离散数学总结
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1) 群的阶 2) 元素的阶 3) 元素的幂
16
18:15
性质：G是群
1) |G|>1时，除幺元外，无其他幂等元
2) 群中无零元 3) 群中可解方程
4) 消去律
5) 有限群的运算表中，每行（列）为群中元素的一个置换， 无两行（列）相同
子群：
1) 定义 2) 判定：
Lagrange定理：H≤G，|H|=m，|G|=n，则n|m
自反闭包 r(R)、对称闭包s(R)、传递闭包：t (R)
9
18:15
等价关系：
定义：自反、对称、传递 （ Φ、EA、IA哪些是等价关系） 等价类：[x]R = { y | y∈A ∧ xRy } 商集：A/R = { [x]R | x∈A } 集合的一种划分 (A)集合上的一种等价关系R 若 (A)= { A1,A2,…Am } ，则Fra Baidu bibliotek诱导的等价关系R=
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18:15
集合
7
18:15
关系及函数
8
18:15
关系的性质
自反、反自反、对称、反对称、传递 如何从关系图、关系矩阵判断关系具有的性质 特殊关系具有的性质：
1) 空关系：反自反、对称、反对称、传递
2) 全域关系：自反、对称、传递
3) 恒等关系：自反、对称、反对称、传递
关系的运算：逆、合成（左复合） 求关系的闭包
离散数学
主要内容
命题逻辑
一阶逻辑
集合
关系与函数
图与特殊图
代数系统
2
18:15
命题逻辑
3
18:15
范式：
析取范式： 合取范式： 主析取范式：
1) 析取范式中，每一项都是极小项
2) 极小项的编码
3) 两种方法求主析取范式：真值表、等值演算
主合取范式：
1) 合取范式中，每一项都是极大项
整环、除环 域：既是整环，又是除环
< Z5,, >是域、< Z6,, >不是域
19
18:15
格：
定义 性质：结合律、交换律、幂等律、吸收律
有界格 有补格 分配格 布尔格
20
18:15
(A1A1)∪ (A2A2)… (AmAm)
集合上的不同等价关系个数=集合的不同划分数
偏序关系：记作<A, ≼>
定义：自反、反对称、传递（ Φ、 EA、 IA，哪些是偏序关系） 常见偏序关系： <N, |>、<P(A), >、<R，≤ > Hase图（正确画出）
全序关系的Hase图是一条线（线序关系）
12 18:15
Hamiliton图：
定义：经过图中所有顶点一次且仅一次的回路。（点不 重复，初级回路） 充分条件：若任意一对不相邻的顶点的度数之和 ≥ n， 则G中存在Hamilton回路，即G为Hamilton图 必要条件：若无向图G=<V,E>是哈密顿图，则对于V的 任意非空真子集V1均有 p(GV1)|V1|.
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图与特殊图
术语：
有向图、无向图、完全图 顶点的度、出度、入度、握手定理 图的阶：图中顶点的个数
图的表示：邻接矩阵 Euler图：
定义：经过图中所有边一次且仅一次的回路。（一笔画问 题，简单回路） 无向Euler图充要条件：无奇度点 无向半Euler图充要条件：2个或0个奇数度点 有向Eluer图：所有点入度=出度 有向半Eluer图：除两个结点，每个结点入度等于出度， 一个结点的入度比出度大1，另一个结点的入度比出度小1
有限群，子群的阶是父群阶的因子 素数阶群，无非平凡子群 有限群中任意元素a的阶，必为n的因子，且 an=e Ex：16阶群 18:15 17
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环：<R, *,#>
定义：
1) <R, *>是阿贝尔群
2) <R, #>是半群
3) #对*可分配
性质： <R, *>的幺元是<R, #>的零元 <R,+,•>、 <Z,+,•>, < Zn,, >
二部图：
定义： 判定：无向图G=<V,E>是二部图当且仅当G中无奇数长 度的回路
13
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平面图：
定义： 判定： 极大平面图、极小非平面图
1) N(≥3)的极大平面图连通且各个面的次数均为3
欧拉公式：
1) 连通平面图 : 点数-边数+面数=2 2) 非联通平面图: 点数-边数+面数=p+1
对偶图：也是平面图。同构的平面图，其对偶图不一定 同构 顶点着色问题
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代数系统
二元运算：封闭性 二元运算的特殊元素：
幺元（单位元）、零元、逆元 |S|>1时，e≠θ 幺元、零元唯一性 逆元：存在幺元时，元素的逆元不唯一。若运算可结合， 则逆元也有唯一性
代数系统：
<R,+>、<Z,+>，<Zn,>， <Zn, >、 <P(A),U>,<P(A), ∩>、 <P(A), > 的幺元、零元，有逆元的元素的逆元
半群：可结合的代数系统
封闭性 结合性
15 18:15
独异点：含幺半群
封闭性 结合性 幺元存在
群：
判定：封闭性、结合性、有幺元、可逆 术语：
2) 极大项的编码 3) 两张方法求主合取范式：真值表、等值演算
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命题推理
析取三段论、假言推理、拒取、假言三段论
组合电路设计（了解）
5
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一阶逻辑
谓词及符号化命题
特性谓词符号化命题，如：
1) 不是所有四川人都喜欢吃辣椒
2) 有的火车比所有汽车都跑得慢
论域有限域上的谓词公式消去量词的方法
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极大元、极小元、最大元、最小元、上界、上确界、下 界、下确界 格：偏序集中任两元素都有上确界、下确界
函数：
定义：特殊的关系 BA：所有从A到B的函数的集合记作BA ={ f | f : A→B } 函数的计数： |A|=m, |B|=n, 且m, n>0, |BA|=nm. 函数的复合（合成）：左复合
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性质：G是群
1) |G|>1时，除幺元外，无其他幂等元
2) 群中无零元 3) 群中可解方程
4) 消去律
5) 有限群的运算表中，每行（列）为群中元素的一个置换， 无两行（列）相同
子群：
1) 定义 2) 判定：
Lagrange定理：H≤G，|H|=m，|G|=n，则n|m
自反闭包 r(R)、对称闭包s(R)、传递闭包：t (R)
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等价关系：
定义：自反、对称、传递 （ Φ、EA、IA哪些是等价关系） 等价类：[x]R = { y | y∈A ∧ xRy } 商集：A/R = { [x]R | x∈A } 集合的一种划分 (A)集合上的一种等价关系R 若 (A)= { A1,A2,…Am } ，则Fra Baidu bibliotek诱导的等价关系R=
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集合
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关系及函数
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关系的性质
自反、反自反、对称、反对称、传递 如何从关系图、关系矩阵判断关系具有的性质 特殊关系具有的性质：
1) 空关系：反自反、对称、反对称、传递
2) 全域关系：自反、对称、传递
3) 恒等关系：自反、对称、反对称、传递
关系的运算：逆、合成（左复合） 求关系的闭包
离散数学
主要内容
命题逻辑
一阶逻辑
集合
关系与函数
图与特殊图
代数系统
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命题逻辑
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范式：
析取范式： 合取范式： 主析取范式：
1) 析取范式中，每一项都是极小项
2) 极小项的编码
3) 两种方法求主析取范式：真值表、等值演算
主合取范式：
1) 合取范式中，每一项都是极大项
整环、除环 域：既是整环，又是除环
< Z5,, >是域、< Z6,, >不是域
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格：
定义 性质：结合律、交换律、幂等律、吸收律
有界格 有补格 分配格 布尔格
20
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(A1A1)∪ (A2A2)… (AmAm)
集合上的不同等价关系个数=集合的不同划分数
偏序关系：记作<A, ≼>
定义：自反、反对称、传递（ Φ、 EA、 IA，哪些是偏序关系） 常见偏序关系： <N, |>、<P(A), >、<R，≤ > Hase图（正确画出）
全序关系的Hase图是一条线（线序关系）
12 18:15
Hamiliton图：
定义：经过图中所有顶点一次且仅一次的回路。（点不 重复，初级回路） 充分条件：若任意一对不相邻的顶点的度数之和 ≥ n， 则G中存在Hamilton回路，即G为Hamilton图 必要条件：若无向图G=<V,E>是哈密顿图，则对于V的 任意非空真子集V1均有 p(GV1)|V1|.
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图与特殊图
术语：
有向图、无向图、完全图 顶点的度、出度、入度、握手定理 图的阶：图中顶点的个数
图的表示：邻接矩阵 Euler图：
定义：经过图中所有边一次且仅一次的回路。（一笔画问 题，简单回路） 无向Euler图充要条件：无奇度点 无向半Euler图充要条件：2个或0个奇数度点 有向Eluer图：所有点入度=出度 有向半Eluer图：除两个结点，每个结点入度等于出度， 一个结点的入度比出度大1，另一个结点的入度比出度小1
有限群，子群的阶是父群阶的因子 素数阶群，无非平凡子群 有限群中任意元素a的阶，必为n的因子，且 an=e Ex：16阶群 18:15 17
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环：<R, *,#>
定义：
1) <R, *>是阿贝尔群
2) <R, #>是半群
3) #对*可分配
性质： <R, *>的幺元是<R, #>的零元 <R,+,•>、 <Z,+,•>, < Zn,, >
二部图：
定义： 判定：无向图G=<V,E>是二部图当且仅当G中无奇数长 度的回路
13
18:15
平面图：
定义： 判定： 极大平面图、极小非平面图
1) N(≥3)的极大平面图连通且各个面的次数均为3
欧拉公式：
1) 连通平面图 : 点数-边数+面数=2 2) 非联通平面图: 点数-边数+面数=p+1
对偶图：也是平面图。同构的平面图，其对偶图不一定 同构 顶点着色问题
14
18:15
代数系统
二元运算：封闭性 二元运算的特殊元素：
幺元（单位元）、零元、逆元 |S|>1时，e≠θ 幺元、零元唯一性 逆元：存在幺元时，元素的逆元不唯一。若运算可结合， 则逆元也有唯一性
代数系统：
<R,+>、<Z,+>，<Zn,>， <Zn, >、 <P(A),U>,<P(A), ∩>、 <P(A), > 的幺元、零元，有逆元的元素的逆元
半群：可结合的代数系统
封闭性 结合性
15 18:15
独异点：含幺半群
封闭性 结合性 幺元存在
群：
判定：封闭性、结合性、有幺元、可逆 术语：
2) 极大项的编码 3) 两张方法求主合取范式：真值表、等值演算
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18:15
命题推理
析取三段论、假言推理、拒取、假言三段论
组合电路设计（了解）
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18:15
一阶逻辑
谓词及符号化命题
特性谓词符号化命题，如：
1) 不是所有四川人都喜欢吃辣椒
2) 有的火车比所有汽车都跑得慢
论域有限域上的谓词公式消去量词的方法
10 18:15
极大元、极小元、最大元、最小元、上界、上确界、下 界、下确界 格：偏序集中任两元素都有上确界、下确界
函数：
定义：特殊的关系 BA：所有从A到B的函数的集合记作BA ={ f | f : A→B } 函数的计数： |A|=m, |B|=n, 且m, n>0, |BA|=nm. 函数的复合（合成）：左复合