高阶非自治中立型差分方程的正解存在性
高阶中立型差分方程正解的存在性
高阶 中立型 差分方程正解 的存 在性
董文雷 汪 琦 付丽慧
河北石 家庄 ００４） ５ ０１ （ 家庄铁路职 业技术 学院 石
摘要 ：利用在集合上定义映射和不动点原理 ，讨论奇数 阶中立型差分方程 正解的存在性 。根 据 中立型项取值 的不 同情况，得 出相应方程 正解存在 的充分条件 。 关键词：中立型差分方程 正解存在性 最终正解 Ｂ ｎ ｃ ａａｈ空间
ｎ２
定理 ｌ ：假 设 条件 （ 成 立 ，如 果存 在 ）
１ ，使得
∑Ｓｍ （ ，Ｏ ＜０ （） ｓ … ） ｏ ２ｆ ， ｒ
并且对于任何ｎ ｏ ０ ， 口， ｉ １ ｋ ｎ ， ＝ ， 有 …，
（） ２
Ｉｎ ｌ ， ）ｆｎ ｌ ， Ｉｆｎ ， ，） ・ ｐ ｆ ｙ， ｆ ，， 一 （Ｖ… ） （ …Ｏ・ ｓ Ｉ～』 （ … Ｉ ，， ， ｒ ｋ ｕ Ｉ
选取
＞ｏ － 足够大，使得 ＋ — ａ ） ｎ ，并且有 ￣ ｆ ｒｎ＞ ｏ
１
。
ｓ２ ） （ｍ
≤
一
。
定Ｑ 口（口 ，ＱＥ一有闭子。义上映 义 ｛ ≤）， ｝ 是的个界凸集定Ｑ的射 ∈ ≤≥ 则
（ ） ｆ（，ｌ ｕ １ ｎ ， Ｄ∈Ｃ（ ｏｏ） Ｒ ， ： …， ［， × ｎ ｏ ）
（ ） ・ ｎ ， ） ０， ／ ｎ ， ２ ｆ（，ｌ …，Ｉ ． ， ｏ ／ ０， ｆ ， ｋ； ＝ｌ …，
（ ）当 ≠０ ， ｎ 一 ） ， ３ 时 ｆ（， ， ≠０ 且对每 一 个 ， ｆ是单 调 非减 的 。 我们 称 ｘｎ 为 方程 （） （） １ 的一 个最 终 正解 ，如 果存 在 Ｎ
ｌ
维普资讯
带强迫项的高阶中立型微分方程正解的存在性
带强迫项的高阶中立型微分方程正解的存在性带强迫项的高阶中立型微分方程正解的存在性：1. 什么是带强迫项的高阶中立型微分方程正解的存在性？带强迫项的高阶中立型微分方程正解的存在性是指求解（n+1）阶中立型微分方程组x'（t）=f（t，x1（t），x2（t），…，xn（t））（n>0）时，在某一定义域D中，当解x1（t），x2（t），…，xn（t）存在时，它们是满足某种约束关系的解的情况，且既要满足该中立型微分方程本身，也要满足该强迫项。
2. 带强迫项的高阶中立型微分方程存在性的分类（1）带线性强迫项的存在性：海伦-马歇尔存在定理，当中断式线性微分系统具有某一定义域D上的独立矩阵满足某些条件时，线性强迫项可以得到满足。
（2）带拉格朗日强迫项的存在性：拉格朗日正解存在定理指出，对于线性分析系统来说，存在一个带有独立拉格朗日变量的线性矩阵A，它的特征根具有某些性质，使得它的正解性质得以保证。
（3）带中立强迫项的存在性：中断式中立分析系统可以实现对状态变量的实时监测，其正解存在性可以通过一种叫做中断式中立分析系统（ICA）的数学方法进行分析和判断，ICA在某种意义上可以看作是带有特殊约束形式的中立强迫项。
3. 带强迫项的高阶中立型微分方程求解（1）数值解法：利用积分法、遗传系数法等进行数值求解。
（2）解析解法：利用拉格朗日乘数法、解析积分、数学归纳法等方法求解。
（3）特殊解法：利用偏微分方程的特殊解方法，例如平面坐标旋转换技术、模拟数据简化、解析技术等进行求解。
4. 带强迫项的高阶中立型微分方程正解的存在性及其求解方法的应用带强迫项的高阶中立型微分方程正解的存在性及其求解方法可以应用于灵敏度分析和最优设计。
例如，应用带线性强迫项的存在性，可以分析响应高增益系统；可以利用拉格朗日正解存在定理来优化某种仿真系统的特性；另外，可以应用带强迫项的高阶中立型微分方程求解方法来有效地对系统的演变和参数进行详细分析，以及使用特殊解法来求解带强迫项的高阶中立型微分方程。
非线性分数阶微分方程边值问题正解的存在性
非线性分数阶微分方程边值问题正解的存在性
非线性分数阶微分方程边值问题正解的存在性：
1、问题概述
非线性分数阶微分方程（nonlinear fractional differential equation）边值问题（boundary value problem）指定考虑函数在一定区域内满足一个分数阶微分方程系统以及该区域边界一些条件的问题。
它的研究与现实中相关的问题有很大的关联，拟和计算的精度主要取决于该正解的存在性和唯一性。
2、开展研究
由于非线性分数阶微分边值问题的存在性和唯一性的研究关系到研究的实际意义，因此，近年来，微分方程学家围绕该问题开展了深入探讨和研究。
根据数学技巧和研究结果，针对非线性分数阶微分边值问题，提出了一系列有效方法，形成一套完整的存在性理论，以帮助解决非线性分数阶微分边值问题。
3、理论研究
在理论研究中，研究者首先提出了分数阶系统周期或非周期微分边值问题的存在性，发现分数阶系统微分边值问题的存在性密切依赖于其边值条件的满足程度，并利用契约技术确定具体的边界条件。
研究者又进一步提出了重叠解和多重解的存在性，提出了不等式定理来证明其在有限区域内存在正解，以及足够条件以确定分数阶系统存在唯一正解，在研究遇到激烈反对的情况下，提出非线性的存在性，以帮助研究者准确直观地确定问题的解等。
一类非线性分数阶微分方程正解的存在性
(1)对于 ∀t,s ∈ [0,1],λ ≠k+1,有 G(0,s)=G(t,1)=0;
(2)对于 ∀s ∈ [0,1],有 G(1,s)=0当且仅当λ =0;
(3)对于 ∀s ∈ (0,1),有 G(1,s)>0当且仅当λ ∈ (0,k+1);
(4)对于 ∀t ∈ (0,1),有 G(t,0)>0当且仅当λ ∈ [0,k+1);
定理1 算子 T:P → P 是全连续的.
证明 首先证明 T(P)⊂ P.由函数G(t,s)和f(t,u(t))在其定义域内的连续性和非负性可知,若
∑ ∫ ∑ u(t)=
-Iαy(t)+
n i=0
ui(i)!(0)ti
=
-
t 0
(tΓ-(sα))α-1y(s)ds+
n i=0
ui(i)!(0)ti.
由条件u(0)=u′(0)= … =u(k-1)(0)=u(k+1)(0)= … =u(n)(0)=0,可得
∫ u(t)=-
t 0
(tΓ-(sα))α-1y(s)ds+u(k)(0)tk ;
10tkα(Γ1- (αs))αy(s)ds+
∫ λ
k +1-λ
1tk
0
(1Γ-(αs))α-1y(s)ds=
∫ ∫ -
t 0
(tΓ-(sα))α-1y(s)ds+
1 0
(k
+1)tk(1-s)α-1(α -λ (k +1-λ)αΓ(α)
+λs)y(s)ds=
10
吉 首 大 学 学 报 (自 然 科 学 版 )
.
引理3[7] 设n <α <n +1,n ≥2且n ∈ N,λ ≠k+1.若y(t)∈ C[0,1],则
高阶中立型差分方程非振动解的存在性
考虑 差分方程
△ ｒ（ １ ＋似 ）］＋ ｎ ｌ 一 … ，ｎａ）＝ ０ ｎ∈ Ｎ ［ｎ△ Ｉ（ 一） ，ｎ— ， ， Ｘ－ ，
以 及
一
（） ４
≤（ １＋ｅ ， ） ｎ≥ ｎ ０
并且 ： 一 Ｃ为连 续 的凝聚映射 ， 中 （ ） 其 有界 。 下列之 一必成 立 ： 则
（１ Ａ） 在 中存在一个不动点 ； （２ 存在 ∈ ａ Ａ） Ｕ和 ∈ （，）其中 ＝ （ 一 Ｐ ＋ ０ １， １ ） 。 定理 曰 ］ 设 为 Ｂｎｃ 空间 Ｂ Ｎ） ［’ － ａａｈ （ 的一致有界子集 。 如果 在 Ｏ 远处一致收敛， ０ 那么它也是相
式 的非振 动解并得 到 了如 下结论 。
定理 １ 假 设 Ｉ ≠ １取个 固定 的数 卢 其 中 ０＜卢 ＜１固定 的正数 ， 口Ｉ ， ， ， 固定 的非负序 列 ｛ ｝， 中 其 一 ０和 Ａ， ／ 一 １以及 固定 的映 射 ｇ Ｎ— Ｊ。 ，ｒＡ － ， ： ７ 如果对 于任意 的 卢 １ ｉ｛ 口Ｉ１ 口Ｉ）ｍｎ Ｉ ｖ （ 一ｍｎ Ｉ ，／Ｉ ｝／ ｉ｛ 口 Ｉｌ 口Ｉ ，／Ｉ ｝＞￡＞Ｏ 则存在 ｎ ≥ ， 中 ＝ｍ ｘ ｒ ｌ ， ， ｝使得 对于 Ｋ ２≤ ‰ ≤ Ｋ中的每个 ｉ ｝ ０ 其 ａ｛， ， … ， ２ ／ 和 Ｉ ｎ 一 Ｉ ， 中 ／≥ ／ ， ＋（） ≤ Ｘ 其 １ １ ， ， ０一 有
ｕ
（） １
其 中 ａ为正奇 数 的商 ， ｕ为大 于等于 ２的整数 ，ｎ＞ ｒ 中 ｎ∈ Ｎ， ｍ， ｒ 其 口∈ Ｒ， ， （ １２ … ， ）≥０ ｒ ｉ＝ ，， ｕ 为 固定 的大 于等于 ０的整数 以及 ∈ Ｃ（ ｎ， ［ ０∞］×Ｒ ×Ｒ ×… ×尽， ） Ｒ。 当 （） 的解终 正或 终负 的时候 ， １式 此解 为非振 动解 ， 否则为振 动解 。 迄今为 止很少 有 （） 的非振 动解 出现 。 文 通过使 用 和改进 文献 ［ １式 本 １—２ 证 明中 的方 法 ， 论 了 （） ］ 讨 １
一类高阶分数阶微分方程多点非齐次边值问题的正解
一类高阶分数阶微分方程多点非齐次边值问题的正解何希萍【摘要】研究了一类高阶分数阶微分方程多点非齐次边值问题,导出了相应边值问题的Green函数,并讨论了其性质.利用Krasnosel'skii不动点定理和Schauder不动点定理研究了其正解的存在性.【期刊名称】《河西学院学报》【年(卷),期】2016(032)002【总页数】8页(P47-53,37)【关键词】分数阶微分方程;边值问题;正解;非齐次;存在性【作者】何希萍【作者单位】甘肃广播电视大学理工学院,甘肃兰州730030【正文语种】中文【中图分类】O175.14越来越多的研究者对分数阶微分方程的理论研究产生了浓厚的兴趣，尤其是对分数阶微分方程边值问题解的存在性研究.特别地，应用非线性泛函分析的理论知识研究分数阶微分方程边值问题解的存在性近十多年来引起了许多学者的兴趣，如文［1-10］及其参考文献.本文考虑如下阶Riemann-Liouville型分数阶微分方程m 点非齐次边值问题解的存在性.这里且1 M=−连续，其中阶Riemann-Liouville分数阶导数，通过分析技巧导出了相应边值问题的Green函数，并讨论了其性质.通过利用Krasnosel’skii不动点定理，得到了当非线性项f(t,u)关于u为超线性时，对充分小的b 该问题至少存在一个正解，对充分大的b没有正解，而当f( t, u)关于u为次线性时，对任意的b∈(0,∞)该问题至少存在一个正解.最后借助于 Schauder不动点定理得到，在f(t,u)关于u为超线性且单减时，存在正数b*使得当参数时该问题至少有一个正解，当时该问题无解.定义2.1［11］假设函数u:(0,∞) →R的β阶Riemann-Liouville积分和β阶Riemann-Liouville导数分别为其中，n是大于等于β的最小整数.引理2.1［11］假设β>0,且n−1<β≤n,若有β阶导数，且(0,1)(0,1)L∩ ，则其中引理2.2 假设则边值问题有唯一解其中且表示上的特征函数.证明设是（2.1)的解，从引理2.1知由（2.2）知，因此，（2.1）、（2.2）的解是引理2.3 函数满足如下性质:（i）对有（ii）存在常数使得其中证明由（2.5），当时，当0≤t≤s≤1时，显然，在（0，1）上g( s)>0,k( s)>0,当且仅当s=0或1时，g( s)=0,k( s)=0,所以根据g，k∈［0，1］及（2.6），（2.7），知存在常数0<λ<1,使得证毕. 令Banach空间B=C[0,1],其中范数为.定义B上的锥P为其中定义算子S: B→B为显然，根据引理2.2知，若u 是问题（1.1），（1.2）的解，当且仅当u是算子S 在B中的不动点.引理2.4 S: P→P为全连续算子.证明由（2.8）和引理2.3，对u∈P，得因此，因此 S（ P）⊂P，由Arzela-Ascoli定理易证明S: P→P是全连续算子.引理2.5［12］（Schauder不动点定理）设D是实线性赋范空间X中的有界闭凸子集，F: D→D全连续，则F在D上必有不动点.引理2.6［13］设P是Banach空间上的锥，若是E中的非空开子集，且满足假设算子是全连续的，且满足或则A在中至少有一个不动点.记显然，定理3.1 （i）若则当b充分小时，边值问题（1.1），（1.2）至少存在一个正解，对充分大的b没有正解.（ii）假设则对任意的b∈ [0,∞)，边值问题（1.1），（1.2）至少存在一个正解.证明（i ）首先证明对于充分小的b＞0，边值问题（1.1），（1.2）至少存在一个正解.因为对存在使得令当对由（2.8），（3.1）和引理2.3得，对t∈[0,1],有即另一方面，由知，对于存在使得令对任意的有根据（2.8），（3.3）有即因此，由引理2.6（i ），（3.2）和（3.4）得，算子S至少有一个不动点它是边值问题（1.1），（1.2）的正解.接下来证明:对于充分大的b，边值问题（1.1），（1.2）没有正解.反设存在单调的正数列，且使得对任意的n，边值问题至少存在一个正解即故因此，另外，由知，对上述M2存在r*>0,使得令n足够大使得则对，有，由（3.5）知这是一个矛盾.所以对于充分大的b，边值问题（1.1），（1.2）没有正解. （ii）由知，存在使得令对和根据（2.8），（3.6）有即另一方面，由知，存在H>0，使得若在[0,∞)上无界，取使得令对任意的根据（2.8），（3.8）有若在[0,∞)上有上界，取则对根据（2.8）和引理2.3有由上述讨论知从而，由（3.7），（3.9）和引理2.6（ii）得，算子S在B中至少有一个不动点它是问题（1.1），（1.2）的正解.证毕.定理3.2 假设成立，若对每个固定的t∈[0,1],f( t, u) 关于u是非减的，则存在，当时，边值问题（1.1），（1.2）至少存在一个正解，当时（1.1），（1.2）没有正解.证明让问题（1.1），（1.2）至少存在一个正解，令.由定理3.1及假设知，.从而对任意的由Λ定义知，存在使得边值问题至少存在一个正解.下面我们证明对任意的边值问题（1.1），（1.2）有一个正解.事实上，令对从（2.8）和f的单调性得所以从而由引理2.5知S至少存在一个不动点，它是边值问题（1.1），（1.2）的正解.【相关文献】［1］Chen H.Positive solutions for the nonhomogeneous three-point boundary value problem of second-order differential equations［M］put.Model.2007，45：844-852.［2］Krasnosel'skii M A.Positive Solutions of Operator Equations［M］.Noordhoff，Groningen，1964.［3］马如云.非线性常微分方程非局部问题［M］.北京：科学出版社，2004：194-200.［4］Kilbas A A， Srivastava H M，Trujillo J J.Theory and Applications of Fractional Differential Equations，in： North-HollandMathematics studies，vol.204，Elsevier Science B.V.Amsterdam，2006.［5］Li Y N，Sun H R，Zhang Q G.Existence of solutions of a class of fractional boundary value problem with parameter［J］. Electronic J.Differ.Equ.2013，141：1-12.［6］Sun H R，Zhang Q G.Existence of solution for a fractional boundary value problem via Mountain Pass method and iterative technique［J］.Comput.Math.Appl.2012，64：3436-3443.［7］Zhang S.Existence of positive solution for some class of nonlinear fractional differential equations［J］.J.Math.Anal.Appl. 2003，278： 136-148.［8］Hao X，Liu L，Wu Y.On positive solutions of an m-point nonhomogeneous singular boundary value problem［J］.Nonlinear Anal.2010，73：2532-2540.［9］Wang C X，Sun H R.Positive solutions for a class of singular third-order three-point nonhomogeneous boundary value problem［J］.Dynam.Systems Appl.2010，19：225-234.［10］何希萍.非线性三阶边值问题的正解［J］.甘肃广播电视大学学报，2013，3：1-5. ［11］Podlubny I.Fractional Differential Equations［M］.Academic Press，San Diego，1999.［12］Agarwal R P，Benchohra M，Hamani S.A survey on existence results for boundary value problems of nonlinear fractional differential equations and inclusions［J］.Acta Appl.Math.2010，109：973-1033.［13］钟承奎，范先令，陈文源.非线性泛函分析引论［M］.兰州：兰州大学出版社，1998.。
带强迫项的非线性中立型差分方程有界正解的存在性
其 中 △ 为前 差 分 算 子 ， Ａｘ 一 ＋ 一 ．户（）Ｑ（） 即 ． － ， ， ， ， １ １ 为 实 数 序 列 ，（ ）口 ， ｒ ， ，（ ）为 非 负 整 数 序 列 ， ｌ （ ）＝ １ １ 且 ｉ ｎ ｍｒ
ｌ ｉ ｍａ（ ）＝ ｏ ． ｎ 。
（ｉ ． （ ） 变 号 ， Ｓ ｉ）户， 不 ｉ １ 且 ＵＰＩ ， Ｉ １，≥ ｎ Ｐ（ ） ＜ ｌ １ ｌ ．
关键词： 带强迫项的非线性中立型差分方程ｌ 离原点的有界正解；ａａｈ压缩映射原理 远 Ｂ ｎｃ
中 圈分 类 号 ： ３ ． ２ Ｇ６ ３ ６ 文献标识码 ： Ａ 文章 编 号 ：Ｏ ５ ５４ ２ ０ ） ２ Ｏ Ｏ 一Ｏ １ Ｏ —１ ５ （ ０ ６０ － Ｏ ５ ２
１ 引 言
本 文 主要 考 虑 带 强 迫 项 的 非 线 性 中立 型 差 分 方 程
近 些 年 ， 着 数 学 在 生 物 医学 、 随 自动 控 制 理 论 、 口理 论 人 和 金 融 证 券 等经 济 领 域 的 广 泛 应 用 ， 差 分 方 程 的研 究 成 为 对
易知 ｎ 非 空 的 、 界 的 、 的 和 凸 的 。 有 闭
如果 户， ≥ ｏ取 Ｃ， （） ， Ｉ １ 使得÷ （＋ｒ） ｃ＜ ｒ． ｃ ｂ ＜ Ｉ ｂ 由条
∑ （ （６Ｉ ＱｎＩ≤ｃ 一（一ｒ ２ ） Ｉｎ ）＋Ｉ（ ） 。 ｆ， ） 一ｃ １ ） ． ６（３
（ ２一ｒ６ ．由条件（） （ｆ 和 （ ，， Ⅳ 足够大使得 （． ） ）） 、 ） ） 取 ｔ ２ ２ 成
立， 且
在 这 节 ， 们 给 出 了方 程 （ ． ）有 远 离 原 点 的 有 界 正 解 我 １１ 的 充分 条 件 和 充 分 必 要 条 件 ． 定理 １ 设下列 条件成立 ： ． （） Ｉ ｎ ） 关 于 Ｉ Ｉ 调 不 减 ， 任 何 有 限 闭 区间 上 ．ｆ（ ， Ｉ 单 在 满 足 Ｌ ｐｃ ｉ 一 件 ｉｓｈｔ 条 ｚ Ｉ（ ， ｆ ｎ ）一 ， ， ｙ Ｉ 五 ， Ｉ — ｙＩ （ ，） ≤ （） ｌ １
非线性差分方程边值问题正解的存在性与多重性的开题报告
非线性差分方程边值问题正解的存在性与多重性的开题报告一、研究背景差分方程是离散数学中的基本概念，而非线性差分方程则在生产生活各领域有着广泛的应用。
非线性差分方程的研究不仅扩充了离散动力学的研究范围，而且也拓展了应用领域。
然而，非线性差分方程边值问题的正解是否存在以及存在的多重性一直是该领域的热点问题。
因此有必要进行深入研究。
二、研究内容1.非线性差分方程的定义与性质研究。
2.分析非线性差分方程边值问题的正解存在性方法。
3.研究非线性差分方程边值问题存在多重解的情形。
4.探讨一些存在多重解的非线性差分方程的应用。
三、研究方法1.文献资料法：查阅各种文献资料，阅读相关文献材料，并系统地总结和归纳相关研究成果。
2.数学建模法：通过建立相关数学模型来探究非线性差分方程边值问题的正解存在性及多重性等问题。
3.数值模拟法：通过计算机程序模拟非线性差分方程的特征值，利用软件来实现模拟计算。
四、预期成果1.对非线性差分方程的性质进行了深入了解。
2.对非线性差分方程边值问题正解存在性进行了探讨，提出了一定的结论。
3.研究了非线性差分方程边值问题存在多重解的情况，探讨其应用。
4.提出一些存在多重解的非线性差分方程的应用实例。
五、研究意义本研究对于推进非线性差分方程的研究，加深对其性质和特点的理解和认识，提高非线性差分方程领域的学术水平。
同时对生产生活中的应用也有重要意义，可以为相关领域的理论研究和实际应用提供一定的参考。
六、研究方案1.搜集并阅读相关文献，对已有的研究成果进行总结归纳。
2.建立非线性差分方程的数学模型，采用不同的方法进行求解和分析。
3.采用MATLAB等软件进行数值模拟，验证理论分析的正确性。
4.总结分析结果，撰写论文并进行答辩。
一类非线性四阶差分方程边值问题正解的存在性准则
一类非线性四阶差分方程边值问题正解的存在性准则刘览;胡宏【摘要】运用不动点指数理论,获得了非线性四阶差分方程边值问题△4u(t-2)=λf(t,u(t)),t∈T2,u(0)=u(T+2)=△u(0)=△u(T+1)=0正解的存在性准则,其中,T2={2,3,…,T},f:T2×R→[0,∞)连续且T＞4,λ＞0为参数.【期刊名称】《郑州大学学报（理学版）》【年(卷),期】2013(045)004【总页数】7页(P30-36)【关键词】四阶差分方程;正解;存在性;不动点指数【作者】刘览;胡宏【作者单位】徐州工程学院数学与物理科学学院江苏徐州221008;徐州工程学院数学与物理科学学院江苏徐州221008【正文语种】中文【中图分类】O175.70 引言差分方程不仅可以作为研究微分方程离散化的基本形式，还可以描述经济学、人口动力学中的实用模型．因此，非线性差分方程的研究备受关注［1－4］．近年来，对两端简单支撑的非线性四阶差分方程边值问题解的存在性的研究取得了丰富的成果［5－8］．然而，对于如下四阶差分方程边值问题正解的存在性研究却相对较少，其中，T2={2，3，…，T}，f:T2×R→R连续且T＞4，λ＞0为参数．众所周知，两端固定支撑的弹性梁方程在工程中有着重要的应用，对于问题(2)正解的存在性与多解性已有很多研究［9－15］．值得注意的是问题(1)可以看作问题(2)的离散形式，研究问题(1)正解的存在性有助于求解(2)的数值解．同时，问题(1)也可以看作工程中两端固定支撑弹性梁的离散模型，文中获得问题(1)正解存在性的参数区间是最优的，这有助于解决实际问题中的数据选取，同时也对差分方程边值问题正解的存在性提供了一种研究方法．1 主要结果下面给出主要结果．为了方便，引进一些记号:定理1 假定f:T2×R→［0，∞)连续，令(i)若0≤f∞≤f0≤+∞，则对任意的，问题(1)至少存在一个正解;(ii)若0≤f0≤f∞≤ +∞，则对任意的)，问题(1)至少存在一个正解，其中，λ1为线性特征值问题的第一个正的特征值．注1 定理1中给出问题(1)正解存在的参数区间是最优的．例如考虑如下边值问题其中为问题(3)的第一个正的特征值，记φ为相应于λ1的特征函数．显然，．若λ =1 时，则问题(4)不存在正解．事实上，假设u为问题(4)的一个正解，则(4)两边同乘以φ，并从t=2到t=T求和，可得由f的定义可知，这与产生矛盾．2 预备知识及主要工具令 T1={0，1，…，T+1，T+2}，定义空间则空间E按范数成 Banach空间．对任意的u，v∈E，记u≤v，如果对任意t∈T1，有u(t)≤v(t)成立．对任意给定的 r＞0，记Br={u∈E:‖u‖ ＜r}，∂Br={u∈E:‖u‖=r}，且θ表示空间E中的零元素．引理1 令h:T2→R．则边值问题存在解其中，G(t，s)=又因 u(T+2)=Δu(T+1)=0，故有证明通过简单的和分运算，结合u(0)=Δu(0)=0，易得从而(5)成立．通过计算，不难证明格林函数G(t，s)满足如下性质:其中，进一步，记满足G(t，s)≥σΦ(s)，对任意的s∈T1，t∈T2．定义E中的锥P如下:易证问题(1)等价于和分方程其中，G(t，s)如(6)式定义．问题(1)的正解是指存在一对(λ，μ)满足λ ＞0，u(t)＞0，t∈T2且满足问题(1)．定义算子L，f:E→E如下:则A=Lf．引理2A(P)⊂P且A:P→P全连续．证明对任意给定的u∈P，有故A(P)⊂P．因E为有限维空间，结合f的连续性，从而可证A:P→P全连续．根据引理可知，u={u(t)}Tt=+02是问题(1)的一个解，当且仅当u={u(t)}Tt=+02∈E为算子λA的一个不动点．下面考虑线性特征值问题(3)的谱．显然，(3)等价于算子方程u=λLu．引理3 算子L的谱半径r(L)＞0，且存在φ∈E满足φ(t)＞0，t∈T2，使得Lφ=r(L)φ且进一步，λ1=为线性特征值问题(3)的第一个正的特征值，且证明定义锥P0={u∈E y(t)≥0，t∈T1}，则P0为一个内部非空的正则锥．从而E=P0－P0，即P0为E 中的完全锥．因 G(t，s)＞0，(t，s)∈T2×T2，故存在t0∈T2使得 G(t0，t0)＞0，取u∈E 使得u(t)≥0，t∈T1，u(t0)＞0 且 u(t)=0，t∉T2，则对任意的t∈T2，有从而存在常数c＞0，使得对任意的t∈T1，有c(Lu)(t)≥u(t)．根据Krein-Rutman定理［16］得，谱半径r(L)＞0 且φ0∈E 满足φ0(t)＞0，t∈T2，使得Lφ0=r(L)φ0．注意到，Lφ=r(L)φ等价于下面边值问题则为问题(3)第一个正的特征值．对任意的x，y∈E，通过计算可得令Lu为下列边值问题的唯一解则故(7)成立，引理得证．作者所使用的主要工具:引理4［16］令E为Banach空间，P⊂E为E中的一个锥，Ω为E中的有界开集．假设A:P∩Ω－→P全连续．若存在x0∈P\{θ}，使得对任意的x∈P∩∂Ω，μ≥0，有 x－Ax≠μx0成立，则 i(A，P∩Ω，P)=0．引理5［16］令E为Banach空间，P⊂E为E中的一个锥，Ω为E中的有界开集．假设A:P∩Ω－→P全连续．若对任意的x∈P∩∂Ω 且μ≥1，有Ax≠μx，则i(A，P∩Ω，P)=1．3 主要结果的证明定理1的证明(i)对任意给定的λ，有f0＞和f∞根据知，存在ε∈(0，1)，r1＞0，使得假设λA在P∩∂Br1中无不动点，若不然，(i)已证．下面证明其中，φ由引理3定义．反设存在u0∈P∩∂Br1且μ0≥0，使得u0=λAu0+μ0φ 成立．易见，μ0≥μ0φ．令，则 u* ＞0且u0≥μ*φ．由于 L(P)⊂P，可知故这与μ*的定义矛盾，从而(8)成立．根据引理4可得由定义和f(t，u)的连续性知，存在σ∈(0，1)和常数C＞0，使得下证W为E中的有界集．对任意的u∈W，存在μ∈［0，1］，使得u=μλAu．由(10)知，u=μλAu≤λ1σLu+λCLv0，其中，v0(t)≡1，t∈T2．故(I－K)u≤CLv0，其中，K=λ1σL，I为恒同算子．因为r(K)=λ1σr(L)＜1，所以逆算子(I－K)－1存在且可展为(I－K)－1=I+K+K2+…．结合 K(P)⊂P 可得，(I－K)－1(P)⊂P，从而u≤(I－K)－1CLv0．故 W为有界集．从而存在，使得u≠μλAu，∀u∈P∩BR1，μ∈［0，1］．由引理5知，因此，由(9)和(11)，结合不动点指数的可加性知，从而A在P∩(Br2\)中存在一个不动点，即问题(1)至少存在一个正解．(ii)对任意给定的λ，有 f0＜和f∞ ＞根据 f0＜知，存在ε∈［0，1］，r2＞0，使得下面证明反设存在u0∈［0，1］且u0∈P∩∂Br2，使得u0= μ0λAu0，则从而λ1(1－ε)Lu0≥u0，给此不等式两边同时乘以φ，然后从t=2到t=T求和，结合(7)可得根据可知，ε≤0，这与ε的选取矛盾，故(12)成立．由引理5知，根据和f(t，u)关于u的连续性可知，存在常数C＞0，使得令对某些μ≥0}，其中，φ由引理3定义，宣称Ω为E中有界集．事实上，对任意的u∈Ω，存在μ≥0，使得u=λAu+μφ≥λAu，则对上面不等式两边同乘以φ，然后从t=2到t=T求和，结合引理4可得从而可得则‖u‖≤λδ－1C．因此Ω为E中的有界集，宣称成立．选取R2＞max{suup‖u‖，r2}，使得∈Ω结合引理4，可得由(13)和(14)，结合不动点指数的可加性知，根据不动点指数理论知，A在P∩(BR2\)中至少存在一个不动点，即问题(1)至少存在一个正解．参考文献:［1］ Goldberg S．An Introduction to Difference Equations［M］．New York:John Wiley and Sons，1960:1 －270．［2］ Agarwal R P．Difference Equations and Inequalities:Theory，Methods，and Applications［M］．2nd ed．New York:Marcel Dekker，2000:1 －1000．［3］赵玉萍．具有连续变量高阶差分方程的振动性［J］．郑州大学学报:理学版，2012，44(3):12－15．［4］刘雪飞，钟晓珠，许红叶，等．含有极大值的二阶差分方程的有界振动性和非振动性［J］．郑州大学学报:理学版，2012，44(2):39－42．［5］ Cabada A，Iannizzotto A，Tersian S．Multiple solutions for discrete boundary value problems［J］．J Math Anal Appl，2009，356(2):418－428．［6］ Zhang Binggen，Kong Lingju，Sun Yijun，et al．Existence of positive solutions for BVPs of fourth-order difference equations ［J］．Appl Math Comput，2002，131(2/3):583 －591．［7］ Ma Ruyun，Xu Youji．Existence of positive solution for nonlinear fourth-order difference equations［J］．Comput Math Appl，2010，59(12):3770－3777．［8］ Yuan Chengjun．Positive solutions of a singular positone and semipositone boundary value problems for fourth-order difference equations［J］．Discrete Dynamics in Nature and Society，2010，2010:1－16．［9］ Agarwal R P，Chow Y M．Iterative methods for a fourth order boundary value problem［J］．Comput Appl Math，1984，10(2):203－217．［10］马如云，吴红萍．一类四阶两点边值问题多个正解的存在性［J］．数学物理学报，2002，22(2):244－249．［11］ Korman P．Uniqueness and exact multiplicity of solutions for a class of fourth-order semilinear problems［J］．Proceedings of the Royal Society of Edinburgh A，2004，134(1):179－190．［12］ Webb J R L，Infante G，Franco D．Positive solutions of nonlinear fourth-order boundary-value problems with local and nonlocal boundary conditions［J］．Proceedings of the Royal Society of Edinburgh A，2008，138(2):427 －446．［13］ Pei M，Chang S．Monotone iterative technique and symmetric positive solutions for a fourth order boundary value problem ［J］．Mathematical and Computer Modelling，2010，51(9/10):1260－1267．［14］ Xu Jia，Han Xiaoling．Nodal solutions for a class of fourth-order two-point boundary value problems［J］．Boundary Value Problems，2010，2010:1－11．［15］ Cabada A，Enguica R R．Positive solutions of fourth order problems with clamped beam boundary conditions［J］．Nonlinear A-nalysis:Theory，Method＆ Applications，2011，74(10):3112－3122．［16］ Deimling K．Nonlinear Functional Analysis［M］．Berlin:Springer-Verlag，1985:224－229．。
一类高阶非线性中立时滞微分方程不可数个有界正解的存在性
辽宁师范大学硕士学位论文一类高阶非线性中立时滞微分方程不可数个有界正解的存在性姓名：***申请学位级别：硕士专业：应用数学指导教师：***2012-04一类高阶非线性中立时滞微分方程不可数个有界正解的存在性作者：于虹学位授予单位：辽宁师范大学引用本文格式：于虹一类高阶非线性中立时滞微分方程不可数个有界正解的存在性[学位论文]硕士 2012河南大学硕士学位论文基于改进遗传算法的模糊聚类研究及应用姓名：朱长江申请学位级别：硕士专业：应用数学指导教师：申石磊2011-05摘要在基于目标函数的聚类算法中，模糊C-均值聚类算法的理论最为完善、应用最为广泛。
从理论上说，它通过迭代的爬山技术来寻找问题的最优解，是一种局部搜索算法。
因此它有一个明显的缺点，就是容易受初始值的影响而陷入局部极小值。
遗传算法是一种应用广泛的全局优化算法，它具有简单、通用、抗噪能力强等特点，是一种与求解问题不相关的算法模式。
正是由于遗传算法的这些优点能够解决模糊C-均值聚类算法对初始化敏感的问题。
因此，把模糊C-均值聚类算法与遗传算法配合起来使用，既可以发挥模糊C-均值聚类算法的局部搜索能力又充分照顾了遗传算法的全局寻优能力，从而提高混合算法的收敛速度并更好地解决聚类问题。
通过阅读大量文献资料，并对模糊聚类算法、遗传算法以及其他相关算法的理解吸收和研究，本文提出了一种基于改进遗传算法的模糊C-均值聚类算法。
论文的主要工作如下：(1) 基本遗传算法的改进。
在遗传算法中根据各个个体到当前最优种子的距离把种群划分成优势种群、次优种群两部分，并分别采用不同的遗传进化策略对两种群分别进行进化。
在选择策略方面，采用了精英保留和轮盘赌混合策略，且与以往不同的是让精英个体参与下一代遗传操作，从而保证了算法的收敛性，确保了遗传进化的稳定性，抑制无效解的扩散，提高了对聚类中心的搜索效率。
交叉变异方面，优势种群主要以交叉为主，次优种群以变异为主，保证了种群的平均适应度和种群的多样性。
一类非线性分数阶q-差分方程正解的存在性和唯一性
D O I :10.3969/j.i s s n .1001-5337.2022.2.055 *收稿日期:2021-09-29基金项目:山东省自然科学基金(2016Z R B 01076).第一作者:胡紫寒,女,1996-,硕士研究生;研究方向:非线性分析及应用;E -m a i l :592206307@q q .c o m.通信作者:张克梅,女,1968-,博士,教授;研究方向:非线性分析及应用;E -m a i l :z h k m qo @126.c o m.一类非线性分数阶q -差分方程正解的存在性和唯一性*胡紫寒, 张克梅(曲阜师范大学数学科学学院,273165,山东省曲阜市) 摘要:研究了一类具有分数阶q -差分的非线性边值问题,利用格林函数的性质㊁不动点定理和单调迭代方法,建立了边值问题正解的存在唯一性.关键词:分数阶q -差分;积分边值问题;混合单调算子;不动点定理中图分类号:O 177.91 文献标识码:A 文章编号:1001-5337(2022)02-0055-080 引 言本文主要研究了以下具有分数阶q -差分的非线性边值问题D αq u (t )+f (t ,u (t ),v (t ))=0,0<t <1,u (0)=D q u (0)=D 2q u (0)= =D n -2q u (0)=0,u (1)=λI βq u (η)=λʏη0(η-q s )(β-1)u (s )Γq (β)d q s ,ìîíïïïïï(1)其中0<q <1,n -1<αɤn ,n ȡ3,0<ηɤ1,λ,β>0,0ɤλΓq (α)ηα+β-1Γq (α+β)<1,且f (t ,u ,v )在t =0和t =1时具有奇异性.q-差分是一门古老的学科,它可以追溯到J a c k s o n [1,2].分数阶q -差分法来自A l -S a l a m [3]和A g a r w a l [4].目前,关于q -差分的研究有很多,此方面研究已被做了大量的工作[5-7].在文献[8]中,考虑了以下分数阶q -差分S c h r öd i n ge r 方程D αqu (x )+λh (x )f (u (x ))=0,0<t <1,u (0)=D q u (0)=D q u (1)=0,{(2)其中0<q <1,2<αɤ3,f ɪC ([0,ɕ),(0,ɕ)).作者通过运用单调迭代方法,得到了(2)正解的存在性.在文献[9]中,考虑了以下分数阶q -差分S c h r öd i n ge r 方程D αqu (t )+f (t ,u (t ),u (t ))=0,0<t <1,u (0)=D q u (0)=D q u (1)=0,{(3)其中0<q <1,2<αɤ3,f ɪC ((0,1)ˑ[0,ɕ)ˑ(0,ɕ),(0,ɕ)),且f (t ,u ,v )在v =0,t =0,1处具有奇异性.作者运用单调迭代方法得到了(3)正解的唯一性.在文献[10]中,考虑了一类带有非局部积分边值条件的非线性分数阶微分方程D α0++u (t )+p (t )f (t ,u (t ))=0,0<t <1,u (0)=u '(0)= =u (n -2)(0)=0,u (1)=λI β0+u (η)=λʏη0(η-s )(β-1)u (s )Γ(β)d s ,ìîíïïïïï(4) 第48卷 第2期2022年4月 曲阜师范大学学报J o u r n a l o f Q u f u N o r m a l U n i v e r s i t yV o l .48 N o .2A p r .2022其中n -1<αɤn ,n ȡ3,0<ηɤ1,λ,β>0,0ɤλΓ(α)ηα+β-1Γ(α+β)<1,且D α0+是标准的R i e m a n n -L i o u v i l l e 微分算子.作者运用不动点指数理论和u 0-正算子,得到了问题(4)正解的存在唯一性.本文运用了单调迭代方法和不动点理论,在一定条件下得到了问题(1)的最小最大耦合解;并在此基础上变换条件,运用单调迭代方法得到了问题(1)正解的唯一性.关于本文,列出以下条件(H 1)f ɪC ((0,1)ˑ[0,ɕ)ˑ[0,ɕ),[0,ɕ)),其中(t ,u ,v )ɪ(0,1)ˑ[0,ɕ)ˑ[0,ɕ),f 关于u 是非增的,关于v 是非减的,且存在一个正实数σ>0使得对任意的r ɪ(0,1],有f (t ,r u ,r -1v )ȡr σf (t ,u ,v ). (H 2)0<ʏ10(1-q s )(α-1)f (s ,s α-1,s α-1)d qs <+ɕ.(H 1')设条件(H 1)中的其他条件满足,但其中σ满足0<σ<1,使得对任意的r ɪ(0,1],有f (t ,r u ,r -1v )ȡr σf (t ,u ,v ). 注1.1 由条件(H 1)易知,对任意r >1,可得f (t ,r u ,r -1v )ɤr σf (t ,u ,v ).1 预备知识本节中,将介绍一些符号和引理,它们将用于相关定理的证明.定义2.1[5]设α>0,q ɪ(0,1)且f 是定义在[0,1]上的函数.则函数f 的R i e m a n n -L i o u v i l l e 型的分数阶q 积分定义为(I 0qf )(x )=f (x ),(I αqf )(x )=1Γq (α)ʏx 0(x -q t )(α-1)f (t )d qt ,α>0,x ɪ[0,1],且函数f 高阶的q 积分I nq 定义为(I 0q f )(x )=f (x ),(I n q )f (x )=I q (I n -1q f )(x ),n ɪℕ. 定义2.2[5]设α>0,q ɪ(0,1).则α阶的R i e m a n n -L i o u v i l l e 型分数阶q 导数定义为(D 0q f )(x )=f (x )(D αq f )(x )=(D m q I m -αq f )(x ),α>0,其中m 是大于或等于α的最小整数.引理2.3 设α>0且p 是一个正整数.则下面的等式成立(I αqD p qf )(x )=(D p q I αqf )(x )-ðp -1k =0x α-p +kΓq (α+k -p +1)(D k qf )(0). 引理2.4 设y ɪC ([0,1],[0,+ɕ)).则以下边值问题D αq u (t )+y (t )=0,0<t <1,u (0)=D q u (0)=D 2q u (0)= =D n -2q u (0)=0,u (1)=λI βq u (η)=λʏη0(η-q s )(β-1)u (s )Γq (β)d q s ,ìîíïïïï(5)其中αɪ(n -1,n ],n ȡ3,n ɪℕ,0<ηɤ1,λ,β>0,有唯一解u (t )=ʏ1G (t ,q s )y (s )d q s ,其中G (t ,q s )=-Q Γq (α+β)(t -q s )(α-1)+Γq (α+β)(1-q s )(α-1)t α-1-Γq (α)λ(η-q s )(α+β-1)t α-1Q Γq (α)Γq (α+β),0ɤq s ɤt ɤ1,q s ɤη;Γq (α+β)(1-q s )(α-1)t α-1-Γq (α)λ(η-q s )(α+β-1)t α-1Q Γq (α)Γq (α+β),0ɤt ɤq s ɤηɤ1;-Q Γq (α+β)(t -q s )(α-1)+Γq (α+β)(1-q s )(α-1)t α-1Q Γq (α)Γq (α+β),0ɤηɤq s ɤt ɤ1;Γq (α+β)(1-q s )(α-1)t α-1Q Γq (α)Γq (α+β),0ɤt ɤq s ɤ1,q s ȡηìîíïïïïïïïïïïïï65 曲阜师范大学学报(自然科学版) 2022年是边值问题(5)的格林函数,且Q =1-λΓq (α)Γq (α+β)ηα+β-1,0<Q ɤ1.证明 由(5)式可知,D αqu (t )=-y (t ),再由定义2.2和引理2.3,可知u (t )=-I αqy (t )+c 1t α-1+c 2t α-2+ +c n t α-n ,由u (0)=D q u (0)=D 2q u (0)= =D n -2q u (0)=0,可得c 2=c 3= =c n =0,将上式代入u (t )中,可得u (t )=-I αqy (t )+c 1t α-1,再由u (1)=λI βqu (η),可知c 1=11-λΓq (α)Γq (α+β)ηα+β-1(I αq y (1)-λI α+βq y (η))=1Q (I αq y (1)-λI α+βq y (η)),则可得问题(5)的解为u (t )=-I αq y (t )+1Q t α-1(I αq y (1)-λI α+βq y (η))=-1Γq (α)ʏt 0(t -q s )(α-1)y (s )d qs +t α-1Q Γq (α)ʏ10(1-q s )(α-1)y (s )d q s -λt α-1Q Γq (α+β)ʏη0(η-q s )(α+β-1)y (s )d q s .当t ɤη时,有 u (t )=-1Γq (α)ʏt 0(t -q s )(α-1)y (s )d qs +t α-1Q Γq (α)ʏt+ʏηt+ʏ1η()(1-q s )(α-1)y (s )d qs - λt α-1Q Γq(α+β)ʏt+ʏηt()(η-q s )(α+β-1)y (s )d qs = ʏt0-Q Γq (α+β)(t -q s )(α-1)+Γq (α+β)(1-q s )(α-1)t α-1-Γq (α)λ(η-qs )(α+β-1)t α-1Q Γq (α)Γq (α+β)y (s )d qs + ʏηt Γq (α+β)(1-q s )(α-1)t α-1-Γq (α)λ(η-qs )(α+β-1)t α-1Q Γq (α)Γq (α+β)y (s )d qs + ʏ1ηΓq (α+β)(1-q s )(α-1)t α-1Q Γq (α)Γq (α+β)y (s )d q s =ʏ10G (t ,q s )y (s )d qs .同理,当t ȡη时,有 u (t )=-1Γq (α)ʏη0+ʏtη()(t -q s )(α-1)y (s )d qs +tα-1Q Γq (α)ʏη0+ʏtη+ʏ1t()(1-q s )(α-1)y (s )d qs - λtα-1Q Γq(α+β)ʏη(η-q s )(α+β-1)y (s )d q s =ʏ10G (t ,q s )y (s )d qs .引理2.5 定义在引理2.4的格林函数G (t ,qs )满足以下性质(1)G (t ,q s )ȡ0,∀t ,s ɪ[0,1];(2)g 1(s )t α-1ɤG (t ,qs )ɤg 2(s )t α-1,∀t ,s ɪ[0,1],其中g 1(s )=ληα+β-1Q Γq (α+β)(1-q s )(α-1)-(1-q s )(α+β-1){},g 2(s )=(1-q s )(α-1)Q Γq (α). 证明 由0ɤλΓq (α)ηα+β-1Γq (α+β)<1,可知Γq (α+β)>λΓq (α)ηα+β-1.通过(a -b )(α)=a αᵑɕn =0a -b q na -b q α+n 和[a (t -s )](α)=a α(t -s )(α),可知(t -q s )(α-1)=t α-11-q s t æèçöø÷(α-1)ȡt α-1(1-q s )(α-1).75第2期 胡紫寒,等:一类非线性分数阶q -差分方程正解的存在性和唯一性当0ɤq s ɤt ɤ1,q s ɤη时,有G (t ,q s )Q Γq (α)Γq (α+β)=-Q Γq (α+β)(t -q s )(α-1)+Γq (α+β)(1-q s )(α-1)t α-1-Γq (α)λ(η-qs )(α+β-1)t α-1ȡ-Q Γq (α+β)t α-1(1-q s )(α-1)+Γq (α+β)(1-q s )(α-1)t α-1-Γq (α)ληα+β-1(1-q s )(α+β-1)t α-1ȡ(-Q +1)Γq (α+β)t α-1(1-q s )(α-1)-Γq (α)ληα+β-1(1-q s )(α+β-1)t α-1ȡΓq (α)ληα+β-1t α-1{(1-q s )(α-1)-(1-q s )(α+β-1)},即G (t ,qs )ȡληα+β-1Q Γq (α+β){(1-q s )(α-1)-(1-q s )(α+β-1)}t α-1ȡ0,且有G (t ,q s )Q Γq (α)Γq (α+β)=-Q Γq (α+β)(t -q s )(α-1)+Γq (α+β)(1-q s )(α-1)t α-1-Γq (α)λ(η-qs )(α+β-1)t α-1ɤΓq (α+β)(1-q s )(α-1)t α-1,即G (t ,qs )ɤ(1-q s )(α-1)Q Γq (α)t α-1.由此可知,当0ɤq s ɤt ɤ1,q s ɤη时,G (t ,q s )满足其性质,其他条件下,同理可得引理2.5成立.本文中,在B a n a c h 空间E =C [0,1]中进行研究,且对任意的u ɪE ,具有范数 u =m a x t ɪ[0,1]|u (t )|,并且有E ˑE : (u ,v ) =m a x t ɪ[0,1] u , v {}.在E 中定义一个集合P 如下,P ={u |u ɪC ([0,1],[0,ɕ)),存在一个正常数0<l <1,使得l t α-1ɤu (t )ɤl -1t α-1,∀t ɪ[0,1]}.定义一个算子T :E ˑE ңE ,(T (u ,v ))(t )=ʏ1G (t ,q s )f (s ,u (s ),v (s ))d qs .2 主要结论定理3.1 若(H 1),(H 2)成立,且存在一个正常数R >1使得r 1-σȡl -σQ Γq (α)ʏ10(1-q s )(α-1)f (s ,s α-1,s α-1)d q s ,(6)则分数阶q -差分方程(1)有最小最大耦合解(u *,v *)ɪP ,且存在常数0<l i <1(i =1,2),∀t ɪ[0,1],使得u *(t )ɪ[l 1t α-1,l -11t α-1],v *(t )ɪ[l 2t α-1,l -12tα-1],且有单调迭代序列{u n },{v n }如下:u n (t )=ʏ10G (t ,q s )f (s ,u n -1(s ),v n -1(s ))d qs ,其初始值为u 0(t )=0,v n(t )=ʏ10G (t ,q s )f (s ,v n -1(s ),u n -1(s ))d qs ,其初始值为v 0(t )=R . 证明 显然,易知对任意的u ,v ɪE ,有T :E ˑE ңE .下面证明算子T :P ˑP ңP 是全连续的.首先,需要证明T :P ˑP ңP .由条件(H 1)可知,算子T 关于u 是非增的,关于v 是非减的. 对任意(u ,v )ɪP ˑP ,由P 的定义可知,存在一个正常数0<l <1,使得l t α-1ɤu (t ),v (t )ɤl -1t α-1.(7)通过引理2.5㊁(7)和条件(H 1),可得 (T (u ,v ))(t )=ʏ10G (t ,q s )f (s ,u (s ),v (s ))d qs ȡt α-1ληα+β-1Q Γq (α+β)ʏ10[(1-q s )(α-1)-(1-q s )(α+β-1)]f (s ,u (s ),v (s ))d q s ȡt α-1l σληα+β-1Q Γq(α+β)ʏ10[(1-q s )(α-1)-(1-q s )(α+β-1)]f (s ,s α-1,s α-1)d qs ȡl T t α-1,85 曲阜师范大学学报(自然科学版) 2022年(T (u ,v ))(t )=ʏ1G (t ,q s )f (s ,u (s ),v (s ))d qs ɤl -σt α-1Q Γq(α)ʏ10(1-q s )(α-1)f (s ,s α-1,s α-1)d qs ɤl -1T t α-1,其中正常数l T 满足0<l T <m i n1,l σληα+β-1Q Γq (α+β)ʏ10[(1-q s )(α-1)-(1-q s )(α+β-1)]f (s ,s α-1,s α-1)d q s {},且(l T )-1>m a x1,l -σQ Γq (α)ʏ10(1-q s )(α-1)f (s ,s α-1,s α-1)d qs {}.由(H 2)可知0ɤʏ10G (t ,q s )f (s ,u (s ),v (s ))d qs ɤl -σQ Γq(α)ʏ10(1-q s )(α-1)f (s ,s α-1,s α-1)d qs <+ɕ,则算子T 是良定义的.综上可知,对任意(u ,v )ɪP ,可得T (u ,v )ɪP ,即算子T :P ˑP ңP .接下来证明算子T 是全连续的.令Ω是P 上的有界集,存在一个正常数N >0,使得 u , v ɤN对任意的u ,v ɪΩ.则由引理2.5和(H 2)可知,|T (u ,v )(t )|ɤʏ10|G (t ,q s )f (s ,u (s ),v (s ))|d qs ɤl -σt α-1Q Γq (α)ʏ10(1-q s )(α-1)f (s ,s α-1,s α-1)d qs <+ɕ.因此可知,T (Ω)是一致有界的.当u ,v ɪΩ时,对任意的ε>0,存在δ>0使得|t 2-t 1|<δ时,有|G (t 2,q s )-G (t 1,q s )|<εl -σʏ1f (s ,s α-1,s α-1)d qs ,t 1,t 2ɪ[0,1].由以上条件可知|T (u ,v )(t 2)-T (u ,v )(t 1)|=ʏ10G (t 2,q s )f (s ,u (s ),v (s ))d q s -ʏ10G (t 1,q s )f (s ,u (s ),v (s ))d qs ɤʏ10|G (t 2,q s )-G (t 1,q s )|f (s ,u (s ),v (s ))d qs ɤl -σʏ10|G (t 2,q s )-G (t 1,q s )|f (s ,s α-1,s α-1)d qs <ε,因此T (Ω)是等度连续的.则由A r z e l a -A s c o l i 定理可知,T :P ˑP ңP 是紧的.接下来证明算子T 的连续性.给出序列{u n },{v n }⊂Ω,且 u n -u 0 ң0, v n -v 0 ң0,n ңɕ时,即(u n ,v n )ң(u 0,v 0).对任意的ε>0,存在δɪ0,12æèçöø÷满足以下条件ʏδ0(1-q s )(α-1)f (s ,s α-1,s α-1)d qs <Q Γq (α)ε6l-σ,ʏ11-δ(1-q s )(α-1)f (s ,s α-1,s α-1)d q s <Q Γq (α)ε6l -σ.由f (t ,u ,v )在t ɪ[δ,1-δ]上的一致连续性和(u n ,v n )ң(u 0,v 0),n ңɕ时,有|f (t ,u n ,v n )-f (t ,u 0,v 0)|<Q Γq (α)ε3ʏ10(1-q s )(α-1)d qs ,t ɪ[δ,1-δ].由以上条件可知T (u n ,v n )-T (u 0,v 0) ɤm a x t ɪ[0,1]ʏ10G (t ,q s )|f (s ,u n (s ),v n (s ))-f (s ,u 0(s ),v 0(s ))|d qs ɤ1Q Γq (α)ʏ10(1-q s )(α-1)|f (s ,u n (s ),v n (s ))-f (s ,u 0(s ),v 0(s ))|d q s ɤ95第2期 胡紫寒,等:一类非线性分数阶q -差分方程正解的存在性和唯一性06曲阜师范大学学报(自然科学版)2022年1QΓq(α)[ʏδ0(1-q s)(α-1)f(s,u n(s),v n(s))d q s+ʏδ0(1-q s)(α-1)f(s,u0(s),v0(s))d q s+ʏ1-δδ(1-q s)(α-1)|f(s,u n(s),v n(s))-f(s,u0(s),v0(s))|d q s+ʏ11-δ(1-q s)(α-1)f(s,u n(s),v n(s))d q s+ʏ11-δ(1-q s)(α-1)f(s,u0(s),v0(s))d q s]<ε.由上可知,算子T是连续的.综上,T是全连续算子.令P R={u|uɪP, u ɤR},其中R满足(6)式.下面证明T:P RˑP RңP R.由条件(H1)和(6)可知,(T(u,v))(t)=ʏ10G(t,q s)f(s,u(s),v(s))d q sɤtα-1QΓq(α)ʏ10(1-q s)(α-1)f(s,r u(s),r-1v(s))d q sɤrσl-σtα-1QΓq(α)ʏ10(1-q s)(α-1)f(s,sα-1,sα-1)d q sɤrσl-σQΓq(α)ʏ10(1-q s)(α-1)f(s,sα-1,sα-1)d q sɤR,上式意味着 T(u,v) ɤR,因此,有T:P RˑP RңP R.令u0(t)=0,v0(t)=R,定义u n(t)=T(u n-1,v n-1)(t)和v n(t)=T(v n-1,u n-1)(t),n=1,2, .由u0,v0ɪP R和T:P RˑP RңP R可知u1ɪP R,v1ɪP R.由以上定义可知u1=T(u0,v0)=T(0,R)ȡ0=u0,通过归纳可知u n+1ȡu n,u n,v nɪP R,n=1,2, .由算子T的紧性可知{u n}是相对紧集.因此,存在u*ɪP R使得u nңu*,nңɕ时.同理,v1=T(v0,u0)=T(R,0)ɤR=v0,通过归纳可知v n+1ɤv n,u n,v nɪP R,n=1,2, .由算子T 的紧性可知{v n}是相对紧集.因此,存在v*ɪP R使得v nңv*,nңɕ时.由u0ɤv0可知T(u0,v0)ɤT(v0,u0),即u1ɤv1,通过归纳,可得u nɤv n,则有u0ɤu1ɤ ɤu nɤv nɤ ɤv1ɤv0.算子T是连续的且u n(t)=T(u n-1,v n-1)(t),n=1,2, ,可得u*=T(u*,v*)当nңɕ时,且u*ɪP,u*(t)ɪ[l1tα-1,l-11tα-1],∀tɪ[0,1],且有以下单调迭代序列u n(t)=ʏ10G(t,q s)f(s,u n-1(s),v n-1(s))d q s,初始值u0(t)=0.同理,由T是连续的且v n(t)=T(v n-1,u n-1)(t),n=1,2, ,可得v*=T(v*,u*)当nңɕ时,且v*ɪP,v*(t)ɪ[l2tα-1,l-12tα-1],∀tɪ[0,1],且有以下单调迭代序列v n(t)=ʏ10G(t,q s)f(s,v n-1(s),u n-1(s))d q s,初始值v0(t)=R.由上可得下式成立u0ɤu1ɤ ɤu nɤ ɤu*ɤv*ɤ ɤv nɤ ɤv1ɤv0.又由u*=T(u*,v*),v*=T(v*,u*),可知(u*,v*)是算子T在PˑP上的耦合不动点.下证(u*, v*)是算子T的最小最大耦合不动点.设(u',v')是算子T在[u0,v0]ˑ[u0,v0]中的任一耦合不动点.于是u0ɤu'ɤv0,u0ɤv'ɤv0,假定n=k时,u kɤu'ɤv k,u kɤv'ɤv k,则有u k+1=T(u k,v k)ɤT(u',v')=u'ɤT(v k,u k)=v k+1,u k+1=T(u k,v k)ɤT(v',u')=v'ɤT(v k,u k)=v k+1.于是,根据归纳法,得u nɤu'ɤv n,u nɤv'ɤv n,则当nңɕ时,有u*ɤu'ɤv*,u*ɤv'ɤv*.所以, (u*,v*)是算子T的最小最大耦合不动点,则分数阶q-差分方程(1)有最小最大耦合解(u*,v*).定理3.2设(H1'),(H2)成立.则问题(1)有唯一的正解x*(t)ɪP,且对任意的u0,v0ɪP,有l i m nңɕu n=l i m nңɕv n=x*,其中u n (t )=ʏ10G (t ,q s )f (s ,u n -1(s ),v n -1(s ))d qs ,v n (t )=ʏ1G (t ,q s )f (s ,v n -1(s ),u n -1(s ))d qs ,n =1,2, . 证明 由(H 1')中f (t ,r u ,r -1v )ȡr σf (t ,u ,v )可知T (r u ,r -1v )(t )=ʏ10G (t ,q s )f (s ,r u (s ),r -1v (s ))d qs ȡrσʏ10G (t ,q s )f (s ,u (s ),v (s ))d qs =r σT (u ,v )(t ),(8)由此可知T (r r -1u ,r -1r v )=T (u ,v )ȡr σT (r -1u ,r v ),即T (r -1u ,r v )ɤr -σT (u ,v ).(9)令z (t )=t α-1,通过定理3.1可知T (z ,z )ɪP .且令0<r 0<1足够小,则可得r 1-σ20z (t )ɤT (z ,z )(t )ɤr -1-σ2z (t ).令u 0=r 120z (t ),v 0=r -120z (t ),(10)且u n =T (u n -1,v n -1),v n =T (v n -1,u n -1),n =1,2, ,则有u 0,v 0ɪP ,u 0≪v 0,u 0=r 0v 0.由(8)㊁(9)和(10)式可得u 1=T (r 120z ,r -120z )ȡr σ20T (z ,z )ȡr 120z =u 0,v 1=T (r -120z ,r 120z )ɤr -σ20T (z ,z )ɤr -120z =v 0,u 1=T (u 0,v 0)ɤT (v 0,u 0)=v 1,则通过归纳可知u 0ɤu 1ɤ ɤu n ɤ ɤv n ɤ ɤv 1ɤv 0.(11)接下来,我们证明u n ȡr σn 0v n ,n =0,1,2, .(12)当n =0时,(12)式成立;假设n =k 时,(12)式也成立,即u k ȡr σk 0v k ,则有u k +1=T (u k ,v k )ȡT (r σk 0v k ,r -σk 0u k )ȡr σk +10T (v k ,u k )=r σk +10v k +1,则通过归纳总结,可知(12)式成立.由(11)式和(12)式可知,对任意的自然数n 和p *,可知0ɤu n +p *-un ɤv n -u n ɤ(1-r σn 0)v n ɤ(1-r σn 0)v 0. 由上式柯西列收敛可知,存在x *ɪP ,使得l i m n ңɕu n =l i m n ңɕv n =x *.则当u n =T (u n -1,v n -1)中n ңɕ时,可得x *=T (x *,x *)是算子T 的不动点,即x *(t )是问题(1)的正解,则存在一个正常数l *,使得l *t α-1ɤx *(t )ɤl -1*tα-1成立,其中l *ɪ(0,1),t ɪ[0,1].接下来,设y *(t )是(1)式的另一个正解,则存在一个正常数l *,使得l *t α-1ɤy *(t )ɤ(l *)-1t α-1成立,其中l *ɪ(0,1),t ɪ[0,1]成立.又因为r 0足够小,则有u 0(t )ɤy *(t )ɤv 0(t ),t ɪ[0,1],因T (y *,y *)=y *且算子T 关于u 是非增的,关于v 是非减的,通过归纳总结可知u n (t )ɤy *(t )ɤv n (t ),t ɪ[0,1].(13) 当(13)式中n ңɕ时,可得y *=x *.由上可知算子T 有唯一的不动点x *,且对任意的u 0,v 0ɪP ,有l i m n ңɕu n =l i m n ңɕv n =x *,16第2期 胡紫寒,等:一类非线性分数阶q -差分方程正解的存在性和唯一性26曲阜师范大学学报(自然科学版)2022年其中u n=T(u n-1,v n-1),v n=T(v n-1,u n-1),n=1,2, .综上,问题(1)在P上有唯一的正解x*(t),定理3.2成立.参考文献:[1]J a c k s o nF H.O n q-f u n c t o n s a n da c e r t a i nd i f f e r e n c e o p e r a t o r[J].T r a n sR o y S o cE d i n,1909,46(2):253-281.[2]J a c k s o nF H.O n q-d e f i n i t e i n t e g r a l s[J].Q u a r t JP u r eA p p lM a t h,1910,41:193-203.[3]A l-S a l a m W A.S o m e f r a c t i o n a l q-i n t e g r a l s a n d q-d e r i v a t i v e s[J].P r o cE d i n b M a t hS o c,1966,15(2):135-140.[4]A g a r w a lRP.C e r t a i n f r a c t i o n a l q-i n t e g r a l s a n d q-d e r i v a t i v e s[J].P r o cC a m b r i d g eP h i l o sS o c,1969,66(2):365-370.[5]F e r r e i r aR AC.P o s i t i v e s o l u t i o n s f o r a c l a s so f b o u n d a r y v a l u e p r o b l e m sw i t h f r a c t i o n a l q-d i f f e r e n c e s[J].C o m p u tM a t hA p p l,2011,61(2):367-373.[6]G o o d r i c hCS.E x i s t e n c e a n d u n i q u e n e s s o f s o l u t i o n s t o a f r a c t i o n a l d i f f e r e n c e e q u a t i o nw i t hn o n l o c a l c o n d i t i o n s[J].C o m p u tM a t hA p p l,2011,61(2):191-202.[7]G r a e f JR,K o n g LJ.E x i s t e n c e o f p o s i t i v e s o l u t i o n s t o a h i g h e r o r d e r s i n g u l a r b o u n d a r y v a l u e p r o b l e m w i t h f r a c t i o n a l q-d e-r i v a t i v e s[J].F r a c tC a l cA p p lA n a l,2013,16(3):695-708.[8]W a n g G T.T w i n i t e r a t i v e p o s i t i v e s o l u t i o n s o f f r a c t i o n a l q-d i f f e r e n c e S c h röd i n g e r e q u a t i o n s[J].A p p lM a t hL e t t,2018,76: 103-109.[9]M a o JX,Z h a oZQ,W a n g CG.T h eu n i q u e i t e r a t i v e p o s i t i v e s o l u t i o no f f r a c t i o n a l b o u n d a r y v a l u e p r o b l e m w i t h q-d i f f e r-e n c e[J].A p p lM a t hL e t t,2019,100:106002.[10]L i uSL,L iHL,D a i Q,e t a l.E x i s t e n c e a n d u n i q u e n e s s r e s u l t s f o r n o n l o c a l i n t e g r a l b o u n d a r y v a l u e p r o b l e m s f o r f r a c t i o n a ld i f fe r e n t i a l e q u a t i o n s[J].A d vD if f e rE q u,2016(1):122.E x i s t e n c e a n du n i q u e n e s s o f p o s i t i v e s o l u t i o n s f o r a c l a s so f n o n l i n e a r f r a c t i o n a l o r d e r q-d i f f e r e n c e e q u a t i o n sHUZ i h a n,Z HA N G K e m e i(S c h o o l o fM a t h e m a t i c a l S c i e n c e s,Q u f uN o r m a lU n i v e r s i t y,273165,Q u f u,S h a n d o n g,P R C)A b s t r a c t:T h i s p a p e r s t u d i e s a c l a s so f n o n l i n e a rb o u n d a r y v a l u e p r o b l e m w i t h f r a c t i o n a l q-d i f f e r e n c e.B y e x p l o i t i n g t h e p r o p e r t i e s o fG r e e n s f u n c t i o n,f i x e d p o i n t t h e o r e m s a n dm o n o t o n e i t e r a t i v em e t h o d,t h e e x i s t e n c e a n du n i q u e n e s s o f p o s i t i v e s o l u t i o n s f o r t h eb o u n d a r y v a l u e p r o b l e ma r e e s t a b l i s h e d.K e y w o r d s:f r a c t i o n a l q-d i f f e r e n c e;i n t e g r a lb o u n d a r y v a l u e p r o b l e m;m i x e d m o n o t o n eo p e r a t o r;f i x e d p o i n t t h e o r e m。
一类分数阶差分方程正解的存在性
一类分数阶差分方程正解的存在性祝相宇;孙明哲【期刊名称】《延边大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2014(000)001【摘要】We studied the existence of positive solutions of the boundary value problem for a nonlinear finite fractional differenceequation .First ,according to fractional difference equation and its boundary conditions ,we constructed the Green’s function and analyzed its properties .Then ,by using the Krasnosel’skii fixed point theorem we obtained sufficient conditions for the existence of positive solutions of the boundary value problem for the nonlinear finite difference equation .%研究了一类有限非线性分数阶差分方程边值问题正解的存在性。
首先利用分数阶差分方程及其边值条件给出了Green函数，并分析了其性质；然后利用Krasnosel’skii 不动点定理，建立了这类分数阶差分方程边值问题正解的存在性定理。
【总页数】6页(P25-30)【作者】祝相宇;孙明哲【作者单位】延边大学理学院数学系，吉林延吉133002;延边大学理学院数学系，吉林延吉 133002【正文语种】中文【中图分类】O175.6【相关文献】1.一类带有参数的分数阶差分方程边值问题正解的存在性和不存在性 [J], 葛琦;侯成敏;2.一类非线性分数阶q-对称差分方程边值问题正解的存在性 [J], 金小桢;侯成敏3.一类带有分数阶边值条件的分数阶q-差分方程多重正解的存在性 [J], 范成涛;葛琦4.一类Caputo分数阶差分方程依赖于参数的正解存在和不存在性 [J], 陈慧琴;康淑瑰;崔亚琼;李录苹5.一类分数阶p-Laplacian差分方程边值问题正解的存在性 [J], 王金华; 向红军因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
一类高次分数阶微分方程正解的存在唯一性
一类高次分数阶微分方程正解的存在唯一
性
一类高次分数阶微分方程正解的存在唯一性一类高次分数阶微分方程（Fractional Order Differential Equations，FODEs）
是指其导数的次数是分数的、大于1的微分方程，它在物理、生物、经济学等不同领域有着重要的应用。
有关一类高次分数阶微分方程正解的存在唯一性的研究，一直是国内外数学家们努力的目标。
研究人员通过计算和理论分析，发现了一类高次分数阶微分方程正解的存在唯一性。
这表明，一类高次分数阶微分方程的解，在满足一定条件的情况下，是存在唯一性的。
这一发现，为研究一类高次分数阶微分方程提供了重要的理论支持，也为解决实际问题提供了有力的依据。
另外，在一类高次分数阶微分方程正解的存在唯一性研究中，研究人员还提出了一种新的算法，可以有效地求解一类高次分数阶微分方程。
该算法利用了基于代数理论和数值方法的结合，以及轨迹表示法和组合阶微分表示法，可以更好地求解一类高次分数阶微分方程。
综上所述，一类高次分数阶微分方程正解的存在唯一性的研究，不仅为求解实际问题提供了重要的理论基础，而且也为研究人员提供了新的算法，用以更加有效地求解一类高次分数阶微分方程。
因此，这一研究领域仍值得继续深入研究。
一类高阶非线性差分方程最终正解的存在性
数 Ⅳ， 使得
由式 （ 又有 ４）
ｃ … 吉 一 薹
当 Ⅳ 一 ≤ ＜Ⅳ时 ， 二
×
茎 ～ 。 吉 ㈤
定 的 集 ｛∈ ： ≤， 义 子 ＝ ≤ ｌ
≥ ） 则 是 的 个 界 凸 集定 算 ０。 力 Ｅ 一 有 闭 子 ，义 子
： Ｅ如下
高 阶非线 性差 分方 程正 解 的存在 性 问题 。
考 虑方程 △ （ ＋ｐ ｘ一）＋ｇ 一） ：０ √ （） １
定理 １ 假设 条 件 （ 成 立 ， 有 Ｈ） 且
∑ｓ１ ＜∞ ｍｑ －
则 方程 （ ） 在有界 的最终正 解 。 １存
（） ３
证 令 ｍ ） ≤ ≤ ｐ， 明 ＝ ａ ： ｘ 二 一）
（） ３ ｆ∈ Ｃ Ｒ， （ Ｒ）， 满足 ≠ ０时 ｘ（ ）＞０， ｆｘ 且
存 在 李普 希兹 常数 Ｌ ＞０， 使
ｌ ）一 （ ） ≤Ｌ 一Ｙ ， ， － 厂 （ －Ｙ ｌ 厂 Ｉ Ｖ Ｙ∈Ｒ （ ） Ｉ ２
实序 列 ｛ ： 成 为差 分 方 程 （ ） Ｙ｝ 一 １ 的一 个解 ， 若 当 ｎ≥０时 ， 此序 列 的各 项满 足方 程 （ ） １ 。称 为它
关键词
高 阶差分方程 Ｏ７ ． ； １５ ７
存在性
最终正解 Ａ
中图法 分类 号
文献标志码
由 于计 算 机 科 学 、 物 数 学 、 代 物 理 等 自然 生 现 科学 与边 缘科 学 的迅 速 发 展 ， 时滞 差 分 方程 稳 定 对 性 理 论 的 研 究 近 年 来 十 分 活 跃 。一 些 作 者 对 低
） ｎⅣ ， ≥
（ ）， Ⅳ Ⅳ 一 ≤ ｎ＜Ⅳ （） ７
非线性(p,q)-差分方程非局部问题的正解
非线性(p,q)-差分方程非局部问题的正解作者：禹长龙韩获德王菊芳邢厚民来源：《河北科技大学学报》2021年第04期摘要：为了完善非线性量子差分方程边值问题的基本理论，研究了二阶非线性（p，q）-差分方程非局部问题的可解性。
首先，计算线性（p，q）-差分方程边值问题的Green函数，研究Green函数的性质;其次，运用Banach压缩映像原理和Guo-Krasnoselskii不动点定理，获得二阶三点非线性（p，q）-边值问题正解的存在性和唯一性定理;再次，给出线性（p，q）-差分方程非局部问题的Lyapunov不等式;最后，给出2个实例，证明所得结果是正确的。
结果表明，在赋予非线性项f一定的增长条件下，非线性（p，q）-差分方程非局部问题正解具有存在性和唯一性。
研究结果丰富了量子差分方程可解性的理论，对（p，q）-差分方程在数学、物理等领域的应用提供了重要的理论依据。
关键词：非线性泛函分析;非线性（p，q）-差分方程;非局部问题;Banach压缩映像原理;Guo-Krasnoselskii不动点定理;正解中图分类号：O175.8 文献标识码：Adoi：10.7535/hbkd.2021yx04005收稿日期：2021-04-28;修回日期：2021-06-06;责任编辑：张士莹基金项目：国家自然科学基金（11201112）;河北省自然科学基金（A201520811）;河北省教育厅基金（ON2017065）第一作者简介：禹长龙（1978—），男，河北阳原人，副教授，硕士，主要从事微分方程边值问题、量子差分方程边值问题以及数值计算等方面的研究。
E-mail：*******************禹长龙，韩获德，王菊芳，等.非线性（p，q）-差分方程非局部问题的正解[J].河北科技大学学报，2021，42（4）：352-359.YU Changlong，HAN Huode，WANG Jufang，et al.Positive solutions for nonlocal problems of nonlinear （p，q）- difference equations[J].Journal of Hebei University of Science and Technology，2021，42（4）：352-359.Positive solutions for nonlocal problems of nonlinear （p，q）- difference equationsYU Changlong1，HAN Huode1，WANG Jufang1，XING Houmin2（1.School of Science，Hebei University of Science and Technology，Shijiazhuang，Hebei 050018，China;2.College of Letter and Science，University of California，Berkeley，California 94720，USA）Abstract：In order to improve the basic theory of boundary value problems for nonlinear quantum difference equations，in this paper，we study the solvability of nonlocal problems for second order three-point nonlinear （p，q）-difference equations.Firstly，the Green function of the boundary value problem of linear （p，q）-difference equation is calculated and the property of Green function is studied.Secondly，we obtain the existence and uniqueness of the positive solution for the problem by the Banach contraction mapping principle and the Guo-Krasnoselskii fixed point theorem in a cone.Next，we get the Lyapunov inequality for nonlocal problems of linear （p，q）-difference equations.Finally，two examples are given to illustrate the validity of the results.The results show that the existence and uniqueness of positive solutions for nonlocal problems of nonlinear （p，q）-difference equations are obtained，under the condition of nonlinear term f certain growth.The research results enrich the theory of solvability of quantum difference equations and provide important theoretical basis for the application of（p，q）-difference equation in mathematics，physics and other fields.Keywords：nonlinear functional analysis;nonlinear （p，q）-difference equation;nonlocal problem;Banach contraction mapping principle;Guo-Krasnoselskii fixed point theorem;positive solution量子微积分，又名q-微积分，是一类无极限的微积分，最早于20世纪初期由JACKSON[1-2]正式提出。
高阶微分方程边值问题3个正解的存在性
高阶微分方程边值问题3个正解的存在性高阶微分方程边值问题3个正解的存在性是非常重要的，也是微分方程研究中一个重要的内容。
以下是3个正解的存在性：
一、准正解存在性：准正解是指对一些高阶微分方程，当该微分方程满足特定条件时，存在唯一解。
二、启发正解存在性：这是一种可以作为准正解存在性的补充方法，即当微分方程不满足准正解的条件时，可以通过启发式方法求解。
三、近似正解存在性：这是一种用来求解高阶微分方程的近似方法，通过简化一定迭代次数之后，得到该微分方程的一个近似解，可以较快地求解微分方程，但精度不如准正解和启发正解。
总之，高阶微分方程边值问题3个正解的存在性有着重要的意义，其中包括准正解存在性、启发正解存在性和近似正解存在性。
三者都可以用来求解高阶微分方程边值问题，而且正确的选择不同的方法，就可能在求解时间方面以及精度方面取得一个很好的结果。
高阶非线性中立型差分方程组多正解的存在性
维普资讯
工
程
数
学
学
报
第 ２ 卷 ５
引理 １２ ’ 设 Ｋ 是 实 Ｂ ｎ ｃ ．（ 】 ａ ａｈ空 间 Ｘ 的一 个锥 ，Ｑ 是 Ｋ 的非 空有 界 开 凸子 集
，
豆 是 Ｑ 的
闭包 ，如 果算 子 ： 一 Ｋ 是一 个 严 格集 压 缩 算 子 ， 并且 （ ）ｃ Ｑ，那 么 不动 点指 豆 Ｑ
收稿 日期： ０ ６０ — ７ 作 者简介： 贺铁 山（９ ７ 月生） ２０－３ ． ０ １ ６ 年１ ，男 ，硕士，副教授． 研究方 向：非线性分析及其应用 基金项 目： 广东省教育厅 自 然科学研究项 目 ￣ （ ０ ０ ２ ．广州市科技计划项 目￣ ： ０ ６ｉＣ ３ １． Ｚ ３５ ） （ ０ ｊ— ０ ４ ） ２
并 改 进 了已有 的相 关 结 果 。 关键 词 ： 阶 非线 性 中立 型 差 分 方程 组 ； 多正 解 ； 不动 点指 数 高
分类号： Ｍ Ｓ２０） ９ １ Ａ （ ０ ３Ａ ０ ０
中图分类号： ７． Ｏ１５７
文献标识码： Ａ
１ 引言
差 分方 程解 的存 在 性 问题 ，在 理 论和 实践 中都有 着 十分 广泛 的 应用 。近 年来 ，许 多作 者Ｉ 卜】 研究 了纯量 中立型差分方程 的正解及 多正解 的存 在性，获得 了丰富的成果。相 比之下 ，
△ ｉ） ∑ｇ（ｘｋ ） ＋ １ 一ｉ ・， （一 ） ０ （ Ｘ 一 ｉｋｊ 一 Ｊ） （ （ Ｔ）一 ） ，１ （ ｊ，（ ） ） ｌ ， ＝ ）
ｊ ＝ｌ
ｋ ∈ Ｎ ， ｉ： １ ２ … ， ，， ｍ
多 正解 的存 在性 ，其 中 礼 ，如 ，
，
（ １
一类非自治整合分数阶微分方程解的存在唯一性
]
因为 ０ < ｋ < １ꎬ可得:Ｆ 是压缩映射ꎬ再运用引理 ３ꎬ可得 Ｆ 存在唯一不动点ꎬ则问题(１) 的解存在且唯
证毕ꎮ
３. 应用
考虑下述方程:
{
Ｔ α ｕ( ｔ) ＝ Ｍｅ －ｔ ｕ( ｔ) ＋ λ( ｔ)
ｕ(０) ＝ ｕ０
３ｅ －ｔ
ｕ( ｔ)
α ∈ (０ꎬ１) ꎬｔ ∈ Ｊ ＝ [０ꎬＴ]
引理 １
[６]
Ｉ α ( ｆ) ( ｔ) ＝
∫
ｔ
０
ｆ( ｘ)
ｄｘꎬｘ > αꎬ０ < α < １
ｘ１ －α
如果 ｆ ∈ Ｃ ( [ ａꎬ ＋ ∞ ) ꎬＲ) ꎬ则有
收稿日期:２０２１￣０１￣２２
１
作者简介:李雪竹(１９８８￣) ꎬ女ꎬ山西运城人ꎬ运城学院数学与信息技术学院助教ꎬ硕士ꎬ研究方向为微分方程及应用ꎮ
１
( Ｈ３) 存在 ｑ ∈ (０ꎬα) ꎬｈ() ∈ Ｌ ｑ [０ꎬＴ] 使得对任意 ｔ ∈ Ｊꎬ有 ‖ｆ( ｔꎬｕ( ｔ) ) ‖ ≤ ｈ( ｔ) ꎻ
１
( Ｈ４) 存在 ｒ ∈ (０ꎬα) ꎬｍ() ∈ Ｌ ｒ [０ꎬＴ] 使得对任意 ｔ ∈ Ｊꎬ
‖ｆ( ｔꎬｕ( ｔ) ) － ｆ( ｔꎬｖ( ｔ) ) ‖ ≤ ｍ( ｔ) ‖ｕ － ｖ‖
Ｐｕｂｌｉｓｈｅｒｓꎬ ２００９.
定理 ２
０ < ｋ ＝
证明
如果假设( Ｈ１) － ( Ｈ４) 成立ꎬ且
ＭＴ
＋ １ －ｒ
α
α－ｒ
α
１ －ｒ
Ｔ α －ｒ ‖ｍ‖ Ｌ １ｒ < １ꎬ则问题(１) 的解存在且唯一ꎮ
记 Ｍ ＝ ｍａｘ ‖Ｐ( ｔ) ‖ꎬ由定理 １ 可知ꎬ问题(１) 具有如下等价的积分表达式:
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
构成 的 Ｂ ｎｃ 间 ， 数定 义 为 ｌ Ｉ ｓ ｐＩ ｎ 。 ａａｈ空 范 Ｉ Ｉ ｕ ）Ｉ ｘ＝ （
下 面对 Ｐ的 不 同情 形进 行 讨 论 首 先 引入 记号
“
＝
为非 负整 数 ， ｛ ｎ ： 界 ； ≠ ０时 ， ） ＞ ０ 且 （ ） 有 当 八 ，
且 存在 常 数 ￡ 使 ，
ｌ 主要 结 果
定 理 设 Ｐ≠ １ 且存在非负实数序列 ｛（ ） ， ， ｑ ｎ ｝ 使得
ｌ ｎ ） －ｎ ） ≤ｑｎ ｌ — Ｉ ｘ ＿ ， 一 （ ， ｌ （ ） Ｙ ， ， ｎ≥Ｈ 厂 厂 Ｙ （ Ｖ Ｙ∈Ｒ ， ， ０
若有
究 ’ 。但在高阶 中立型差 分方程最终 正解 存在条 件 方面， 由于难度大， 研究工作甚少 。杨逢 建 、 贺铁 山
情 形 １ ０≤ Ｐ ＜ １ 由式 （ ） ２ 可知 ， 在充 分 大 的正 整数 Ⅳ， 得 存 使
ｔ － （ ）≤ ｔ ｌ ｎ ＇ｑ （ ４）
）＜
则该 方 程存 在 有界 的最终 正 ２ ｎ≥ Ｎ —ｒ ， １≤ ｎ ， ｝ 则 是 Ｅ 的有界 闭 凸 子集 。 定义 算 子 ７ ： 一 Ｅ如下 １ 力
分 别 研 究 了具 有可 变 时滞 的偶 数 阶 、 数 阶 中立 型 差 分 奇 方 程 △ （ ｒ ｐ （ ） （ｔ ）一 ｘ ｎ一 ）＋ｑ ｎ ＿ ｎ一 ｎ ） （ ）（ 厂 （ （ ） ）＝ ０ ｎ≥ 兀 正 解 的存 在 性 问 题 其 中 仇 ≥ ２ Ｐ为 常 数 ， ， ｆ １ ，
兀 （ ， ≥ｌ 一 ） ≥１
（） ３
Ｉ ）一厂） ｌ — 【 ， ＿ ） ≤ＬＩ ，Ｖ ）∈Ｒ （
都 得 到 了如下 结 论 ： 假 定 Ｐ≠ ±ｌ 函数 八 ）满足 上式 ， 有 ， 若
（ 一２ ！ ｍ ）
。 一
且 规 定 “ ＝ １。 ”
在 此基 础 上 ， 文 将讨 论 如 下 具 有 可 变 时 滞 的高 阶 论
非 自治中立型差分方程正解的存在性问题
△ （（ ）一 ｘｎ—ｒ ）＋ （ ，（ ｎ ｐ （ ） ｆ ｎ ｎ—ｏ（ ） ）：０ ｎ≥ ， －ｎ ） ，
（） １
（ Ｊｐ （ ） ＋ｎ ＋ ） 一 — 套 ：
对变量 连续 ， （ ， ）＝０ 且 当 ≠０时 ，ｆ ｎ ）＞ － ｎ０ 厂 ， ｘ（ ，
０． 记 ＝ｍａ ｛ （ ）｝ ｒ＝ｍａ ｛ ｝。 ｘ ｎ ， ｘ ，
南
（ ｎ１ ｑ） ｓ ＋） （ — ｓ
ｌ
收 稿 日期 ：０ ００ —８ ２ １－８２
作者简介 ： 允利（ ９０ ） 男， 郑 １７ ． ， 江苏铜 山人 ， 硕士 ， 主要从事差分方程和高职数学方面的研 究。
引 言
由于差 分 方 程 正 解 的存 在 条 件 与 系 统 是 否 可 解 和 振 动性 等许 多 问题 密 切相 关 ， 因此 对 差 分 方 程 正 解 的存 在性 问 题 的研究 也 引 起 了 大 批 学 者 的 关 注 。一 些 学 者 对低 阶 中 立 型 差 分 方 程 存 在 最 终 正 解 的 条 件 作 了 研
ｑｎ （ ）∈Ｒ， ｛ （ｔ 不最 终恒 为零 ， 为正 整数 ， （ｔ 且 ｑ ｒ ） ｆ ｋ ｔ ）
∑／ １ ， ＜。 ， ｇｚ 。 ｍ （）
则 方程 （ ） 在 有界 的最终 正 解 。 １存
（） ２
证 明 设 Ｅ表 示 由所 有 实 数 序 列 ＝ ｛ ｎ ｝： （ ）
【（２ ｒ ｎ Ⅳ ｒ￣ ￣ ≤ ＜ ｘ３ 一
门 当 ｎ≥ Ｎ时 ， ， 有
ｑｎ （ ≥５ ） Ⅳ） ，
首先证 明 Ｔ Ｅ上的压缩映射。对任意的 ， 为
ｌｘ —Ｔ ２ ≤Ｐｌ （ ）２ Ｈ—ｒ Ｉ ｌ ｘ ｌ ｎ一 （ ） Ｔ ｌ
＋
其 中 ｔ 是正 奇 数 ， 是 正 整 数 ，｛ （ ） 为 非 负 整数 序 Ｔ ｇ ｎ｝ 列 且 有 界 ； ｎ ： ，） Ｎ×Ｒ 只， 任 意 的 ｎ≥ ／ ， ｎ 一 对 １ ，） ， 。
Ｖｏ ． ３ Ｎｏ． １２ ６ Ｄｅ ２０ｌ ｃ． ０
文 章编 号 ：６ ３ １ ４ ２ １ ０ －６ ３０ １ ７ —５ ９（ ０ ０） ６ ０ ６ －３
高 阶非 自治 中立 型 差 分 方 程 的正解 存 在 性
郑 允 利
（ 州 生 物 工 程 职 业 技 术 学 院基 础 部 ， 苏 徐 州 ２ １０ ） 徐 江 ２０ ６
鱼 鱼
≤ （ ２ ）ｌ ｐ＋ ｌ
由此得
旦
『 ＝ Ｊ 。
堂堕堂 鱼 兰 ２ 垫（ 鉴
ｎ ）≤ｐ２ －１
±！ 旦
一Ｔ ＝泌 』ｘ（ ）一Ｔ： ｎ ｝ ｌｘ Ｊ Ｔ ｘｌ ｌ Ｔ ｎ ｘ（ ）
： Ｐ ｘ（ ）一Ｔ： ｎ １ 。ｎ ｊ Ｔ ｘ（ ） ≤ 一 ｝ （） ： ！ ６
第２ ３卷 第 ６期
２１ ０ ０年 ｌ 月 ２
四 川理 工 学 院学报 （自然科 学版 ）
Ｊ ｕｎ ｌ ｆ ｉｈ ａ ｎｖ ｒｉ ｆ ｃｅ ｃ ｏ ｒａ ｃ ｕ ｎ Ｕ ｉｅｓ ｙｏ ｉｎ ｅ＆ Ｅ ｇｎ ｅｉｇ Ｎａｕａ ｃｅ ｃ ｄｔ ｎ ｏＳ ｔ Ｓ ｎ ｉｅ ｒ （ ｔｒｌＳ ｉｎ ｅＥ ｉ ｏ ） ｎ ｉ
摘 要 ： 用 不动 点原 理 研 究 了一 类 高阶 非 自治 中立 型 差 分方 程 的正 解存 在 性 问题 ， 到 了该 方程 利 得 最终 有 界 正解 存在 的一 个 充分 条件 ， 个 充分 条件 较 已有文 献 中的结 论 更 简洁 。 这
关键 词 ： 高阶 中立 型 差分 方程 ； 在性 ； 界 正解 ； ａ ａｈ空 间 存 有 Ｂｎｃ 中图分 类 号 ： ７ ． ０１５ ７ 文 献标 识 码 ： Ａ