沪科版-数学-九年级上册-九上23.3巧用相似多边形的性质

巧用相似多边形的性质

相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，运用这两个性质解决实际问题时，一定要弄清他们的关系，并努力把实际问题与之联系，从而把实际问题简单化. 相似三角形的性质（1）回答了相似三角形中所有对应线段都构成比例的问题，这个性质为我们今后证明线段的比例式提供了极大的方便。性质（2）、（3）揭示了相似三角形的周长、面积与相似比的关系，利用它可以解决相似三角形中有关周长和面积的问题，这里要注意这些性质的灵活运用。如：两个相似三角形的相似比，等于它的周长比；也等于它们的面积比的算术平方根。

1、求边长

例1 一个多边形的边长分别为2，3，4，5，6，另一个多边形和这个多边形相似，其最短边长为6，则最长边长为 （ ）

A ．12

B ．18

C ．24

D ．30

思路与技巧 由相似多边形对应边成比例，设最长边为x.

∴x

662 ，∴2x=36,x=18. 答案 B

点评 本题根据相似多边形的对应边成比例的性质，第一个多边形的最短边与第二个多边形的最短边，第一个多边形的最长边与第二个多边形的最长边分别是对应边，切记不可将对应关系弄错。

2、求面积

例2 已知：如图，正方形ABCD 中，E 是AC 上一点，EF⊥AB 于F ，EG⊥AD 于G ，AB=6，AE∶EC=2∶1，

求S 四边形AFEG 。

思路与技巧 （1）四边形AFEG 是什么图形？为什么？

（2）AE∶EC 的值与哪两条线段的比相等？为什么？如何求出AF 的长？

（3）任意的两个正方形都相似吗？为什么？所有的矩形都相似吗？所有的菱形都相似吗？

解 ∵正方形ABCD ，EF⊥AB，EG⊥AD

∴EF∥CB，EG∥DC

∵∠1=∠2=45° ∴EF=AF

∵∠FAG=90°，∴AFEG 是正方形，

∴正方形ABCD∽正方形AFEG ，

∴S 正ABCD ∶S 正AFEG =AB 2∶AF 2

（相似多边形的面积比等于相似比的平方），

在△ABC 中，EF∥CB ∴AE∶EC=AF∶FB=2∶1，

又AB=6 ∴AF=4 ∴S 正ABCD ∶S 正AFEG =36∶16，

∴

.

点评 本题中的正方形是特殊的多边形，但在一般的多边形中，一定要注意对应关系。

（1）相似多边形的对应边的比，等于相似比的平方；

（2）所有的正方形都是相似的，此题中只须证出四边形AFEG 是正方形，即可得到它与正方形ABCD 相似

3、在生活中的应用

例3 暑假里，康子帮母亲到鱼店去买鱼，鱼店里有一种“竹夹鱼”，个个都长得非常相似，现有大小两种不同的价钱，如图所示，鱼长10cm 的每条10日元；鱼长13cm 的每条15日元.康子不知道买哪种更好些，你们看怎么办？

思路与技巧 设两条相似的鱼A ，B 的长分别为10cm 和13cm ，即B 对A 的长度之比为10

13

则体积之比为10

1333＝2.197，又B 对A 的价格之比为1015这里B 种鱼的体积是A 种鱼的体积的2.197倍，而价格只是1.5 倍，显然，买B 种鱼比买A 种鱼更划算.

点评 由相似形可知，两个相似图形的大小的比等于相似比，两个相似图形的面积的比是相似比的平方，而体积的比则应是相似比的立方.此题是判断两种鱼的体积之比，再看价格之比，决定买哪种鱼好.