线代习题

n ( n − 1) ⎞ ⎛ ⎟ ⎜1 n 2 ⎟ ⎜ 4． ⎜ 0 1 n ⎟ ；提示：用数学归纳法。 0 0 1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎠ ⎝
⎛0 2 1⎞ 5. B = A − A−1 = ⎜ 0 0 0 ⎟ ⎜0 0 0⎟ ⎝ ⎠
⎛ ⎜ 1 ⎜ 1 6 ． ⎜− ⎜ 2 0 ⎜ ⎜ ⎝ 1 ⎞ 0 2 ⎟ ⎟ ⎛ 0 − 2 0⎞ 1 0⎟ ； ⎜ 2 0 0⎟ ⎜ 0 0 1⎟ ⎟ ⎝ ⎠ 0 2⎟ ⎟ ⎠
E 0 ， 可 求 得 x = x = 1 [( A + B) −1 + ( A − B) −1 ] ， 及 x = x = =⎛ ⎟ ⎜ 0 E⎞ 1 4 2 3 ⎠ ⎝ 2 1 [( A + B ) −1 − ( A − B ) −1 ] 。 2
三.计算题： 1．当 a = −8 ， b = −2 时， r ( A) = 2 ；当 a = −8 ， b ≠ −2 时， r ( A) = 3 ； 当 a ≠ −8 ， b = −2 时， r ( A) = 3 ；当 a ≠ −8 ， b ≠ −2 时， r ( A) = 4 。 四、证明题 1．提示： A − B 2 = A + B T B 。 2．提示：由题设可得 A 2 B + ABA = A 及 ABA + BA 2 = A ，两式相减，有
= 2( E + A) −1 。
1 ⎛ ( A + B ) −1 + ( A − B ) − 1 3． ⎜ −1 −1 2⎜ ⎝ ( A + B) − ( A − B) ( A + B ) −1 − ( A − B ) −1 ⎞ A B ⎛ x1 x2 ⎞ ⎟； 提示： 设⎛ ⎟⎜ ⎜ B A⎞ ⎟ −1 −1 ⎟ ⎠⎝ x 3 x 4 ⎠ ⎝ ( A + B) + ( A − B) ⎠
） 。
3．下述命题中正确的是（ (A)
） 。
若 A2 = A ，则 A = 0 或 A = E ；
(B)若 A 2 = 0 ，则 A = 0 ； (C) 若 A 为对称阵，则 A 2 也为对称阵； (D) 对任意的 n 阶方阵 A, B ，均有 ( A − B)( A + B) = A 2 − B 2 。
（C） a1 = a4 = 0, b2 = −b3 ； （D） b1 = b4 = 0, a2 = a3 , b2 = −b3
1
5. 下列矩阵中为初等矩阵的是〔
⎛1 0 0⎞ ⎟ (A) ⎜ ⎜ 0 1 3⎟ ⎜0 0 1⎟ ⎝ ⎠ ⎛0 1 0⎞ ⎟ (C) ⎜ ⎜0 0 1⎟ ⎜1 0 0⎟ ⎝ ⎠ ⎛2 0 0⎞ ⎟ (B) ⎜ ⎜ 0 2 2⎟ ⎜ 0 0 2⎟ ⎝ ⎠ ⎛0 0 1⎞ ⎟ (D) ⎜ ⎜ 0 1 3⎟ ⎜1 0 0⎟ ⎝ ⎠
A −1 0 ⎞ ； ⎛ A−1 − A−1CB −1 ⎞ ； ⎛ − B −1CA−1 B −1 ⎞ . 10． ⎛ ⎟ ⎜ ⎜ − B −1CA−1 B −1 ⎟ ⎜ 0 B −1 A−1 0 ⎟ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝
8
⎛ 1 0 0⎞ ⎜ ⎟ 11. a ≠ 0, b + c = 0; ⎜ 0 1 0 ⎟ . ⎜ 0 0 0⎟ ⎝ ⎠
（A）A −1 + B −1 （B）A + B
2．下列命题中正确的是（
） 。
（A）若 A, B 均为 n 阶可逆方阵，则 A + B 必可逆； （B）若 A, B 均为 n 阶可逆方阵，则 B −1 AT 必可逆； （C）若 A, B 均为 n 阶不可逆方阵，则 A + B 必不可逆； （D）若 AB = E ，则 A 可逆，且 A −1 = B 。
⎛1 0 0⎞ P2 = ⎜ 0 1 0 ⎟ ，则有（ ⎜1 0 1⎟ ⎝ ⎠
2
） 。
（A）AP1 P2 = B , （B）AP2 P1 = B , （C）P1 P2 A = B , （D）P2 P1 A = B
B 类题
1．若 A ， B ， A + B ， A −1 ± B −1 均为 n 阶可逆方阵，则 ( A−1 + B −1 ) −1 = （ ） ， ( A −1 − B −1 ) −1 = （ ） 。 （C）B ( A + B) −1 A （D）B ( B − A) −1 A
， f ( A) = 。
3．已知 AP = PB ，其中 B = ⎜ 0 ⎜
⎝
⎛1
⎞ ⎛ 1 0 0⎞ ⎟ ， P = ⎜ 2 − 1 0 ⎟ ，则 A = ⎟ ⎜ 2 1 1⎟ − 1⎠ ⎝ ⎠
，
A5 =
。
⎛1 1 0⎞ 4．设 A = ⎜ 0 1 1 ⎟ ，则 An = ⎜0 0 1⎟ ⎝ ⎠
。
； 提 示 ： ( A − E )( B − E ) = E 。
⎛ 3 − 8 − 6⎞ 1 7． ⎜ 2 − 9 − 6 ⎟ 8． ( 2 E − A) 。 ⎜ − 2 12 9 ⎟ 2 ⎝ ⎠
⎛2 ⎜3 ⎜ 9． ⎜ 0 ⎜0 ⎜0 ⎝ 3 6 0 0 0 0 0 1 4 0 0 0 0 0 3 7 0⎞ 0⎟ ⎟ 0⎟ 2⎟ 5⎟ ⎠
⎛ a + ib1 4．设 A = ⎜ 1 ⎝ a3 + ib3
a2 + ib2 ⎞ ⎟ 是复矩阵， ai , bi (i = 1, 2,3, 4) 是实数，则 a4 + ib4 ⎠
A 是 Hermite 矩阵，当且仅当
(A)
a1 = a4 = b2 = b3 = 0 ， (B)
b1 = b4 = 0, a2 = a3 , b2 = b3
AC =
5 ⎞ ，C = ⎛ 6 3 ⎞ 。则 AB = ⎜1 2⎟ 3⎟ ⎠ ⎝ ⎠ 。
， BA =
，
， 2 AB − 3 A 2 =
⎛1 0 1⎞ 2 ． 设 A = ⎜ 0 2 0 ⎟ ， f ( x) = x n − 2 x n −1 + 1 ， 而 n ≥ 2 为 整 数 ， 则 ⎜1 0 1⎟ ⎝ ⎠ A n − 2 A n −1 =
L L O L L
0 0 M 1 0
1 0 M 0 0
2x 2. f ( x ) = 1 3 1
3．若 A 是反对称阵，则 A n （
） 。
（A）不是反对称阵就是对称阵，二者必居其一； （B）必为反对称阵； （C）必为对称阵； （D）既不是反对称阵，也不是对称阵。
3
二、填空题：
教务处
2006.05.18 A 类题
1 − 2 ，B = ⎛ 2 1．设 A = ⎛ ⎜0 0 ⎞ ⎟ ⎜−1 ⎝ ⎠ ⎝
〕.
6. 设 A 为可逆矩阵，则（ （A）若 AB = CB ，则 A = C ,
） 。
（B） A 总可经过初等行变换化为 E , （C）对矩阵 ( A E ) 施行若干次初等变换，当 A 变为 E 时， E 相应地 变为 A −1 ,
⎛ A⎞ (D)对矩阵 ⎜ ⎜E⎟ ⎟ 施行若干次初等变换，当 A 变为 E 时， E 相应地变为 ⎝ ⎠ A −1 .
7
二、填空题： A 类题
4 − 1 ； ⎛ 2 − 4 ⎞ ； ⎛ 4 − 1⎞ ； ⎛ 5 4 ⎞ ； 1． ⎛ ⎜0 0 ⎞ ⎟ ⎜ −1 2 ⎟ ⎜ 0 0 ⎟ ⎜0 0⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2． 0；提示： A 2 = 2 A 。
⎛1 0 0 ⎞ 3． ⎜ 2 0 0 ⎟ ； A 。 ⎜ 6 − 1 − 1⎟ ⎝ ⎠
提示与答案
一． A 类题 选择题： 1. D 2. C, 3. C, 4. D, 5. A， 6. B, 7. D
B 类 题 1 C ； D ； 提 示 ： A −1 ± B −1 = A −1 ( B ± A) B −1 ,2. B ； 提 示 ：
1 0⎞ 1 0 1 0 0 ⎛ n T T n n n n ⎛ 0 1⎟ = ⎛ ⎜0 1 0⎞ ⎟⎜ ⎜0 1⎞ ⎟ 。3. A；提示： ( A ) = ( A ) = (− A) = (−1) A . ⎟ ⎝ ⎠⎜ ⎝ ⎠ ⎝0 0⎠
⎛ a21 ⎛ a11 a12 a13 ⎞ ⎜ ⎟ 7 ． 若 A = a21 a22 a23 ， B = ⎜ ⎜ a11 ⎜ ⎟ ⎜a + a a a a ⎝ 31 32 33 ⎠ ⎝ 31 21
a22 a12 a32 + a22
⎞ ⎟ a13 ⎟ ， a33 + a23 ⎟ ⎠ a23
⎛0 1 0⎞ P1 = ⎜ 1 0 0 ⎟ ， ⎜0 0 1⎟ ⎝ ⎠
−1
。
三Hale Waihona Puke Baidu计算题
⎛1 ⎜ 1． 求矩阵 A = ⎜ 2 3 ⎜1 ⎝
1 1 2 −1
−2 −6 a −6
3 4 7 −1
0⎞ − 1⎟ 的秩。 − 1⎟ b⎟ ⎠
四、证明题： 1． 已知 A 是 n 阶对称阵， B 是 n 阶反对称阵，证明： A − B 2 是对称 阵。 2． 若 A, B 均为 n 阶方阵， AB + BA = E ，证明： A 3 B + BA 3 = A 2 。
北京科技大学
数力系
第一章 矩阵
一、选择题：
A 类题 1．设 n 阶方阵 A, B, C 满足 ABC = E ，则必有（ （A） ACB = E （B） CBA = E （C） BAC = E ） 。 （D） BCA = E 。
2．若 A, B 均为 n 阶方阵，且满足 AB = 0 ，则必有（ （A） A = 0 或 B = 0 （C） A( A + B ) B = 0 (B） A + B = 0 （D） ( A + B) 2 = A2 + B 2
A 2 B = BA 2 。
9
第二章 行列式
一． 选择题：
A 类题 1．下列 n 阶行列式中，取值必为 − 1 的是（ ） 。
1 1
(A)
1 1
N
11 1 1 ， (B) OO ， 1 1 1 1
0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 (C) ，(D) M OO 0 O0 0 1 1 0
0 1 M 0 0
B 类题
⎛ 1 ⎜ 1． ⎜ −12 ⎜ 0 ⎝ ⎛ 1 ⎜ 1 2． ⎜ − 0 ⎜ 0 ⎝
0 1 −2 1 0 2 −2 0
0 0 1 −2 0 0 3 −3
0⎞ 0 ⎟ ；提示： (2C − B) AT = E ， A(2C − B) T = E 。 0⎟ 1⎟ ⎠ 0⎞ 0 ⎟ ；提示： E + B = ( E + A) −1 ( E + A) + ( E + A) −1 ( E − A) 0⎟ 4⎟ ⎠
4
⎛ 1 1 − 1⎞ 5．已知 A = ⎜ 0 1 1 ⎟ 且 A 2 − AB = E ，则 B = ⎜ 0 0 − 1⎟ ⎝ ⎠
。
⎛1 − 2 0⎞ 6 ． 已 知 AB − B = A ， 其 中 B = ⎜ 2 1 0 ⎟ ， 则 A = ⎜0 0 2⎟ ⎝ ⎠
，
( A − E )−1 =
为
，A 的相抵标准形为
。
B 类题
⎛1 ⎜ 1．设 (2 E − C B) A = C ，其中 B = ⎜ 0 0 ⎜0 ⎝
−1
T
−1
2 1 0 0
−3 2 1 0
。
− 2⎞ ⎛1 2 − 3 ⎟ ，C = ⎜ 0 1 ⎜0 0 2 ⎟ ⎜0 0 1 ⎟ ⎠ ⎝
0 2 1 0
1⎞ 0⎟ ， 2⎟ 1⎟ ⎠
。
A 0 10．若 A, B 均为可逆方阵，则 ⎛ ⎜C B ⎞ ⎟ = ⎝ ⎠
5
−1
；
AC = ⎛ ⎜ 0 B⎞ ⎟ ⎝ ⎠
−1
0 A = ；⎛ ⎜B C⎞ ⎟ ⎝ ⎠
−1
。
0 ⎞ ⎛1 1 ⎜ ⎟ 11. 若矩阵 A = ⎜ 0 a 0 ⎟ 的秩为 2，则 a, b, c 应满足的条件 ⎜0 0 b + c⎟ ⎝ ⎠
。
⎛ 4 2 3⎞ 7．设矩阵 A 和 B 满足关系式 AB = A + 2 B ，其中 A = ⎜ 1 1 0 ⎟ ，则 ⎜ −1 2 3 ⎟ ⎝ ⎠ B=
。
8．设 A 为 n 阶方阵， A 2 = A ，则 ( A + E ) −1 =
。
⎛ 2 −1 ⎞ ⎜ ⎟ 2 ⎜−1 ⎟ 3 ⎟ ，则 A −1 = 9．设矩阵 A = ⎜ 4 ⎜ ⎟ ⎜ 5 − 2⎟ ⎜ −7 3 ⎟ ⎝ ⎠
E 是 4 阶单位阵，则 A =
⎛ 1 ⎜ 2. 设 矩 阵 A = ⎜ −02 ⎜ 0 ⎝ ( E + B ) −1 =
。
0 3 −4 0
0 0 5 −6
0⎞ 0 ⎟ ， 且 B = ( E + A) −1 ( E − A) ， 则 0⎟ 7⎟ ⎠
6
A B = 3. 若 A ，B 为 n 阶方阵， 且 A + B ，A − B 均可逆， 则⎛ ⎜ B A⎞ ⎟ ⎝ ⎠