统计学第四章第三节

第二节离散程度得测度

10天

道森供应公司克拉克批发公司

、5

、4

9 10 11 工作日数 7 8 9 10 11 12 13 14 15 工作日数

集中趋势只就是数据分布得一个特征,数据得离中趋势就是数据分布得另一个重

要特征。两者就是反映总体数据分布特征得一对对立统一得代表值。

一、离散程度指标,又称标志变异指标,标志变动度。

(一)定义

就就是总体各项标志值差别大小得程度。

(二)应用

1.主要就是评价平均数代表性得依据。平均数得代表性与标志变动度得数值成反

比。

例如:有甲乙两组工人,人数都就是5人。每人每日产量:

甲:5 20 45 85 95

乙:48 49 50 51 52

平均数 50

95-590

52-48 4

2.标志变动度可以用来反映社会生产与其她社会经济活动过程得均衡性

或协调性。

标志变动度小,就说明生产或经济活动各阶段变动幅度小,就是均衡得协调

得,反之,就就是不均衡,不协调得。

二、测量标志变动度得主要方法

(一) 异众比率——分类数据,顺序数据,数值型数据

1 定义:异众比率,即非众数组得频数占总频数得比率。

2 公式:

Vr=(∑fi —fm)/ ∑fi =1—fm/ ∑fi

∑fi变量值得总频数,

fm众数组得频数。

3作用:主要用于衡量众数对一组数据得代表程度。

异众比率越大,说明非众数组得频数占总频数得比重越大,众数得代表性

就越差;反之,异众比率越小,说明非众数组得频数占总频数得比重越小,众数得

代表性越好。

4 适用范围:测定分类数据(也可以就是顺序数据,数值型数据)得离散程

度

饮料品牌频数

可口可乐 15

旭日升 11

百事可乐 9

汇源果汁 6

露露 9

合计 50

异众比率

解:

Vr=(∑fi —fm)/ ∑fi

=1—fm/ ∑fi

=(50—15)/50

=35/50=0、7=70%

(二)四分位差——顺序数据数值型数据

1 定义:上四分位数与下四分位数之差。

2 公式: Qd=Qu—Ql

3 作用:

反映了中间50%数据得离散程度。

其数值越小,说明中间得数据越集中,数值越大,说明中间得数据越分散。

常常与中位数一起使用

4特点:四分位差不受极值得影响。

例如:在某城市中随机抽取9个家庭,调查得到每个家庭得人均月收入数据如下(单位为元),计算人均月收入得四分位差

1500 750 780 1080 850 960 2000 1250 1630

解: 先按大小顺序排队

750 780 850 960 1080 1250 1500 1630 2000

QL位次

(n+1)/4 =(9+1)/4=2、5

QL=(780+850)/2=815(元)

QU位次

3(n+1)/4 =3(9+1)/4=7、5

QU=(1500+1630)/2=1565(元)

四分位差

Qd=Qu—Ql

=1565—815=750(元)

(三)全距(极差)——数值型数据

1 全距——就是一个数列中两个极端数值之差。(最大值-最小值)

组距数列,以最大一组得上限与最小一组得下限之差为全距。

例如:

甲:5 20 45 85 95

乙:48 49 50 51 52甲组全距=95-5=90 乙组全距=52-48=4

一般地说,全距数值愈小,标志变动度愈小,反映变量值愈集中,反之,越大。

2评价:意义明确,计算简单。

但不考虑中间变量,受极端值影响。有时根本反映不出差异程度。

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 55 90

10 50 50 50 50 60 60 60 60 100 55 90

(四)平均差

1定义:各标志值对其算数平均数得平均离差

2公式

(五)标准差

1 定义

各标志值对其算数平均数得平均离差

2简单式(未分组资料)

3加权式(分组资料)

如果就是样本资料,将来要推断总体得,方差及标准差得公式就就是:分母用样本数据个数减1:n—1 ——n—1 称为自由度。

公式为:

为什么样本方差就是用自由度n—1去除？

样本方差得表达式中得分子,为 n个量得平方与,为何自由度只有 n—1 、

这就是因为这n个离差并不能自由变化,而就是受到一个约束,即离差之与等于零,这使它得自由度少了一个。在样本方差公式中得分母上就是n—1,就就是因为当给定均值时,x1,x2,x3,------xn,这n个数据中前n—1个数据都可以自由取值,而第n个数据受全部数据得平均值得制约,不能自由取值。第n个数据可以由公式∑xi求得。因此,方差得自由度就是n—1。

也可以这样理解:从字面意义上瞧,自由度就是指一组数据中,可以自由取值得个数。当样本数据得个数为n时,如果样本平均数确定后,只有n—1个数据可以自由取值,其中必有一个数据不能自由取值。例如,假如样本有3个数值, X1=2,X2=4,X3=9,则平均数=5。当平均数=5确定后,X1,X2,X3只有两个数据可以自由取值,其中必有一个不能自由取值。例如X1=6,X2=7,那么X3则必然取2,而不能取其她值。

另一种解释:即共有n个样本,有n个自由度。用样本方差估计总体方差,自由度本应为n,但总体均值也未知,用样本平均数去估计它,就用掉了了一个自由度,故,只剩下n—1个自由度。

(七)标准差系数

厂名工人平均标准差标准差系数劳动生产率(元)

甲 16000 600 3、75

乙 8000 400 5、00

(八)标准分数——每一个变量值相对位置得测度

1、标准分数——变量值与其平均数得离差除以标准差后得值。又称z 分数,或标准化值。

设标准分数为zi,则有zi=(离差/标准差)

z分数,zi可以被解释为xi偏离平均数,相当于标准差得个数。

如,z=2,表示变量值比平均数大2个标准差,如果等于-2,则表示变量值比平均数小2个标准差。

z分数大于0,就是指那些数值大于平均数得观察值,z分数小于0,就是指那些数值小于平均数得观察值,z分数等于0,就是指那些数值等于平均数得观察值,

任何观察值得z分数都可以解释为该观察值在数据集中相对位置得测度。