离散数学1-6章练习题

离散数学练习题

第一章

一．填空

1.公式)()(q p q p ∧⌝∨⌝∧的成真赋值为 01；10

2.设p, r 为真命题，q, s 为假命题，则复合命题)()(s r q p →⌝↔→的真值为 0

3.公式)()()(q p q p q p ∧∨⌝∧↔⌝与共同的成真赋值为 01；10

4.设A 为任意的公式，B 为重言式，则B A ∨的类型为 重言式

5．设p, q 均为命题，在 不能同时为真 条件下，p 与q 的排斥也可以写成p 与q 的相容或。

二．将下列命题符合化 1.

7不是无理数是不对的。

解：)(p ⌝⌝，其中p:

7是无理数； 或p ，其中p:

7是无理数。

2.小刘既不怕吃苦，又很爱钻研。

解：其中,q p ∧⌝p: 小刘怕吃苦，q ：小刘很爱钻研

3.只有不怕困难，才能战胜困难。

解：p q ⌝→，其中p: 怕困难，q: 战胜困难

或q p ⌝→，其中p: 怕困难， q: 战胜困难

4.只要别人有困难，老王就帮助别人，除非困难解决了。

解：)(q p r →→⌝，其中p: 别人有困难，q:老王帮助别人 ，r: 困难解决了 或：q p r →∧⌝)(，其中p:别人有困难，q: 老王帮助别人，r: 困难解决了

5.整数n 是整数当且仅当n 能被2整除。

解：q p ↔，其中p: 整数n 是偶数，q: 整数n 能被2整除

三、求复合命题的真值

P ：2能整除5， q ：旧金山是美国的首都， r ：在中国一年分四季 1. ))(())((q p r r q p ∧→∧→∨

2.r q p p r p q ∧⌝∧⌝∨∨→→⌝)(())()(( 解：p, q 为假命题，r 为真命题

1.))(())((q p r r q p ∧→∧→∨的真值为0

2. r q p p r p q ∧⌝∧⌝∨∨→→⌝)(())()((的真值为1

四、判断推理是否正确 设x y 2=为实数，推理如下：

若y 在x=0可导，则y 在x=0连续。y 在x=0连续，所以y 在x=0可导。

解：x y 2=，x 为实数，令p: ｙ在ｘ=0可导，q: y 在x=0连续。P 为假命题，q 为真命题，推理符号化为：p q q p →∧→)(，由p ，q 得真值可知，推理的真值为0，所以推理不正确。

五、判断公式的类型

1，r q p q p p q ∨∧⌝∨∧→↔⌝)))()(()(( 2. )())((q r p q p ∧∧→⌝∧ 3. )()(r q r p ↔→⌝↔

由上表可知A 为重言式，B 为矛盾式，C 为可满足式。

第二章练习题

一．填空

1.设A 为含命题变项p, q, r 的重言式，则公式))((→∧∨q p A 的类型为 重言式

2.设B 为含命题变项p, q, r 的重言式，则公式))((→∧∨q p B 的类型为矛盾式

3.设p, q 为命题变项，则)(q p ↔⌝的成真赋值为 01 ；10

4．设p,q 为真命题，r, s 为假命题，则复合函数)()(s q r p →⌝↔↔的成真赋值为__0___ 5.矛盾式的主析取范式为___0_____

6.设公式A 为含命题变项p, q, r 又已知A 的主合取范式为M M M M

5320

∧∧∧则A

的主合取范式为

m m m m 7

6

4

1

∨∨∨

二、用等值演算法求公式的主析取范式或主合取范式 1.求公式)())((p q q p ⌝→⌝∨→⌝⌝的主合取范式。

解：

M q p q p q p q p p q q p 2

)()()())((⇔∨⌝⇔→⇔→∨→⇔⌝→⌝∨→⌝⌝

2.求公式)())()((p q q p q p →↔→∧∨的主析取范式，再由主析取范式求出主合取范式。 解：

M M M m q p q q p q p q p q q p q q p q q p q p p q q p q p 2

1030)()())(())(()()())()(()())()((∧∧⇔⇔∨∧⇔∧⌝∨⇔→→∧→→⇔→↔⇔→↔∨⌝∧∨⇔→↔→∧∨ 三、用其表达式求公式r q p ↔→)(的主析取范式。 解：真值表

由上表可知成真赋值为 001；011；100；111

四、将公式)(r q p →→化成与之等值且仅含[]∧⌝,中连接词的公式 解：)()()()(r q p r q p r q p r q p ⌝∧∧⌝⇔∨⌝∨⌝⇔∨⌝→⇔→→ 五、用主析取范式判断))(()()(q p q p q p ∧⌝∧∨↔⌝与是否等值。 解：

))

(()())(())(()()()()())()(())()(()(p q q p p q q p q p p q q p p q q p p q q p p q q p q p ∧⌝∧∨⇔⌝∧∨⌝∧⌝∧∨⇔⌝∧∨⌝∧⇔∨⌝⌝∨∨⌝⌝⇔∨⌝∧∨⌝⌝⇔→∧→⌝⇔↔⌝所以他们等值。

第四章 习题 一，填空题

1.设F(x): x 具有性质F ，G(x): x 具有性质G ，命题“对所有x 的而言，若x 具有性质F ，则x 具有性质G ”的符号化形式为 )()((x G x F x →∀

2.设F(x): x 具有性质F ，G(x): x 具有性质G ，命题“有的x 既有性质F ，又有性质G ”的符号化形式为 )()((x G x F x ∧∃

3. 设F(x): x 具有性质F ，G(y): y 具有性质G ，命题“对所有x 都有性质F ，则所有的y 都有性质G ”的符号化形式为 )()(y yG x xF ∀→∀

4. 设F(x): x 具有性质F ，G(y): y 具有性质G ，命题“若存在x 具有性质F ，则所有的y 都没有性质G ”的符号化形式为 )()(y G y x xF ⌝∀→∃

5.设A 为任意一阶逻辑公式，若A 中__不含自由出现的个体项_____,则称A 为封闭的公式。

6.在一阶逻辑中将命题符号化时，若没有指明个体域，则使用 全总 个体域。 二．在一阶逻辑中将下列命题符号化

1.所有的整数，不是负整数就是正整数，或是0。

解：))()()(()(x R x H x G x xF ∨∨→∀，其中x x F :)(是整数，

x x G :)(是负整数，x x H :)(是正整数，0:)(=x x R

2.有的实数是有理数，有的实数是无理数。

解：))()(())()((y H y F y x G x F x ∧∃∧∧∃，其中，x x F :)(是实数，x x G :)(是有理数，

y y H :)(是无理数