人教版高中数学定积分概念及其运算
高二数学定积分知识点总结
高二数学定积分知识点总结一、定积分的概念1.1 定积分的引入在高中数学中，我们学过了不定积分的概念和性质，定积分就是在这个基础上引入的。
当我们对一个函数进行积分时，如果我们要计算的量是函数在一个区间上的面积或者体积，那么我们就需要用到定积分。
定积分可以看做是一个变量的特定区间上的累积和。
1.2 定积分的定义设函数f(x)在区间[a, b]上有定义，将[a, b]分成n等分，每个小区间的长度为Δx=n(b-a)，在第i个小区间上任取一点ξi，则f(x)在[a, b]上的定积分为：∫[a,b]f(x) dx=lim{n→∞}∑{i=1}^{n}f(ξi)Δx其中lim{n→∞}表示当n趋向于无穷大时的极限。
1.3 定积分的几何意义定积分的几何意义即函数f(x)在[a, b]上的定积分就是函数y=f(x)与x轴所围区域的有向面积。
1.4 定积分的性质（1）定积分的线性性质：∫[a,b][f(x)+g(x)] dx=∫[a,b]f(x) dx+∫[a,b]g(x) dx（2）定积分的估值性质：若f(x)在[a, b]上连续，则必定存在α∈[a, b]，使得∫[a,b]f(x)dx=f(α)(b-a)1.5 定积分的计算定积分的计算主要是通过不定积分的计算来实现。
通过不定积分求出F(x)的原函数后，即可得到∫[a,b]f(x) dx=F(b)-F(a)。
二、定积分的应用2.1 定积分的物理意义定积分在物理学中有着重要的应用，它可以用来计算物体的质量、重心、压力、力矩等。
在力学中，定积分常用来计算物体的质心以及转动惯量等。
2.2 定积分的几何应用定积分可以用来求曲线与坐标轴所围成的曲边梯形或者曲边梯形的面积，也可以用来计算曲线的弧长、曲线旋转体的体积等几何问题。
2.3 定积分的工程应用在工程问题中，定积分可以用来计算各种曲线的长度、曲线所围成的区域面积、曲线所绕成的物体的体积等。
2.4 定积分的经济应用在经济学中，定积分可以用来计算总收益、总成本、总利润等与变量有关的经济指标。
人教版高中数学课件定积分的概念
c1 a
f ( x)dx c1
c2 f ( x)dx
c
b ck
f ( x)dx
新课讲授
说明
性质1
b
a 1dx b a
y
y1
Oa b
x
新课讲授
说明
b
c
b
性质4 a f ( x)dx a f ( x)dx c f ( x)dx
(其中a c b)
S曲 边 梯 形 面 积AMNB S S 曲 边 梯 形 面 积AMPC
例题讲解
例2.计算由两条抛物线y2＝x 和y＝x2所 围成的图形的面积.
课堂练习
计算由曲线y＝x3－6x和y＝x2所围成的 图形的面积.
课堂小结
定积分的概念； 定义法求简单的定积分； 定积分的几何意义．
课后作业
《学案》与《习案》.
y A
曲 边 梯 形 面 积CPNB
M Oa
CB N
Pb x
例题讲解
例1.计算定积分
2
( x 1)dx.
1
例题讲解
例1.计算定积分
2
( x 1)dx.
1
思考.若改为计算定积分 2 ( x 1)dx 呢 ？ 2
课堂练习
计算下列定积分:
5
(1) 0 (2 x 4)dx ;
1
(2) x dx . 1
长 度 为x(x
b
n
a )， 在 每 个 小 区 间[ xi1 ,
xi
]上
取 一点i (i 1,2,, n)， 作 和式:
Sn
n i 1
f (i )x
n i 1
ba n
f (i ),
新课讲授
定积分计算法则
定积分计算法则一、定积分的基本概念1. 定积分的定义- 设函数y = f(x)在区间[a,b]上有界。
- 在[a,b]中任意插入n - 1个分点a=x_0< x_1< x_2<·s< x_{n - 1}< x_n = b，把区间[a,b]分成n个小区间[x_{i - 1},x_i]，i = 1,2,·s,n。
- 记Δ x_i=x_i - x_{i - 1}，λ=max{Δ x_1,Δ x_2,·s,Δ x_n}。
- 在每个小区间[x_{i - 1},x_i]上任取一点ξ_i∈[x_{i - 1},x_i]，作和式∑_{i = 1}^n f(ξ_i)Δ x_i。
- 如果当λ→0时，上述和式的极限存在（这个极限值与[a,b]的分法及ξ_i的取法均无关），则称函数y = f(x)在区间[a,b]上可积，并称这个极限为函数y = f(x)在区间[a,b]上的定积分，记作∫_{a}^bf(x)dx，即∫_{a}^bf(x)dx=limlimits_{λ→0}∑_{i = 1}^n f(ξ_i)Δ x_i。
其中f(x)叫做被积函数，f(x)dx叫做被积表达式，x叫做积分变量，a叫做积分下限，b叫做积分上限，[a,b]叫做积分区间。
2. 定积分的几何意义- 当f(x)≥slant0，x∈[a,b]时，定积分∫_{a}^bf(x)dx表示由曲线y = f(x)，直线x = a，x = b以及x轴所围成的曲边梯形的面积。
- 当f(x)≤slant0，x∈[a,b]时，定积分∫_{a}^bf(x)dx表示由曲线y = f(x)，直线x = a，x = b以及x轴所围成的曲边梯形面积的负值。
- 当f(x)在[a,b]上有正有负时，定积分∫_{a}^bf(x)dx表示x轴上方的曲边梯形面积减去x轴下方的曲边梯形面积。
二、定积分的基本性质（假设以下性质中的函数在相应区间上可积）1. 线性性质- ∫_{a}^b[k_1f(x)+k_2g(x)]dx = k_1∫_{a}^bf(x)dx + k_2∫_{a}^bg(x)dx，其中k_1,k_2为常数。
高中数学定积分的概念及相关题目解析
高中数学定积分的概念及相关题目解析在高中数学中，定积分是一个重要的概念，它在数学和实际问题中都有广泛的应用。
本文将介绍定积分的概念，并通过具体的题目解析来说明其考点和解题技巧，帮助高中学生更好地理解和应用定积分。
一、定积分的概念定积分是微积分中的一个重要概念，它是对函数在一个区间上的积分结果的确定值。
定积分的符号表示为∫，下面是定积分的定义：设函数f(x)在区间[a, b]上有定义，将[a, b]分成n个小区间，每个小区间的长度为Δx，选取每个小区间中的一个点ξi，作为f(x)在该小区间上的取值点。
那么，定积分的近似值可以表示为：∫[a, b]f(x)dx ≈ Σf(ξi)Δx当n趋向于无穷大时，定积分的近似值趋向于定积分的准确值，即：∫[a, b]f(x)dx = lim(n→∞)Σf(ξi)Δx这个准确值就是函数f(x)在区间[a, b]上的定积分。
二、定积分的考点和解题技巧1. 计算定积分的基本方法对于一些简单的函数，可以直接使用定积分的定义进行计算。
例如，计算函数f(x) = x²在区间[0, 1]上的定积分：∫[0, 1]x²dx = lim(n→∞)Σf(ξi)Δx = lim(n→∞)Σ(ξi)²Δx在这个例子中，可以将区间[0, 1]等分成n个小区间，每个小区间的长度为Δx = 1/n。
然后，选取每个小区间中的一个点ξi，可以选择ξi = i/n。
这样，定积分的近似值可以表示为：∫[0, 1]x²dx ≈ Σ(ξi)²Δx = Σ(i/n)²(1/n)当n趋向于无穷大时，可以求出定积分的准确值。
在这个例子中，计算过程如下：∫[0, 1]x²dx = lim(n→∞)Σ(i/n)²(1/n)= lim(n→∞)(1/n³)Σi²= lim(n→∞)(1/n³)(1² + 2² + ... + n²)= lim(n→∞)(1/n³)(n(n+1)(2n+1)/6)= 1/3因此，函数f(x) = x²在区间[0, 1]上的定积分的值为1/3。
1.5.3定积分的概念课件人教新课标2(1)
一点i (i 1, 2,..., n) ，作和式：
S
n i 1
f (i )x
n i 1
ba n
f (i )
当 n 时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做 函数 f (x) 在区间[a,b] 上的定积分：
S
lim n
n i 1
b
n
a
f
(i
)
b
f (x)dx
a
在区间[a, b]上的定积分，记为
i 1 i n x
nnn
课堂探究
例1.求由直线y 0, x 1与抛物线 y x2
所围成的平面图形的面积 s.
y
问题2：对每个小曲边梯
y x2
形如何“以直代曲”？
O1 2 3 nnn
i 1 i n x
nnn
i 1 i
n
n
课堂探究
例1.求由直线y 0, x 1与抛物线 y x2
所围成的平面图形的面积 s.
问题2：在割圆术中为什么用正多边形的面积计算圆 的面积？为什么要逐次加倍正多边形的边数？
v
v t2
问题3：能不能类比割圆术 的思想和操作方法把曲边梯
形的面积问题转化为直边图
形的面积问题？进而尽可能
有规律地减小误差，使得直
边图形的面积越来越接近曲
边梯形的面积？
O
曲边梯形
1t
割圆术
思考、讨论，进行交流
积分上限
b a
f
(x)dx
Hale Waihona Puke Slimn0
n i 1
ba n
f (i )
积分下限
被 积
函
数
被 积 表 达 式
人教版高中数学定积分概念及其运算
定 积 分一、定积分的概念 1、曲边梯形的面积分割→近似取代→求和→求极限 说明：（1）常用的求和公式)12)(1(61...3212222++=++++n n n n 223333)1(41...321+=++++n n n（2）在定积分理论中，这种分割是任意的，只要保证每个区间的长度都向于0.在这里“等分”与“任意分割”等价的。
2、定积分的概念 一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x ∆（b ax n-∆=），在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,,i i n ξ=，作和式：11()()nnn i i i i b aS f x f nξξ==-=∆=∑∑如果x ∆无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。
记为：()baS f x dx =⎰其中()f x 成为被积函数，x 叫做积分变量，[,]a b 为积分区间，b 积分上限，a 积分下限。
3、定积分的几何意义 从几何上看，如果在区间[]b a ,上函数)(x f 连续且恒有0)(≥x f 。
那么定积分⎰badx x f )(表示由直线a x =b x =,)(b a <，0=y 和曲线)(x f y =所围成的曲边梯形的面积。
4.性质1 、 ⎰⎰=babadx x f k dx x kf )()( （其中k 是不为0的常数） （定积分的线性性质）性质2、1212[()()]()()b bbaaaf x f x dx f x dx f x dx ±=±⎰⎰⎰ （定积分的线性性质）性质3 、()()()()bcbaacf x dx f x dx f x dxa cb =+<<⎰⎰⎰其中（定积分对积分区间的可加性）性质4、若在区间[]b a ,上，0)(≥x f ，则0)(≥⎰dx x f ba性质5、⎰⎰-=abbadx x f dx x f )()(性质6、（估值定理）设)(x f 在[]b a ,的最小值与最大值分别为m 与M ，则)()()(b a M dx x f a b m ba-≤≤-⎰二、微积分基本定理:如果f(x)是区间[a ，b]上的连续函数，并且F ′(x)＝f(x)，那么()()()baf x dx F b F a =-⎰，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式。
《定积分的概念》人教版高中数学选修PPT精品课件
b
（2）若 f(x) ≤ 0, x∈[a,b] ，则
f(x)dx = -A
a
y
y = f(x)
b
y = a f(x)dx
o
y
a o
b x
b
y = -a f(x)dx
y = f(x) x
新知探究
由此可知，若函数f (x)在对称区间[-a ,a]上连续，则
a f
-a
xdx =
2
a f xdx
0
新知探究
Δx1 = x1 - x0 , Δx2 = x2 - x1,, Δxn = xn - xn-1
在每个小区间 xi-1, xi 上任取一点 ξi (xi-1 ≤ ξi ≤ xi )
作和式：
n
S = f ξi Δxi
i=1
新知探究
积分上限 b
n
积分和
a
f(x)dx
=
lim
n →0
i =1
讲解人： 时间：
都通过“四步曲”——分割、近似代替、求和的极限、取极限来解决问题. 最终的结果都归结为求同一种类型的和式.
新知探究
曲边梯形面积
y
y=ƒ(x) A
B
x=a
x=b
o a y=0 b x
n
n1
S = lim f Δx→∞ i=1
ξi
Δx = lim Δx→∞ i=1
f n
ξi
变速运动的路程
n
课堂练习
设M及m分别是函数f(x)在区间[a,b]上的最大值及最小值则
m
b
-
a
≤
b
a
f(x)dx
≤
M
b
高中定积分的计算
高中定积分的计算在高中数学学习中，定积分是一个重要的概念和计算方法。
它不仅在数学领域有着广泛的应用，而且在物理、经济等其他学科中也具有重要意义。
本文将介绍高中定积分的基本概念、计算方法和一些常见的应用场景。
一、定积分的基本概念定积分是微积分中的重要内容，是对曲线下面积的一种度量。
定积分的计算可以理解为将曲线下的面积划分为无限多个无穷小的矩形，并将这些矩形的面积加起来，得到整个曲线下的面积值。
在高中数学中，定积分可以用下面的形式表示：∫[a,b] f(x) dx其中，f(x)表示被积函数，[a,b]表示积分区间，dx表示积分的自变量。
定积分的结果是一个数值，表示被积函数在积分区间内的曲线下面积。
二、定积分的计算方法高中定积分的计算方法主要有三种：几何法、代数法和牛顿-莱布尼茨公式。
1. 几何法：这种方法利用几何图形的面积性质来计算定积分。
常见的几何图形包括矩形、三角形、梯形等。
通过将曲线下的面积分割成这些几何图形，然后计算它们的面积并相加，就可以得到定积分的值。
2. 代数法：代数法是通过对被积函数进行积分运算来计算定积分。
这种方法可以利用积分的基本性质和常见函数的积分公式来进行计算。
通过将被积函数进行积分并确定积分上下限，就可以得到定积分的结果。
3. 牛顿-莱布尼茨公式：这是一种基于导数和原函数的关系来计算定积分的方法。
根据牛顿-莱布尼茨公式，如果一个函数F(x)是f(x)的原函数，那么在积分区间[a,b]上，有：∫[a,b] f(x) dx = F(b) - F(a)这种方法适用于已知被积函数的原函数的情况，可以直接通过求原函数的差值来计算定积分。
三、定积分的应用场景高中数学的定积分不仅仅是一种计算方法，还具有一些实际应用场景。
以下是一些常见的应用示例：1. 面积计算：定积分可以用来计算曲线下的面积，例如计算二次曲线的面积、圆的面积等。
2. 长度计算：通过对曲线方程求导得到曲线的斜率，再利用定积分计算曲线的弧长。
定积分的基本概念与性质
定积分的基本概念与性质定积分是微积分的重要概念之一，它在数学和物理学等领域中有着广泛的应用。
本文将介绍定积分的基本概念、计算方法以及一些重要性质。
一、定积分的基本概念定积分是指在给定区间上某一函数的积分运算。
具体来说，设函数f(x)在区间[a, b]上有定义，将区间[a, b]划分成n个小区间，每个小区间的长度为Δx。
在每个小区间上取一个样本点ξi，并计算出该点的函数值f(ξi)。
然后，将每个小区间的函数值与对应的Δx乘积相加，得到Σf(ξi)Δx。
当其中的Δx趋近于0且取样本点数n趋向于无穷大时，得到的极限值即为函数f(x)在区间[a, b]上的定积分，记为∫[a, b]f(x)dx。
二、定积分的计算计算定积分可以利用定积分的性质以及一些基本积分公式。
其中，常用的计算方法有：几何法、分部积分法、换元积分法等。
几何法是通过对定积分的几何意义进行理解来进行计算。
例如，计算函数f(x)=x在区间[a, b]上的定积分，可以将其表示为对应曲线下方的面积。
根据不同曲线形状，可以将区间划分成不同的几何图形，计算各个图形的面积，并将其相加得到结果。
分部积分法是利用积分运算的乘法规则，将待求的定积分转化为另一个不定积分的形式。
通过选择适当的u(x)和v(x)，利用公式∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫v(x)u'(x)dx，可以将原定积分转化为带有初等函数的不定积分。
换元积分法是通过引入新的变量进行变换，使得求解定积分问题简化。
假设有一个函数f(g(x))，利用链式法则可以得到d[f(g(x))]/dx =f'(g(x))*g'(x)。
通过令u=g(x)，则有du=g'(x)dx，可以将定积分∫f(g(x))g'(x)dx 转换为∫f(u)du，此时就可以利用基本的不定积分公式进行计算。
三、定积分的性质定积分具有一些重要的性质，下面将介绍其中的几个性质。
《高中定积分的应用》课件
定积分在计算曲线形状的质量分布方面具有广泛应用，有助于理解物体的重心和转动惯量等物理量。
详细描述
对于曲线形状的物体，我们可以通过定积分计算其质量分布，进而求出物体的重心和转动惯量。这对于分析物体 的稳定性和运动特性具有重要意义。
电场强度与电势的计算
总结词
在电场分析中，定积分用于计算电场强度和电势，有助于深入理解电场的性质和分布。
详细描述
在解决涉及多个函数的定积分问题时，需要仔细分析这 些函数之间的关系，如一个函数可能对另一个函数求导 或积分，或者两个函数之间存在特定的关系等。
复杂几何形状的分析与计算
总结词
对复杂几何形状的深入分析是解决问题的必要步骤。
详细描述
在解决涉及复杂几何形状的定积分问题时，需要深入理 解几何形状的特点，如面积、体积等，并能够运用适当 的公式进行计算。同时，还需要理解如何将复杂的几何 形状分解为更简单的部分，以便于解决定积分问题。
详细描述
在经济学中，边际分析通过计算边际成本、 边际收益和边际利润等指标，帮助企业决策 者判断生产、定价和销售等方面的最优策略 。弹性分析则通过计算需求价格弹性、供给 价格弹性等指标，分析市场价格的变动对需 求和供给的影响，进而影响市场均衡和资源 配置。
成本与收益计算
总结词
成本与收益计算是经济学中重要的财务分析 工具，用于评估企业的经营绩效和投资回报 。
THANK YOU
定积分的几何意义
总结词
定积分的几何意义有助于直观理解定积分的应用。
详细描述
定积分的几何意义表示一个曲线下的面积。通过计算定积分，可以求出曲线下某 个区间上的面积，从而解决一些实际问题，如求物体的质量、速度等。
定积分的计算方法
高二数学-定积分概念-课件
0
( x f (t)dt)2
0
( x f (t)dt)2
0
0
依题意，在[0, x](x 0)上, f (t) 0, (x t) f (t) 0,
且(x t) f (t) 0,故
x
f (t)dt 0,
x
(x t) f (t)dt 0,
0
0
F(x) 0(x 0),从而F(x)在(0,)内单调增加。
(2) lim 4 sin n xdx 0. n 0
解： （利用积分中值定理）
(1)
1 2
xn
dx
n
(1 0)
(0 1)
0 1 x 1 2
2
原式 lim n 0.
n 2(1 )
(2)
4
sin
n
xdx
sin
n
(
0)
0
4
原式 lim sin n 0.
n 4
(0 )
n
n
(iii)求和： A Ai f (i )xi
i1
i1
o a xi1i xi
bx
(iv)取极限：令 max{ x1,xn}，则曲边梯形面积
n
A lim 0 i1
f (i )xi
1.定积分定义 设函数f(x)在[a,b]上有界，
(i)分割： 在[a,b]内插入若干个分点a x0 xn1 xn b，
x
0
(1) (1) 2
例4 设f (x)在[0,)内连续，且f (x) 0.证明
x
tf (t)dt
F(x)
0 x
在(0,)内卫单调增加函数。
0 f (t)dt
证
x
x
定积分计算知识点总结
定积分计算知识点总结一、定积分的概念1.1 定积分的定义定积分是在微积分学中给定一个连续函数$f(x)$，对它在区间$[a, b]$上的积分值的确定。
具体地，定积分可以定义为：$$\int_{a}^{b} f(x) dx = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum _{i=1}^{n} f(x_{i}^{*})\Delta x $$其中，$\Delta x = (b-a)/n$，$x_i^* \in [x_{i-1}, x_i]$。
1.2 定积分的几何意义定积分的几何意义是函数$y=f(x)$在区间$[a, b]$上的曲边梯形的面积，可以用积分来表示。
当积分区间的$[a, b]$上的函数是非负值函数时，它的定积分可以表示该函数与$x$轴所夹的曲边梯形的面积。
1.3 定积分的基本性质① 定积分与积分区间的顺序无关，即$\int_{a}^{b}f(x)dx = -\int_{b}^{a}f(x)dx$。
② 定积分的线性性：$\int_{a}^{b}(\alpha f(x)+\beta g(x))dx = \alpha \int_{a}^{b} f(x)dx + \beta \int_{a}^{b} g(x)dx$。
③ 定积分的加法性：$\int_{a}^{b} f(x)dx + \int_{b}^{c} f(x)dx = \int_{a}^{c} f(x)dx$。
1.4 定积分的计算方法定积分的计算方法主要包括：几何意义法、切割法、定积分的性质、换元积分法、分部积分法等。
这些方法在不同的情况下都有其适用范围，学习者需要根据具体问题进行选择和灵活运用。
二、定积分的计算2.1 几何意义法几何意义法是通过将定积分代表的曲边梯形进行适当的分割和逼近，最终得到定积分的值。
这种方法适用于简单的函数和几何形状，容易理解和操作。
2.2 切割法切割法是将定积分的积分区间进行适当的分割，然后对每个小区间内的函数求积分，最后将所得的和加起来。
定积分知识点总结高中
定积分知识点总结高中一、定积分的概念定积分是微积分中的重要概念之一，它是对一个区间上函数的积分进行求解的一种方法。
在数学上，定积分可以用来求解曲线与坐标轴所围成的图形的面积、求解物体的质量、求解物体的质心和求解函数的平均值等。
二、定积分的符号表示定积分的符号表示为∫abf(x)dx，其中∫表示积分的意思，a和b分别表示积分的区间，f(x)表示被积函数，而dx表示自变量。
三、定积分的基本性质1. 定积分的区间可以是一个闭区间也可以是一个开区间。
2. 定积分的积分域是一段区间上的一个函数。
3. 定积分的值只与积分的上限和下限以及积分函数的具体形式有关，与被积函数在区间上函数值的具体大小无关。
四、定积分的计算方法1. 定积分的计算方法有多种，其中最常用的方法有两种：换元积分法和分部积分法。
2. 换元积分法是将定积分中的自变量进行替换，从而使积分的形式更容易计算。
3. 分部积分法是将被积函数进行分解，从而使积分的形式更容易计算。
五、定积分的应用1. 定积分可以用来求解曲线与坐标轴所围成的图形的面积。
这是定积分最基本的应用之一。
2. 定积分可以用来求解物体的质量。
例如，如果我们知道一个物体的密度分布函数，在定积分的帮助下可以求解出物体的总质量。
3. 定积分可以用来求解物体的质心。
通过定积分可以计算出物体在某一方向上的平均位置。
4. 定积分可以用来求解函数的平均值。
通过定积分可以求解被积函数在一段区间上的平均值。
六、定积分的图形表示1. 在定积分的图形表示中，定积分表示的是曲线与坐标轴所围成的图形的面积。
2. 定积分的图形表示与被积函数在指定区间上的图像有关，可以通过被积函数的图像来判断定积分的正负值，从而得到面积的正负值。
七、定积分的应用实例1. 一块形状不规则的地块的面积可以通过定积分来求解。
2. 一根线密度不均匀的杆子的质量可以通过定积分来求解。
3. 一个质点在一段区间内的平均位置可以通过定积分来求解。
高中数学中的积分与定积分计算
高中数学中的积分与定积分计算在高中数学中，积分与定积分是一个重要的概念和计算方法。
它们不仅在数学中有着广泛的应用，也在物理、工程等领域中发挥着重要的作用。
本文将从基本概念、计算方法以及应用方面来探讨高中数学中的积分与定积分计算。
一、积分的基本概念积分是微积分的重要内容之一，它是对函数在一定区间上的累加或求和。
我们可以将一个区间分成无穷多个小区间，然后对每个小区间上的函数值进行求和，最后取极限得到积分的值。
积分的符号表示为∫，其中被积函数通常写在∫符号的右侧，积分区间写在∫符号的上下限之间。
二、定积分的计算方法定积分是积分的一种特殊形式，它是在给定的区间上对函数进行积分。
定积分的计算方法有很多种，其中最常用的方法是基本积分法和换元积分法。
基本积分法是通过查表或记忆来计算常见函数的积分。
例如，对于多项式函数、指数函数、三角函数等，我们可以利用基本积分法来求解其定积分。
这种方法在高中数学中经常使用，可以帮助我们快速得到定积分的结果。
换元积分法是一种通过变量替换来简化积分计算的方法。
当被积函数中存在复杂的表达式时，我们可以通过合适的变量替换来将其化简为简单的形式，从而更容易进行积分计算。
这种方法在解决一些特殊函数的积分时非常有用，例如对于含有根号、三角函数等的函数，我们可以通过换元积分法来求解其定积分。
三、积分与定积分的应用积分与定积分在数学中有着广泛的应用，特别是在物理、工程等实际问题中。
下面我们将介绍一些常见的应用。
1. 面积与曲线长度计算通过积分与定积分，我们可以计算曲线与坐标轴之间的面积以及曲线的长度。
例如，对于给定的函数曲线，我们可以将其分成无数个小矩形，然后对每个小矩形的面积进行求和，最后取极限得到曲线与坐标轴之间的面积。
同样地，我们也可以将曲线分成无数个小线段，对每个小线段的长度进行求和，最后取极限得到曲线的长度。
2. 体积与旋转体的表面积计算通过积分与定积分，我们可以计算旋转体的体积以及旋转体的表面积。
人教版高中数学选修2-2第5讲：定积分的概念与微积分基本定理(教师版)
性质 4
b
c
f ( x) d x
a
a
b
(f )x d x
c
( f ) x其d中(x
acb
（定积分对积分区间的可加性）
b
说明：①推广： a [ f1( x) f 2( x)
b
b
f m( x)] dx a f1( x)dx a f2 (x)dx
b
c1
c2
②推广 : f ( x)dx f ( x) dx f ( x)dx
b
f ( x) d x F( b) F( a)
a
若上式成立， 我们就找到了用 f ( x) 的原函数 （即满足 F (x)
f (x) ）的数值差 F (b)
计算 f (x) 在 [ a,b] 上的定积分的方法。
注： 1：定理 如果函数 F ( x) 是 [a,b] 上的连续函数 f (x) 的任意一个原函数，则
a
a
c1
b
f ( x)dx
ck
③性质解释：
b
a fm(x)
y
性质 1
y=1
y A
性质 B4
C
Oa
b
x
M
O
a
N P bx
S曲边梯形 AMNB
S曲边梯形 AMPC
S曲边梯形 CPNB
2
二、微积分基本定理：
变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系
设一物体沿直线作变速运动，在时刻 t 时物体所在位置为 S(t),速度为 v(t) （ v(t) o ），
证明：因为
b
f ( x) dx F (b) F (a)
a
x
( x) = f (t )dt 与 F (x) 都是 f (x) 的原函数，故 a
定积分的定义与计算
定积分的定义与计算定积分是微积分中的一个重要概念，被广泛应用于各个领域的数学分析和工程实践中。
本文将简要介绍定积分的定义和计算方法，并探讨其在实际问题中的应用。
一、定积分的定义定积分是将一个定义在区间[a, b]上的函数f(x)的值进行“求和”的操作。
具体来说，我们将区间[a, b]进行分割，将每个小区间的长度取得越来越小，然后在每个小区间上找出一个代表点，将函数在该点的值与小区间的长度相乘，再将这些乘积相加起来，即可得到函数f(x)在区间[a, b]上的定积分。
数学表示上，定积分可以用符号∫来表示，即∫[a,b]f(x)dx，意思是对函数f(x)在区间[a, b]上求积分。
其中，dx表示积分的变量，a和b表示积分的下限和上限。
二、定积分的计算方法1. 基本积分法基本积分法是定积分计算中常用的一种方法。
根据函数f(x)的不同形式，我们可以采用不同的积分公式来计算定积分。
一些常见的函数形式如下：- 多项式函数：一般多项式函数的定积分就是多项式各项的积分之和。
例如，对于f(x) = ax^n，其中a和n为常数，我们可以利用基本积分公式∫x^n dx = (1 / (n + 1)) * x^(n + 1) 来计算定积分。
- 三角函数：三角函数的定积分可以利用一些特定的公式来计算。
例如，对于f(x) = sin(x)，我们可以利用基本积分公式∫sin(x) dx = -cos(x) + C 来计算定积分，其中C为常数。
- 指数函数和对数函数：指数函数和对数函数的定积分也有一些特定的计算公式。
例如，对于f(x) = e^x，我们可以利用基本积分公式∫e^x dx = e^x + C 来计算定积分，其中C为常数。
2. 牛顿-莱布尼茨公式牛顿-莱布尼茨公式是另一种常用的定积分计算方法。
该公式表明，如果一个函数F(x)是f(x)的一个原函数，则f(x)在区间[a, b]上的定积分可以通过计算原函数在区间端点的值之差得到，即∫[a,b]f(x)dx = F(b) -F(a)。
高中数学(人教版)定积分的概念与性质课件
b
a
f ( x )dx
积分上限
b
[a , b ]
积分区间
n
f ( i ) xi a f ( x) d x lim 0 i 1
积分下限 被 积 函 数
b
被 积 表 达 式
T2 T1
积 分 变 量
积 分 和
注 (1)
A f ( x )dx , s v ( t )dt .
a a
性质2 设 a c b , 则
b a
f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx
a c
c
b
可加性
不论a,b,c的相对位置如何,上述等式均成立
性质3 如果在区间 [a , b ]上 f ( x ) 1,那么
1dx dx b a
a a
a x 0 x1 x 2 x n 1 x n b .
2) 取近似.
T1 t 0 t1 t 2 t n1 t n T2
2) 取近似.
T1
Ai f ( i ) x i
n
3) 求和. A A i f ( i )xi
i 1
n
si v ( i )t i
)x i 4) 取极限. A lim f ( i取极限
0
i 1
n
i 1
4) 取极限.
不同点： 背景不同
相同点： 方法相同
（一）引例
1．曲边梯形的面积 1) 分割. 在[a , b]中任意插入 n –1 个分点 2.变速直线运动的路程 1) 分割. 在[T1 , T2]中任意插入 n –1 个分点
b a
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定 积 分
一、定积分的概念 1、曲边梯形的面积
分割→近似取代→求和→求极限 说明：（1）常用的求和公式
)12)(1(61...3212222++=++++n n n n 223333)1(4
1
...321+=++++n n n
（2）在定积分理论中，这种分割是任意的，只要保证每个区间的长度都向于0.在这里“等分”与“任意分割”等价的。
2、定积分的概念 一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点
0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=
将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x ∆（b a
x n
-∆=
），在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,,i i n ξ=，作和式：1
1
()()n
n
n i i i i b a
S f x f n
ξξ==-=∆=∑∑
如果x ∆无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数
S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。
记为：()b
a
S f x dx =
⎰
其中()f x 成为被积函数，x 叫做积分变量，[,]a b 为积分区间，b 积分上限，a 积分下限。
3、定积分的几何意义 从几何上看，如果在区间[]b a ,上函数
)(x f 连续且恒有0)(≥x f 。
那么定积分⎰b
a
dx x f )(表示由直线
a x =
b x =,)(b a <，0=y 和曲线)(x f y =所围成的曲边梯形
的面积。
4.性质1 、 ⎰⎰
=b
a
b
a
dx x f k dx x kf )()( （其中k 是不为0的常数） （定积分的线性性质）
性质2、
1212[()()]()()b b
b
a
a
a
f x f x dx f x dx f x dx ±=±⎰⎰⎰ （定积分的线性性质）
性质3 、
()()()()b
c
b
a
a
c
f x dx f x dx f x dx
a c
b =+<<⎰⎰⎰其中（定积分对积分区间的可加性）
性质4、若在区间[]b a ,上，0)(≥x f ，则0)(≥⎰
dx x f b
a
性质5、
⎰⎰
-=a
b
b
a
dx x f dx x f )()(
性质6、（估值定理）设)(x f 在[]b a ,的最小值与最大值分别为m 与M ，则
)()()(b a M dx x f a b m b
a
-≤≤-⎰
二、微积分基本定理:如果f(x)是区间[a ，b]上的连续函数，并且F ′(x)＝f(x)，那么
()()()b
a
f x dx F b F a =-⎰
，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式。
例如：1、计算下列积分 (1)⎰
+-1
22dx x x (2) ⎰⎪⎭⎫
⎝
⎛+2112dx x x
(1)（几何意义法）解析：本题主要考察的是积分的几何意义。
令
1)1(2222=+-⇒+-=y x x x y ；
)010(≥≤≤y x 且，因此⎰+-1
22dx x x 表示四分之一圆的面积。
⎰+-1
022dx x x =4
π
（2）（利用导数的逆运算）
2ln 31)2ln 2()ln (122
2122
1
+=-+=+=⎪⎭⎫ ⎝
⎛+⎰
x x dx x x
2、利用定积分的性质求dx e e x x x x x x )1
1sin 12(2
31
14
+--+++⎰- 解析：x y x x y 3
4
sin ,1
2=+=
都是[]1,1-的奇函数。
2x y =为[]1,1-的偶函数，而对于 11)(+-=x x e e x f ，由)(1111)(x f e
e e e x
f x
x
x
x -=+-=+-=---，是奇函数。
所以 ⎰⎰=+--+++-10
2
231
142)11sin 12(dx x dx e e x x x x x x 3232103==x
3、估计定积分
dx x
⎰
+π
2
3
sin 21的大小
解析：（利用性质）因为当[]π,0∈x 时，1sin 01sin 02
3≤≤⇒≤≤x ，由此有
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡∈+⇒
≤+≤21,31sin 213sin 222
32
3
x
x ，与是估计值为2
sin 21302
3
π
ππ≤
+≤⎰
dx x。