高中数学选修2-2课件2.1.1《合情推理-类比推理》课件

思考 科学家做出上述猜想的推理过程是怎样的? 在提出上述猜想过程中,科学家对比了火星与地球 之间的某些相似特征,然后从地球的一个已知特征 (有性命存在)出发,猜测火星也可能具有这个特征.
数学研究中也常常进行这样的推理.例如,在研究 球体时,我们会自然地联想到圆.对于圆,我们已经 有了比较充分的研究,定义了圆的一些概念,发现 了圆的一些性质(表2 1).由球与圆在形状上和概 念上都有类似的地方,即具有完美的对称性,都是 到定点的距离等于定长的点的集合,因此我们推 测对于圆的特征,球也可能具有.
推 理 是 人 们 思 维 活 动 的过 程, 是 根 据一个或几个已知的判断来确定 一个新的判断的思维过程.本节将 介 绍人们在日常活动和科学研究 中经常使用的两种推理 合情推 理和演绎推理.
数学中有各种各样的猜想,如著名的哥德巴赫 (Goldbach)猜想、费马(Fermat )猜想、地图的" 四色猜想"、歌尼斯堡七桥猜想等等.某些猜想 的证明吸引了大批的数学家 和数学爱好者,有 的人甚至为之耗费了毕生心血 .你知道这些数 学 猜 想 是 怎 样 提 出 来 的吗 ? 下 面 看 一 下 哥 德 巴 赫提出猜想的过程.
2.1.1合情推理
1.工匠鲁班类比带齿的草叶和蝗虫的牙齿,发 明了锯 2.仿照鱼类的外型和它们在水中沉浮的原理, 发明了潜水艇.
3.科学家对火星进行研究,发现火星与地球有许 多类似的特征; 1)火星也绕太阳运行、饶轴自转的行星; 2)有大气层,在一年中也有季节变更; 3)火星上大部分时间的温度适合地球上某些已 知生物的生存,等等.
为归纳推理 简称归纳.简言之,归纳推理是由
部分到整体、由个别到一般的推理.
例如 ,由铜、铁、铝、金、银等 金 属能导电, 归纳出"一切金属都能导电" ;由直角三角形、 等腰三角形、等边三角形的内角和都是1800, 归纳出"所有三角形的内角和都是1800 " 这些都是归纳推理.在统计学中,我们总是从 所研究的对象全体中抽取一部分进行观测或 试验以取得信息,从而对整体作出推断,这也 是归纳推理.
根 据 同 样 的 思 路,我 们 还 可 以 定 义 并 且 研 究4维 球、5维 球 直 至n维 球.研 究n维 球 时,总 可 以
类 比n 1维 球 的 情 形,从 中 获
得 启 发 和 联 想.
这 种 由 两 类 对 象 具 有 某些 类 似 特 征 和 其 中 一 类 对 象的 某 些 已 知 特 征,推 出 另 一 类 对 象 也 具 有 这 些 特 征 的 推 理称 为
类比推理 简称类比.简言之,
类 比 推 理 是 由 特 殊 到 特殊 的 推 理.
在数学中,我们可以由已知解决的问题 和已经获得的知识出发,通过类比而提 出新问题和作出新发现.例如,数学家波
利 亚Polya 曾 指 出:" 类 比 是 一 个 伟 大 的
引路人 ,求解立体几何问题往往有赖于 平 面 几 何 中 的 类 比 问 题." 数 学 中 还 有 向 量与数的类比,无限与有限的类比,不等 与相等的类比,等等.
科学家猜想;火星上也可能有生命存在.
4)利用平面向量的本定理类比得到空间向量的 基本定理.
在两类不同事物之间进行对比,找出若干 相同或相似点之后,推测在其他方面也可 以存在相同或相似之处的一种推理模式, 称为类比推理.(简称;类比) 类比推理的几个特点;
1.类比是从人们已经掌握了的事物的属性,推测正 在研究的事物的属性,是以旧有的认识为基础,类比 出新的结果. 2.类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的 特殊属性.
除了归纳,在人们的创造发明活动中,还常常应 用 类 比.例 如, 据 说 我 国 古 代 工 匠 鲁 班类 比 带 齿 的 草 叶 和 蝗 虫 的 牙 齿, 发 明 了 锯; 人 们 仿 照 鱼 类 外 形 和 它 在 水 中 的 沉 浮原 理, 发 明 了 潜 水 艇;等 等,事 实 上, 仿 生 学 中 许 多 发 明 的 最初 构 想 都 是 类比生物机制得到的. 又如,为了回答" 火星上是否有性命" 这个问题, 科 学 家 们 把 火 星 与 地 球作 类 比, 发 现 火 星 具 有 一些与地球类似的特征,如火星也是围绕太阳 运行、绕轴自转的行星,也有大气层,在一年中 也有季节的变更,而且火星上大部分时间的温 度适合地球上某些已知生物的生存,等等.由此, 科学家猜想: 火星上也可能有性命存在.
表 21
圆的概念和性质
球的类似概念和性质
圆的周长
圆的面积
圆心与弦非直径中
点的连线垂直于弦.
与圆心距离相等的两弦相等; 与圆心距离不等的两弦不等, 距圆心较近的弦较长.
以点x0,y0 为圆心,r为半 径的圆的方程为x x0 2 y y0 2 r2.
开普勒 (Ke pler ,1571 1630 ) 说 : " 我珍惜类 比胜过任何 别的东西,它 是我最可信 赖的老师,它 能揭示自然 界的秘密."
已经知 例如,圆有切线,切线与圆交于一
道这样的 点,切点到圆心的距离等于圆的 平面是存 半径;对于球,我们推测可能存在 在的,即球 这样的平面,与球交于一点,该点 的切平面. 到球心的距离等于球的半径; 平面内不共线的3 个点确定一个圆,由此猜 想空间中不共面的四个点确定一个球;等等.
探究 类比圆的特征,填写表2 1中球的相关 特征,并说说推理的过程.
应用归纳推理可以发现新事实,获得新结论. 下面是一个数学中的例子.
例1
已知数列an的第1项a1
1, 且an1
an 1 an
n 1,2, ,试归纳出这个数列的通项公式.
分析 数列的通项公式表示的是数列an的第n
项an与序号之间的对应关系.为此,我们先根据已知
的递推公式,算出数列的前几项.
解
当n
1时,a1
现在,我们来考察一下哥德巴赫提出猜想的推理 过程 : 通过对一些偶数的验证 ,他发现它们总可 以表示成两个奇质数之和,而且没有出现反例.于 是,提出猜想 " 任何一个不小于6的偶数都等于 两个奇质数之和".
这种由某类事物的部分对象具有某些特征,推 出该类 事物的全部对象都具有这 些特征的推 论,或者由个别事实概括出一般结论的推理,称
1;
当n
2时,a2
1 1 1
1; 2
1
1
当n
3时,a3
2 1 1
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 ;当n 3
4时,a4
3 1 1
3
1. 4
观察可得,数列的前4项都等于相应序号的倒
数.由此猜想,这个数列的通项公式为an
1. n
在例1中,我们通过归纳得到 了关于数列通项公式的一个 猜想 .虽然 猜想是否正确还 有 待 严 格 的 证 明, 但 这 个 猜 想可以为我们的研究提供 一种方向.
据说哥德巴赫无意中观察到: 3 7 10,3 17 20,13 17 30, 他有意把上面的式子改写成 : 10 3 7,20 3 17,30 13 17.
其中反映出这样一个规律 : 偶数 奇质数 奇质数. 于是哥德巴赫产生了一个想法: 10,20,30都是偶
数,那么其他偶数是否也有类似的规律呢? 显然,第一个等于两个奇质数之和的偶数是6,即 6 3 3,再看看超过6的偶数 : 8 3 5,10
十六进位 ０ １ ２ ３ ４ ５ ６ ７
十进位 ０ １ ２ ３ ４ ５ ６ ７
十六进位 ８ ９ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ Ｅ Ｆ
十进位
８ ９ １０ １１ １２ １３ １４ １５
例如用１６进位制表示Ｅ+Ｄ＝１Ｂ，则 Ａ×Ｂ＝（ Ａ ）
Ａ．６E Ｂ．７２ Ｃ．５Ｆ Ｄ．０Ｂ
例4:(2001年上海)已知两个圆①x2+y2=1:与 ②x2+(y-3)2=1,则由①式减去②式可得上述两 圆的对称轴方程.将上述命题在曲线仍然为 圆的情况下加以推广,即要求得到一个更一 般的命题,而已知命题应成为所推广命题的 一个特例,推广的命题为-设--圆---的---方--程---为--①----------(-x--a)2+(y-b)2=r2与②(x-c)2+(y-d)2=r2（a≠c或 --b-≠---d--)-,--则--由---①---式--减---去--②---式---可--得---上--述---两---圆--的---对---称--轴--
等于原来的数,即
a0 a
a1 a
数学中还有许多集合具有这4条运算性质.法国天才的
数学家伽罗瓦Galois提出了" 群的概念,用来表示具有
这种运算性质的集合.
运用类比推理常常先要寻找合适的类 比对象 ,例如 ,在立体几何中,为了研究 四面体的性质,我们可在平面几何中寻 找一个研究过的对象,通过类比这个对 象的性质,获得四面体性质的猜想以及 证明这些猜想的思路.
球的体积 V = 4πR3
3
球心与不过球心的截面(圆面) 的圆点的连线垂直于截面
与圆心距离相等的两弦相等 与球心距离相等的两截面面积相等
与圆心距离不相等的两弦不相 与球心距离不相等的两截面面积
等,距圆心较近的弦较长
不相等,距球心较近的面积较大
以点(x0,y0)为圆心, r为半径 的圆的方程为(x-x0)2+(yy0)2 = r2
-方程.
---------------------------------------------------------
--------.
利用圆的性质类比得出求的性质
圆的概念和性质
圆的周长 S = 2πR
圆的面积 S =πR2
圆心与弦(非直径)中点的连线 垂直于弦
球的概念和性质
球的表面积 S = 4πR2
5 5,12 5 7,14 7 7,16 5 11, 1000
29 971,1002 139 863,
继续上述过程,你能提出一个猜想吗?
根据上述过程,哥德巴赫大胆地猜想: 任何一个 不小于6的偶数都等于两个奇质数的和.这是正 确的吗?多少年来,许多优秀的数学家都在努力 证明这个猜想,而且取得了很好的进展.
以点(x0,y0,z0)为球心, r为半 径的球的方程为(x-x0)2+(yy0)2+(z-z0)2 = r2
在 日 常 生 活 中, 人 们 常 常 需 要 进 行 这 样那 样的推理.例如,医生诊断病人的病症,警察 侦破案件,气象专家预测天气的可能状态, 考 古 学 家 推 断 遗 址 的 年代 , 数 学 家 论 证 命 题的真伪等等,其中都包含了推理活动.在 数 学 中, 证 明 过 程 更 离 不 开 推 理.
例2 类比实数的加法和乘法,列出它们相似的
运算性质.
分析 实数的加法和乘法都是由两个数参与运算,
都满足一定的运算律,都存在逆运算,而且"0" "1"分
别在加法和乘法中占有特殊的地位.因此我们可以
从上述4个方面来类比这两种运算.
解 1两个实数经过加法运算或乘法运算后,所
得的结果仍然是一个实数.
2从运算律的角度考虑,加法和乘法都满足交换
本章我们将学习两种基本的推理 合情 推理和演绎推理.合情推理具有猜测和发 现新结论、探索和提供 解决问题的思路 和方向的作用;演绎推理则具有证明结论,
整 理 和 建 构 知 识 体 系 的作 用, 是 公 理 体 系 中的基本推理方法.因此它们联系紧密、 相辅相成,成为获得数学结论的基 本手 段.同时我们还要学习证明的两类基本方 法 直 接证明的方法 (如分析法、综 合 法、数学归纳法)和间接 证明的方法(如 反证法) ,从中体会证明的功能和特点,了 解数学证明的基本方法,感受逻辑证明在 数学以及日常生活中的作用,养成言之有 理、论证有据的习惯.
律和结合律,即
ab ba
ab ba
a b c a b c abc abc
3从逆运算角度考虑,二者都有逆运算,加法的逆
运算是减法,乘法的逆运算是除法,这就使得方程
ax 0
ax 1a 0
都有唯一解
x a
x 1 a
4在加法中,任意实数与0相加都不改变大小;乘
法中的1与加法中的0类似,即任意实数与1的积都
3.类比的结果是猜测性的不一定可靠,单它却有发 现的功能.
例1：类比平面内直角三角形的勾股定理， 试给出空间中四面体性质的猜想．
A
Ｂ c2=a2+b2
a
c
s1 o s2 s3
Ｃb
Ａ
B
C
猜想: S2△ABC =S2△AOB+S2△AOC+S2△BOC
例3：(2005年全国)计算机中常用的十六进 位制是逢１６进１的计算制，采用数字０９和字母Ａ-Ｆ共１６个计数符号，这些符 号与十进制的数的对应关系如下表；