第一节 拉格朗日中值定理

使得
f ( ) f (b) f (a)
A
ba
o
（分析）罗尔定理是拉格朗日
中值定理：ƒ（a）=ƒ(b)时的特殊情况，应用
y f (x) B
1 x
2 b
x
罗尔定理证明此定理要构造辅助函数 F( x) ，使得 F( x) 满足罗尔定理的条件
（i）-(iii) 且 F(x) f (x) f (b) f (a) ， ba
使得 f (cn) =0。
1 0.5
0-1 -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0
-0.5
0.05 0.1 0.15 0.2
2、拉格朗日（Lagrange）中值定理：若函数 ƒ满足如下条件：
（i）ƒ在闭区间[a,b ]上连续；
（ii）ƒ在开区间(a,b )内可导；
y
则在（a，b）内至少存在一点ξ，
F(x) f(x) f(a) f(b) f(a) (x a), x [a, b] b a
证明：作辅助函数
F(x) f(x) f(a) f(b) f(a) (x a) b a
显然，F（a）=F(b)（=0），且 F 在[a，b]上满足罗尔定理的另两个条件，故存在点
种情况讨论：
(i)若 M = m , 则 f 在［a,b］上必为常数，从而结论显然成立。 (ii)若 m ＜ M，则因 f (a)= f (b)，使得最大值 M 与最小值 m 至少有一个在(a,b)内某 点ξ处取得，从而ξ是 f 的极值点，由条件(ii) f 在点ξ处可导，故由费马定理推知
度相等，则至少存在一条水平切线。 注2：习惯上把结论中的ξ称为中值，罗尔定理的三个条件是充分而非必要的。
独立，但文字累赘且不便记忆，因此一般不这样叙述。 中值定理的简单应用: ( 讲 1 时 ) 3、拉格朗日中值定理的几个重要推论
推论 1 函数 f (x) 在区间 I 上可导且 f (x) 0, f ( x) 为 I 上的常值函数. 证明： 任取两点 x1 , x2 I （设 x1 x2 ），在区间 [ x1 , x2 ] 上应用拉格朗日
但缺少其中任何一个条件，定理的结论将不一定成立，见下图：
a
b
缺条件1
a
b
缺条件2
a
b
缺条件3
注 3：罗尔定理结论中的ξ值不一定唯一，可能有一个，几个甚至无限多个，例如：
f(x)

x4sin 2
1 x
,
x

0
0,x 0
x=-0.2:0.005:0.2; y=(x.^4).*((sin(1./x)).^2);
ξ(a，b)，使得
F ( ) f ( ) f (b) f (a) 0 ba
即
f ( ) f (b) f (a)
ba
注 1°罗尔定理是拉格朗日中值定理 f (a) f (b) 时的特例
注 2°几何意义：在满足拉格朗日中值定理条件的曲线 y f (x)上至少存在一点
plot(x,y,'r')
x 10 2
axis([-0.2,0.2,-0.001,0.002])
1.5
在 [-1，1] 上满足罗尔定理的条件，
显然
f (x)

பைடு நூலகம்
4x 3sin 2
1 x
2x
2 sin
1 x
cos
1 x
0, x 0
在（-1，1）内存在无限多个
cn
= 1 (n z) 2n
x x0
由于
x0
＜ξ＜
x
，因此当
x

x
0
时随之有ξ→
x
0
，对上式两边取极限，使得
f
( x 0
)

lim
x
x
0
f (x) f ( x0 ) lim
x x
x
x
0
f ( )
f (x 0
0)
0
（2）同理可得 f (x ) f ( x 0)
0
0
因为 lim
xx0
f (x) = k 存在，所以 f (x 0) = f (x
0
0

0)
=
k
，从而
f

(
x 0
)

f

(
x 0
)

k
即
f (x ) k 0
注 1°由推论 3 可知：在区间 I 上的导函数 f (x) 在 I 上的每一点，要么是连续点，要么
是第二类间断点，不可能出现第一类间断点。 注 2°导数极限定理适合于用来求分段函数的导数。
注 3°此定理的证明提供了一个用构造函数法证明数学命题的精彩典范；同时通过巧妙 地数学变换，将一般化为特殊，将复杂问题化为简单问题的论证思想，也是数学分析的重要 而常用的数学思维的体现。
注 4°拉格朗日中值定理的结论常称为拉格朗日公式，它有几种常用的等价形式，可根 据不同问题的特点，在不同场合灵活采用：
P( , f ( )) ，该曲线在该点处的切线平行于曲线两端点的连线 AB，我们在证明中引入的辅
助函数 F( x) ，正是曲线 y f (x) 与直线 AB y f (a) f (b) f (a) (x a) ba
之差，事实上，这个辅助函数的引入相当于坐标系统原点在平面内的旋转，使在新坐标系下， 线段 AB 平行于新х轴（F（a）=F（b））。
xx , | x| 1
例如：
F(x)


0
,
2 x 1

1 , 1 x 2
1
0.5
0
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
-0.5
1
1.5
-1
易见，F 在 x=-1 不连续，在 x=±1 不可导，F(-2)≠F（2）, 即罗尔定理的三个条件均不成
立，但是在（-2，2）内存在点 ξ, 满足 F ( ) 0
中值定理，存在 ξ（ x1 , x2 ） I，使得 f (x2 ) f ( x1 ) f ( )( x2 x1) 0
推论 2 函数 f (x) 和 g (x) 在区间 I 上可导且 f (x) g (x), f (x) g(x) c,
x I.
推论 3（导数极限定理）设函数 f 在点 x0 的某邻域 U（ x0 ）内连续，在 U°（ x0 ）内可
f (b) f (a) f ( )(b a), (a,b)
f (b) f (a) f [a (b a)](b a), (0,1)
f (a h) f (a) f (a h)h, (0,1)
注 5°拉格朗日中值定理的两个条件彼此有关，并不彼此独立，因为： f 在（a,b） 可导可以推出 f 在（a，b）连续，但反之不成立。把这两个条件的“重叠”部分去掉， 改成“函数 f (x) 在（a，b）可导且 f (x) 在 a 右连续在 b 左连续”这样，两个条件互相
（iii） f (a) f (b) ，
则在（a，b）内至少存在一点ξ，使得
f （ξ）=0 （分析）由条件（i）知 f 在[a，b]上
有最大值和最小值，再由条件（ii）及（iii），应用费马定理便可得到结论。
证明：因为 f 在［a,b］上连续，所以有最大值与最小值，分别用 M 与 m 表示，现分两
推论 4 ( 导函数的介值性 ) 若函数 f 在闭区间[a, b] 上可导, 且 f (a) f (b) 0,
(a,b), f ( ) 0.
( 证)
导，且极限 lim
xx0
f
(x) 存在，则
f
在点 x0 可导，且
f
(
x0
)

lim
x x0
f (x)
证明：分别按左右导数来证明上式成立
（1）
任取
x

u0
(x 0
)
，
f
(x)
在[
xo
,
x
]上满足拉格朗日中值定理条件，则存在
ξ(xo , x) ，使得
f (x) f (x ) 0 f ( )