人教版高中数学定积分概念及其运算

定 积 分

一、定积分的概念 1、曲边梯形的面积

分割→近似取代→求和→求极限 说明：（1）常用的求和公式

)12)(1(61...3212222++=++++n n n n 223333)1(4

1

...321+=++++n n n

（2）在定积分理论中，这种分割是任意的，只要保证每个区间的长度都向于0.在这里“等分”与“任意分割”等价的。

2、定积分的概念 一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点

0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=

将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x ∆（b a

x n

-∆=

），在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,,i i n ξ=，作和式：1

1

()()n

n

n i i i i b a

S f x f n

ξξ==-=∆=∑∑

如果x ∆无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数

S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。记为：()b

a

S f x dx =

⎰

其中()f x 成为被积函数，x 叫做积分变量，[,]a b 为积分区间，b 积分上限，a 积分下限。 3、定积分的几何意义 从几何上看，如果在区间[]b a ,上函数

)(x f 连续且恒有0)(≥x f 。那么定积分⎰b

a

dx x f )(表示由直线

a x =

b x =,)(b a <，0=y 和曲线)(x f y =所围成的曲边梯形

的面积。 4.性质1 、 ⎰⎰

=b

a

b

a

dx x f k dx x kf )()( （其中k 是不为0的常数） （定积分的线性性质）

性质2、

1212[()()]()()b b

b

a

a

a

f x f x dx f x dx f x dx ±=±⎰⎰⎰ （定积分的线性性质）

性质3 、

()()()()b

c

b

a

a

c

f x dx f x dx f x dx

a c

b =+<<⎰⎰⎰其中（定积分对积分区间的可加性）

性质4、若在区间[]b a ,上，0)(≥x f ，则0)(≥⎰

dx x f b

a

性质5、

⎰⎰

-=a

b

b

a

dx x f dx x f )()(

性质6、（估值定理）设)(x f 在[]b a ,的最小值与最大值分别为m 与M ，则

)()()(b a M dx x f a b m b

a

-≤≤-⎰

二、微积分基本定理:如果f(x)是区间[a ，b]上的连续函数，并且F ′(x)＝f(x)，那么

()()()b

a

f x dx F b F a =-⎰

，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式。

例如：1、计算下列积分 (1)⎰

+-1

22dx x x (2) ⎰⎪⎭⎫

⎝

⎛+2112dx x x

(1)（几何意义法）解析：本题主要考察的是积分的几何意义。令

1)1(2222=+-⇒+-=y x x x y ；

)010(≥≤≤y x 且，因此⎰+-1

22dx x x 表示四分之一圆的面积。⎰+-1

022dx x x =4

π

（2）（利用导数的逆运算）

2ln 31)2ln 2()ln (122

2122

1

+=-+=+=⎪⎭⎫ ⎝

⎛+⎰

x x dx x x

2、利用定积分的性质求dx e e x x x x x x )1

1sin 12(2

31

14

+--+++⎰- 解析：x y x x y 3

4

sin ,1

2=+=

都是[]1,1-的奇函数。2x y =为[]1,1-的偶函数，而对于 11)(+-=x x e e x f ，由)(1111)(x f e

e e e x

f x

x

x

x -=+-=+-=---，是奇函数。所以 ⎰⎰=+--+++-10

2

231

142)11sin 12(dx x dx e e x x x x x x 3232103==x

3、估计定积分

dx x

⎰

+π

2

3

sin 21的大小

解析：（利用性质）因为当[]π,0∈x 时，1sin 01sin 02

3≤≤⇒≤≤x ，由此有

⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡∈+⇒

≤+≤21,31sin 213sin 222

32

3

x

x ，与是估计值为2

sin 21302

3

π

ππ≤

+≤⎰

dx x