任意摆角单摆运动周期的一个近似公式

被积函数的一 种 特 殊 情 况 而 推 导 出 的 ! 虽 然 似 乎 出于一种巧合， 但可作为一种思路， 来解决类似的 问题 ! "）该公式与精确解符合得很好 ! 不足之处是 稍嫌繁琐 （因为 要 涉 及 三 角 函 数 及 对 数 的 计 算） ， 但利用一般的计算器， 该问题可容易解决 !
! 的比值也可看出 ! < 公式的小角度条 !<
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鞠衍清：任意摆角单摆运动周期的一个近似公式
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从而得到单摆运动周期的一个新的近似公式 （(） ! " !" （ (） 9’ ( # $ （:）
由于此微 分 方 程 涉 及 到 第 一 类 椭 圆 积 分， 难
［=］ 件 （从 > ,567*,5&8, 的计算结 果 和 图 ; 可 看 出，
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参考文献： ［ 3 ］ >,-&)/ ! (2,..&8,2 @A/,*&8.［ > ］ ! B74 C)-D ： E8,@7*&8 3=9$ ! F-7..， ［" ］ 宣 立 新 ! 高 等 数 学［ > ］ 高 等 教 育 出 版 社， ! 北 京： 3=== ! （ G1,/ H G ! I&’67- *,567*,5&8.［ > ］ ! J7&K&/’ ： I&’67L@18,5&)/ F-7..， 3=== ! ） ［; ］ 贾玉 润， 王 公 治， 凌 佩 玲 ! 大 学 物 理 实 验［ > ］ ! 上 海： 复旦大学出版社， 3=M: ! （ N&, C O ， P,/’ Q R ， H&/’ F H ! ()227’7 +6A.&8. 7S+7-&T ! U6,/’6,&： %1@,/ V /&W7-.&5A F-7..， 3=M: ! ） *7/5.［ > ］ ［ # ］ > )2&/, > X ! Y 67 2&/7,-&Z,5&)/ )0 567 .&*+27 +7/@121* （"） ： ! F6A.&8. Y7,867- ， 3==: #M= 0)- ,/A ,*+2&51@7［ N ］ [ #=< ! ［$ ］ 刘怀宜 ! 求单 摆 运 动 周 期 的 一 种 近 似 解 法［ N ］ ! 大学 （3） ： 物理， 3==# ;M [ #< ! （ H&1 I C ! E/ ,881-,57 +7-&)@ 0)-*12, )0 , .&*+27 +7/T （3） ： ! ()227’7 F6A.&8.， 3==# ;M [ #< ! ） @121*［ N］ 北 京： 电 子 工 业 出 版 社， ［9 ］ 李 桂 成 ! 计 算 方 法［ > ］ ! "<<$ ! （ H& Q ( ! ()*+15&/’ *756)@［ > ］ ! J7&K&/’ ： F1\2&.6&/’ ， I)1.7 )0 L2785-)/&8. X/@1.5-A "<<$ ! ） ［ : ］ 孙树林 ! 计算方法［ > ］ 中 国 矿 业 大 学 出 版 社， ! 徐 州： 3==M ! （ U1/ U H ! ()*+15&/’ *756)@［ > ］ ! G1Z6)1 ： (6&/, V /&T 3==M ! ） W7-.&5A )0 >&/&/’ ,/@ Y786/)2)’A F-7..， 电子工业 ［ M ］ 徐安农 ! >,567*,5&8, 数学实 验［ > ］ ! 北 京： 出版社， "<<# ! （ G1 E B ! >,567*,5&8 7S+7-&*7/5. 4&56 *,567*,5&8, ［ >］ ! J7&K&/’ ： I&’67- L@18,5&)/ F-7..， "<<# ! ） ［= ］ 张兆奎 ! 大学物理实验［ > ］ 北 京： 高 等 教 育 出 版 社， ! "<<< ! （ R6,/’ R ] ! ()227’7 +6A.&8. 7S+7-&*7/5.［ > ］ ! J7&K&/’ ： I&’67- L@18,5&)/ F-7..， "<<< ! ） （责任编辑： 吉海涛 英文审校： 姜 伟）
图% R2< & %
单摆运动
5 E21>L0 >09CKLK1
但是， 当摆角较大时 （一 般 认 为 大 于 *) 时 ） ， 该公式便不 适用了， 因为 E29 ! ! ! 已不再 成 立 ’ ［%］ 此时单摆的振动周期必须 用方 程 （ % ）的 精 确 解 式 （ ( ）表示 ’
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函数， 而 且 呈 波 浪 状 $ 利 用 该 曲 线 的 这 一 特 殊 性，
［, ， -］ 可采 用 线 性 插 值 的 方 法 ， 用一条直线来替代
它 $该直线即为通过点 （" ， （ !， $ ）及 点 $ # %! ） ! " 的直线 （ ’ !， "" ） ! （ ’ !， "" ） " $ # （ $ # #） ! !
( ! %&’ ［!］ "） #? "（ !" "
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函数 （ 的变化曲线 %） & !， 23456 /7 73’.8&/’ （ %） & !，
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为此， 式 （(） 可进行近似积分
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（ (） #! ! 9’ " ! ! ( # $ " $ # （$ # ( ） 万方数据 ! !
的方法， 并通过图示来将其与精确解进行比较 )
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推导过程
在公 式 （ ( ）中， 积分的难点在于被积函数中
! ）区 间 对 式 利用 ; <8=6><8&.< 软 件 在 （" ， ! ! ［?］ （ ( ）每隔 $) 计 算 一 次 积 分 ， 共 求 出 @" 个 的 !" 值 $ 计算的运算精度可设得很高 （本文取到 $" # @ ） ， 然后利用曲线拟 合， 便可给出十分精确的单摆周 期随摆角变化的曲线 $ 在同 一 坐 标 中， 同时给出公式 （:） 的 曲 线， 见 图 ()
!— 摆角； # ! — 角加速度 ’
此微分方程难以求解， 因此在一般情况下， 本 文只讨论在摆角很小时， 利 用 E29 ! ! ! 的 近 似， 将单摆作为一种 简 谐 振 动 来 研 究， 并可得出此时 单摆的振动周期为 ( " $ !!
收稿日期：!""# $ "% $ %# & 基金项目：辽宁省教育厅青年基金资助项目 （ !""’"%() ） & 作者简介：鞠衍清 （ %)#* $ ） ， 男， 辽宁丹东人， 硕士， 副教授， 主要从事大学物理的教学与研究 &
!""#$%&’()* "*#&$+ ,$#’-.( $, /&’".* "*0+-.-’ ,$# (01 (’".&)-+*
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! ）区 间 内 的 任 何 摆 相比 之 下 可 看 出 在 （" ， ! 角， 本文得出的公式近似程度是相当好的 $
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$）本文 提 出 的 公 式 是 利 用 了 椭 圆 积 分 中 的
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第 "M 卷
任意摆角单摆运动周期的一个近似公式
鞠衍清
（辽东学院 科研处，辽宁 丹东 %%+""( ）
摘
要：利用线性插值的方法， 提出了在一个任意摆角条件下的单摆运动周期的近似公式 & 同时利
用 ,-./01-.23- 软件， 对在不同摆 角 下 的 单 摆 振 动 周 期 进 行 了 精 确 计 算， 并绘制出了精确解的曲 线 & 将推导出的近似公式与该精确解及其他近似公式进行了 对 比 & 结 果 表 明： 该近似公式的推导为 解决类似问题提供了一个较好的思路， 其结果与精确解也符 合 得 很 好 & 而 且， 从推导过程得出的图 像中可比较直观地看出单摆作简谐振动所需的小角度条件 & 关 键 词：单摆；简谐振动；周期；,-./01-.23- 软件；线性插值 文献标识码：5 中图分类号：4 (%!
［!］ 以求解 ， 使用起 来 很 不 便 ) 为 此， 一些文献利用 ［( * +］ 各不相 同 的 方 法， 给出了多种近似公式 )其
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ห้องสมุดไป่ตู้
与精确解及其它近似公式的比较
该近似公式与精确解的比较 为考察式 （:） 的精确程度， 可以通过数值计算
中不乏比较精确的， 但也有精度稍微差一些的 ) 本 文试图从另外一个角度提出一个新的近似公式 )
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图(
公式 （:） 与精确解的比较
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从图 ( 中 可 看 出， 式 （ : ）与 精 确 解 符 合 得 很 好 （图中实线为精确解， 虚曲线为近似解） $ !"! 同其它近似公式的比较 为同现 有 文 献 给 出 的 几 种 近 似 公 式 加 以 比 较， 本文采用上述相同的方法， 同样给出这些公式 与精确解的比较曲线， 见图 : * , $ 其中包括 ! "! ［ ! ］ ） "（$ + !" $,
分母的处理， 因为它不是一个简单函数 $ 如果能找 ! 范围内的某个简单函数与该函 到一个 在 " ， ! 数比较接近， 则该积分便可方便地求出 $ 为此研究
[
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" 一下该函 数， 为 方 便 计， 本 文 令 % " %&’（ " ）及 !
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（ 对于 % ） " "$ # % ! %&’!! $ 从 图 ! 可 看 出， & !， ! 范围内 的 不 同 的 ， "， % ）是 一 个 平 滑 & !， "" （ !