三重积分概念及其计算

§5 三重积分
教学目的 掌握三重积分的定义和性质．
教学内容 三重积分的定义和性质；三重积分的积分换元法；柱面坐标变换；球面坐标变换． 基本要求 掌握三重积分的定义和性质，熟练掌握化三重积分为累次积分，及用柱面坐标变
换和球面坐标变换计算三重积分的方法．
教学建议 (1) 要求学生必须掌握三重积分的定义和性质，知道有界闭区域上的连续函数必可
积．由于三重积分的定义与性质及充要条件与二重积分类似，可作扼要叙述与比较．
(2) 对较好学生可布置这节的广义极坐标的习题．
一、三重积分的概念
背景：求某非均匀密度的曲顶柱体的质量时，通过“分割、近似，求和、取极限”的步骤，
利用求柱体的质量方法来得到结果．一类大量的“非均匀”问题都采用类似的方法，从而归结出下面一类积分的定义．
定义1 设()z y x f ,,是定义在三维空间可求体积的有界闭区域V 上的函数，J 是一个确定的数，若对任给的正数ε，总存在某个正数δ，使对于V 的任何分割T ，当它的细度δ
<T 时，属于T 的
所有积分和都有
ε
σζ
ηξ<-∆∑=J f N
i i i
i
i
1
),,(,
则称()z y x f ,,在V 上可积，数J 称为函数()z y x f ,,在V 上的三重积分，记作
J =
()⎰⎰⎰V
dvdydz
z y x f ,,，
其中()z y x f ,,称为三重积分的被积函数，z y x ,,称为积分变量，称为V 积分区域．
可积函数类
（ⅰ）有界闭区域V 上的连续函数必可积.
（ⅱ）有界闭区域V 上的有界函数()z y x f ,,的间断点集中在有限多个零体积的曲面上，
则()z y x f ,,必在V 上可积.
二、化三重积分为累次积分
定理21.15 若函数()z y x f ,,在长方体V =[][][]f e d c b a ,,,⨯⨯上的三重积分存在，且对任何x ∈[]b a ,，二重积分
()x I =()dydz z y x f D
⎰⎰,,
存在，其中D =[][]f e d c ,,⨯，则积分
⎰b
a
dx ()⎰⎰D
d z y x f σ
,,
也存在，且
()⎰⎰⎰V
dxdydz z y x f ,,=⎰b
a
dx ()⎰⎰D
d z y x f σ
,,. (1)
为了方便有时也可采用其他的计算顺序．若简单区域V 由集合
()()()()(){}
b x a x y y x y y x z z y x z z y x V ≤≤≤≤≤≤=,,,,,,2121
所确定，V 在xy 平面上的投影区域为
D =()()(){
}b x a x y y x y y x ≤≤≤≤,,21 是一个x 型区域，设()z y x f ,,在上连续，
()y x z ,1，()y x z ,2在D 上连续，()x y 1，()x y 2上[]b a ,连续，则
()⎰⎰⎰V
dxdydz z y x f ,,=
()()⎰⎰⎰D
z y
x z dz z y x f dxdy 21,,,=()()()()
⎰⎰⎰b a
x y x y z y
x z dz
z y x f dy dx 212
1,,,，
其他简单区域类似．
一般区域V 上的三重积分，常将区域分解为有限个简单区域上的积分的和来计算．
例1
计算
⎰⎰⎰+V
dxdydz y x 221
，其中V 为由
平面x y z x x ====,0,2,1,y z =所围的区域.
例2 求⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++V dxdydz
c z b y a x 222222，其中V 为
222
222
1x y z a b c ++≤. 例3改变下列累次积分顺序
1
10
(,,)x
x y
dx dy f x y z dz --⎰
⎰
⎰
三、三重积分换元法
设变换T ：()w v u x x ,,=，()w v u y y ,,=，()w v u z z ,,=把uvw 空间中的区域V '一对一地映成xyz 空间中的区域V ，并设函数()w v u x x ,,=，()w v u y y ,,=，()w v u z z ,,=及它的偏导数在区域V '内连续且行列式
()w v u J ,,=x x x u
v w y
y y u v w z z z u
v w
∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂≠
0 , ()w v u ,,∈V ', 则
()⎰⎰⎰V
dxdydz z y x f ,,=
()()()()()⎰⎰⎰'
V dudvdw
w v u J w v u z w v u y w v u x f ,,,,,,,,,,，（4）
其中()z y x f ,,在V 上可积． （一）、柱面坐标变换：如下图所示
变换T ：⎪⎩⎪
⎨⎧+∞<<∞-=≤≤=+∞
<≤=z z z r y t r x ,20,sin 0,cos πθθθ，
()z r J ,θ=
10
0cos sin 0sin cos θθ
θθr r -=r
，
按（4）式
()⎰⎰⎰V
dxdydz z y x f ,,=
()⎰⎰⎰'
V dz
rdrd z r r f θθθ,sin ,cos ，
这里V '为V 在柱面坐标变换下的原象．
在柱面坐标中：r =常数，是以z 轴为中心轴的圆柱面； θ=常数，是过z 轴的半平面； z =常数，是垂直于z 轴的平面． 若V 在平面上的投影区域D ，即V =
()()()(){}D y x y x z z y x z z y x ∈≤≤,,,,,,2
1
时
()⎰⎰⎰V
dxdydz z y x f ,,=
()()()
dz
z y x f dxdy D
y x z y
x z ⎰⎰⎰,,21,,，
其中二重积分部分应用极坐标计算．
例4 计算()⎰⎰⎰+V
dxdydz
y x
22
，其中V 是由曲面
()z y x =+222与4=z 为界面的区域． 例5 计算
,V
zdxdydz V ⎰⎰⎰
由2224x y z ++=和抛物面
223x y z +=围成。

例6计算22,V
x y dxdydz V +⎰⎰⎰
由222x y z +=和1z =围
成。

（二）、球坐标变换
变换T ：
⎪⎩
⎪
⎨⎧≤≤=≤≤=+∞
<≤=πϕϕπθθϕθϕ0,cos 20,sin sin 0,cos sin r z r y t r x ，
()θϕ,,r J =
sin cos cos sin sin cos sin sin sin sin cos cos cos sin ϕ
ϕ
θ
ϕθϕθ
ϕθϕθϕθϕr r r r r ---=ϕsin 2
r ，
变换公式为：
()⎰⎰⎰V dxdydz
z y x f ,,=
()θ
ϕϕϕθϕθϕd drd r
r r r f V sin cos ,sin sin ,cos sin 2
⎰⎰⎰'
在球面坐标中：
r =常数，是以原点为中心的球面
θ=常数，是过z 轴的半平面．
ϕ=常数，是以原点为顶点，以z 轴为中心轴的圆锥面．
当
()()()(){}
βθαθϕϕθϕθϕθϕ≤≤≤≤≤≤=',,,,,2121r r r r V 时,
()⎰⎰⎰
V
dxdydz
z y x f ,,=
()()
()
()()
dr
r r r r f d d r r ϕϕθϕθϕϕθθϕθϕθϕθϕθθsin cos ,sin sin ,cos sin 2
,,
21
21
2
1
⎰⎰⎰ .
例7 求由圆锥体βcot 22y x z +≥和球体()2222a a z y x ≤-++所确定的立体体
积，其中
⎪
⎭⎫
⎝
⎛∈2,0πβ和0>a 为常数．
解 球面方程()2
2
22a a z y x =-++在球坐标系下表
示为ϕcos 2a r =，圆锥面
βcot 22y x z +=在球坐标系下表示为βϕ=，
(){
}πθβϕϕθϕ20,0,cos 20,,≤≤≤≤≤≤='a r r V
⎰⎰⎰V dv =⎰⎰⎰β
ϕπ
ϕϕθ0cos 202
20sin a dr r d d =()
βπ43cos 134-a .
例8 计算
222(),V
x y z dxdydz V ++⎰⎰⎰
：2222x y z z ++=
例9 求I =⎰⎰⎰V zdxdydz ，其中V 为由122222
2≤++c z b y a x 与0≥z 所围区域．。