和 2 处的水平位移 X11、X21； 2、在 2 处单独施加一个水平力 F，用力传感器测出，用千分表 测得 1 和 2 处的水平位移 X12、X22； 3、改变力的大小，反复（1） （2）步骤测量三次； 4、 根据力和位移的数据， 计算得出 4 个柔度系数 11、 12、 21 和 22，从而得到柔度矩阵。
刚度矩阵和柔度矩阵
~ 为任意非零向量时， 和 称为正定矩阵， 当{v}或{P}为任意非零向量时，[k]和 [f ] 称为正定矩阵，正定 或 为任意非零向量时
矩阵是非奇异矩阵，可以求逆。 矩阵是非奇异矩阵，可以求逆。 因此，柔度矩阵和刚度矩阵是非奇异矩阵，可以求逆。 因此，柔度矩阵和刚度矩阵是非奇异矩阵，可以求逆。 并左乘{f 等式两边， 对[k]求[k ] -1，并左乘 S}=[k]{v}等式两边，得: 求 等式两边
~ =[ f ]
{v} = [ fɶ ][ fs ]
1 T ~ U = {P} [ f }{P} 2 转置(11-6)式，并注意到 { f S } = [ k ]{v} 又：{P} ={ f S } 转置 式
同时，任何变形过程， 同时，任何变形过程，在稳定结构中所贮存的应变能永远是 正的。所以有： 正的。所以有： T T ~
1 T 得出应变能的第二个表达式： U = {v} [k ]{v} 得出应变能的第二个表达式： 2
3. 结构的基本概念： 结构的基本概念：
(1) 应变能
以柔度或刚度矩阵可以方便地表达任一结构中所贮存 的应变能。 应变能U等于使体系变形所做的功 等于使体系变形所做的功， 的应变能。 应变能 等于使体系变形所做的功，即：
1 N 1 T U = ∑ Pi vi = {P} {v} (11(11-6) 2 i =1 2 ~ T为{P}的转置矩阵，将 {v} = [ f ]{P} {P} 的转置矩阵， 的转置矩阵 代入得： 代入得：
{v} [k ]{v} > 0和 {P} [ f ]{P} > 0
[ k ] { fs } = {v}
−1
−1
对比： 对比：
——柔度矩阵是刚度矩阵的逆矩阵。 柔度矩阵是刚度矩阵的逆矩阵。 所以 [k ] 柔度矩阵是刚度矩阵的逆矩阵 实际中， 实际中对柔度矩阵求逆。 繁，最方便的方法：直接计算柔度系数和对柔度矩阵求逆。
刚度矩阵计算公式
刚度矩阵计算公式
刚度矩阵相关计算公式
1. 什么是刚度矩阵？
刚度矩阵是用来描述结构物或系统在受到力的作用下产生变形的性质的矩阵。
它表示了结构物或系统的刚度性质，包括刚性与柔度。
2. 刚度矩阵的计算公式
单元刚度矩阵计算公式
对于一个结构物或系统中的一个单元，刚度矩阵可以通过以下公式计算得到： [ K_e = []^T [] [] ] 其中，K e为单元刚度矩阵，[B]为单元形函数矩阵，[D]为材料刚度矩阵。
结构刚度矩阵计算公式
对于整个结构物或系统，结构刚度矩阵可以通过将各个单元的单元刚度矩阵进行组合得到： [ K = _{i=1}^{n} {A_i}^T K_e A_i ] 其中，K为结构刚度矩阵，n为单元的数量，A i为单元连接矩阵。
3. 刚度矩阵的例子解释
例如，我们考虑一个简单的悬臂梁系统，由两个单元组成。
每个单元的单元刚度矩阵如下： [ K_1 =
] [ K_2 =
] 将两个单元的单元刚度矩阵组合得到整个结构的结构刚度矩阵：
[ K =
]
4. 小结
刚度矩阵是用来描述结构物或系统刚度性质的矩阵。
通过单元刚度矩阵和单元连接矩阵的组合，可以得到整个结构的刚度矩阵。
刚度
矩阵的计算公式为K =∑A i T n i=1K e A i 。
刚度矩阵的计算在结构分析和工
程设计中具有重要的作用。
各向异性材料的应力应变关系
简化后;工程上常用的胡克定律表达式：
i C ij j
S i j=123456
i
ij j
其中：Cij刚度矩阵，[Sij] 柔度矩阵，互为逆矩阵， 即[Cij]= [Sij]1
二：单对称材料应力应变关系
１Ｏ２ 平面是弹性对称面;沿 ３ 轴和 ３′ 轴方向上的应力和 应变有以下关系：
单对称材料的应力
则柔度系数与工程弹性常数关系为：
同理;沿 ２ 轴向和 ３ 轴向的单 向拉伸，还可得：
对于102面 203面和103面的纯剪切;可得：
式中E1,E2,E3和G12,G23,G13分 别为正交各向异性材料的拉压弹 性模量和剪切弹性模量； V12,V23,V13以及V21,V32,V31分 别为主泊松比和副泊松比
其应力应变关系：
应变应力关系：
只有２个独 立弹性常数
２ ２正交各向异性材料的工程弹 性常数
用工程弹性常数拉压模量 剪切模量、泊松比来表 示各向异性材料应力应变关系
➢ 柔度系数、刚度系数与工程弹性常数关系 由三个单向拉伸和三个纯剪切示意图来推导
沿 １ 轴向单向拉伸时;应力σ ≠ ０ ，其他应力 均为零，可得： 根据胡克定律和泊松效应有：
则用工程弹性常数表达的正交各向异性材料的应 变应力关系为：
由刚度系数矩阵与柔度系数矩阵的可逆性;可得：
式中：
➢ 工程弹性常数的互等关系 由于柔度矩阵的对称性;可得工程弹性常数的互
等关系为：
9个工程弹性常数;3个拉压弹 性模量，3个剪切弹性模量， 3个主泊松比
则刚度矩阵和柔度矩阵分别为：
四：横向各向同性材料的应力应 变关系
三个相互垂直的弹性对称面中有一个是各向同 性的;如单向纤维增强复合材料
弹性力学 本构方程 刚度矩阵 柔度矩阵
弹性力学本构方程刚度矩阵柔度矩阵弹性力学本构方程刚度矩阵柔度矩阵中文名称:弹性力学英文名称:theory of elasticity其他名称:弹性理论定义:研究弹性体在荷载等外来因素作用下所产生的应力、应变、位移和稳定性的学科。
所属学科:水利科技(一级学科) ;工程力学、工程结构、建筑材料(二级学科) ;工程力学(水利)(三级学科)弹性力学也称弹性理论，主要研究弹性体在外力作用或温度变化等外界因素下所产生的应力、应变和位移，从而解决结构或机械设计中所提出的强度和刚度问题。
在研究对象上，弹性力学同材料力学和结构力学之间有一定的分工。
材料力学基本上只研究杆状构件;结构力学主要是在材料力学的基础上研究杆状构件所组成的结构，即所谓杆件系统;而弹性力学研究包括杆状构件在内的各种形状的弹性体。
弹性力学是固体力学的重要分支，它研究弹性物体在外力和其它外界因素作用下产生的变形和内力，也称为弹性理论。
它是材料力学、结构力学、塑性力学和某些交叉学科的基础，广泛应用于建筑、机械、化工、航天等工程领域。
弹性体是变形体的一种，它的特征为:在外力作用下物体变形，当外力不超过某一限度时，除去外力后物体即恢复原状。
绝对弹性体是不存在的。
物体在外力除去后的残余变形很小时，一般就把它当作弹性体处理。
弹性力学的发展大体分为四个时期。
人类从很早时就已经知道利用物体的弹性性质了，比如古代弓箭就是利用物体弹性的例子。
当时人们还是不自觉的运用弹性原理，而人们有系统、定量地研究弹性力学，是从17世纪开始的。
发展初期的工作是通过实践，探索弹性力学的基本规律。
这个时期的主要成就是R.胡克于1678年发表的弹性体的变形与外力成正比的定律，后来被称为胡克定律。
第二个时期是理论基础的建立时期。
这个时期的主要成就是，从1822,1828年间，在A.-L?柯西发表的一系列论文中明确地提出了应变、应变分量、应力和应力分量概念，建立了弹性力学的几何方程、平衡(运动)微分方程，各向同性和各向异性材料的广义胡克定律，从而为弹性力学奠定了理论基础。
结构动力学-多自由度系统振动
k 2k
y1 y2
0 0
m
M
0
0
k
m, K k
k
2k
解：①由频率方程求固有频率
K 2M 0 k m2
k 0
k 2k m2
展开上式得：(k m2 )(2k m2 ) k 2 0
2 1, 2
3k m
9k 2m2 4k 2m2 2m2
1 0.62
k, m
2 1.62
M20 0
M 21
y2 0
M1y1
M11
列力平衡方程为：M11 M1y1 0 M11 M1 M 21 0, M 31 0
同样的分析可以求得：M12 0, M 22 M 2 , M 23 0; M13 0, M 23 0, M 33 M 3;
所以，得到质量矩阵为： M1 0 0
k2
k3
P
p1 (t) p2 (t)
二、柔度矩阵法 用柔度矩阵法或者刚度矩阵建立方程本质上也是基于力的 动平衡来建立方程，关键在于求柔度系数或刚度系数。
例题 3-2 梁的跨长为 l ,梁上有两个集中质量 M1 和 M 2 ，分别受 到集中力 p1 (t) 和 p2 (t) 的作用。不计梁自身的质量和阻尼，建立 系统的垂向振动方程.
上面的方程为惯性解耦，刚度耦合方程。
kij 的物理意义：j 坐标发生单位位移，其余坐标位移全部为
零时, i 坐标引起的恢复力。
mij 的物理意义：仅在 j 坐标发生单位加速度时,在第 i 坐标所产生 的惯性力.
用柔度矩阵法建立的一般方程：
Y (P MY)
两边同乘以 1
1Y 1(P MY)
例题:针对下图给出的系统，建立振动微分方程。
复合材料力学.
各向异性材料的应力应变关系
回来继续关注刚度矩阵
1 C11 C 2 21 3 C 31 23 C41 31 C51 12 C61
C12 C 22 C 32 C42 C52 C62
正交各向异性材料
随着材料对称性的提高，独立常数的数目逐步减少 如果材料有两个正交的材料性能对称面，则对于和这 两个相垂直的平面也有对称面（第三个）——正交各 向异性——9个独立常数
1 C11 C 2 21 3 C 31 23 0 31 0 12 0 C12 C 22 C 23 0 0 0 C13 C 23 C 33 0 0 0 0 0 0 C44 0 0 0 0 0 0 C55 0 0 1 0 2 0 3 0 23 0 31 C66 12
C13 C 23 C 33 C43 C53 C63
C14 C 24 C 34 C44 C54 C64
C15 C 25 C 35 C45 C55 C65
C16 1 C 26 2 C 36 3 C46 23 C56 31 C66 12
Anisotropic Isotropy Orthotropy Failure Criterion
传统材料
对各向同性材料来说，表征他们刚度性能的工 程弹性常数有：E,G,v
E：拉伸模量 G：剪切模量 V：泊松比 其中
G E / 2(1 )
独立常数只有2个
各向异性材料的应力应变关系
复合材料力学
高桩码头桩基顶节点的刚度矩阵
y(x)
=
e
x s
(B1
cos
x s
+
B2
sin
x s
)
+
−x
es
(B3
cos
x s
+
B4
sin
x) s
（2.10）
当仅在桩顶部有作用力、而且桩很长时，有边界条件：
x → ∞, y → 0 ，因此可得， B1 = B2 =0，这时：
y(x)
=
−x
es
(B3
cos
x s
+
B4
sin
x) s
（2.11）
（2.6）
土体的反力、弯矩、剪力及位移分别为：
P = khBy
M
=
EI
d2y dx2
V = −EI d 3 y dx3
（2.7） （2.8） （2.9）
式中： B 为桩的截面宽度（ m ）； EI 为桩的截面抗弯刚度（ KN • m2 ）； S = 4 4EI 。 Bkh
求解式（2.6），可得通解为：
kx
=
R ξ + thα 1+ ξthα
（2.5）
式中： R =
CSUEA
；
ξ
=
Cb A R
；
α
=
CSU EA
l0
。
2.2 低桩顶节点的刚度矩阵
-2-
在粘性型地基中，地基的水平反力系数 kh 可以假定为常数，桩的挠曲微分方程为[4]：
d4y + 4 y =0 dx4 S 4
节点的刚度矩阵，为进一步改进现行的高桩码头的计算方法（使高桩码头结构计算简图统一
钢结构 第五章--有图(振型分解法)
X 12 =− X 11
2011-3-23
m1δ11 −
1
m2δ12
ω12
X 22 =− X 21
结构抗震设计
m1δ11 −
1
2 ω2
m2δ12
2
振型分解法反应谱法和单自由度反应谱法
方法 位移 速度和加 速度 惯性力 单自由度反应谱法
x(t )
振型分解法 n && &（t） ∑ γ j ∆（t）X ji & xi = j
n n
F ji = F（t） ji
令 αj
= g
max
= mi γ j X ji &&（t） ∆（t） x g + && j
，
max
&&（t） ∆（t） xg + && j
max
Gi = mi g
； 则 F ji = α j γ j X ji Gi ( i=1,2,…,n；j=1,2,…,n)为 振型i 为对应于j 振型 质点水平地震作用标准值计算公式
2011-3-23 结构抗震设计 7
j振型i质点水平地震作用标准值计算公式
F ji = α j γ j X ji Gi ( i=1,2,…,n；j=1,2,…,n) ；
质点水平地震作用标准值计算公式。 为对应于j振型i质点水平地震作用标准值计算公式。 式中： 质点的水平地震作用标准值； 式中： Fji—j 振型i质点的水平地震作用标准值； rj—j 振型的振型参与系数；Xji—j 振型i质点的振型位移 振型的振型参与系数； 幅值； 集中于i质点的重力荷载代表值 幅值；Gi—集中于 质点的重力荷载代表值； 集中于 质点的重力荷载代表值； αj—相应于j 振型自振周期Tj 的地震影响系数。 的地震影响系数。 相应于 振型对应的振子(单质点体系 单质点体系)的最 是第 j 振型对应的振子 单质点体系 的最 大绝对加速度与重力加速度之比， 大绝对加速度与重力加速度之比，故αj是相应第j 振型的 地震影响系数， 地震影响系数 ， 而这时的自振周期为与第 j 振型相对应 振型的自振周期。 的振子的周期Tj，即为第j 振型的自振周期。
第二章 地基的计算模型
二、选择地基模型的一般原则
1、当基础位于无粘性土上时，特别当地基比较 柔软、又有局部荷载时，宜采用文克尔地基模型；
2、当基础位于粘性土上时，特别对于有一定刚 度的基础，基底反力适中，地基中应力水平不高 时，宜采用弹性半无限地基模型； 3、当地基土呈明显的层状分布，各层之间性质 差异较大时，宜采用分层地基模型。
(2)按旁压试验确定
E0 M 1 2 p1a 2 / s1
(3)按经验数据确定：
（3）按经验数据确定
2.5 地基模型的选择
一、选择地基模型应考虑的因素 1、土的变形特征和外荷载在地基中引起的应 力 水平； 2、土层的分布情况； 3、基础和上部结构的刚度及其形成过程； 4、基础的埋置深度； 5、荷载的种类和施加方式； 6、时效的考虑； 7、施工过程(开挖、回填、降水、施工速度等)
k——地基基床系数； α、β ——与地基土性质有关的无量纲参数，描述基础 范围以外的土体对基础刚度和接触压力分布形式的影响；
ξ、η ——界面上考虑点的相对坐标： ξ=x/l b、l ——矩形基础的半宽与半长； m——矩形基础的长宽比：m=l／b。 二、利夫金模型的特点 1、弥补了文克尔模型不能扩散应力和变形的缺陷； 2、形式简单，便于应用。
柔度矩阵的柔度系数fij ——在网格 j 处作用的单位 竖向集中力，而在网格 i 处中点引起的竖向位移； 柔度系数 fii ——在网格 i 处作用的单位竖向集中力， 而在本网格 i 中点引起的竖向位移。
二．
地基柔度矩阵和地基刚度矩阵的物理意义 1、不同的地基模型，具有不同的柔度矩阵和刚 度矩阵；
2、地基柔度矩阵的刚度矩阵反映了不同类型的 地基在外力作用下的界面位移特征。
用柔度法求自振频率的特征方程
用柔度法求自振频率的特征方程柔度法是一种常用于求解振动系统特征方程的数学方法，特别适用于复杂振动系统的分析。
它基于以下假设：假设系统中每个质点在振动过程中沿确定的路径运动，即假设振动系统具有刚度和柔度的特性。
为了求解自振频率的特征方程，我们首先需要了解柔度法的基本原理。
1.自振频率的定义：自振频率是指振动系统在没有外力作用下，满足振动条件的特征频率。
通常用ω表示自振频率，它是振动系统的固有频率。
2.振动系统的一般方程：假设振动系统中有n个质点，每个质点的位移分别用qi表示，那么振动系统的一般方程可以表示为：Mq''+Kq=0其中，M是一个n×n的质量矩阵，K是一个n×n的刚度矩阵，q''表示二阶导数的向量，q表示位移的向量。
柔度法的基本思想是将振动系统的一般方程进行变换，通过将质量矩阵和刚度矩阵分解为柔度矩阵和刚度矩阵，将复杂的振动系统简化为一系列独立的质点振动问题。
接下来，我们将重点讨论如何使用柔度法求解自振频率的特征方程。
（1）质量矩阵的求解：首先，我们需要求解振动系统的质量矩阵M。
质量矩阵M的元素可以表示为：mi,j=∫ViρdV其中，Vi表示第i个质点的体积，ρ表示质点的密度。
根据振动系统的具体几何形状，可以通过适当的变换和假设计算出质量矩阵M的具体形式。
（2）刚度矩阵的求解：接下来，我们需要求解振动系统的刚度矩阵K。
刚度矩阵K的元素可以表示为：ki,j=∫Vi(∇φi·∇φj)dV其中，Vi表示第i个质点的体积，φi表示第i个质点的形变，∇φi表示形变的梯度。
通过适当的变换和假设，可以计算出刚度矩阵K 的具体形式。
（3）柔度矩阵的求解：在求解柔度矩阵之前，我们需要选取合适的柔度形函数。
柔度形函数是用于描述振动系统中各个质点振动形态的函数。
常用的柔度形函数有自然形函数、调和形函数等。
选择柔度形函数时，需要根据振动系统的几何形状和边界条件进行合理选择。
多自由度振动体系的刚度矩阵和柔度矩阵的关系 -回复
多自由度振动体系的刚度矩阵和柔度矩阵的关系-回复多自由度振动体系的刚度矩阵和柔度矩阵是描述振动体系力学特性的重要参数。
它们之间存在着紧密的关系，其互为逆矩阵。
本文将从多自由度振动体系的概念入手，介绍刚度矩阵和柔度矩阵的定义与性质，然后详细阐述它们之间的关系，并给出相关数学推导。
一、多自由度振动体系的概念多自由度振动体系是指具有多个可以相互独立振动的自由度的振动系统。
它可以用于描述如建筑物、桥梁、机械系统等复杂结构的振动问题。
二、刚度矩阵的定义与性质刚度矩阵描述了振动体系中力与位移之间的关系。
设振动体系有n个自由度，其刚度矩阵为K，其元素表示为第i个自由度与第j个自由度之间的刚度系数ki,j。
刚度矩阵是一个n×n的方阵。
刚度矩阵的性质如下：1. 对称性：即ki,j = kj,i。
这是因为刚度系数符合力的平行四边形法则，按照这个法则可以证明刚度矩阵是对称矩阵。
2. 非负定性：刚度矩阵的特征值大于等于0。
三、柔度矩阵的定义与性质柔度矩阵描述了振动体系中位移与力之间的关系。
与刚度矩阵类似，设振动体系有n个自由度，其柔度矩阵为C，其元素表示为第i个自由度与第j个自由度之间的柔度系数ci,j。
柔度矩阵也是一个n×n的方阵。
柔度矩阵的性质如下：1. 对称性：即ci,j = cj,i。
这是因为柔度系数符合位移的平行四边形法则，按照这个法则可以证明柔度矩阵是对称矩阵。
2. 非负定性：柔度矩阵的特征值大于等于0。
四、刚度矩阵和柔度矩阵的关系刚度矩阵和柔度矩阵是互为逆矩阵的关系。
具体而言，如果K为一个振动体系的刚度矩阵，C为其柔度矩阵，那么有以下关系：K⋅C = C⋅K = I其中，I为n阶单位矩阵。
这个关系可以用数学方法进行证明。
5. 数学推导假设存在一个振动体系的柔度矩阵C和刚度矩阵K，满足K⋅C = C⋅K = I。
我们可以通过以下推导得到这个关系：设A = K⋅C，B = C⋅K。
对于矩阵A，其第i行第j列的元素可以表示为：A[i][j] = ∑(K[i][k]⋅C[k][j])，其中k为1到n的取值范围。
(完整word版)结构动力学B-武汉理工大学网络教育学院
、下图所示体系不计杆件的轴向变形，体系的动力自由度数目是 。
、无阻尼单自由度体系的频率与体系约束有关，结构的约束越刚强，则频率 。
的影响很大，对 的影响极小。
=β 。
二、判断以下说法是否正确，对错误的说法加以改正。
（5×3分=15分）1、动力系数与动荷载有关，与结构本身无关。
（ ）2、结构受强迫振动时为避免共振，应设法使结构的固有频率远离外干扰频率。
（ ）3、多自由度体系能否按某一振型作自由振动由初始条件决定。
（ ）4、在多层框架结构中如果顶部质量和刚度突然变大，就会产生鞭梢效应。
（ ）5、用能量法近似计算固有频率时，所得结果与真实值相比总是偏低。
（ ）三、选择题。
（5×3分=15分）1、单自由度体系自由振动的振幅取决于（ ）A 、初位移B 、初速度C 、初位移、初速度与质量D 、初位移、初速度与结构自振频率2、一单自由度体系，由初始位移cm 685.0，初始速度为零产生自由振动，振动一个周期后位移为cm 5.0，则体系的阻尼比为（ ）A 、05.0=ξB 、1.0=ξC 、15.0=ξD 、2.0=ξ3、右图体系频率为ω，当ωθ>>时质点动位移幅值（ ）A 、无穷大B 、很大C 、很小D 、等于静位移st y4、下图示三个主振型形状及其相应的圆频率ω，三个频率的关系应为（ ）A 、c b a ωωω<<B 、a c b ωωω<<C 、b a c ωωω<<D 、c b a ωωω>>(a)(b)(c)ωa ωb ωc5、多自由度体系的刚度矩阵和柔度矩阵的关系为（ ）A 、ii ii k δ1=B 、ij ij k δ1=C 、ij ij k δ=D 、1][][-=δKkN 20=，s /801=θ，kg m 300=，3/48l EI k =。
试求（1）无阻尼（25分）五、求图示刚架的自振频率和主振型，并画出振型图。
刚度矩阵和柔度矩阵的关系
刚度矩阵和柔度矩阵的关系
嘿，咱来讲讲刚度矩阵和柔度矩阵的关系哈！你想想啊，刚度矩阵就像是一个特别强硬的家伙，它决定了结构抵抗变形的能力，比如说一根坚硬的钢梁（钢梁可硬啦，很难让它变形）。
而柔度矩阵呢，就像是刚度矩阵的“反面角色”，它反映的是结构在单位力作用下产生变形的难易程度，好比是一根很容易弯曲的绳子（轻轻一拉，绳子就变形啦）。
刚度矩阵和柔度矩阵可不就是一对欢喜冤家嘛！它们相互关联，互为倒数呢！这就好比是白天和黑夜，虽然不一样，但谁也离不开谁呀！你说神奇不神奇？刚度矩阵越强，那柔度矩阵就会越弱呀，反之亦然。
就像大力士很难被推动（大力士就是刚度矩阵强），而面条就很容易被摆弄（面条就类似柔度矩阵大）。
所以啊，刚度矩阵和柔度矩阵这两者的关系可太重要啦，我们在研究结构的力学行为时可得把它们搞清楚呢！你现在是不是对它们的关系更明白啦？。
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~ 为任意非零向量时， 和 称为正定矩阵， 当{v}或{P}为任意非零向量时，[k]和 [f ] 称为正定矩阵，正定 或 为任意非零向量时
矩阵是非奇异矩阵，可以求逆。 矩阵是非奇异矩阵，可以求逆。 因此，柔度矩阵和刚度矩阵是非奇异矩阵，可以求逆。 因此，柔度矩阵和刚度矩阵是非奇异矩阵，可以求逆。 并左乘{f 等式两边， 对[k]求[k ] -1，并左乘 S}=[k]{v}等式两边，得: 求 等式两边
{v} [k ]{v} > 0和 {P} [ f ]{P} > 0
[ k ] { —柔度矩阵是刚度矩阵的逆矩阵。 柔度矩阵是刚度矩阵的逆矩阵。 所以 [k ] 柔度矩阵是刚度矩阵的逆矩阵 实际中， 实际中，求刚度矩阵直接由求位移的方法计算刚度系数较 最方便的方法：直接计算柔度系数和对柔度矩阵求逆。 繁，最方便的方法：直接计算柔度系数和对柔度矩阵求逆。
1 T ~ U = {P} [ f }{P} 2 转置(11-6)式，并注意到 { f S } = [ k ]{v} 又：{P} ={ f S } 转置 式
同时，任何变形过程， 同时，任何变形过程，在稳定结构中所贮存的应变能永远是 正的。所以有： 正的。所以有： T T ~
1 T 得出应变能的第二个表达式： U = {v} [k ]{v} 得出应变能的第二个表达式： 2
~ =[ f ]
{v} = [ fɶ ][ fs ]
3. 结构的基本概念： 结构的基本概念：
(1) 应变能
以柔度或刚度矩阵可以方便地表达任一结构中所贮存 的应变能。 应变能U等于使体系变形所做的功 等于使体系变形所做的功， 的应变能。 应变能 等于使体系变形所做的功，即：
1 N 1 T U = ∑ Pi vi = {P} {v} (11(11-6) 2 i =1 2 ~ T为{P}的转置矩阵，将 {v} = [ f ]{P} {P} 的转置矩阵， 的转置矩阵 代入得： 代入得：