半群与群
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第九章半群与群（Semigroups and Groups）本章讨论含一个二元运算的特殊的代数系统――半群与群。群论近世代数中发展最早、内容最丰富、应用最广泛的部分，也是建立其他代数系统的基础。群论在自动机政论、形式语言，语法分析快速加法器设计、纠错码制定等方面均有卓有成效的应用。
2－1 半群与含幺半群
定义2－1.1 满足结合律的代数系统U=
例2－1.1
+,+>和<2I
+
,×>都是半群。
例2－1.2 m ,+ m >和 m ,× m >都是半群。 例2－1.3 2(I),+>和 2 (I),·>都是半群。 定义2－1.2含幺元e的半群U= 在例2－1.1～例2－1.3中，除<2I +,+>和<2I + ,×>外都是含幺半群。 例2－1.4 设S是任意非空集合，则 例2－1.5在形式语言中，我们常称非空有限字符集合为字母表。字母表中字符的n重序元称为字符串，由m个字符所组成的字符串称为长度为m 的字符串。长度为0的字符串称为空串，用来表示。如对V={a,b}, =aa 和β=ab都是长度为2的字符串；γ=aab和δ=bab都是长度为3的字符串。我们用*来表示两个字符串的邻接运算，如,α*δ=aabab,α*γ=aaaab。 设用V*表示字母表V的所有有限长度字符串的集合，而用V+表示V*-{ }，则显然 定义2－1.3对运算满足交换律的半群（含幺半群）称为交换半群（交换含幺半群）。 在例2－1.1～例2－1.3中，除 2(I),·>外都是交换半群，除 2 (I),·>， <2I +,+>和<2I + ,×>外都是交换含幺半群。 例2－1.4的含幺半群也都是交换含幺半群。 定义2－1.4设 + ,(n∈N)，则称 注意在含幺半群中，我们规定任意元素的零次幂为幺元。 例2－1.6 <2I + ,+>=<2>是循环半群。 例2－1.7 <{i,-1,-i,1},×>==<-i>, 4,+ 4 >=和<{1,2,3,4},× 5 >=<2>=<3>都是循环含幺半群。 可见循环半群（循环含幺半群）的生成元不一定是唯一的，但它们一定是可交换的。 定理2－1.1两个半群（含幺半群）的积代数是半群（含幺半群）。 证明设 任意三个元素 1,t 1 > 2 ,t 2 >和 3 ,t 3 >，因为( 1 ,t 1 > 2 ,t 2 >) 3 ,t 3 > =<(s 1*s 2 )*s 3 ,(t 1 t 2 ) t 3 >= 1 *(s 2 *s 3 ),t 1 (t 2 t 3 )>= 1 *t 1 > ( 2 ,t 2 > 3 ,t 3 >) 故 设 s 和e T ，则显然 s ,e T > 是半群 2－2 子半群与子含幺半群 子含幺半群的概念是子代数系统概念在（含幺）半群这种代数系统中的具体体现。 定义2－2.1 设 定义2－2.2 设 易知子半群必是半群；子含幺半群必是含幺半群。 例2－2.1对任意正整数m， 例2－2.2 设集合S={e,0,1}，若在S中规定二元运算*（见表2－2.1）， * e 0 1 e e 0 1 00 0 0 1 1 0 1 表2－2.1 则 定理2－2.1 设T是可交换含幺半群 证明因e2=e，故e∈T，即T非空。又对T中任意元素a和b，因 (a*b)2=(a*b)*(a*b)=a*(b*a)*b=a*(a*b)*b=(a*a)*(b*b)=a2*b2=a*b 故a*b∈T。这就证明了 2－3 半群与含幺半群的同态和同构 本节中，将把代数系统运用的同态与同构的概念应用于半群（含幺半群），有关定义与性质，几乎是代数系统部分的平行照搬。 定义2-3.1 设U= f(a*b)=f(a) f(b) 则称f是U到V的一个半群同态（满同态，单同态，同构）映射或简称同态（满同态，单同态，同构）。 特别U到U（上）的同态（同构）f称为U的自同态（自同构）。 定义2－3.2 若半群U= 定义2－3.3设U= T >是两个含幺半群。若存在映射（满射，单射，双射）f: S→T，对S中任意元素a和b，有 f(a*b)=f(a) f(b) f(e s )=e T 则称f是U到V的一个含幺半群同态（满同态，单同态，同构）映射或简称同态（满同态，单同态，同构）。 特别U到U（上）的同态（同构）f称为U的自同态（自同构）。 定义2－3.4若含幺半群U= s >到V= T >存在一个满同态（同 构），则称U同态（同构）于V，记作U～V(U≅V)。 例2－3.1 我们已知例2－1.1中的U= 是半群U到V U到V的同态。