静力学30个例题

F F
ix
0 0
FAx FBC cos 45 0
FAy FBC sin 45 F1 0
iy
M F A i 0

FBC sin 45
l F1 l 0 2
FBC 2 2 F1 可得 FAx 2 F1 F F 1 Ay （ 2） 三力矩式： M A Fi 0
y F1
A B
F4
y

D C
2
45
A
Fx MB Fy
1
D B Cx
M
F2
x
F3
F
y
A
MC
B
F
解：1 计算力系的主矢 F ：
D C
x
F
y
A (-3,0) B
D Cx
Fx Fix F4 cos 45 F2 2 KN F y Fiy F1 F3 F4 sin 45 1KN
有
Fx c xdF
0 L
xc
1 F
q0 x 2 2 0 l dx 3
l
例 11 已知：矩形板的四个顶点上分别作用四个力及一个力偶如图 a 所示。其 中 F1 2 KN , F2 3KN , F3 4 KN , F4 2 KN 力偶矩 M 10 KM m ，转向如图 所示，图中长度单位为 m 。试分别求:1)力系向点 B 简化结果 2)力系向点 C 简化 结果 3)力系简化的最后结果
tg 1 2
FA FB F sin( 90 ) sin 45 sin( 45 )
F sin 45 FA cos
F sin( 45 ) FB cos
例 3 已知：支架 ABC，A、B 处为铰支座，在 C 处用销钉连接，在销上作用
P 20kN 不计杆自重。求：AC 和 BC 杆所受的力。
F F 20kN ，力偶矩的大小 M 40kN m ，转向逆时针 30 0 ，不计梁自重。
求：支座 A、B 的反力。 解：1．研究对象 AB 梁 2．受力分析 3．列方程求解
M
i
0，
Fa sin 30 FA l M 0
FA FB 6kN
例 10 位置。 求如图 a ， b 所示的作用在 AB 梁上的分布载荷的合力的大小和作用线
有 有
M 0 ( F ) r F 282.8i 212.1 j
M x ( F ) [ M 0 ( F )] x 282.8 N m M y ( F ) [ M 0 ( F )] y 212.1N m M z ( F ) [M 0 ( F )] z 0 3.计算力 F 对图中轴 OC 之矩。
FD
FB FE
F
FC FG
例 2 已知：简支梁 AB，在中点作用力 F ，方向如图，求反力
A
C
F 45 B FA
A
C
F 45 象 AB 梁 2．受力分析如图 3．作自行封闭的力三角形如图 4．求解
先计算沿轴 OC 的单位矢量 ec ： ec OC OC (3i 5k )
有 M OC ( F ) M 0 ( F ) OC M O ( F ) ec 145.5 N m
34


例9
已知： 简支梁 AB 上作用有两个平行力，F ，F 和一个力偶。 l 5m a 1m ，
在梁上离 A 端 x 处取微元 dx ，由于载荷线性分布，在 x 处的集度 q1 q 0 x ， l 于是在 dx 上作用力的大小为： dF q1dx q 0 x dx l
合力的大小为 F dF
0
l
l
0
q0 x ql dx 0 l 2
利用合力矩定理计算合力作用线的位置。设合力 F 的作用线离 A 端的距离为 xc ，
OA OB, 45 , cos 0.6, sin 0.8 Fx F sin cos 42.4 N Fy F sin sin 56.6 N Fz F cos 70.7 N
力 F 作用点 A 的坐标为 x=3m,y=4m,z=0 于是 M x ( F ) Fz y F y z 282.8 N m M y ( F ) Fx z Fz x 212.1N m
iy
求得
FB
2 P 2
FC
2 P 2
也可在 Bxy 系中。
F F
iy
0 0
FC FB cos 45 0
ix
FB P sin 45 0
可知：选择合适的坐标系，可以简化计算。
例 5 已知： P 20kN ，不计杆重和滑轮尺寸，求：杆 AB 与 BC 所受的力。 B A 30 B
iy
iz
解得 例 7
FDA FCA 869 N
FBA 1950 N
力 F 作用于支架上的点 C,如图所示，设 F 100 N ，试求力 F 分别对点
A,B 之矩。
A
B
3m
C
60
F
解： 因为求力 F 对 A、B 两点的力臂比较麻烦，故利用合力矩定理求解。
M A ( F ) M A ( Fx ) M A ( Fy ) 2 F sin 60 3F cos 60 23 N m M B ( F ) M B ( Fx ) M B ( Fy ) 0 3F cos 60 150 N m
z
D
F W AC F AB
B 2
F AD
z
A
A
D

C
A y
C
B
y
a x
b
a
x
b
Fz Fx
解：1 以 A 为研究对象 2．受力分析 3．列方程求解：
Fy
F F F
ix
0 ： 0 ： 0 ：
FCA cos sin FDA cos sin 0 FCA cos cos FBA cos cos FBA cos 0 FDA sin FCA sin FBA sin W 0
利用两点之矩的关系计算 M C M B M C F 3 F y 2 5KN

平面力系向点 C 简化仍得到一力和一力偶，该力过点 C ，其大小和方向仍与力系 的主矢相同，该力偶的力偶矩等于主矩 M c ，如图 c 4 力系简化的最后结果 因为主矢 F 0 ，所以力系简化的最后结果为一合力 F ，其大小和方向与主矢 F
的约束力。
l 2 l 2
F1
F AX
F AY
F1
45
A
l 2
C
B
FBC
D
解：研究对象： ACB 杆 1． 受力分析：易知 CD 是二力杆，所以点 C 受力如图 2． 列平衡方程求解： 3． 研究对象： ACB 杆 4． 受力分析：易知 CD 是二力杆，所以点 C 受力如图 5． 列平衡方程求解： （1） 基本方程：
A
FAC
30

C
B P
解：1。取研究对象销钉 C 2．受力分析 3．作自行封闭的力多边形。 4．解三角形
30 FBC

C
P
P 30 FBC
FAC
FAC FBC P sin 30 sin 90 sin 60
例 4 已知：在铰拱不计拱重，结构尺寸为 a，在 D 点作用水平力 P，不计自重， 求支 @、C 的约束反力。
iy
其中 解得
F FT P
FBC 74.64kN （压）
FAB 54.64kN （拉）
例 6（空间问题）已知：三角支架由三杆 AB、AC 和 AD 用球铰 A 连接而成， 分别用球铰支座 B、C 和 D 固定在地面上，设铰 A 上悬挂一重物， W 500 N ， 结构尺寸 a 2m ， b 3m ， c 1.5m ， h 2.5m ，若杆的自重均不计，求各杆所 受的力。
y
B D
P
A
B FB
B FB
D
P
x
A
a
a
C
FA
C FC
解：分析易知 OAB 是二力杆件， 1．以 BCD 为研究对象； 2．受力分析 3．列方程，求解
F F
ix
0 0
P FB cos 45 FC cos 45 0 FC cos 45 FB sin 45 0
例 1 已知：物块重 P，小球重 G，滑轮不计重量，各杆自重不计，求：各个物 块及整体的受力图。
D G P C A B E
K
P
FG FA
FE FK G
解：1 物块为研究对象，受力分析 2 小球为研究对象，受力分析 3 KD 杆为研究对象，受力分析 4 DE 杆为研究对象，受力分析 5 滑轮为研究对象，受力分析 6 整体：受力分析，如图 FD FC F FB FA P FK G
1） 梁上作用一均布载荷，载荷集度为 q N
m m
2） 梁上作用一线形分布载荷， 左端的载荷集度为零， 右端的载荷集度为 q0 N
q
A B A B
q0
x
dx
L 2
(a)
L 2
(b)
L
F
A

q
B A
xc
x
dx
F
q0
B
L 2
(c)
L 2
(d)
L
解： 1） “均布载荷” 的合力可当作均质杆的重力处理， 所以合力的大小为 F ql ， 作用在 AB 梁的中心，如图 a 3） 当载荷不均匀分布时，可以通过积分来 计算合力的大小和作用线位置。
F Fx Fy 5 KN
2
2
cos
Fx 2 2 5 F 5 5
F 2i 1 j
cos
Fy F

1 5

5 5
F 的解析式
2 向 B 点简化的主矩 M B F4 cos 45 1 F4 sin 45 2 M F3 2 3KN m 即平面力系向点 B 简化得到一力和一力偶，该力过点 B ，其大小和方向与力系的 主矢 F 相同。该力偶的力偶矩等于主矩 M B ，如图 b 3、向 C 点简化的主矩
C
30 30
FAB
30
30 30
P
FBC
解：1、研究对象：滑轮 2．受力分析 3．列方程求解
F T F
F F
ix
0 0
FBA FBC cos 30 FT sin 30 0 FBC sin 30 F1 cos 30 F 0

M F B i 0 M F C i 0

l F1 l 0 2 l l FAy F1 0 2 2 l FAx F1 l 0 2 FBC sin 45
例 8
如图所示，力 F 通过点 A(3,4,0)和点 B(0,0,5),设 F 100 N ，图中尺寸
单位为 m。
求：(1)力 F 对直角坐标轴 x,y,z 之矩； (2)力 F 对图中轴 OC 之矩，点 C 坐标为(3,0,5)。
B 5 C

F
z
O

4
y
3
x
A
解：1.计算力 F 对轴 x,y,z 之矩。 先计算力 F 在坐标轴上的投影，图中
相同，作用线方程为： x 2 y 3 合力 F 为轴 x 的交点坐标为（-3，0）
例 12 图 a 所示结构中， A, C , D 三处均为铰链约束。横杆 AB 在 B 处承受集中载
荷 F1 ， 结构各部分尺寸均示于图中， 若已知 F1 和 l ， 试求撑杆 CD 的受力以及 A 处
M z ( F ) F y x Fx y 0
2.计算力 F 对坐标轴 x,y,z 之矩。 先计算力 F 对点 O 之力矩矢 M o ( F ) ，为此写出力 F 和矢径 r 的解析式：
F 42.4i 56.6 j 70.7k , r OB 5k (m)