八年级数学课件平方差公式(1)
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初中数学《平方差公式》精讲PPT1
(2)(3a 2)(3a 2) 9a2 4.
2.下运用平方差公式计算： (1)(a 3b)(a 3b);
(2)(3 2a)(3 2a);
2
2
4
例 计算：
（1）( y 2)(y 2) ( y 1)(y 5);
（2）10298 ;
分析：（1）中只有前半部分符. 合公式条件，可以利用平方 差公式简便运算，其余的运算仍按照乘法法则进行.
解：(1) ( y 2)( y 2) ( y 1)( y 5) y24 ( y2 4 y 5) y24 y2 4 y 5 4y 1
阅读小故事，并回答问题：
计算下面多项式的积，你发现什么规律？
左边：a符号相同，b符号相反.
（1）
; （2）
;
例 计算：
（1）( y 2)(y 2) ( y 1)(y 5); （2）10298 ;
（3）(xn 4)( xn 4) ; （4）(3a2 1 b)(3a2 1 b)(9a4 1 b2 ) .
(2)(m 2)(m 2) __m_2__4____; (3)(2x 1)(2x 1) _4_x_2__1____.
两数的和与这两数 这两个数的平方差 的差的乘积
探究新知
.
已知：x2-y2=12, x-y=2 , 则 ________.
阅读小故事，并回答问题：
（3）
; （4）
计算下面. 多项式的积，你发现什么规律？
平方差公式
2021/11/26
阅读小故事，并回答问题：
a米的正方形空地，小兰则负责一块长方形空地，长为正方形空地边长 加5米，宽度是正方形空地边长减5米.有一天，小明对小兰说：“咱们 换一下值日的区域吧，反正这两块地大小都一样.”你觉得小明说的对 吗？为什么？
八年级数学平方差公式
几何图形面积计算
计算矩形面积
在几何图形中，矩形的面积可以表示 为长乘以宽，即 $S = ab$。当长和 宽相差不大时，可以利用平方差公式 近似计算面积。
计算平行四边形面积
平行四边形的面积可以表示为底乘以 高，即 $S = ah$。当底和高相差不大 时，同样可以利用平方差公式进行近 似计算。
实际问题解决策略
公式形式及推导过程
公式形式： (a+b)(ab)=a²-b²
推导过程
=a²ab+ab-b²
=a²-b²
左边 =(a+b)(ab)
=右边
适用范围及注意事项
适用范围：平方差公式适用于所有实数 范围内的运算，包括正数、负数以及0。
在进行复杂运算时，可以结合其他公式 或定理进行推导和计算。
在进行因式分解时，需要注意符号问题 ，确保分解后的因式与原式相等。
完全平方公式定义
阐述完全平方公式的概念， 即形如$(a+b)^2$或$(ab)^2$的代数式展开后得 到的公式。
完全平方公式推导
通过代数运算，展示如何 从$(a+b)^2$和$(ab)^2$推导出完全平方公 式。
完全平方公式应用
举例说明完全平方公式在 因式分解、化简求值等问 题中的应用。
立方差、立方和公式推导
THANKS
感谢观看
06
总结回顾与展望未来
关键知识点总结回顾
平方差公式的基本形式
$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$，其中$a$和$b$是任意实数。
平方差公式的推导过程
利用分配律和整式的乘法法则，可以将$(a + b)(a - b)$展开为 $a^2 - ab + ab - b^2$，化简后得到$a^2 - b^2$。
人教版八年级数学上册14.2.1平方差公式课件(共41张PPT)
=
4 9
x2
-
y2
(3m＋2n)(3m－2n)
变式一 ( －3m＋2n)(－3m－2n)
变式二 ( －3m－2n)(3m－2n) 变式三 (－3m－2n)(3m＋2n)
1 利用平方差公式计算：
（1）(7+6x)(7−6x)；（2）(3y ＋ x)(x−3y)； （3）(−m＋2n)(−m−2n)．
1.本节课你有何收获？ 2.你还有什么疑问吗？
一个公式：（a+b)(a-b)=a2-b2
两种作用 (1)简化某些多项式的乘法运算 (2)提供有理数乘法的速算方法
三个表示 公式中的a，b可表示 (1)单项式 (2)具体数 (3)多项式
拓展提升
利用平方差公式计算:
（a-2)(a+2)(a2 + 4) 解:原式=(a2-4)(a2+4)
【预习导学】
一、自学指导:自学1：自学课本P107－108页“探究与思考与例1、例2”，掌
握平方差公式，完成下列填空。
能否运用公式，若能直接说出结果 (l)(-a+b)(a+b)= _________ (2)(a-b)(b+a)= __________ (3)(-a-b)(-a+b)= ________ (4)(a-b)(-a-b)= _________ (5)(a+b)(-a-b)=________ (6)(a-b)(-a+b)=________
2 利用平方差公式计算：[]
（1）1992×2008
（2）39.8×40.2.
王捷同学去商店买了单价是9.8元/千克 的糖果10.2千克，售货员刚拿起计算器， 王捷就说出应付99.96元，结果与售货员计 算出的结果相吻合.售货员很惊讶地说： “你真是个神童！”王捷同学说：“过奖 了，我只是利用了在数学上刚学过的一个 公式.”
14.2.1 平方差公式 课件(共20张PPT)人教版数学八年级上册
2．请同学们阅读课本107页思考并讨论．
3．判断下列式子是否正确． (1)(x＋2)(x－2)＝x2－2( × )； (2)(－3a－2)(3a－2)＝9a2－4( × )； (3)(－2x＋y)(－2x－y)＝4x2－y2( √ )； (4)(a＋3)(a－4)＝a2－12( × )．
4．请同学们完成课本108页例2.
新知导入
游戏导入
同学们，我们来做一个数字游戏. 请同学们在纸上写出你最喜欢的一个幸运数字(10以内)，然后计算100与这 个数的和，接着乘100与这个数的差. (给学生半分钟思考、计算的时间) 同学们都算得很投入，只要告诉我,你计算的结果,我就能马上说出你的幸运 数字是几，信吗? （请两位学生来试验） 等我们学了今天的知识以后,大家也能像老师一样,马上猜出其他同学的幸运 数字.
典例精讲
【题型一】平方差公式
例1：下列式子中，可以用平方差公式计算的是( C )
A．(x＋2)(2＋x)
B．(x＋y)(－x－y)
C．(2x＋y)(y－2x)
D．(2x－y)(x＋2y)
变式：下列各式中，不能用平方差公式计算的是( D )
A．(－x＋y)(－x－y)
Hale Waihona Puke B．(x－y)(－x－y)
C．(x＋y)(－x＋y)
14.2乘法公式
14.2.1平方差公式
学习目标
1. 经历探索平方差公式的过程，会运用多项式乘法法则推 导平方差公式，进一步发展符号感和推理能力．
2．通过自主探究平方差公式，认识平方差公式及其几何模 型，感受数学公式的意义和作用．
3．通过观察，理解、掌握平方差公式的结构特征，能灵活 熟练地运用平方差公式，培养学生解决问题的能力．
3．判断下列式子是否正确． (1)(x＋2)(x－2)＝x2－2( × )； (2)(－3a－2)(3a－2)＝9a2－4( × )； (3)(－2x＋y)(－2x－y)＝4x2－y2( √ )； (4)(a＋3)(a－4)＝a2－12( × )．
4．请同学们完成课本108页例2.
新知导入
游戏导入
同学们，我们来做一个数字游戏. 请同学们在纸上写出你最喜欢的一个幸运数字(10以内)，然后计算100与这 个数的和，接着乘100与这个数的差. (给学生半分钟思考、计算的时间) 同学们都算得很投入，只要告诉我,你计算的结果,我就能马上说出你的幸运 数字是几，信吗? （请两位学生来试验） 等我们学了今天的知识以后,大家也能像老师一样,马上猜出其他同学的幸运 数字.
典例精讲
【题型一】平方差公式
例1：下列式子中，可以用平方差公式计算的是( C )
A．(x＋2)(2＋x)
B．(x＋y)(－x－y)
C．(2x＋y)(y－2x)
D．(2x－y)(x＋2y)
变式：下列各式中，不能用平方差公式计算的是( D )
A．(－x＋y)(－x－y)
Hale Waihona Puke B．(x－y)(－x－y)
C．(x＋y)(－x＋y)
14.2乘法公式
14.2.1平方差公式
学习目标
1. 经历探索平方差公式的过程，会运用多项式乘法法则推 导平方差公式，进一步发展符号感和推理能力．
2．通过自主探究平方差公式，认识平方差公式及其几何模 型，感受数学公式的意义和作用．
3．通过观察，理解、掌握平方差公式的结构特征，能灵活 熟练地运用平方差公式，培养学生解决问题的能力．
平方差公式(课件)八年级数学上册(人教版)
2
（1）
=
（x+1）
（x -1） x -1 ；
（2）
= m2 - 4 ；
（m+ 2）
（m- 2）
2
（3）
=
4
x
-1．
（2 x+1）
（2 x -1）
相乘的两个多项式的各项与它们的积中的各项有什么关系？
（a+b）
（a-b）=a 2 -b 2
你能证明(a+b)(a-b)=a 2 -b 2 吗？
1、利用多项式的乘法法则验证：
(1)上述操作能验证的等式是________．
B
A. 2 − 2 + 2 = ( − )2
B. 2 − 2 = ( + )( − )
C. 2 − = ( − )
(2)应用你从（1）中选出的等式，完成下列各题：
①已知x 2 − 4y 2 = 18， − 2 = 3，求 + 2．
2
3
4
1
20212
× 1−
1
20222
．
（2）解：①∵x2-4y2=18，x-2y=3，
∴x+2y=(x2-4y2)÷(x-2y)=18÷3=6；
1
1
1
②原式=(1 − ) × (1 + ) × (1 − )
2
2
3
1
3
2
4
2021
2023
= × × × × ⋯×
×
2
2
3
3
2022
2022
1 2023
人教版
八年级上册数学
第十四章
14.2.1平方差公式
复习引入
（1）
=
（x+1）
（x -1） x -1 ；
（2）
= m2 - 4 ；
（m+ 2）
（m- 2）
2
（3）
=
4
x
-1．
（2 x+1）
（2 x -1）
相乘的两个多项式的各项与它们的积中的各项有什么关系？
（a+b）
（a-b）=a 2 -b 2
你能证明(a+b)(a-b)=a 2 -b 2 吗？
1、利用多项式的乘法法则验证：
(1)上述操作能验证的等式是________．
B
A. 2 − 2 + 2 = ( − )2
B. 2 − 2 = ( + )( − )
C. 2 − = ( − )
(2)应用你从（1）中选出的等式，完成下列各题：
①已知x 2 − 4y 2 = 18， − 2 = 3，求 + 2．
2
3
4
1
20212
× 1−
1
20222
．
（2）解：①∵x2-4y2=18，x-2y=3，
∴x+2y=(x2-4y2)÷(x-2y)=18÷3=6；
1
1
1
②原式=(1 − ) × (1 + ) × (1 − )
2
2
3
1
3
2
4
2021
2023
= × × × × ⋯×
×
2
2
3
3
2022
2022
1 2023
人教版
八年级上册数学
第十四章
14.2.1平方差公式
复习引入
14.2.1 平方差公式 课件-人教版八年级数学上册
一 平方差公式——(a+b)(a–b)=a2–b2
练习2：下列各式的计算正确吗？如果不正确，应当怎样改正？
①(x + 2 )(x – 2 ) = x2 – 2
× = x2 – 4
②(-3a – 2)(3a – 2 ) = 9a2 – 4 × = 4 – 9a2
③(4x + 3y)(4x – 3y) = 4x2 – 3y2 × = 16x2 – 9y2
(2) 原式＝(-x)2 – (2y)2 ＝x2 – 4y2；
一 平方差公式——(a+b)(a–b)=a2–b2
例 2： 102×98
练习4： 51×49
解：原式＝(100 + 2)(100 – 2) ＝1002 – 22 ＝9996;
原式＝(50 + 1)(50 – 1) ＝502 – 12 ＝2499.
一 规律探究
(x + 1) (x – 1) = x2 – 12 (m + 2) (m – 2) = m2 – 22 (2x + 3) (2x – 3) = 4x2 – 9
一 规律探究
(x + 1) (x – 1) = x2 – 12
(m( a+ +2)b(m) (–a2–) b)== am2 -2 –b222
⑤ (2x + 3) (2x – 3) = 4x2 – 2x + 2x – 9 = 4x2 – 9
一 规律探究
(x + 1) (x – 1) = x2 – 1 (m + 2) (m – 2) = m2 – 4 (2x + 3) (2x – 3) = 4x2 – 9
一 规律探究
(x + 1) (x – 1) = x2 – 1 (m + 2) (m – 2) = m2 – 4 (2x + 3) (2x – 3) = 4x2 – 9
《平方差公式》教学课件
14.2 乘法公式
（第1课时）
• 内容分析： 本课是在学生学习了多项式乘法与合并同类项知识 的基础上，对特殊形式的乘法运算概括出了乘法公 式——平方差公式，平方差公式也是因式分解中公 式法的重要基础，在代数中具有广泛的应用．
• 学习目标： 1．理解平方差公式，能运用公式进行计算． 2．在探索平方差公式的过程中，感悟从具体到抽象 地研究问题的方法，在验证平方差公式的过程中， 感知数形结合思想． • 学习重点： 平方差公式．
【思路点拨】 先观察式子，是否符合平方差的结构特征．
探究三：平方差公式的应用
活动2 针对练习 (b+2a)(2a－b) 【解题过程】 解：（b+2a）（2a-b）=（2a）²-b²=4a²-b² 【思路点拨】
先观察式子，是否符合平方差的结构特征，需要用加法
交换律对式子进行变形，然后运用平方差公式计算．
2 2
2
2
总结经验 从例题1和练习1中，你认为运用公式解决问题时应 注意什么？ （1）在运用平方差公式之前，一定要看是否具备公式 的结构特征； （2）一定要找准哪个数或式相当于公式中的a，哪个 数或式相当于公式中的b； （3）总结规律：一般地，“第一个数”a 的符号相同， “第二个数”b 的符号相反；
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的 平方差．
理解平方差公式
你能根据图中图形的面积说明平方差公式吗？
Ａ
a
Ｆ Ｇ
a- b
a M B D C bb
E H
理解平方差公式
例1 运用平方差公式计算：
（ 1） ； （3 x+ 2） （3 x- 2）
（ 2） ． （-x+ 2 y） （-x- 2 y）
变形，巩固平方差公式的运用.
（第1课时）
• 内容分析： 本课是在学生学习了多项式乘法与合并同类项知识 的基础上，对特殊形式的乘法运算概括出了乘法公 式——平方差公式，平方差公式也是因式分解中公 式法的重要基础，在代数中具有广泛的应用．
• 学习目标： 1．理解平方差公式，能运用公式进行计算． 2．在探索平方差公式的过程中，感悟从具体到抽象 地研究问题的方法，在验证平方差公式的过程中， 感知数形结合思想． • 学习重点： 平方差公式．
【思路点拨】 先观察式子，是否符合平方差的结构特征．
探究三：平方差公式的应用
活动2 针对练习 (b+2a)(2a－b) 【解题过程】 解：（b+2a）（2a-b）=（2a）²-b²=4a²-b² 【思路点拨】
先观察式子，是否符合平方差的结构特征，需要用加法
交换律对式子进行变形，然后运用平方差公式计算．
2 2
2
2
总结经验 从例题1和练习1中，你认为运用公式解决问题时应 注意什么？ （1）在运用平方差公式之前，一定要看是否具备公式 的结构特征； （2）一定要找准哪个数或式相当于公式中的a，哪个 数或式相当于公式中的b； （3）总结规律：一般地，“第一个数”a 的符号相同， “第二个数”b 的符号相反；
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的 平方差．
理解平方差公式
你能根据图中图形的面积说明平方差公式吗？
Ａ
a
Ｆ Ｇ
a- b
a M B D C bb
E H
理解平方差公式
例1 运用平方差公式计算：
（ 1） ； （3 x+ 2） （3 x- 2）
（ 2） ． （-x+ 2 y） （-x- 2 y）
变形，巩固平方差公式的运用.
《平方差公式》PPT优质课件
= 9x2–16–6x2–5x+6 = 3x2–5x–10.
探究新知
素养考点 3 利用平方差公式进行化简求值
例3 先化简，再求值：(2x–y)(y＋2x)–(2y＋x)(2y–x)， 其中x＝1，y＝2.
解：原式＝4x2–y2–(4y2–x2) ＝4x2–y2–4y2＋x2 ＝5x2–5y2.
当x＝1，y＝2时， 原式＝5×12–5×22＝–15.
探究新知
素养考点 5 利用平方差公式解决实际问题
例5 王大伯家把一块边长为a米的正方形土地租给了邻居 李大妈．今年王大伯对李大妈说：“我把这块地一边减少 4米，另外一边增加4米，继续租给你，你看如何？”李大 妈一听，就答应了．你认为李大妈吃亏了吗？为什么？
解：李大妈吃亏了． 理由：原正方形的面积为a2， 改变边长后面积为(a＋4)(a–4)＝a2–16， ∵a2＞a2–16， ∴李大妈吃亏了．
巩固练习
如果两个连续奇数分别是2n–1，2n+1(其中n为正 整数)，证明两个连续奇数的平方差是8的倍数.
证明：(2n+1)2–(2n–1)2 =[(2n+1)+(2n–1)][(2n+1)–(2n–1)] =(2n+1+2n–1)(2n+1–2n+1) =4n×2 =8n 因为8n是8的倍数，所以结论成立.
探究新知 知识点 平方差公式
多项式与多项式是如何相乘的？
(a+b)(m+n) =am +an +bm +bn
(x ＋ 3)( x＋5) =x2 ＋5x ＋3x ＋15 =x2 ＋8x ＋15.
探究新知
面积差变了吗？
a米
a米 5米
探究新知
素养考点 3 利用平方差公式进行化简求值
例3 先化简，再求值：(2x–y)(y＋2x)–(2y＋x)(2y–x)， 其中x＝1，y＝2.
解：原式＝4x2–y2–(4y2–x2) ＝4x2–y2–4y2＋x2 ＝5x2–5y2.
当x＝1，y＝2时， 原式＝5×12–5×22＝–15.
探究新知
素养考点 5 利用平方差公式解决实际问题
例5 王大伯家把一块边长为a米的正方形土地租给了邻居 李大妈．今年王大伯对李大妈说：“我把这块地一边减少 4米，另外一边增加4米，继续租给你，你看如何？”李大 妈一听，就答应了．你认为李大妈吃亏了吗？为什么？
解：李大妈吃亏了． 理由：原正方形的面积为a2， 改变边长后面积为(a＋4)(a–4)＝a2–16， ∵a2＞a2–16， ∴李大妈吃亏了．
巩固练习
如果两个连续奇数分别是2n–1，2n+1(其中n为正 整数)，证明两个连续奇数的平方差是8的倍数.
证明：(2n+1)2–(2n–1)2 =[(2n+1)+(2n–1)][(2n+1)–(2n–1)] =(2n+1+2n–1)(2n+1–2n+1) =4n×2 =8n 因为8n是8的倍数，所以结论成立.
探究新知 知识点 平方差公式
多项式与多项式是如何相乘的？
(a+b)(m+n) =am +an +bm +bn
(x ＋ 3)( x＋5) =x2 ＋5x ＋3x ＋15 =x2 ＋8x ＋15.
探究新知
面积差变了吗？
a米
a米 5米
(名师整理)最新人教版数学八年级上册第14章第2节第1课时《平方差公式》精品课件
例2 计算
(1)102×98 （100 2）（100 2） (2) (y+2) (y -2) - (y -1) (y+5)
做课本108页练习1、2
学习目标 2．正确地运用平方差公式进行计算。
1、（ n+m)( n-m)=n2-m2 2、 (2x+3y) (2x-3y) =4x2-9y2 3、( 5+a )( 5-a )=25-a²
学习目标 2．正确地运用平方差公式进行计算。
例1 运用平方差公式计算：
（1）(3x 2y)(3x 2 y) (2)( x 2 y)( x 2 y)
解：（1）原式 (3x)2 （2 y）2 9x2 4y2
（2）原式 (-x)2 (2 y）2 x2 4y2
学习目标 2．正确地运用平方差公式进行计算。
从这个正方形纸板上，
剪下一个边长为b的小正方
ห้องสมุดไป่ตู้
形，如图1，拼成如图2的长
图1
方形，请分别表示它们的面
积，你发现了什么？
(a+b)(a－b) = a2－b2
图2
学习目标 1．掌握平方差公式的结构特征；
从这个正方形纸板上，剪下一个边长为b的 小正方形，如图，再沿虚线剪开，可以拼成什 么图形？能验证公式吗？
——牛顿
课后作业
1 . 从课后习题中选取； 2 . 完成练习册本课时的习题.
（2） (32xx 25)(3x 2)
你发现变化前和变化后有什么不同？
学习目标 1．掌握平方差公式的结构特征；
(a+b)(a－ b)
=a2－ ab+ab－ b2
= a2－ b2 .
(a+b)(a-b)=a2-b2
(1)102×98 （100 2）（100 2） (2) (y+2) (y -2) - (y -1) (y+5)
做课本108页练习1、2
学习目标 2．正确地运用平方差公式进行计算。
1、（ n+m)( n-m)=n2-m2 2、 (2x+3y) (2x-3y) =4x2-9y2 3、( 5+a )( 5-a )=25-a²
学习目标 2．正确地运用平方差公式进行计算。
例1 运用平方差公式计算：
（1）(3x 2y)(3x 2 y) (2)( x 2 y)( x 2 y)
解：（1）原式 (3x)2 （2 y）2 9x2 4y2
（2）原式 (-x)2 (2 y）2 x2 4y2
学习目标 2．正确地运用平方差公式进行计算。
从这个正方形纸板上，
剪下一个边长为b的小正方
ห้องสมุดไป่ตู้
形，如图1，拼成如图2的长
图1
方形，请分别表示它们的面
积，你发现了什么？
(a+b)(a－b) = a2－b2
图2
学习目标 1．掌握平方差公式的结构特征；
从这个正方形纸板上，剪下一个边长为b的 小正方形，如图，再沿虚线剪开，可以拼成什 么图形？能验证公式吗？
——牛顿
课后作业
1 . 从课后习题中选取； 2 . 完成练习册本课时的习题.
（2） (32xx 25)(3x 2)
你发现变化前和变化后有什么不同？
学习目标 1．掌握平方差公式的结构特征；
(a+b)(a－ b)
=a2－ ab+ab－ b2
= a2－ b2 .
(a+b)(a-b)=a2-b2
(人教版八上) 数学 课件 平方差公式
(1) 左边两个二项式是： 两项的和与这两项差的乘积
结构特征 (2)
(3) 公式中的a和b 可以代表数或式
小试牛刀、巩固应用
你能在下列式子中找出与公式“a”“b”对应的项吗？
(1)(3x 2)(3x 2);
(2)(2a b)(2a b). (42aa2)2bb22
(3x 2)(3x 2) (3x)2 22 9x2 4
(a b)(a b)a2b2
小试牛刀、巩固应用
你能在下列式子中找出与公式“a”“b”对应的项吗？
(3)(2x y)(2x y) (2x)2 ( y)2
4x2 y2
(a b)(a b)a2b2
注意：当“项”是数与字母的乘积
时,要用括号把这个数整个括起来，再平 方,最后的结果又要去掉括号。
(3) (2a–b+1)(2a–b-1). 解：原式=〔(2a-b)+1〕〔(2a-b整)-体1思〕想很重要.
=(2a-b)2-12 =(2a-b)(2a-b)-1 =4a2-4ab+b2-1
人教版（人教版八上） 数学 课件 平方差公式
人教版（人教版八上） 数学 课件 平方差公式
(4) (x-3)(x+3)(x²+9)
= [(4a)2 −1 ]
= 1−16a2
巩固应用,探索公式
我们再看看( b＋2a)( 2a－b )这一式子还能用这 公式计算吗？
巩固应用,探索公式
我们再看看( b＋2a)( 2a－b )这一式子还能用这 公式计算吗？
( b＋2a)( 2a－b )
将式子变为(b－2a)(2a－b)，还可以用这个公
( × ) 4-9a2
（4）(4x+3b)(4x-3b)=16x2-9 (×) 16x2-9b2
结构特征 (2)
(3) 公式中的a和b 可以代表数或式
小试牛刀、巩固应用
你能在下列式子中找出与公式“a”“b”对应的项吗？
(1)(3x 2)(3x 2);
(2)(2a b)(2a b). (42aa2)2bb22
(3x 2)(3x 2) (3x)2 22 9x2 4
(a b)(a b)a2b2
小试牛刀、巩固应用
你能在下列式子中找出与公式“a”“b”对应的项吗？
(3)(2x y)(2x y) (2x)2 ( y)2
4x2 y2
(a b)(a b)a2b2
注意：当“项”是数与字母的乘积
时,要用括号把这个数整个括起来，再平 方,最后的结果又要去掉括号。
(3) (2a–b+1)(2a–b-1). 解：原式=〔(2a-b)+1〕〔(2a-b整)-体1思〕想很重要.
=(2a-b)2-12 =(2a-b)(2a-b)-1 =4a2-4ab+b2-1
人教版（人教版八上） 数学 课件 平方差公式
人教版（人教版八上） 数学 课件 平方差公式
(4) (x-3)(x+3)(x²+9)
= [(4a)2 −1 ]
= 1−16a2
巩固应用,探索公式
我们再看看( b＋2a)( 2a－b )这一式子还能用这 公式计算吗？
巩固应用,探索公式
我们再看看( b＋2a)( 2a－b )这一式子还能用这 公式计算吗？
( b＋2a)( 2a－b )
将式子变为(b－2a)(2a－b)，还可以用这个公
( × ) 4-9a2
（4）(4x+3b)(4x-3b)=16x2-9 (×) 16x2-9b2
八年级数学平方差公式1(教学课件201911)
（1） 25- 16x² 解：1） 25- 16x²= 5 ²- (4x)²
1
( 2 ) 9a²- 4 b ²
=(5+ 4x)(5-4x)
( 3 ) —9 x²- —1 y²
25
16
( 4 ) –9x²+ 4
解：2）
9a²-
1 4
b²
=(3a)²- ( 1 b)²
=（3a+
1
2
b)(3a-
1
b)
2
2
注意点：
1.运用平方差公式分解因式的关键是要把分解的多项式看成两个数
的平方差，尤其当系数是分数或小数时，要正确化为两数的平方差。
2.公式 a²- b²= (a+b)(a-b)中的字母 a , b可以是数，也可以是
单项式或多项式，要注意“整体”“换元”思想的运用。
3.当要分解的多项式是两个多项式的平方时，分解成的两个因式要 进行去括号化简，若有同类项，要进行合并，直至分解到不能再分 解为止。
引例： 对照平方差公式怎样将下面的多项式分解因式
1) m²- 16
2) 4x²- 9y²
m²- 16= m²- 4²=( m + 4)( m - 4) a² - b²= (a + b)( a - b )
4x²- 9y²=(2x)²-( 3y)²=(2x+ 3y)(2x- 3y)
例1.把下列各式分解因式
做一做
2、如图，在一块边长
为 acm 的正方形的四
a
角，各剪去一个边长为
bcm的正方形，求剩余
部分的面积。如果 a=3.6，b=0.8呢?
b
小结：1.具有的两式（或）两数平方差形式的多项式 可运用平方差公式分解因式。
八年级数学上册教学课件《平方差公式》
( y-1)( y+5)可以用平方差公式进行运算吗？ 不能，不符合平方差公式的条件. 自己动手算一算.
解:（1）( y+2)( y-2)-( y-1)( y+5) =y2-4-( y2+4y-5) =1-4y;
（2）102×98 =(100+2)(100-2) =1002-22 =9996.
强化练习
【课本P108 练习 第2题】
3.运用平方差公式计算： （1）(a＋3b)(a－3b) （2）(3＋2a)(－3＋2a) （2）51×49 （4）(3x＋4)(3x－4) －(2x＋3)(3x－2)
【课本P108 练习 第2题】
3.运用平方差公式计算： （1）(a＋3b)(a－3b) （2）(3＋2a)(－3＋2a) （2）51×49 （4）(3x＋4)(3x－4) －(2x＋3)(3x－2)
下列式子能用平方差公式计算吗?
① (-3x+2)(3x-2)
② (b+2a)(22y)
能，4a2-b2 ④ (-x+y)(x-y)
能，x2-4y2
不能
随堂演练
1.下列多项式中，可以用平方差公式计算的
是( B )
A.(2a-3b)(-2a+3b)
B.(-3a+4b)(-4b-3a)
思考 你能根据图1中图形的面积说明平方差公式吗？
方法一：设矩形EBNM的面积+矩形ADFE的面
积=S.
A
D
E MF BN
S= (a-b)b+(a-b)a = a2-b2
.
方法二：剪下矩形EBNM拼到FBND的位置，
如图.
A
D(M) N
E
M
解:（1）( y+2)( y-2)-( y-1)( y+5) =y2-4-( y2+4y-5) =1-4y;
（2）102×98 =(100+2)(100-2) =1002-22 =9996.
强化练习
【课本P108 练习 第2题】
3.运用平方差公式计算： （1）(a＋3b)(a－3b) （2）(3＋2a)(－3＋2a) （2）51×49 （4）(3x＋4)(3x－4) －(2x＋3)(3x－2)
【课本P108 练习 第2题】
3.运用平方差公式计算： （1）(a＋3b)(a－3b) （2）(3＋2a)(－3＋2a) （2）51×49 （4）(3x＋4)(3x－4) －(2x＋3)(3x－2)
下列式子能用平方差公式计算吗?
① (-3x+2)(3x-2)
② (b+2a)(22y)
能，4a2-b2 ④ (-x+y)(x-y)
能，x2-4y2
不能
随堂演练
1.下列多项式中，可以用平方差公式计算的
是( B )
A.(2a-3b)(-2a+3b)
B.(-3a+4b)(-4b-3a)
思考 你能根据图1中图形的面积说明平方差公式吗？
方法一：设矩形EBNM的面积+矩形ADFE的面
积=S.
A
D
E MF BN
S= (a-b)b+(a-b)a = a2-b2
.
方法二：剪下矩形EBNM拼到FBND的位置，
如图.
A
D(M) N
E
M
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作业：第156页 习题 15.2 第1题
注：这里的两数可以是两个单项式也可以是两 个多项式等等．
请从这个正方形纸板上，剪下一个边长为b 的小正方形，如图1，拼成如图2的长方形，你 能根据图中的面积说明平方差公式吗？
(a+b)(a－b)=a2－b2.
图1
图2
a2 b2 (a b)(a b) (a b)(a b) a2 b2
(a+b)(a－b)=a2－b2.
(2)(3x2 y 2xy2 )(2xy2 3x2 y)
练习3：计算
下列计算对不对？如果不对，怎样改正？
1) (x 6)(x 6) x2 6 错
分析：最后结果应是两项的平方差
(x 6)(x 6) x2 62 x2 36 2) (2a2 b2)(2a2 b2) 2a4 b4 错
1)
2009
2
20092 12 20092
练习： 1
(1)51 49 (2)2009 2011 2010 2
例4、 计算（1）(y+2) (y -2) - (y -1) (y+5)
(2)(y+3)(y-3)-(4-y)(4+y)
解：原式= y2 4（- y2 4 y 5) y2 4 y2 4y 5
例2：计算
(1)(am bn )(am bn )
(2)(2an1 bn2 )(2an1 bn2 )
例3：计算
(1) 101×99 （2）2008×2010-20092
解：原式= (100 1)(100 1) 1002 12
10000 1
9999 解：原式=(2009 1)(2009
15.2.1平方差公式(1)
人教实验版八年级数学 上册
活动1 知识复习
多项式与多项式相乘的法则：多项 式与多项式相乘，先用一个多项式的每 一项乘另一个多项式的每一项，再把所 得的积相加.
(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn.
活动2 计算下列各题，你能发现什么规律？
(1) (x+1)(x－1)= x2 1
特征（：1）两个数的和与这两个数的时，若有一 项相同，另一项符号相反，积 等于相同项平方减去相反项平方。
注：第（2）点是判断的依据和方法。
练习：
判断下列式子是否可用平方差公式。如果 能用，怎样用？若不能用，怎样计算？
(1)（-a+b)(a+b) （是） (2)(-2a+b)(-2a-b) （是）
a 4 (2) (a+2)(a－2)= 2
(3) (3－x)(3+x) = 9 x2
(4) (2x+1)(2x－1)= 4x2 1
计算：(a+b)(a－ b)
=a2－ ab+ab－ b2 =a2－ b2 . 平方差公式:
(a+b)(a－ b)= a2－ b2.
即两数和与这两数差的积等于这两个数的平方差.
分析：应将 2a 2当作一个整体，用括号括起来再平方
(2a2 b2)(2a2 b2) (2a2 )2 (b2 )2 4a4 b4
3) (5a 2b)(5a 2b) (5a)2 (2b)2 25a2 4b2 错
分析：应先观察是哪两个数的和与这两个数的差
(5a 2b)(5a 2b) (2b)2 (5a)2 4b2 25a2
(3)(-a+b)(a-b) （否）
(4)(a+b)(a-c) （否）
例1 运用平方差公式计算：
(1) (3x＋2 )( 3x－2 ) ；(2) (b+2a)(2a－b); (3) (-x+2y)(-x-2y).
解：（1）(3x＋2)(3x－2) （2）(b+2a)(2a－b)
=(3x)2－22 =9x2－4；
4y 1
解：原式= y2 9 (16 y2 ) y2 9 16 y2
练习： 2 y2 25
(1)(3x 4)(3x 4) (2x 3)(3x 2) (2) 3x(x 1)(x 1) x(3x 2)(2 3x)
小结
1.通过本节课的学习我有哪些收获？ 2.通过本节课的学习我有哪些疑惑？ 3.通过本节课的学习我有哪些感受？
=(2a+b)(2a－b) =(2a)2－b2
(3) (-x+2y)(-x-2y)
=4a2－b2.
=(-x)2－(2y)2 = x2－4y2
练习1：计算
（1）（3m+2n)(3m-2n）
（2） (b+2a)(2a-b)
（3）（-4a-1)(4a-1)
练习2：计算
(1)(2 m2 3 n2 )( 2 m2 3 n2 ) 34 34
注：这里的两数可以是两个单项式也可以是两 个多项式等等．
请从这个正方形纸板上，剪下一个边长为b 的小正方形，如图1，拼成如图2的长方形，你 能根据图中的面积说明平方差公式吗？
(a+b)(a－b)=a2－b2.
图1
图2
a2 b2 (a b)(a b) (a b)(a b) a2 b2
(a+b)(a－b)=a2－b2.
(2)(3x2 y 2xy2 )(2xy2 3x2 y)
练习3：计算
下列计算对不对？如果不对，怎样改正？
1) (x 6)(x 6) x2 6 错
分析：最后结果应是两项的平方差
(x 6)(x 6) x2 62 x2 36 2) (2a2 b2)(2a2 b2) 2a4 b4 错
1)
2009
2
20092 12 20092
练习： 1
(1)51 49 (2)2009 2011 2010 2
例4、 计算（1）(y+2) (y -2) - (y -1) (y+5)
(2)(y+3)(y-3)-(4-y)(4+y)
解：原式= y2 4（- y2 4 y 5) y2 4 y2 4y 5
例2：计算
(1)(am bn )(am bn )
(2)(2an1 bn2 )(2an1 bn2 )
例3：计算
(1) 101×99 （2）2008×2010-20092
解：原式= (100 1)(100 1) 1002 12
10000 1
9999 解：原式=(2009 1)(2009
15.2.1平方差公式(1)
人教实验版八年级数学 上册
活动1 知识复习
多项式与多项式相乘的法则：多项 式与多项式相乘，先用一个多项式的每 一项乘另一个多项式的每一项，再把所 得的积相加.
(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn.
活动2 计算下列各题，你能发现什么规律？
(1) (x+1)(x－1)= x2 1
特征（：1）两个数的和与这两个数的时，若有一 项相同，另一项符号相反，积 等于相同项平方减去相反项平方。
注：第（2）点是判断的依据和方法。
练习：
判断下列式子是否可用平方差公式。如果 能用，怎样用？若不能用，怎样计算？
(1)（-a+b)(a+b) （是） (2)(-2a+b)(-2a-b) （是）
a 4 (2) (a+2)(a－2)= 2
(3) (3－x)(3+x) = 9 x2
(4) (2x+1)(2x－1)= 4x2 1
计算：(a+b)(a－ b)
=a2－ ab+ab－ b2 =a2－ b2 . 平方差公式:
(a+b)(a－ b)= a2－ b2.
即两数和与这两数差的积等于这两个数的平方差.
分析：应将 2a 2当作一个整体，用括号括起来再平方
(2a2 b2)(2a2 b2) (2a2 )2 (b2 )2 4a4 b4
3) (5a 2b)(5a 2b) (5a)2 (2b)2 25a2 4b2 错
分析：应先观察是哪两个数的和与这两个数的差
(5a 2b)(5a 2b) (2b)2 (5a)2 4b2 25a2
(3)(-a+b)(a-b) （否）
(4)(a+b)(a-c) （否）
例1 运用平方差公式计算：
(1) (3x＋2 )( 3x－2 ) ；(2) (b+2a)(2a－b); (3) (-x+2y)(-x-2y).
解：（1）(3x＋2)(3x－2) （2）(b+2a)(2a－b)
=(3x)2－22 =9x2－4；
4y 1
解：原式= y2 9 (16 y2 ) y2 9 16 y2
练习： 2 y2 25
(1)(3x 4)(3x 4) (2x 3)(3x 2) (2) 3x(x 1)(x 1) x(3x 2)(2 3x)
小结
1.通过本节课的学习我有哪些收获？ 2.通过本节课的学习我有哪些疑惑？ 3.通过本节课的学习我有哪些感受？
=(2a+b)(2a－b) =(2a)2－b2
(3) (-x+2y)(-x-2y)
=4a2－b2.
=(-x)2－(2y)2 = x2－4y2
练习1：计算
（1）（3m+2n)(3m-2n）
（2） (b+2a)(2a-b)
（3）（-4a-1)(4a-1)
练习2：计算
(1)(2 m2 3 n2 )( 2 m2 3 n2 ) 34 34