计算声学第一章 数值计算中的误差分析
《数值计算的误差》课件
常见的误差类型
1 绝对误差
绝对误差是指数值计算结果与真实值之间的 差异的绝对值。
2 相对误差
相对误差是指数值计算结果与真实值之间的 差异与真实值的比值。
3 截断误差
截断误差是由于计算方法中所采用的有限精 度导致的误差。
4 舍入误差
舍入误差是由于将无限精度的数值结果截断 为有限精度导致的误差。
Hale Waihona Puke 误差分析的方法前向误差分析
通过正向推导和逐步改进方法，分析误差在计算过 程中如何积累。
后向误差分析
通过反向推导和逆向改进方法，分析误差在计算过 程中如何传播。
误差的减小技术
1
增加迭代次数
2
通过增加迭代次数来逐渐逼近精确结果，
减小误差的影响。
3
提高精度
使用更高精度的计算方法和数据类型来 减小误差的累积。
优化算法
优化算法可以减小误差的产生，并提高 计算效率。
实际应用中的误差控制
科学计算
在科学研究和工程领域中，准 确的数值计算结果对实际应用 至关重要。
金融领域
在金融市场中，准确计算利息、 风险和收益是关键，误差可能 导致巨大损失或风险。
物理模拟
在物理模拟中，误差的积累可 能导致模拟结果与真实现象之 间存在显著差异。
总结
数值计算的误差是不可避免的，但我们可以通过技术和方法来减小误差的影 响。了解误差类型和分析方法对提高计算结果的准确性和可靠性至关重要。
《数值计算的误差》PPT 课件
欢迎来到《数值计算的误差》的PPT课件。在本课程中，我们将深入探讨数值 计算中常见的误差类型，并学习如何分析和减小这些误差。
数值计算中的误差课件
内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作
四、误差的传播与估计
1、误差估计的一般公式
在实际的数值计算中，参与运算的数据往往都 是些近似值，带有误差。这些数据误差在多次 运算过程中会进行传播，使计算结果产生误差。 而确定计算结果所能达到的精度，显然是十分 重要的，但这往往也是件很困难的事。但做一 些有用的估计还是可以做到的。这里介绍一种 常用的误差估计的一般公式，它是利用函数的 泰x2
)*
.
* r
(
x
2
)
x1* ( f )* 和 x2* ( f )*
y* x1
y* x2
分别是x1*和x2*对y *的绝对误差增长因子，它
们分别表示绝对误差
* r
(
x1
)和
* r
(
x2
)
经过传播后增大或缩小的倍数。
内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作
2、误差在算术运算中的传播
2 误差的含义及其理解
误差无处不在。一个合理的算法也可能得出错误的结果。
内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作
3 算法的数值稳定性
算法选得不恰当，不仅影响到计算的速度和效率，还会 由于计算机计算的近似性和误差的传播、积累直接影响到计 算结果的精度，有时甚至直接影响到计算的成败。不合适的 算法会导致计算误差达到不能容许的地步，而计算最终失败， 这就是算法的数值稳定性问题。
•几点注意
•有效数尾部的零的作用 203（3），0.0203（3），
0.0203（3），0.020300（5）
•存疑数字：准确值 x* 0.1524 ，近似值 x 0.15 4
数值计算中的误差估计与分析
数值计算中的误差估计与分析在数值计算中，误差是无法避免的。
无论是数值积分、求根、线性方程组求解还是常微分方程求解，我们都需要对误差进行估计与分析，以保证结果的可靠性。
1.舍入误差：计算机中数字的存储精度是有限的，常用的浮点数表示法只能表示有限位数的小数。
当进行计算时，由于舍入操作会使结果产生一定的误差。
舍入误差是由于浮点数计算机表示能力造成的，它依赖于计算机所采用的机器数系统。
2.截断误差：在数值计算方法中，我们通常会使用有限项的级数展开式或多项式插值来近似解析解。
但由于展开或插值时的截断限制，会导致结果与真实结果之间的误差。
3.近似误差：数值计算方法本身就是在对问题进行近似求解，所以解的精确性受到近似精度的限制。
比如，对于数值积分来说，选择积分点的个数、插值多项式的次数都会影响结果的准确性。
4.舍入误差传播：在多步计算的过程中，每一步的舍入误差都会传播到下一步计算中，进而影响最终结果。
舍入误差的传播是一个累积效应，有时即使每一步舍入误差非常小，但在多步计算的累加下，也会导致结果产生很大的误差。
二、误差估计方法1.精度估计：对于一些数值方法，可以通过理论分析推导出误差的范围。
例如，对于数值积分，可以通过误差估计公式进行分析。
这种方法需要对问题进行数学建模，并具备一定的数学推导能力。
2.实验估计：对于一些复杂问题，很难通过理论分析得到精确的误差范围。
此时可以通过实验的方式来估计误差。
实验方法可以是计算机模拟实验，也可以是通过比较数值方法与解析解的差异来估计误差。
3.改进方法：除了估计误差大小，我们还可以通过改进数值方法来减小误差。
比如，可以采用更高阶的数值积分公式、使用更精确的数值微分方法等。
这些改进方法在一定程度上可以提高数值计算的准确性，并减小误差。
三、误差分析策略1.迭代策略：很多数值方法都是通过迭代来逐步逼近真实解的。
在迭代过程中，我们可以通过观察迭代序列的变化情况来判断结果是否趋近真实解，以及误差的变化是否在可接受范围内。
计算声学第一章-数值计算中的误差分析
§2 误差与数值计算的误差估计
一元函数的泰勒（Taylor）中值定理：
如果函数 f x 在区间 a,b内有直到 n 1 阶导数，
x0, x a,b ，则有
§2 误差与数值计算的误差估计
结论：如果 x* (a1 101 a2 102 an 10n ) 10m ,
a1 0 ，有 n 位有效数字，则其相对误差限为
Er (x*)
1 2a1
10( n 1)
反之，如果 x* 的相对误差限满足
Er (x*)
1 2(a1 1)
10( n 1)
则 x* 至少有 n 位有效数字。
三维海洋环境下特征声线求解（线性方程组、非线性方程、 非线性方程组）
1. 牛顿法迭代法： 泰勒级数展开式的线性部分近似
2. 进化算法： 遗传算法、模拟退化算法、粒子群算法等
前言
曲线拟合：已知目标散射场指向性的实验测量结果如图
所示，如何比对其与理论计算结果的误差？
130 铝球散射声场指向性 频率 f 28 kHz
§2 误差与数值计算的误差估计
例1.3
要使 20 的近似值的相对误差小于1% ，至少需取几
位有效数字？
§2 误差与数值计算的误差估计
误差的传播与估计
实际的数值计算中，参与运算的数据往往都是近似值， 带有误差。而在进一步运算中都会产生舍入误差或截断误 差，这些误差在运算过程中会进行传播，影响计算结果。
前言
海洋环境
声源
海洋信道
水听器阵
前言
波动方程：
波动方程是声学量在声场中满足的基本关系式，反映了波动 特征，也是进行声场计算的基本关系式。在导出波动方程前， 为了使问题简化，需要对介质和声波做一些假设： （1）介质是均匀连续的，即在波长数量级距离内，介质的声
数值计算中的误差优秀课件
所谓数值计算方法，是指将所欲求解的数学
模型（数学问题）简化成一系列算术运算和逻辑 运算，以便在计算机上求出问题的数值解，并对 算法的收敛性和误差进行分析、计算。这里所说 的“算法”，不只是单纯得数学公式，而且是指 由基本的运算和运算顺序的规定所组成的整个解 题方案和步骤。一般可以通过框图（流程图）来 较直观地描述算法的全貌。
问题急待解决。它们的复杂程度已达到非手工计 算所能解决的地步。数字式电子计算机的出现和 飞速发展大大推动了数值计算方法的进展，许多 复杂的数值计算问题现在都可以通过电子计算机 进行数值计算得到妥善解决。
用数值计算的方法来解决工程实际和科学技 术中的具体技术问题时，首先必须具体问题抽象 为数学问题，即建立起能描述并等价代替该实际 问题的数学模型，例如各种微分方程、积分方程 、代数方程……等等，然后选择合适的计算方法 ( 算法），编制出计算机程序，最后上机调试并 进行计算，以得到所欲求解的结果。
表1-1
12 3 4
序 算式
号
计 算结 果
2 7/5
2 17 /12
2 1 6
2 5
6
0.004096152
6
0.005233
99 70 2 1
1 0.166667 6
1 2 1
6
5 12
6
0.0052331229
6
0.005020
1 99 70
2
1 197
0.005076
加法。若用著名秦九韶（我国宋朝数学家）算法
，将多项式P(x)改成
P(x) ((((an x an1)x an2)x a2)x a1)x a0
来计算时,只要做n次乘法和n次加法即可。 对于小型问题，计算的速度和占用计算机内
数值计算的误差
≈ 1 − 0.3333 + 0.1000 − 0.0238
= 0.7429
舍入误差
5
绝对误差
定义：设 x 为精确值，x* 为它的一个近似值，则称
e* = x* - x
为近似值 x* 的绝对误差，有时简称误差。
绝对误差可正可负 绝对误差通常是不可知的
x — 精确值 x* — 近似值
定义：存在一个正数 ε* ，使得，
第一章数值计算的误差是人们用来描述数值计算中近似解的精确程度是科学计算中的一个十分重要的概念机器字长有限舍入误差在数值分析中我们总假定数学模型是准确的因而不考虑模型误差和观测误差主要研究截断误差和舍入误差对计算结果的影响解法之一
第一章
数值计算的误差
1
内容提要
误差 误差的来源 绝对误差与相对误差 误差限 有效数字 误差估计
记 ε (x*) 为 x* 的误差限，则有
( ) ( ) ( ) ε x1∗ ± x2∗ ≤ ε x1∗ + ε x2∗ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ε x1∗x2∗ ≤ x2∗ ε x1∗ + x1∗ ε x2∗ + ε x1∗ ε x2∗
( ) ( ) ≈ x2∗ ε x1∗ + x1∗ ε x2∗
∑n
ε ( f(x*) ) ≈
k =1
∂f ( x*) ∂xk
ε ( xk *)
例：测得某场地的长 L 和宽 D 分别为：L*=110m, D*=80m。 其测量误差限分别为 0.2m 和 0.1m。 试求面积 S 的绝对误差限和相对误差限。
解：板书（教材第 8 页例 4）
14
内容提要
误差 误差分析与数值稳定性
数值计算中的误差分析研究
数值计算中的误差分析研究在数值计算中，误差是一个不可避免的问题。
无论是数学模型的建立还是计算方法的选择，都会引入不同程度的误差。
因此，对误差进行准确的分析和评估，对于保证计算结果的可靠性至关重要。
一、误差类型及来源分析在数值计算中，误差可分为四大类：截断误差、舍入误差、模型误差和数据误差。
下面将针对每一类误差进行详细的分析。
1. 截断误差截断误差是由于采用近似方法而引起的误差，主要来源于数值计算中尽可能使用有限计算量的方法。
常见的截断误差包括级数截断误差和差分截断误差。
级数截断误差是在将无穷级数截断为有限项时引入的误差，而差分截断误差则是在对导数或积分进行差分时产生的误差。
2. 舍入误差舍入误差是由于计算机无法进行无限精度的计算而引入的误差。
计算机在进行计算时都需要将浮点数转化为有限位的二进制表示，从而导致了舍入误差的出现。
常见的舍入误差包括绝对误差和相对误差。
绝对误差是实际值与近似值之间的差异，而相对误差是绝对误差与实际值之间的比率。
3. 模型误差模型误差是由于在数值计算中所采用的数学模型与实际问题之间存在差异而引入的误差。
在数学模型的建立过程中，通常会进行一系列的简化和假设，这些简化和假设都会对计算结果产生一定的影响。
模型误差的大小主要取决于模型的准确性和适用性。
4. 数据误差数据误差是由于实际测量或输入数据的有限精度而引入的误差。
无论是实验数据还是观测数据，在进行数值计算时都需要进行一定的近似处理，而这种近似处理往往会导致数据误差的产生。
数据误差的大小与测量设备的精度、数据采集的方法以及数据传输的过程有关。
二、误差分析方法与评估误差分析是对误差进行定量评估和分析的过程，其目的是确定误差的大小和对计算结果的影响程度。
常见的误差分析方法包括误差界定、误差传递和灵敏度分析等。
1. 误差界定误差界定是通过确定近似值与真实值之间的差异来评估误差的大小。
在数值计算中，常常使用绝对误差和相对误差来界定误差。
声学参数测量与实验误差分析
声学参数测量与实验误差分析声学参数测量是声学研究和工程实践中的重要环节，它涉及到声音的传播、反射、吸收等各种现象的定量描述。
然而，在实际测量中，由于各种原因，总会存在一定的误差。
本文将探讨声学参数测量中的实验误差，并进行分析和讨论。
声学参数测量中的实验误差可以分为两大类：系统误差和随机误差。
系统误差是由于测量仪器、测量方法或环境条件等固有的偏差而引起的误差。
随机误差则是由于测量过程中的不确定性因素引起的，如测量仪器的精度、人为误差等。
首先，我们来讨论系统误差。
系统误差是由于测量仪器或方法的固有偏差引起的，这种误差在每次测量中都存在，并且对结果产生一定的偏离。
例如，声压级的测量中，使用的测量仪器可能存在灵敏度不均匀、频率响应不平坦等问题，这些问题都会对测量结果产生一定的影响。
为了减小系统误差，我们可以采取一些校正措施，如使用标定器对仪器进行校准，选择合适的测量方法等。
其次，我们来讨论随机误差。
随机误差是由于测量过程中的不确定性因素引起的，它是无法完全消除的。
例如，声音传播的测量中，环境条件的变化、测量人员的操作技巧等都会对测量结果产生一定的影响。
为了减小随机误差，我们可以采取一些措施，如增加测量次数，取平均值，进行数据处理等。
除了系统误差和随机误差外，还存在一些其他的误差来源。
例如，由于测量仪器的限制或测量条件的限制，无法完全准确地测量到某些参数。
此外，测量过程中可能还存在一些不可避免的人为误差，如读数误差、操作误差等。
这些误差虽然无法完全消除，但可以通过合理的实验设计和严格的操作流程来减小其影响。
在实验误差分析中，还需要考虑数据处理的方法。
常见的数据处理方法包括平均值法、最小二乘法、相关分析等。
这些方法可以对实验数据进行统计分析，从而得到更准确的结果。
此外，还可以进行不确定度分析，以评估测量结果的可靠性和精度。
综上所述，声学参数测量中存在着实验误差，其中包括系统误差和随机误差。
为了减小误差的影响，我们可以采取一些校正措施和数据处理方法。
第一章 数值计算中的误差分析
时，则得 e ≈ 2.72, e ≈ 2.71828 。
不管取几位小数得到的近似数，其绝对误差都不超过末位数
的半个单位，即 e − 2.72 ≤ 1 ×10−2 , e − 2.71828 ≤ 1 ×10 −5.
2
2
� “有效数字”的概念：若近似值 x* 的绝对误差限是某一位
的半个单位，就称其“准确”到这一位，且从该位直到 x* 的
� 数值计算主要过程：实际问题→建立数学模型→设计 高效、可靠的数值计算方法→程序设计→上机计算求 出结果。
数值计算方法不同于纯数学：它既具有数学的抽象性与严 格性，又具有应用的广泛性与实际试验的技术性，它是一门与计 算机紧密结合的实用性很强的有着自身研究方法与理论系统的 计算数学课程。
1
� 数值计算方法的特点：提供能让计算机直接处理的，切
例如，用毫米刻度的直尺去测量一长度为 x 的物体，测得其
近似值为 x* = 84mm ，由于直尺以毫米为刻度，所以其误差不超
过 0.5mm，即 x − 84 ≤ 0.5(mm) 。这样，虽然不能得出准确值 x 的
长度是多少,但从这个不等式可以知道 x 范围是
83.5mm ≤ x ≤ 84.5mm ，即 x 必在[83.5mm,84.5mm]内。
根据“数值计算”的特点，首先应注意掌握数值计算方法 的基本原理和思想，注意方法处理的技巧及其与计算机的密 切结合，重视误差分析、收敛性及稳定性的基本理论；其次 还要注意方法的使用条件，通过各种方法的比较，了解各种 方法的异同及优缺点。
2
§1.2 误差与数值计算的误差估计
一、误差的来源与分类 在数值计算过程中，估计计算结果的精确度是十分重要的工 作，而影响精确度的因素是各种各样的误差，它们可分为两大类： 一类称为“过失误差”，它一般是由人为造成的，这是可以避免 的，故在数值计算中我们不讨论它；而另一类称为“非过失误差”， 这在“数值计算”中往往是无法避免的，也是我们要研究的。 � 按照误差的来源，误差可分为四种：模型误差、观测误差、 截断误差、舍入误差。 1．模型误差 用数值计算方法解决实际问题时，首先必须建立数学模型． 由于实际问题的复杂性，在对实际问题进行抽象与简化时，往往 为了抓住主要因素而忽略了于次要因素，这就会使得建立起来的 数学模型只是复杂客观现象的一种近似描述，它与实际问题之间 总会存在一定的误差．我们把数学模型与实际问题之间出现的误 差称为模型误差。 2．观测误差 在数学模型中往往包含一些由观测或实验得来的物理量，由 于工具精度和测量手段的限制，它们与实际量大小之间必然存在 误差。 3．截断误差 由实际问题建立起来的数学模型，在很多情况下要得到准确 解是困难的，通常要用数值方法求出它的近似解。例如常用有限
第1章 误差分析
第1章误差分析利用计算机进行数值计算几乎全都是近似计算：计算机所能表示的数的个数是有限的，我们需要用到的数的个数是无限的，所以在绝大多数情况下，计算机不可能进行绝对精确的计算。
定义：设x *为某个量的真值，x为x *的近似值，称x *- x为近似值x的误差，通常记为e(x)，以表明它是与x有关的量。
与误差作斗争是时计算方法研究的永恒的主体，由于时间和经验的关系，我们仅对这方面的只是做一个最基本的介绍。
1.1 误差的来源误差的来源是多方面的，但主要来源为：描述误差，观测误差，截断误差和舍入误差。
1描述误差为了便于数学分析和数值计算，人们对实际问题的数学描述通常只反映出主要因素之间的数量关系，而忽略次要因素的作用,由此产生的误差称为描述误差。
对实际问题进行数学描述通常称为是建立数学模型，所以描述误差也称为是模型误差。
2观测误差描述实际问题或实际系统的数学模型中的某些参数往往是通过实验观测得到的。
由试验得到的数据与实际数据之间的误差称为观测误差。
比如我们用仪表测量电压、电流、压力、温度时，指针通常会落在两个刻度之间，读数的最后一位只能是估计值，从而也产生了观测误差。
3.舍入误差几乎所有的计算工具，当然也包括电子计算机，都只能用一定数位的小数来近似地表示数位较多或无限的小数，由此产生的误差称为舍入误差。
4.截断误差假如真值x*为近似值系列{x n}的极限,由于计算机只能执行有限步的计算过程，所以我们只能选取某个x N作为x*的近似值，由此产生的误差称为截断误差。
我们可以通过函数的泰勒展式来理解截断误差：设f(x)可以在x=x0处展开为泰勒级数，记f N(x)为前N+1项的和，R N(x)为余项，如果用f N(x)近似表示f(x)，则R N(x)就是截断误差。
提示：在我们的课程中，重点是考虑尽可能减小截断误差，尽可能消除舍入误差的副作用。
1.2 误差基本概念1.绝对误差与相对误差定义：设x*为某个量的真值，x为x*的近似值，我们称|x*- x|为近似值x的绝对误差；称|x *- x|/|x*|为近似值x的相对误差。
数值计算中的误差
曲线拟合的最小二乘法
法方程：带权离散内积 正交多项式法：关于离散点集的带权正交多项式
3
第四章
数值积分
插值型求积公式
机械求积公式，代数精度及其计算方法，收敛性，稳定性 梯形公式，抛物线（Simpson）公式，Newton-Cotes公式 余项估计（三步曲）
复合求积公式：复合梯形公式，复合Simpson公式 Romberg算法
梯形法的递推计算，Romberg外推思想与计算过程
Gauss求积公式
Gauss点的计算，Gauss系数的计算 Gauss-Legendre公式，Gauss-Chebyshev公式
数值微分
向前一阶差分，向后一阶差分，余项计算 中心差分（一阶导数，二阶导数，推导过程），余项计算
4
正交多项式
正交多项式族，首项系数为 1 的正交多项式递推公式 Legendre多项式，Chebyshev多项式，Chebyshev插值多项式
最佳逼近
最佳平方逼近：法方程，Hilbert矩阵，正交多项式法(推广到一般区间) n 次多项式的 n-1 次最佳一致逼近(推广到一般区间) ，Chebyshev级数
Hermite 插值
两点三次，三点三次，推导过程，余项推导
分段低次插值
分段线性插值，分段Hermite插值，余项推导
三次样条插值
三次样条函数，三弯矩方程2第三章源自范数与内积函数逼近
范数与内积的定义，常见范数与内积：Rn, C[a, b] 正交，Cauchy-Schwarz 不等式，Gram矩阵 带权内积，权函数，内积导出范数
第一章 数值计算中的误差
第一章数值计算中的误差
用 x ± ε 表示一个近似值，这在实际计算中很不方便。当在实际运算中遇到的数的位数 很多时，如π ， e 等，常常采用四舍五入的原则得到近似值，为此引进有效数字的概念。
定义 3：当近似值 x* 的误差限是其某一位上的半个单位时，我们就称其“准确”到这一位，
xn n!
&1+
x
+
x2 2!
+"+
xn n!
近似代替
ex
，这时的截断误差为
Rn
(x)
=
eξ (n +1)!
x n +1
,
ξ 介于 0 与 x 之间。
这种误差就是截断误差。
sin x = x − x3 + x5 − ...... , 用近似计算公式 sin x ≈ x - x3 + x5 截断误差估计
实际问题→数学模型→计算方法→程序设计→上机计算 由实际问题应用有关科学知识和数学理论建立数学模型这一过程，通常作为应用数学的 任务。而根据数学模型提出求解的计算方法直到编出程序上机算出结果，进而对计算结果进 行分析，这一过程则是计算数学的任务，也是数值计算方法的研究对象。 数值计算方法（也称数值分析或计算方法）是计算数学的一个主要部分，它是一门把数 学理论与计算机紧密结合起来进行研究的实用性很强的学科。它主要研究用计算机求解各种 数学问题的数值方法及其相关理论。
的绝对误差限为 0.0005
显然，误差限 ε(x)总是正数，且
ε (x) = x − x* ≤η
(1.3.3)
即
x * −η ≤ x ≤ x * +η
这个不等式，在应用上常常采用如下写法
x = x * ±η
(1.3.4) (1.3.5)
数值计算中的误差课件
截断误差
01
02
03
04
截断误差是由于对无限循环小 数或无穷级数进行截断而产生
的误差。
当我们使用有限项来近似表示 一个无限循环小数或无穷级数
时，就会产生截断误差。
截断误差的特点是它是一个无 界误差，可能会随着近似项的 增加而逐渐减小，但永远不会
VS
结论
根据误差分析报告，得出关于模型准确性 的结论。例如，如果误差分析结果表明模 型预测结果不够准确，那么需要进一步改 进模型或调整模型参数。
THANKS
感谢观看
数据类型
选择适当的数据类型可以减少计算过程中的误差。例如，对于精度要求较高的 计算，应使用浮点数；对于范围较大的数值，应使用定点数。
利用数值稳定性技巧
舍入策略
采用适当的舍入策略可以减少误差。例如，四舍五入或向上取整可以减少舍入误 差。
迭代收敛
通过迭代法求解方程时，应选择收敛速度较快的算法以减少误差。例如，梯度下 降法和牛顿法具有较好的收敛性能。
03
算法误差分析
迭代法与收敛性
迭代法
迭代法是一种通过不断逼近解来 求解方程的方法。常见的迭代法 有Jacobi迭代法、Gauss-Seidel
迭代法等。
收敛性
收敛性是指迭代法是否能得到准确 解的过程。一般来说，收敛速度越 快，误差越小。
误差分析
对于不同的迭代法，需要进行误差 分析，比较各种方法的优劣。
最小二乘法与回归分析
数据拟合
最小二乘法可以找到最佳 拟合数据的数据集，但可 能存在过拟合现象。
病态性
当数据集具有病态性时， 使用最小二乘法可能导致 误差增大。
计算方法(1)-数值计算中的误差
f
(x1, x2 )
f
(x1*, x2* )
f x1
*
(x1
x1* )
f x2
*
(x2
x2* )
1 2!
2 f x12
*
(x1
x1* )2
2
2 f x1x2
*
2
§1 引言
一.用数值计算方法解决实际问题 的步骤
1.将实际问题抽象成数学问题,即建立 数学模型;
2.选用合适的算法,编制出计算机程序; 3.上机调试并计算,以得出所欲求解的
结果.
3
二.数值计算方法
1.定义 将所欲求解的数学模型简化
成一系列算术运算和逻辑运算,以便在计 算机上求出问题的数值解,并对算法的收 敛性、稳定性和误差进行分析、计算.
21
例: 比较算法
① 计算 3.01 3 (精确到第五位数字).
② 计算 1 cosx .
2.乘法运算的误差传播
* r
n
xi
n
* r
(
xi
)
i1 i1
1) 近似值之积的
相对误差等于相乘
各因子的相对误差
的代数和.
n i 1
xi
误差增长因子16的绝对误差的倍数经传播后增大或缩小表示增长因子的绝对误差缩小的倍数经传播后增大或表示的绝对误差增长因子的相对误差的倍数经传播后增大或缩小表示增长因子的相对误差缩小的倍数经传播后增大或表示的相对误差增长因子误差增长因子的绝对误差增长因子的相对203
数值计算中的误差分析
数值计算中的误差分析在数值计算中，误差是一个不可避免的问题。
无论是在实际应用中还是在理论研究中，我们都需要对计算结果中的误差进行分析和评估。
本文将探讨数值计算中的误差分析方法和其在实际应用中的重要性。
一、误差的来源与分类在数值计算中，误差可以来源于多个方面。
主要可以分为以下两类：1.截断误差截断误差是由于数值计算中采用有限的近似方法而引入的误差。
在求解数学问题时，为了简化运算或逼近实际情况，我们通常需要对数学模型进行近似处理。
这个过程中，我们往往需要将无穷级数截断为有限项，或者使用近似公式。
这些近似方法往往会引入截断误差。
当近似的项数增多时，截断误差会减小。
因此，截断误差可以通过增加计算的精确度来降低。
2.舍入误差舍入误差是由于计算机内部存储数值时产生的。
计算机内部采用有限的二进制表示数值，因此会存在舍入误差。
特别是在进行数值计算时，计算机需要将结果截断或者四舍五入到有限位数。
这个过程中，会引入舍入误差。
舍入误差的大小取决于计算机的精度和数值的表示范围。
为了减小舍入误差，我们需要选择合适的计算精度或者采用更高级别的计算机。
二、误差分析方法为了评估数值计算中的误差，我们需要采用一些误差分析方法。
以下是常用的几种方法：1.绝对误差与相对误差绝对误差和相对误差是最直观、常用的误差度量方法。
绝对误差是指计算结果与真实值之间的差距，用于衡量计算结果的准确性。
相对误差是绝对误差除以真实值的比值，用于衡量计算结果的相对准确性。
绝对误差和相对误差越小，计算结果越接近真实值。
2.截断误差估计在数值计算中，我们经常需要通过截断误差来评估近似方法的精度。
截断误差估计方法可以根据近似方法的性质和推导出来的误差界，对近似结果进行误差估计。
这种方法通常需要对数学模型和数值方法有一定的了解和掌握。
3.稳定性分析稳定性分析是评估数值计算方法对输入数据中扰动的敏感程度。
当输入数据存在微小变化时，计算结果也会相应地发生变化。
稳定性分析可以帮助我们判断计算方法的可靠性，并找到对输入数据扰动不敏感的计算方法。
数值计算方法第一章 误差
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误差的来源
4.舍入误差 在计算过程中往往要对数字进行舍入。 如受机器 字长的限制，无穷小数和位数很多的数必须舍入成 一定的位数。 这样产生的误差称为“舍入误差”。 本课程只讨论截断误差与舍入误差对计算结 果的影响。
§1.2 绝对误差、相对误差和有效数字
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绝对误差、相对误差和有效数字
1.2.1
绝对误差与相对误差
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x* 0.a1a2 an 10m
如果
1 x x 10 m n 2
*
(1-5)
(1-6)
* x 则称近似值 有n位有效数字。
1 5 x 0 . 003400 10 例如 表示近似值0.003400准确 2
到小数点后第5位,有3位有效数字。
上面的讨论表明，可以用有效数字位数来刻划 误差限。 形如式(1-5)的数，当m一定时，其有效数字 数位n越大，则误差限越小。
但可以根据测量 能算出绝对误差 e( x*) 的准确值， 工具或计算的情况估计出它的取值范围，
8
绝对误差、相对误差和有效数字
即估计出误差绝对值的一个上界
e( x ) x x
* *
*
(1-2)
通常称 为近似值 x 的绝对误差限，简称误差限。 显然误差限不是唯一的。 有了误差限及近似值，就可以得到准确值 的范围 * * 即准确值 x
* 显然，误差限与近似值绝对值之比 * 为 x 的 一 x
个相对误差限。
例 取3.14作为 相对误差限.
的四舍五入的近似值,试求其
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绝对误差、相对误差和有效数字
1 2 3 . 14 0 . 0016 10 解: 2 相对误差限 1 2 10 2 0.159 % * x 3.14 又如 由实验测得光速近似值为 c * 2.997925 105 km/s， 其误差限为 0.1 km/s， 于是
数值计算中的误差
数值计算中的误差数值计算过程中的误差是指由于各种原因产生的计算结果与真实结果之间的差异。
这些误差可以分为三类：截断误差、舍入误差和传播误差。
截断误差是由于计算过程中的近似方法导致的误差。
在数值计算中，通常使用有限的计算步骤来近似数值。
例如，使用泰勒级数展开式来近似一个函数，需要截断级数并且只保留有限的项。
这种近似方法会引入截断误差。
另一个例子是数值积分，将一个连续函数的积分区间离散化为有限个小区间，每个小区间的面积用一个代表性的值来近似。
这种近似方法也会引入截断误差。
舍入误差是由于计算机在进行数值计算时所产生的误差。
计算机中使用二进制来表示数字，而大多数实数是无法精确地用有限的二进制位数来表示的。
当进行数值计算时，计算机必须对数字进行舍入，即将无限位数的数字截断为有限的位数。
这种舍入操作会导致计算结果与实际结果之间产生误差。
另外，计算机在进行加减乘除等运算时，会出现舍入误差。
例如，计算机对两个非常接近的数字进行相减时（称为“减法消失现象”），由于舍入误差的累积，可能会得到一个较大的误差。
传播误差是由于数值计算中的多个步骤之间的误差传播而产生的误差。
当计算过程中的一个步骤的输出作为下一个步骤的输入时，前一步骤的误差会传播到后一步骤，从而导致误差的累积。
例如，在求解微分方程的数值方法中，每个时间步长的计算结果会成为下一个时间步长的初始值。
如果每个时间步长都具有一定的误差，误差会逐渐累积并导致整个计算过程的误差增加。
为了减小数值计算中的误差，一些方法可以采取。
例如，增加计算的精度，使用更高阶的近似方法来减小截断误差；使用更大的计算单位，避免舍入误差的累积；结合多个数值方法，控制误差传播。
此外，还可以通过数值稳定性的分析和合理的算法设计，来降低误差的产生和传播。
总之，数值计算中的误差是不可避免的，但可以通过合理的方法和技术来减小误差并提高计算结果的准确性。
对于一些关键性的计算，还可以通过数值计算的验证方法，如重复计算、精确解的对比等，来评估计算结果的可靠性和准确性。
第一章数值分析(误差分析)
* e x x * e r * * x x x x* er 则称η 为 x* 的相对误差限。 x
如果
这时 x=10,
x*=10±1;
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第一章 绪论与误差分析
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本章内容安排
1. 目的意义：了解计算数学的背景知识；掌握误 差的基本知识 2.重 点：误差来源、误差表示、误差传播 及算法设计原则 3.难 点：有效数字 4.内容分配： 第 1 次：§1 计算数学研究的对象和内容 第
§2 误差的来源和分类 2 次：§3 误差的表示 §4 误差的传播 §5 算法设计的若干原则
由于计算机的字长有限，参加运算的数据以及计算结 果在计算机上存放时，计算机会按舍入原则舍去每个数据 字长之外的数字，从而产生误差，这种误差称为舍入误差 或计算误差。 例如，在十进制十位的限制下，会出现 (1.000002)2-1.000004=0
这个结果是不准确的，准确的结果应是 (1.000002)2-1.000004 =1.000004000004-1.000004=4×10-12 这里所产生的误差就是计算舍入误差。 在数值分析中，一般总假定数学模型是准确的，因而 不考虑模型误差和观测误差，主要研究截断误差和舍入误 差对计算结果的影响。
则有误差限 |x-x*|≤1= εx ,
虽然εy是εx 的3倍，但在1000内差3显然比10内差1更精确 些。这说明一个近似值的精确程度除了与绝对误差有关 外，还与精确值的大小有关，所以这时可以用相对误差 来比较这两个近似数的准确度。
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第一章 绪论与误差分析
e x x 定义1 .2 记 er x x 则称其为近似值 x *的相对误差。 由于 x 未知， 实际使用时总是将 x * 的相对误差取为
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x 10
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前言
输 入 周 期 信 号 +噪 声 0.2
0.15
0.1
0.05
0
-0.05
-0.1
-0.15
-0.2
0
0.5
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前言
SR处 理 后 信 号 2
k11 sin 1 r sin k22 sin 2
12
12 H
2 2
22 Z
2 2
(k1 (k2
n2 (k1 1)2 12 1)2 12 (k11 sin 1 tan
n2 (k2 1)2 22 1)2 22 (k11 sin 1 tan
h)2 h)2
1 sin 1 tan
1000.0 1200.0 2000.0 3000.0 4000.0 1482.6 1482.4 1498.0 1516.6 1534.8
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前言
深 度 (m)
声速剖面图 0
-500
-1000
-1500
-2000
-2500
-3000
-3500
-4000
-4500
-5000 1480 1490 1500 1510 1520 1530 1540 1550 1560 1570
k2
K
a
xn
k1 2
b xn
k1 2
3
u
n
1
k3
K
a
xn
k2 2
b
xn
k2 2
3
u
n1
k4 K a(xn k3 ) b(xn k3 )3 un2
a 1,b 1
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前言
x 10-3 3
输入周期信号
2
1
0
-1
-2
-3
0
0.5
1
1.5
2
2.5
1. 牛顿法迭代法： 泰勒级数展开式的线性部分近似
2. 进化算法： 遗传算法、模拟退化算法、粒子群算法等
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前言
曲线拟合：已知目标散射场指向性的实验测量结果如图
所示，如何比对其与理论计算结果的误差？
130 铝球散射声场指向性 频率 f 28kHz
ka 7.6
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声 速 (m/s)
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前言
数值积分：声线轨迹计算
声线从深度 z1 传播到深度 z 2 所经过的水平
距离为
r z2 z1
cos 0
dz
n2 (z) cos2 0
n(z) c0 c(z)
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前言
问题：利用射线声学模型对海洋声场进行求解
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2 p x 2
1 c2
2 p t 2
小振幅声压在三维坐标下的波动方程为
2
p
1 c2
2 p t 2
2为拉普拉斯算符，在直角坐标系中
2 2 2 2 x2 y 2 z 2
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前言
海洋声场的数值预报
在建立了能够反映海洋环境因素对声场的制约关系的声 场物理模型（波动方程+定解条件）的基础上，根据可测海 洋环境参数的测定值或预报值，编写程序完成数值计算，给 出相应海洋环境条件下的有关场值。近年来，由于计算机的 快速发展，数值计算声场是一个快速发展的领域。
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前言
微分方程求解：随机共振系统对微弱信号的检测非线性
双稳态随机共振系统
x ax bx3 A0 cos(t) 2D(t)
利用四阶龙格库塔算法求解
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前言
四阶龙格库塔算法
xn1
xn
1 6
k1
2k2
2k3
k4 ,
n 0,1,, N
1
k1 K axn bxn3 un
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前言
海洋环境
声源
海洋信道
水听器阵
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前言
波动方程：
波动方程是声学量在声场中满足的基本关系式，反映了波动
特征，也是进行声场计算的基本关系式。在导出波动方程前，
为了使问题简化，需要对介质和声波做一些假设：
（1）介质是均匀连续的，即在波长数量级距离内，介质的声 学性质保持不变；
前言
伪彩色图
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前言
三维环境下声传播
接收船
GPS2
垂直阵
GPS1
发射船
声源 水层
沉积层
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前言
三的维位海置洋信环息境，下需特要征求声解线，求其解它：参k数1, 已k2知, 。1, 2, 1, 2 为声线
k11 cos1 r cos k22 cos2
（2）介质是理想流体介质，声波在其中传播时没有能量损耗， 即忽略介质的粘滞性和热传导性；
（3）研究小振幅波的传播规律，所谓小振幅波是指各声学量 都是一级小量。
波动方程是描述波动运动的数学表达式，它由连续性方程、状
态方程和运动方程推导得到。
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前言
波动方程：
理想流体介质中小振幅平面波的波动方程为（沿 x 轴向传播）：
前言
课程目的和任务： 通过对一些基本声学和水声学问题的分析和
求解，掌握基本声学理论计算与工程研究中常用 的数值计算方法，培养综合运用声学专业知识、 数学知识和计算机技术解决科学研究中手工所不 能解算的问题，具备应用现代计算工具解决工程 实际问题的能力。
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前言
水声学主要研究声波在水下的辐射、传播与接收，用以解 决与水下目标探测和信息传输过程有关的各种声学问题。 声波是目前在海洋中唯一能够远距离传播的能量辐射形式。 因此作为信息载体的声波，在海洋中所形成的声场时空结 构，就成为近代水声学的基本研究内容，而提取海洋中声 场信息的结构是我们用来进行水下探测、识别、通信及环 境监测等的手段。
k1 1 12 H 2 tan k11 sin 1
12 sin1
h
1/ 2
tan
2
k2
h
12 k1
sin 2
k2
11
tan k11 sin 1 tan 1 22 Z 2 1/ 2 k1 1k2 1 cos1 k2 12 cos2
h
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前言
三维海洋环境下特征声线求解（线性方程组、非线性方程、 非线性方程组）
海洋声场的数值预报方法主要有射线算法、简正波算法、 抛物方程（PE）算法、快速场（FFP）算法等，各自有不同 的适应范围。
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前言
函数插值：
已知一组不同深度处的声速值，如何得到任意深度处的 声速值？
深度（m） 0.0 50.0 100.0 200.0 300.0 400.0 500.0 800.0 声速(m/s) 1510.5 1510.4 1505.8 1500.8 1496.0 1492.0 1488.1 1483.2